2023-2024学年四川省内江市第六中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省内江市第六中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求，再求补集可得答案.
【详解】集合，
则.
故选：A.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、值域和对应关系对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.
B选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.
C选项，，所以两个函数是相同函数，符合题意.
D选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.
故选：C
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定是全称命题得解.
【详解】命题“，”是特称命题，其否定形式为:，．
故选：C.
4．已知实数，，，若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质可判断A BD，根据基本不等式可判断C.
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，，利用基本不等式知（由于，故等号不成立），故C错误；
对于D，，，故D正确；
故选：D
5．命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案.
【详解】由可得，
当时，，所以，
所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，
所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C，
故选：C
6．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线≤左侧的图形的面积为，则的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由已知条件写出的函数关系式，即可选择其图像.
【详解】因为是边长为2的正三角形，
当≤1时， ；
当≤2时，
所以.只有选项B中图像符合
故选：B.
【点睛】此题考查的是求函数解析式和由解析式选函数图像，属于基础题.
7．已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】首先求出函数定义域，再进一步求出的定义域.
【详解】因为函数定义域是，
∴
∴
∴函数定义域是
∴
又因为
所以的定义域为：.
故选：A.
【点睛】本题考查函数定义域的知识点，属于基础题型.
8．若函数满足对任意的，都有 成立，则称函数在区间上是“被约束的”．若函数在区间上是“被约束的”，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题设有对任意都成立且，根据二次函数的性质，讨论对称轴与的位置关系求的范围.
【详解】据题意得：对任意都成立.
由且得：.
因为开口向上且对称轴为，
当，即时，有，可得，
所以满足；
当，即时，，可得，
所以满足；
综上，的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．下列四个命题:其中正确的命题为（ ）
A．已知集合，集合，则
B．集合中有两个元素
C．由方程的所有实根构成的集合中的元素之和为2
D．记，，则
【答案】BD
【分析】对A，将集合，化简，再根据集合运算可判断；对B，根据条件求出集合中的元素可判断；对C，求出方程的根即可判断；对D，将集合中的分奇偶讨论即可判断与集合的关系.
【详解】对于A，，所以A选项错误；
对于B，因为集合，所以B选项正确；
对于C，由于，集合中只有一个元素，和为1，所以C选项错误；
对于D，对于集合A，当时，，
当时，，即，
所以D选项正确.
故选：BD.
10．若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围是
C．的取值范围是D．的取值范围是
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；
【详解】由，两式相加得，即，故A正确；
由，得，又，两式相加得，即，故B正确；
设，
所以，解得，则，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，故C正确，D错误.
故选：ABC.
11．函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．定义域为B．的值域是
C．方程的解为D．方程的解为
【答案】AC
【分析】根据的解析式可判断函数的定义域以及值域，判断A,B;讨论x为有理数或无理数，从而确定方程和的解，判断C,D.
【详解】由于函数，定义域为，A对；
函数的值域为，故B错；
当x为有理数时，，故方程即方程，则，
当x为无理数时，，故方程即方程，则，矛盾，
故方程的解为，∴C对；
当x为有理数时，，故方程即，即，
则x为有理数，
当x为无理数时，，故方程即方程，即，
则x为有理数，矛盾，
故的解为全体有理数，∴D错.
故选：AC.
12．已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】ABD
【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.
【详解】对于A，因为，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以xy的最大值为1，故A正确；
对于B，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为2，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据的解析式，依次代入与，即可得解.
【详解】因为，
所以，
则.
故答案为：.
14．若对任意实数，均有，求
【答案】/
【分析】利用方程组求解即可.
【详解】∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为：.
15．函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】设，则，，
所以，
因为，在上单调递减，
所以，所以函数的值域为．
故答案为：.
16．已知集合，，若中恰有一个整数，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分类讨论解一元二次不等式，结合数轴即可得到结果.
【详解】，
由，可得，
当时，，不适合题意，
当时，，不适合题意，
当时，，若中恰有一个整数，
则，即.
故答案为：
四、解答题
17．已知非空集合.
(1)当时，求；
(2)求能使成立的的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得，结合集合交集、并集的运算，即可求解；
（2）由，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：当时，集合，
由集合交集和并集的定义与运算，可得.
（2）解：由非空集合，
因为，可得，
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
18．已知命题：关于的方程有实数根， 命题．
(1)若命题是真命题， 求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围；
（2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
（2）解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
19．解答下列问题
(1)设，比较与的大小;
(2)若实数满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用作差、配方法即可得出与的大小;
（2）把转化为，利用基本不等式，得，解不等式即得.
【详解】（1）因为，
所以．
（2）∵，又∵，∴，令，则，
∴，即，
当且仅当时，即，取等号，
∴的取值范围是．
20．已知函数
(1)若，求实数a的值；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）根据，分，和三种情况讨论即可得出答案；
（2）分，和三种情况讨论，解不等式即可.
【详解】（1）解：①当时，，
解得，不合题意，舍去；
②当时，，即，
解得或，
因为，，所以符合题意；
③当时，，
解得，符合题意；
综合①②③知，当时，或；
（2）解：由，
得或或，
解得或，
故所求m的取值范围是.
五、应用题
21．华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完
(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元
【分析】（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；
（2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论.
【详解】（1）由题意得：，
故当时，，
当时，，
故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为：
.
（2）当时，，
故当时，取得最大值，最大值为万元；
当时，由基本不等式得：
（万元），
当且仅当，时，等号成立，
因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元.
六、解答题
22．已知函数．
(1)当，且时，求的值;
(2)若存在区间（为函数定义域），使在区间上的值域也为，则称为上的精彩函数，为函数的精彩区间．求是否存在精彩区间?如不存在，说明理由;
(3)若存在实数使得函数的定义域为时，值域为，则称区间为的一个“罗尔”区间．已知函数存在“罗尔”区间，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)不存在符合条件的实数a、b，理由见解析
(3)
【分析】（1）先通过分类讨论，去掉函数的绝对值符号，结合解析式与单调性可得答案.
（2）（3）将判断a、b是否存在转化为关于a、b相关方程有无解的问题，分a，；a，；，三种情况进行讨论.
【详解】（1）∵由已知可得，
∴在上为减函数，在上为增函数，
由且，可得且，得．
（2）若存在满足条件的实数a、b，则．
当时，在上为减函数，
故，即，解得，故此时不存在符合条件的实数a、b．
当时，在上是增函数，
故，即，又．
此时，a、b是方程的根，此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数a、b．
当时，
由于，而，故此时不存在符合条件的实数a、b．
综上可知，不存在符合条件的实数a、b．
（3）若存在实数，使得函数的定义域为时，值域为，且．
①当时，由于在上是减函数，故，
此时得，得与条件矛盾，所以a、b不存在．
②当，时，，，所以a、b不存在．
③故只有a，．
∵在上是增函数，∴，即
又，故a、b是方程的两个不等根．
即关于x的方程有两个大于1的不等实根．
设这两个根为、，则，．
∴，即，解得．
综上，m的范围是．
【点睛】关键点睛：涉及分段函数，函数单调性，一元二次方程根的分布等知识，主要方法为分类讨论.对于含有绝对值的函数常通过分类讨论处理，部分题目也可结合图像或考虑其几何意义.判断数字是否存在问题，常转化为判断相关数字所涉方程或不等式有无解的问题.