2022-2023学年四川省内江市第六中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省内江市第六中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简集合A，进行交集运算即可.

【详解】或，则.

故选：B

2．“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由，即，解得，

因为，即由推不出，即充分性不成立，

由推得出，即必要性成立，

所以“”是“”成立的必要不充分条件；

故选：B

3．已知全集为U，A，B是U的非空子集且，则下列关系一定正确的是（    ）

A．，且 B．，

C．，或 D．，且

【答案】A

【分析】根据集合之间的关系判断．

【详解】A，B是U的非空子集，，中所有元素都属于的补集，因此当时一定有，A正确，B错误，D错误，不一定是全集，C错误．

例如，，，可以判断ACD均错．

故选：A．

4．若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求得，逐项判定，即可求解.

【详解】由，可得，，即，可得，

所以，故A，B错误；

由，可得，，则，故C错误；

由，可得，故D正确．

故选：D.

5．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的运算结果利用数轴分析并集如何实现为即可得出答案.

【详解】解得集合或，，

当，如图，所以．

故选：B．

6．实数a，b满足a＞0，b＞0且a＋b＝3，则的最小值是（   ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】令利用换元法得到，将转化为，最后利用1的代换求解即可.

【详解】令

则，

所有，

故选:D.

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

7．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】先得出为真命题，再分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.

【详解】由题意得：为真命题，

当时，，满足要求，

当时，要满足，

解得：，

综上：实数的取值范围是

故选：C

8．若关于x不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据二次不等式的解法可知－1和是方程的两个根，结合韦达定理求出a、b、c的关系，然后再利用二次不等式解法求解﹒

【详解】解：化为，

因为其解为，

所以a＜0，且－1和是方程的两根，

根据韦达定理得，

①，

②，

∴①÷②得，

∵a＜0，，

∴b＞0，c＞0，

∴化为，即，解得x＞4或x＜－1．

故选：D

二、多选题

9．图中矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，则图中的阴影部分可以表示为(    )

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】分析图中阴影部分，结合集合交并补运算即可得到答案．

【详解】易知图中阴影部分为M和的并集，故A正确；

又也可表示图中阴影部分，故D也正确；

选项B：表示的区域如图：

选项C：；

故AD符合题意，BC不符题意．

故选：AD．

10．下列选项中正确的是（    ）

A．已知集合，若，则

B．若不等式的解集为，则

C．若集合满足，则满足条件的集合有8个

D．已知集合，若，则的取值范围为

【答案】CD

【分析】根据集合的包含关系及集合元素的性质可判断A，根据二次不等式的解法可判断B，根据集合的关系及集合子集的个数可判断C，根据集合的包含关系可判断D.

【详解】由，可知，所以或，

解得或或，根据集合元素的互异性，可得或，故A错误；

因为的解集为，所以，

解得，故B错误；

由，可知集合必有2,4，的个数为集合的子集数8个，故C正确；

因为，，

所以，故D正确。

故选：CD.

11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称中为正数a，b的算术平均数.为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．已知，且，则下列说法中正确的是（    ）

A．有最大值为 B．有最小值为9

C．有最小值为 D．有最小值为3

【答案】ABD

【分析】根据已知条件，结合基本不等式与二次函数求解最值逐项判断即可.

【详解】解：知，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，则有最大值为，故A正确；

又，当且仅当，即时等号成立，所以有最小值为9，故B正确；

因为，所以，且，所以，

则当时，有最小值为，故C不正确；

又，当且仅当，

即时等号成立，所以有最小值为3，故D正确.

故选：ABD.

12．已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”下列结论中正确的有（    ）

A．集合不是“完美集”；

B．若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于2；

C．二元“完美集“有无穷多个；

D．若，则“完美集”有且只有一个，且；

【答案】BCD

【分析】由“完美集”的定义即可判断A错误；由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，则可得，则可判断B、C正确；设，由“完美集”的定义可知，结合，可知，，由此即可判断D正确.

【详解】对于A选项：，，故，所以集合是“完美集”，故A错误；

对于B选项：集合是“完美集”，设，则可以看成一元二次方程的两正根，则，解得：（舍）或，即，所以至少有一个大于2，故B正确；

对于C选项：由B可知，一元二次方程当取不同值时，的值是不同的，因而二元“完美集”有无穷多个，故C正确；

对于D选项：设，则，

所以，又，所以，

当时，，则，不合题意，

当时，，所以只能是，

由，代入解得，所以此时“完美集”只有一个，为，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．设，若集合，则____________．

【答案】

【分析】由集合中元素知，再利用集合中元素的互异性可求出，进而可得到答案.

【详解】因为集合，所以，得，所以，则，所以.

故答案为：.

14．某班共有30名学生，在校运会上有20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，则两项都参加的人数为________.

【答案】5

【分析】设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，根据题意，可得、、中元素的数目，由集合间元素数目的关系计算可得答案.

【详解】根据题意，设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，

可得，（B），，

所以（A）（B），

所以两项都参加的有5人.

故答案为：5.

15．已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________；

【答案】

【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围.

【详解】可变形为，

因为，所以，

其中，

当时，开口朝下，不合题意；

当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；

当时，开口朝上，

因为，所以不等式解集为，

此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，

则必有，所以，结合，

所以，所以，

综上：

故答案为：.

四、双空题

16．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝_____时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为 _____．

【答案】         

【分析】利用平行线分线段成比例得到，进而得到，再利用矩形面积公式与基本不等式即可得到答案.

【详解】依题意不妨设，易知，

故，即，即，

故矩形的面积为 ，

当且仅当，即时，等号成立，

故当时，矩形的面积取得最小值为48.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知集合,．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集，列不等式求解，即可得实数a的取值范围．

【详解】（1）解：若，则，又

所以；

（2）解：，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，解得，所以实数a的取值范围是．

18．已知集合．

(1)当时，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）求出集合，再由交集和补集的定义即可得出答案.

（2）由，得，讨论当和，求出实数m的取值范围

【详解】（1）当时，，则，

故或

（2）由，得；

①当时，有，解得；

②当时，有，解得．

综上解得，实数m的取值范围是．

19．已知函数．

(1)求关于x的不等式的解集；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出对应方程的根，再根据根的大小进行讨论，即可得解；

（2）对任意的，恒成立，即恒成立，结合基本不等式求出的最小值即可得解.

【详解】（1）解：由已知易得即为：，

令可得与，

所以，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

（2）解：由可得，

由，得，

所以可得，

，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

所以的取值范围是.

20．已知、、、.

(1)试比较与的大小，并给出证明；

(2)利用（1）的结论求函数的最大值.

【答案】(1)，证明见解析.

(2)函数的最大值为.

【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系；

（2）利用（1）中的结论可得出，由此可求得的最大值.

【详解】（1）解：，理由如下：

，

当且仅当时，等号成立.

（2）解：因为，

则，即，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，函数的最大值为.

21．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．

【解析】（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；

（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，

则，

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立．

所以，当时取到最小值，

即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．

（2）设生产万箱时所获利润为，

则，即，，

即，

所以，

所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．

22．已知集合，

（1）当时，求

（2）若集合问是否存在实数，使得且同时成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在；理由见解析．

【分析】（1）将代入，解方程组即可求解.

（2）由题意可得有整数解，根据，由，联立不等式组即可求解.

【详解】解：（1）当时，

可知，

则由得，

解之得或，因为所以，，

所以.

（2）由于，则有解，

即有整数解，

由，①

又由，得到，②

由①②得

，

代入①②得

，所以，．

则解得，

所以这样的实数不存在