2023-2024学年四川省内江市第六中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

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考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷选择题（满分60分）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A. B. C. D. 3
2. 已知圆锥侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
3. 若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A 4B. C. D. 2
4. 已知，，为三条不同直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
5. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A. B. C. 8D. 2
6. 如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为（ ）

A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（ ）
A. 5B. 16C. 21D. 26
8. 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A. B. 6C. D.
二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）
9. （多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上，焦点为B. 开口向上，焦点为
C. 焦点到准线的距离为4D. 准线方程为
10. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则
C. 已知向量，，则在方向上的投影向量为
D. 为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面
11. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点B. 圆与圆有两条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为D. 当时，圆存在无数对点关于直线对称
12. 已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B. 无论点上怎么运动，都有
C. 当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D. 无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是
第Ⅱ卷非选择题（满分90分）
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 过椭圆的左顶点，且与直线平行的直线方程为____________.
14. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为__________.
15. 若与有交点，则实数的取值范围为_____________.
16. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的离心率为__________.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，
（1）求双曲线标准方程；
（2）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
18. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
19. 已知圆过点和.
（1）求圆的方程；
（2）已知动圆和圆外切且过点，求圆心的轨迹方程.
20. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.
21. 如图1，在平面四边形中，，，，，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示：
（1）求证：平面；
（2）设线段的中点为，求平面与平面所成角的余弦值.
22. 如图，椭圆离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l交C于A、B两点，交直线于点P．若，，证明：为定值，并求出这个定值．