四川省内江市威远中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

这是一份四川省内江市威远中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了若可导函数满足，则，已知，且，则实数a的值为，曲线在点处的切线的方程为，下列求导正确的是等内容，欢迎下载使用。

单选题(每个小题5分，共计40分)
1.若可导函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知，且，则实数a的值为( )
A．B．C．D．
3.曲线在点处的切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5.用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．120B．60C．48D．100
6.六人站一横排，由于甲和乙两人是好朋友，他们必须站在一起，则不同的站法数是（ ）.
A．240B．720C．600D．120
7.已知y=13x3-x在区间m,6-m2上有最小值，则实数m的取值范围是（ ）
A．-∞,5B．C．-2,5D．[-2,1)
8.已知函数 是定义在上的可导函数， 其导函数记为， 若对于任意实数， 有， 且， 则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（每小题5分，共计20分）
9.下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10.已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上是减函数
C．在区间内有2个极值点
D．曲线在点处的切线的斜率大于0
11.已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，
则下列函数中，存在“巧值点”的是（ ）
A．B．C．D．
12.已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题(每小题5分，共计20分)
14.已知函数在处取得极值5，则=.
15.函数的最大值为.
16.已知关于x的不等式：的解集为，则的最大值是．
解答题
17．已知函数．
(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)求函数f（x）的单调区间与极值；
18．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
19.已知函数f(x)＝xln x.
（1）求f(x)的最小值；
（2）若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；
20.已知函数.
(1)若，求在定义域内的极值；
(2)当时，若在上的最小值为，求实数的值．
21.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当,且为两个不相等的正数，证明：.
22．设函数，，其中e是自然对数的底数．
(1)若曲线在处的切线与曲线相切，求a的值；
(2)若，求证：
威远中学校高2025届高二下期第一次月考数学试卷参考答案
选择题
多选题
解答题
7 14. 3 15. 16.
四、解答题
17.（1），所以， 3分
因此曲线y = f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；
切线方程为 5分
（2）令，解得：x = 0或2．
所以 f（x）在，内是减函数，在内是增函数． 8分
因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，
且f（2）=；综上：的单调递增区间为，单调递减区间为，，
极小值为0，极大值为. 10分
18.（1）函数的导数，
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为. 4分
由（1）得：当时，取得极大值；
当时，取得极小值. 8分
由三次函数性质知：当时，；当时，.
所以若有三个零点，则，解得.所以的取值范围为. 12分
19.解（1）f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)>0，解得x>，令f′(x)<0，解得0故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
故确定的极小值也是最小值，f(x)min＝＝. 6分
（2）∵f(x)＝xln x，当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，等价于xln x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等价于a≤ln x＋(x≥1)恒成立，令g(x)＝ln x＋，则a≤g(x)min恒成立； 8分
∵g′(x)＝－＝，∴当x≥1时，g′(x)≥0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g（1）＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1]. 12分
20.（1）解：当时，，的定义域是，且，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在有极小值，无极大值. 4分
（2）解：因为，则，因为，
①当时，即当，则在上恒成立，此时在上单调递减，
所以，所以（舍去）； 8分
②当时，即当时，由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，所以. 综上，. 8分
21.解（1）函数的定义域为，.
若，，则在区间内为增函数；
若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.
（2）当时，.∵，则原不等式等价于，
令，则原不等式也等价于即.下面证明当时，恒成立.
设，则，
故在区间内为增函数，，即，
所以.
22.解（1）因为，则，可得，
即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即，
又因为，则，设直线与曲线的切点为，
可得，解得，所以a的值为.
（2）因为，，
可得，构建，
可知的定义域为，且，
构建，可知的定义域为，且，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
且，所以在内存在唯一零点，
当时，，则在内单调递减；
当时，，则在内单调递增；
且，
所以在内存在两个零点，且，
当时，，则在内单调递增；
当时，，则在内单调递减；
且x趋近于0时，趋近于，
又因为，即，
可得，
构建，则，
可知在内单调递减，且，
所以在内单调递减，且，
即，所以在内恒成立，
故，即.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
C
A
D
A
D
B
题号
9
10
11
12
答案
BC
ABD
ABD
AD
x
0
2
－
0
+
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘