四川省内江市威远中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
展开单选题(每个小题5分,共计40分)
1.若可导函数满足,则( )
A.B.C.D.
2.已知,且,则实数a的值为( )
A.B.C.D.
3.曲线在点处的切线的方程为( )
A.B.
C.D.
4.已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
5.用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位数的个数为( )
A.120B.60C.48D.100
6.六人站一横排,由于甲和乙两人是好朋友,他们必须站在一起,则不同的站法数是( ).
A.240B.720C.600D.120
7.已知y=13x3-x在区间m,6-m2上有最小值,则实数m的取值范围是( )
A.-∞,5B.C.-2,5D.[-2,1)
8.已知函数 是定义在上的可导函数, 其导函数记为, 若对于任意实数, 有, 且, 则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
二、多选题(每小题5分,共计20分)
9.下列求导正确的是( )
A.B.
C.D.
10.已知函数的导函数的图像如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B.在上是减函数
C.在区间内有2个极值点
D.曲线在点处的切线的斜率大于0
11.已知函数的导数为,若存在,使得,则称是的一个“巧值点”,
则下列函数中,存在“巧值点”的是( )
A.B.C.D.
12.已知函数,是函数的极值点,以下几个结论中正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题(每小题5分,共计20分)
14.已知函数在处取得极值5,则=.
15.函数的最大值为.
16.已知关于x的不等式:的解集为,则的最大值是.
解答题
17.已知函数.
(1)求曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
18.已知函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若函数有三个零点,求的取值范围.
19.已知函数f(x)=xln x.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围;
20.已知函数.
(1)若,求在定义域内的极值;
(2)当时,若在上的最小值为,求实数的值.
21.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当,且为两个不相等的正数,证明:.
22.设函数,,其中e是自然对数的底数.
(1)若曲线在处的切线与曲线相切,求a的值;
(2)若,求证:
威远中学校高2025届高二下期第一次月考数学试卷参考答案
选择题
多选题
解答题
7 14. 3 15. 16.
四、解答题
17.(1),所以, 3分
因此曲线y = f(x)在点(1,)处的切线的斜率为1;
切线方程为 5分
(2)令,解得:x = 0或2.
所以 f(x)在,内是减函数,在内是增函数. 8分
因此函数f(x)在x = 0处取得极小值f(0),且f(0)= 0,函数f(x)在x = 2处取得极大值,
且f(2)=;综上:的单调递增区间为,单调递减区间为,,
极小值为0,极大值为. 10分
18.(1)函数的导数,
当时,;当时,.
所以的单调递减区间为. 4分
由(1)得:当时,取得极大值;
当时,取得极小值. 8分
由三次函数性质知:当时,;当时,.
所以若有三个零点,则,解得.所以的取值范围为. 12分
19.解(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1+ln x,令f′(x)>0,解得x>,令f′(x)<0,解得0
故确定的极小值也是最小值,f(x)min==. 6分
(2)∵f(x)=xln x,当x≥1时,f(x)≥ax-1恒成立,等价于xln x≥ax-1(x≥1)恒成立,
等价于a≤ln x+(x≥1)恒成立,令g(x)=ln x+,则a≤g(x)min恒成立; 8分
∵g′(x)=-=,∴当x≥1时,g′(x)≥0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=1,
∴a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1]. 12分
20.(1)解:当时,,的定义域是,且,
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
所以在有极小值,无极大值. 4分
(2)解:因为,则,因为,
①当时,即当,则在上恒成立,此时在上单调递减,
所以,所以(舍去); 8分
②当时,即当时,由可得,由可得,
所以,函数在区间上单调递减,在上单调递增,
所以,所以. 综上,. 8分
21.解(1)函数的定义域为,.
若,,则在区间内为增函数;
若,令,得.则当时,,在区间内为增函数;当时,,在区间内为减函数.
(2)当时,.∵,则原不等式等价于,
令,则原不等式也等价于即.下面证明当时,恒成立.
设,则,
故在区间内为增函数,,即,
所以.
22.解(1)因为,则,可得,
即切点坐标为,切线斜率,所以切线方程为,即,
又因为,则,设直线与曲线的切点为,
可得,解得,所以a的值为.
(2)因为,,
可得,构建,
可知的定义域为,且,
构建,可知的定义域为,且,
因为在内单调递增,则在内单调递增,
且,所以在内存在唯一零点,
当时,,则在内单调递减;
当时,,则在内单调递增;
且,
所以在内存在两个零点,且,
当时,,则在内单调递增;
当时,,则在内单调递减;
且x趋近于0时,趋近于,
又因为,即,
可得,
构建,则,
可知在内单调递减,且,
所以在内单调递减,且,
即,所以在内恒成立,
故,即.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
A
D
A
D
B
题号
9
10
11
12
答案
BC
ABD
ABD
AD
x
0
2
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值
↘
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