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2024-2025第一学期浙江省杭州市九年级数学期中预测试卷（解析版）
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一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．B．C．D．
如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，
则水深是（ ）
A．B．C．D．
4． 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AB是的直径，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7 . 在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有3个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，
那么可以推算出a大约是（ ）
A．12B．9C．4D．3
杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，
则此桥拱的半径是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
如图是二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x = -1，
给出四个结论：① b2＞4ac ；②b-2a = 0 ；③a + b + c＞0；
④若点B（-，y1），C（-，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．
其中正确结论是（ ）
A．①②④B．①④C．①③④D．②④
二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
11. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共个，除颜色外其他完全相同．
小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，
则口袋中红色球可能有 个．
12．如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是_____
如图，小明利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆的高为，测得，
则建筑物的高是 ．
如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ．
15. 如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于 ．
16. 在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点F．
（1）线段的长为 ；
（2）连接，若交于点，则 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 . 笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．
松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．
(1)请用树状图或列表的方法，表示松鼠走出笼子的所有可能路线（经过的两道门）．
(2)求松鼠经过E门出去的概率．
18．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
19．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点，满足，试求出点的坐标．
20．如图，在中，平分，．
(1)求证：；
(2)若求的长．
21. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
22.阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的圆形喷水池，水池中心处立着一个高为2m的实心石柱，
水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合．
为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度处，且离池面的高度为．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
(1)请结合题意写出下列点的坐标：A（_____），（______）．
(2)圆形大水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不落到水池外？
(3)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少m？
23. 【模型建立】
（1）如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），
连接，以为边作等边，连接，求证：．
【模型应用】
如图 2，在等边中，点M是延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
【模型迁移】
如图3，在等腰中，，，，点M是上的任意一点（不含端点B、C），
连结，以为边作等腰，使顶角．
连结．试探究与的数量关系，并说明理由．
24．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；
（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．B．C．D．
如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，
则水深是（ ）
A．B．C．D．
4． 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AB是的直径，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7 . 在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有3个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，
那么可以推算出a大约是（ ）
A．12B．9C．4D．3
杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，
则此桥拱的半径是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
如图是二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x = -1，
给出四个结论：① b2＞4ac ；②b-2a = 0 ；③a + b + c＞0；
④若点B（-，y1），C（-，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．
其中正确结论是（ ）
A．①②④B．①④C．①③④D．②④
二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
11. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共个，除颜色外其他完全相同．
小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，
则口袋中红色球可能有 个．
12．如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是_____
如图，小明利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆的高为，测得，
则建筑物的高是 ．
如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ．
15. 如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，．则阴影部分的面积等于 ．
16. 在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点F．
（1）线段的长为 ；
（2）连接，若交于点，则 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 . 笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．
松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．
(1)请用树状图或列表的方法，表示松鼠走出笼子的所有可能路线（经过的两道门）．
(2)求松鼠经过E门出去的概率．
18．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
19．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点，满足，试求出点的坐标．
20．如图，在中，平分，．
(1)求证：；
(2)若求的长．
21. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
22.阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的圆形喷水池，水池中心处立着一个高为2m的实心石柱，
水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合．
为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度处，且离池面的高度为．
【素材2】距离池面1.25米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
(1)请结合题意写出下列点的坐标：A（_____），（______）．
(2)圆形大水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不落到水池外？
(3)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少m？
23. 【模型建立】
（1）如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），
连接，以为边作等边，连接，求证：．
【模型应用】
如图 2，在等边中，点M是延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
【模型迁移】
如图3，在等腰中，，，，点M是上的任意一点（不含端点B、C），
连结，以为边作等腰，使顶角．
连结．试探究与的数量关系，并说明理由．
24．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；
（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．
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