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四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
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这是一份四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
出题人：刘洪波 做题人：邹代勇 审题人：黄 东
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．已知集合，，，则(CUA)∩B=（ ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），则sin2θ=（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．4D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A．B．C．8D．16
7．记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。
9．已知函数,下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小值是
D．函数的图象关于点对称
10．下列说法正确的的有（ ）
A．已知一组数据的方差为3，则的方差也为3
B．统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r越小，则两个变量之间的线性相关性越弱.
C．已知随机变量X服从正态分布，若，则
D．已知随机变量X服从二项分布，若，则
11．已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为 .
13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．
甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有 。
14．若定义在上的函数满足是奇函数，，，
则 ．
解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．本题13分
已知分别为∆ABC的内角的对边，且.
(1)求角A；
(2)若，求出边并求出.∆ABC的面积
16．本题15分
ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表：
注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”.
(1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系;
(2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差;
(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附:
17．本题15分
已知函数．
（Ⅰ）若，，求曲线在处的切线的方程
（Ⅱ）讨论函数f (x)的单调性
（Ⅲ）若，对任意两个不同的，不等式
恒成立，求的最小值．
夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．(提示：设表示第天选择绿豆汤)
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式。
19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
(1)求20以内的质数“理想数”；
(2)已知.求m的值；
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，
证明：.
威远中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷
参考答案：
2．C【详解】由得：，的虚部为.
4．C【详解】因为，，则，，
则，故，故选：C.
5．D【详解】因为在单调递增，且,所以，即
因为，所以,即,
所以存在两种情况：且，且，因此推不出,
同样推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.
6．C【详解】解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，∵S3＝，，
∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．
则＝＝8．故选：C．
7．C【详解】根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.又，当时，.故选：C
8．A【详解】因为函数、均为R上的增函数，所以，函数为R上的增函数，
，因为，其中，
所以，，故，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.故选：A.
9．AC【详解】解:由题知,,
故选项A正确;令,解得: ,
令,令,故选项B错误;因为,
所以,故选项C正确;因为对称中心纵坐标为1,故选项D错误.故选:AC
10．AC【详解】对于A中，由一组数据的方差为，
根据方差的性质，可得数据的方差也为，所以A正确；
对于B中，统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，当越趋向于，此时相关性越强，所以B不正确；对于C中，由随机变量X服从正态分布，若，
则，所以C正确；对于D中，由随机变量服从二项分布，可得，
若，则，所以D错误.故选：AC.
11．ABD【详解】选项A：由题意可得，
令解得或，因为，所以令解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确；
选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即，
解得，故B正确；选项C：当时，，
，
，所以点不是曲线的对称中心，C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得，令，，
所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数，
，
令解得或，因为，所以令解得或，
令解得，则在，上单调递增，
在上单调递减，且，，图像如图所示，
所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确；故选：ABD
12．80【详解】二项式系数之和为32，即，解得，
所以展开式的通项为，令，得，
所以展开式中的系数为.故答案为：80
13．10 14．【详解】因为是奇函数，所以，
用替换上式中的，可得，
在中，用替换，可得，
所以，用替换该式中的，可得，
所以，所以函数的周期为，在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，所以，
所以.故答案为：.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
15．【详解】（1）因为， 5分
所以由正弦定理得，因为,所以，
所以，所以，因为，所以；
（2）在中，，所以由余弦定理得，
整理得，解得（舍去），或面积为5 13分
16.【详解】（1）根据题意可得列联表如下；
零假设为：年龄因素与是否喜欢该程序无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即年龄因素与喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． 5分
（2）由题意可知：随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率，
可知，所以，． 10分
（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，
则Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：
，，，故所求分布列为
可得 15分
曲线在处的切线的方程为， 4分
（Ⅱ）省略 9分
（Ⅲ）因为， ，所以，故函数在上单调递增，不妨设，则，
可化为，设，则．
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以，所以，而函数在上是增函数，
所以（当且仅当，时等号成立）．所以．即的最小值为. 15分
18、（1）答案为2/9 4分
设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，根据题意得，，所以．10分
（3）设表示第天选择绿豆汤，则，根据题意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以为首项，为公比的等比数列．
Pn= 17分
19．（1）以内的质数为，，故，所以为“理想数”；
，而，故不是“理想数”；，而，故是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；和5为两个质数“理想数”； 4分
（2）由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为12或18． 8分
（3）显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，
若奇数，不妨设，
若为"理想数"，则，且，即，且，
①当，且时，；
②当时，；，且，
又，即，易知为上述不等式的唯一整数解，
区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有的奇数"理想数"的倒数为，
，即． 17分年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
中老年
16
30
合计
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
C
D
C
C
A
AC
AC
ABD
性别
不喜欢该程序
喜欢该程序
合计
青少年
7
23
30
中老年
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P
出题人：刘洪波 做题人：邹代勇 审题人：黄 东
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．已知集合，，，则(CUA)∩B=（ ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），则sin2θ=（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．4D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A．B．C．8D．16
7．记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。
9．已知函数,下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小值是
D．函数的图象关于点对称
10．下列说法正确的的有（ ）
A．已知一组数据的方差为3，则的方差也为3
B．统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r越小，则两个变量之间的线性相关性越弱.
C．已知随机变量X服从正态分布，若，则
D．已知随机变量X服从二项分布，若，则
11．已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为 .
13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．
甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有 。
14．若定义在上的函数满足是奇函数，，，
则 ．
解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．本题13分
已知分别为∆ABC的内角的对边，且.
(1)求角A；
(2)若，求出边并求出.∆ABC的面积
16．本题15分
ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表：
注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”.
(1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系;
(2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差;
(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附:
17．本题15分
已知函数．
（Ⅰ）若，，求曲线在处的切线的方程
（Ⅱ）讨论函数f (x)的单调性
（Ⅲ）若，对任意两个不同的，不等式
恒成立，求的最小值．
夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．(提示：设表示第天选择绿豆汤)
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式。
19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
(1)求20以内的质数“理想数”；
(2)已知.求m的值；
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，
证明：.
威远中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷
参考答案：
2．C【详解】由得：，的虚部为.
4．C【详解】因为，，则，，
则，故，故选：C.
5．D【详解】因为在单调递增，且,所以，即
因为，所以,即,
所以存在两种情况：且，且，因此推不出,
同样推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.
6．C【详解】解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，∵S3＝，，
∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．
则＝＝8．故选：C．
7．C【详解】根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.又，当时，.故选：C
8．A【详解】因为函数、均为R上的增函数，所以，函数为R上的增函数，
，因为，其中，
所以，，故，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.故选：A.
9．AC【详解】解:由题知,,
故选项A正确;令,解得: ,
令,令,故选项B错误;因为,
所以,故选项C正确;因为对称中心纵坐标为1,故选项D错误.故选:AC
10．AC【详解】对于A中，由一组数据的方差为，
根据方差的性质，可得数据的方差也为，所以A正确；
对于B中，统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，当越趋向于，此时相关性越强，所以B不正确；对于C中，由随机变量X服从正态分布，若，
则，所以C正确；对于D中，由随机变量服从二项分布，可得，
若，则，所以D错误.故选：AC.
11．ABD【详解】选项A：由题意可得，
令解得或，因为，所以令解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确；
选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即，
解得，故B正确；选项C：当时，，
，
，所以点不是曲线的对称中心，C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得，令，，
所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数，
，
令解得或，因为，所以令解得或，
令解得，则在，上单调递增，
在上单调递减，且，，图像如图所示，
所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确；故选：ABD
12．80【详解】二项式系数之和为32，即，解得，
所以展开式的通项为，令，得，
所以展开式中的系数为.故答案为：80
13．10 14．【详解】因为是奇函数，所以，
用替换上式中的，可得，
在中，用替换，可得，
所以，用替换该式中的，可得，
所以，所以函数的周期为，在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，所以，
所以.故答案为：.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
15．【详解】（1）因为， 5分
所以由正弦定理得，因为,所以，
所以，所以，因为，所以；
（2）在中，，所以由余弦定理得，
整理得，解得（舍去），或面积为5 13分
16.【详解】（1）根据题意可得列联表如下；
零假设为：年龄因素与是否喜欢该程序无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即年龄因素与喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． 5分
（2）由题意可知：随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率，
可知，所以，． 10分
（3）易知10名高中生有7名男生，3名女生，
则Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：
，，，故所求分布列为
可得 15分
曲线在处的切线的方程为， 4分
（Ⅱ）省略 9分
（Ⅲ）因为， ，所以，故函数在上单调递增，不妨设，则，
可化为，设，则．
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以，所以，而函数在上是增函数，
所以（当且仅当，时等号成立）．所以．即的最小值为. 15分
18、（1）答案为2/9 4分
设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，根据题意得，，所以．10分
（3）设表示第天选择绿豆汤，则，根据题意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以为首项，为公比的等比数列．
Pn= 17分
19．（1）以内的质数为，，故，所以为“理想数”；
，而，故不是“理想数”；，而，故是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；和5为两个质数“理想数”； 4分
（2）由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为12或18． 8分
（3）显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，
若奇数，不妨设，
若为"理想数"，则，且，即，且，
①当，且时，；
②当时，；，且，
又，即，易知为上述不等式的唯一整数解，
区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有的奇数"理想数"的倒数为，
，即． 17分年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
中老年
16
30
合计
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
C
D
C
C
A
AC
AC
ABD
性别
不喜欢该程序
喜欢该程序
合计
青少年
7
23
30
中老年
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P
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