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四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（原卷版）
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这是一份四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出题人：刘洪波 做题人：邹代勇 审题人：黄 东
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C D.
2. 设为虚数单位，，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），则sin2θ=（ ）
A. B. C. D. 45
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. 4D.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A. B. C. 8D. 16
7. 记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若，则最大值为（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 已知函数,下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的周期是
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小值是
D. 函数的图象关于点对称
10. 下列说法正确的的有（ ）
A. 已知一组数据的方差为3，则的方差也为3
B. 统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r越小，则两个变量之间的线性相关性越弱.
C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则
11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有3个零点时，的范围是
C. 当时，点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可以作曲线的3条切线
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为___________.
13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有______________ .
14. 若定义在上的函数满足是奇函数，，，则__________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知分别为内角的对边，且.
（1）求角A；
（2）若，求出边并求出的面积
16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表：
注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余称为“青少年”.
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系;
（2）在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差;
（3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附:
17. 已知函数．
（1）若，，求曲线在处的切线的方程
（2）讨论函数的单调性
（3）若，对任意两个不同的，不等式恒成立，求的最小值．
18. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）
（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
（3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知.求m的值；
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.
年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
中老年
16
30
合计
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
出题人：刘洪波 做题人：邹代勇 审题人：黄 东
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C D.
2. 设为虚数单位，，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），则sin2θ=（ ）
A. B. C. D. 45
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. 4D.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A. B. C. 8D. 16
7. 记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若，则最大值为（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 已知函数,下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的周期是
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小值是
D. 函数的图象关于点对称
10. 下列说法正确的的有（ ）
A. 已知一组数据的方差为3，则的方差也为3
B. 统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r越小，则两个变量之间的线性相关性越弱.
C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则
11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有3个零点时，的范围是
C. 当时，点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可以作曲线的3条切线
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为___________.
13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有______________ .
14. 若定义在上的函数满足是奇函数，，，则__________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知分别为内角的对边，且.
（1）求角A；
（2）若，求出边并求出的面积
16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表：
注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余称为“青少年”.
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系;
（2）在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差;
（3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附:
17. 已知函数．
（1）若，，求曲线在处的切线的方程
（2）讨论函数的单调性
（3）若，对任意两个不同的，不等式恒成立，求的最小值．
18. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）
（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
（3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知.求m的值；
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.
年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
中老年
16
30
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21
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0.01
2.706
3.841
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