2024年江苏省淮安市中考数学试卷(附答案)

这是一份2024年江苏省淮安市中考数学试卷(附答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列实数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1B．0C．D．﹣3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a•a3＝a4B．a2+a3＝a5C．a6÷a＝a6D．（a3）4＝a7
3．（3分）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在直线AB上，∠FEG＝90°，∠EGF＝28°（ ）
A．46°B．56°C．62°D．72°
5．（3分）用一根小木棒与两根长度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A．9cmB．7cmC．2cmD．1cm
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥4B．k＞4C．k≤4D．k＜4
7．（3分）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分），则下列整数与l最接近的是（ ）
A．14B．13C．12D．11
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，P是BC边上的动点（BP＞1），射线PB′与射线AD交于点E．下列说法不正确的是（ ）
A．当AB'⊥AB时，B′A＝B′E
B．当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形
C．在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2
D．连接BB'，则四边形ABPB′的面积始终等于AP•BB'
二、填空题
9．（3分）计算：＝ ．
10．（3分）分解因式：a2﹣16＝ ．
11．（3分）2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约380000km的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据380000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 个．
13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝50°，则的长为 ．
14．（3分）一辆轿车从A地驶向B地，设出发x h后，这辆轿车离B地路程为y km，则轿车从A地到达B地所用时间是 h．
15．（3分）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，CD＝GH，BC＝FG，AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示（单位：dm），可求得BC的长度是 dm．
16．（3分）如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，经反射后恰好经过顶点C．已知正六边形的边长为2，则EQ＝ ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：tan60°+（1﹣π）0+|﹣|；
（2）解不等式：≥+2．
18．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝3．
19．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在BD上
20．（8分）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
21．（8分）历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个（D．金湖水上森林；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个．
（1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是 ；
（2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率．
22．（8分）张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：
（1）根据以上数据把表格补充完整：
（2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由．
23．（8分）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°≈，sin37°≈，tan53°≈，tan37°≈）
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y＝（x＞0）的图像交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0）（1，3）．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点D在线段OB上，过点D且平行于x轴的直线交AB于点E，交反比例函数图像于点F．当DO＝2ED时
25．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，过点D作DE⊥BC，垂足为E
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝1，BF＝3，求sinC的值．
26．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（0，8），顶点为P．
（1）c＝ ；
（2）当a＝时，
①若顶点P到x轴的距离为10，则b＝ ；
②直线m过点（0，2b）且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h．随着b的增大，并说明理由；
（3）若二次函数图像交x轴于B、C两点，点B坐标为（8，0），且△ABC的面积不小于20
27．（14分）综合与实践
【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若AD是△ABC的角平分线，则线段AB、AC、BD、CD有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法
根据小智或小勇的方法，可以得到线段AB、AC、BD、CD的数量关系是 ．
【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，求的值．请你完成解答．
【迁移应用】（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段EF上作一点PFP．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【综合提升】（4）如图5，在△ABC中，AC＝4，∠BAC＝α（α＜90°），CD＝1，点E在BD的延长线上，∠BEC＝β（β＜α），请直接写出BD•DE的值（用含α，β的式子表示）．
D．
A．
A．
C．
B．
D．
B．
C．
2．
（a+4）（a﹣4）．
.8×108．
12．
．
2.5．
8.8．
故答案为：．
17．【解答】解：（1）tan60°+（1﹣π）0+|﹣|
＝+1+
＝2；
（2）≥+2，
不等式的两边同乘以6得，8x＞2（x﹣3）+4×6，
3x＞5x﹣6+12，
∴不等式的解集为x＞6．
18．【解答】解：（1+）÷
＝•
＝•＝x﹣2；
当x＝3时，
原式＝7﹣2＝1．
19．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
20．【解答】解：设有x个客人，y个盘子．
根据题意，得，
解得，
答：有30个客人，13个盘子．
21．【解答】解：（1）由题意可得．
小明从人文景点中选中河下古镇的概率是，
故答案为：；
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共有6种等可能性，
∴小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率为．
22．【解答】解：（1）路线一：15，16，18，18，19，20，
平均数：，众数为18；
路线二：11，11，12，16，21，22，
中位数：，极差：22﹣11＝11；
故答案为：18；18；11；
（2）路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，则选路线二．
23．【解答】解：如图1，作AF⊥CG，设AB＝x cm，
∵sin53°＝＝，
∴AF＝（60+x）•sin53°，
如图2，作AH⊥CG，则AC＝60+6x，
∴AH＝（60+2x）•sin37°，
∵AF＝AH，
∴（60+x）•sin53°＝（60+2x）•sin37°，
∴，
解得：x＝30．
答：每节拉杆的长度为30cm．
24．【解答】解：（1）把点C（1，3）代入y＝得，
3＝，
解得k2＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝，
把点A（﹣1，0），7）代入y＝k1x+b得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝x+；
（2）设E（m，m+），
∵EF平行于x轴，
∴D（0，m+），
∴OD＝m+，
∵DO＝2ED，
∴m+，
解得m＝﹣，
∴E（﹣，），
∴点F的纵坐标为，
把y＝代入y＝得，
∴点F的坐标为（，）．
25．【解答】（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝CB，
∴点D为AC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝∠DEC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：如上图，
∵DE⊥BC，BE＝1，
∴由勾股定理，得EF＝＝＝，
由（1）知BE∥OD，
∴△ODF∽△BEF，
∴＝＝，
∵BE＝1，BF＝3，
∴＝＝，
解得OB＝，DE＝，
∴AB＝3，
在Rt△BDE中，
由勾股定理，得BD＝＝＝，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠A，
∴sinC＝sinA＝＝．
26．【解答】解：（1）将点A坐标代入抛物线表达式得：c＝8，
故答案为：8；
（2）①当a＝时，抛物线的表达式为：y＝x2+bx+8，
则10＝|yP|，
即|8﹣|＝10，
解得：b＝±3，
故答案为：±3；
②顶点P的纵坐标为：c﹣＝8﹣b3，
则h＝|yP﹣2b|＝|8﹣b7﹣2b|＝|b2+3b﹣8|，
令h＝0，则b＝2或﹣4，
函数h的大致图象如下：
从图象看，当b＞2或﹣8＜b＜﹣1时，当b＜﹣4或﹣4＜b＜2时；
（3）设点C、B的横坐标为m，n，
将点B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+5得：0＝64a+8b+6，
则b＝﹣8a﹣1，
即抛物线的表达式为：y＝ax7+（﹣8a﹣1）x+5，
则m+n＝＝8+，
则BC＝|m﹣n|＝＝＝|8﹣|，
则△ABC的面积＝×BC×yA＝4BC≥20，
即|3﹣|≥5，
则8﹣≥5或7﹣，
解得：a≥或a≤．
27．【解答】解：（1）小智的思路补全：∵△ABD和△CBD是同高的，
∴＝，
∴；
小勇的思路补全：∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠E，
∴△BDA∽△CDE，
∴，
∵CE＝AC，
∴；
故答案为：DM＝DN；AC＝CE；；
（2）如图，过C作CM⊥AD于点M，则∠CMD＝∠BND＝90°，
设AB＝AC＝2a，
在Rt△ABN中，∠BAD＝45°，
∴sin45°＝，
∴BN＝a＝AN，
在Rt△ACM中，∠CAD＝60°，
∴sin60°＝，
∴CM＝a，
∵∠CMD＝∠BND＝90°，∠BDN＝∠CDM，
∴△BDN∽△CDM，
∴＝＝；
（3）如图所示，
作法提示：①作30°角：先作等边三角形EFG，再作∠GEF的角平分线；
②构造相似：再作QO＝QE，交EF的延长线于点O，且相似比为；
③作圆：以O为圆心，ON为半径作圆．
（4）如图，作BM⊥AC于点M，
在Rt△ABM中，∠BAC＝α，
∴BM＝AB•sinα＝5sinα，
AM＝AB•csα＝3csα，
∵AC＝4，CD＝1，
∴AD＝AC﹣CD＝4，
∴DM＝5csα﹣3，
在Rt△BDM中，BD8＝BM2+DM2，
即BD3＝（5sinα）2+（7csα﹣3）2＝34﹣30csα，
∴BD＝，
∵S△CBD＝＝，
∴BD•CN＝CD•BM，
两边同时平方得CN2•（34﹣30csα）＝14×（5sinα）2，
∴CN2＝，
∴CN＝，
在Rt△CDN中，CD8＝DN2+CN2，
代入得DN6＝1﹣＝＝，
∴DN＝，
在Rt△CNE中，∠E＝β，
EN＝＝，
∴DE＝EN﹣DN＝﹣，
∴BD•DE＝×（）＝． 平均数
中位数
众数
方差
极差
路线一

18

2.4
5
路线二
15.6

11
18.04

小智的思路和方法：
如图1，作 DM⊥AB，DN⊥AC
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ ．
∵S△ABD＝AB•DM，
S△ACD＝AC•DN，
∴＝．
再用另一种方式表示△ABD 与△ACD 的面积，即可推导出结论……
勇的思路和方法：
如图2，作CE∥AB，交AD的延长线于
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠E．
∴∠CAD＝∠E．
∴ ．
再通过证明△CDE∽△BDA 得到比例式，△BDA得到比例式，从而推导出结论……