四川省内江市第六中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

这是一份四川省内江市第六中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 满分：150分

一、单选题（满分40分，每小题5分）
1．的展开式中含项的系数为（ ）
A．10B．40C．80D．120
2．命题“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．设非空集合，定义且，则集合（ ）
A．B． C．D．
5．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A．B．C． D．
6．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．若对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题, 每小题6分, 共18分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合要求的.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.）
9．对具有相关关系的两个变量x和进行回归分析时，下列结论正确的是（ ）
A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强
B．若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1
C．若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3
D．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和2
10．已知，，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为9D．的最小值为
11．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
三、填空题（本题共3小题, 每小题5分, 共15分）
12．若，则的解析式为 ．
13．第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5日在广西举行，举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的重要措施．为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A，B，C，D四个不同的区域参加宣传活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有 种（用数字作答）．
14．已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题, 共77分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤.）
15．(本小题13分)设，函数的单调增区间是．
(1)求实数a；(2)求函数的极值．
16．(本小题15分)已知函数，且.
(1)求实数的值，在图中作出的图像（可直接作图，不用书写过程），并求函数有3个不同的零点时实数的取值范围；
(2)若函数在区间a+3,a2+a+1上为增函数，求实数的取值范围.
17．(本小题15分)随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
(1)若该地区新能源汽车车主的年龄（单位：岁）近似服从正态分布，其中年龄的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数）
(2)已知变量与之间的相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量.
参考公式与数据：
①若随机变量，则；；
②；③.
18．(本小题17分)随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
(1)求一次数据能被软件准确分析的概率；
(2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；②当n为何值时，的值最大?
19．(本小题17分)已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式．
(3)在（2）的条件下，证明：
内江六中2024—2025学年（上）高2025届第一次月考
数学试题参考答案
1.C 2.A 3.D 4.D 5.C. 6.B. 7.B. 8.D 9.BD 10.ABD 11ACD
12. 13. 276 14. 2
8.【详解】因为，所以，则可化为，
整理得，因为，所以，
令，则函数在上单调递减，
则在上恒成立，所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
则在上单调递减，
所以，故，所以得最小值为.故选：D.
11．【详解】因为，则有，
令，则，则，故A正确；
令，则，
令代，则，
即，即，故B错误；
设且，则，由，
令，则，即，
令，，则，即，因为时，，又，故，
所以，所以，即在上单调递减，
又，所以，，
又，所以，故在上的最大值为，故C正确；
由，即，
即，即，又因为，即，
所以，即，
故，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；故选：ACD.
14【详解】对任意一个负数x，不等式恒成立，即对恒成立，
设，则，设，则，令，解得，当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，又，，时，
故存在，使得，即，
当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，因为中，，，故，所以的最大值，
当时，，又整数，所以整数a的最小值为2．故答案为：2
15．【详解】（1）函数的定义域为：，且…….2分
因为函数的单调增区间是，
所以的解集是.所以方程的解是13，，………… 4分
所以a=2 …………………………………………………………………..… 6分
（2）当时，令，则或……………………………………………….7分
当变化时，fx，的变化情况如下表：
…………………………………………9分
当时，有极小值；………………………11分
当时，有极大值 …………………………………分
16【详解】（1） 因为，所以…………………………………..2分
函数的大致图像如图所示，
………………………… ………….. …….5分
令，得
故有3个不同的零点等价于方程有3个不同的实根，………………7分
由图可知………………………………………………………………………8分
（2）由图像可知，函数在区间和上分别单调递增，
因为，………………………………………………………….10分
且函数在区间a+3,a2+a+1上为增函数，所以可a2+a+1>a+3a+3≥1，……..…13分
解得-2≤a<-2或a>2
所以实数的取值范围为…………………………………………15分
17．【详解】（1）由题意，该地区新能源汽车车主的年龄（单位：岁）近似服从正态分布，
则,所以,………………………………………………2分
，………………………………………………………………….4分
所以估计该地区新能源汽车车主共有万人…………………………………分
（2）由题意，，…………………………………………分
所以， ……8分
由已知，,
所以，…………………………………………….10分
所以，……………………………………………………….11分
所以，…………………………………………………………….12分
所以关于的线性回归方程为，………………………………………………13分
2025年对应的年份代码，所以当时，，
估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆………………………………15分
18【详解】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，
由题意可知：，则，……2分
所以，……………………………………….4分
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75．……………………………………………5分
（2）由（1）可知：，
①依题意，，………………………………………………………………….7分
所以的方差；………………………………………………………………….9分
②可知，……………………………………11分
令，则…………………………分
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；…………………………15分
于是
所以当时，最大，即时，的值最大．…………………………17分
19．【详解】（1）…………………………………1分
①若，当时，f'x>0；当时，f'x<0，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
②若，则，则在R上单调递增，
③若，当时，f'x>0；当时，f'x<0，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，………3分
综上所述：
①当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，则在R上单调递增；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增…4分
（2）当时，，，切点，切线斜率：，
故切线方程为：，
联立得：，
化简得：，……………………………………………6分
因式分解得：．
故…………………………………………………………………………………8分
上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故，
，则是以为首项，以为公比的等比数列,
故，故………………………………………………………………10分
（3）构造，………………………………………………………12分
，故在0,+∞上单调递减，故
故当时，，…………………………………………………………………13分
故，
则，，……………………………………………….15分
将上式累加，得
，
故，
故…………………………………分年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
新能源汽车年
销量万辆
x
1
f'(x)
+
0
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘