2024年江苏省南通市中考数学试卷（附答案）

这是一份2024年江苏省南通市中考数学试卷（附答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ）
A．﹣3℃B．3℃C．﹣5℃D．5℃
2．（3分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ）
A．158.2×109B．15.82×1010
C．1.582×1011D．1.582×1012
3．（3分）计算×的结果是（ ）
A．9B．3C．3D．
4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．球B．棱柱C．圆柱D．圆锥
5．（3分）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，则∠1的度数为（ ）
A．41°B．51°C．49°D．59°
6．（3分）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（ ）
A．7200（1+x）2＝8450B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200D．8450（1﹣2x）＝7200
7．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）
8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
9．（3分）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h），下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，AH2＝AB•AE请对两位同学的发现作出评判（ ）
A．小明正确，小丽错误B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确D．小明、小丽都错误
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝ ．
12．（3分）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 cm2．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ．
14．（4分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，则旗杆AC的高度为 m．
15．（4分）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
16．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上 ．
18．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；
（2）解方程﹣1＝．
20．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）
50个家庭去年月均用水量频数分布表
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
21．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E
22．（10分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 ；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
23．（10分）如图，△ABC中，AB＝3，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时
24．（12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
信息二
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
25．（13分）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上0＝．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
26．（13分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α ．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB•AC之间的数量关系
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，BC分别交于M，N两点．请补全图形+的值是否变化？
A．
C．
B．
D．
C．
A．
D．
B．
D．
C．
ax﹣ay＝a（x﹣y）．
12π．
k＜1．
2．
．
R≥3.6．
3．
．
解：（1）2m（m﹣1）﹣m（m+1）
＝m8﹣2m﹣m2﹣m
＝﹣7m；
（2）﹣1＝，
8x﹣（3x+3）＝6x，
3x﹣3x﹣5＝2x，
∴x＝，
经检验，x＝．
解：（1）由题意得，C组的频数n＝．
∴B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣4＝20．
故答案为：20；15．
（2）由题意，根据中位数的意义，
∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．
又∵A组频数为7，B组频数为20，
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组．
故答案为：B．
（3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.3吨的家庭数有7+20＝27（个），
∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.2吨的家庭数有：1200×＝648（个）．
证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）＝，
故答案为：；
（2）
∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有5种情况，
∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）＝．
解：（1）∵AB＝3，AC＝4，
∴AC4+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD＝，
S＝S△ABC﹣S扇形＝；
（2）当C，A，P三点共线时，
∵AP＝，AB＝8，
∴BP＝．
解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
∴，
∴，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
∴80a+60（10﹣a）≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∴当a＝2时，每天分拣快递的件数最多为200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
解：（1）若a＝﹣1，b＝35+（x﹣3）2＝5x2﹣4x+10，
∵当x＝﹣＝5时，
∴x0＝1；
（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，
∴b＝﹣，
∴y＝（x﹣a）2+（x+）2＝2x6﹣（2a﹣）x+a6+，
∵x2＝﹣＝，
∴a1＝2，a2＝﹣1，
当a＝2时，点P到y轴的距离为2；
当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1；
综上所述，点P到y轴的距离为6或1；
（3）∵a2﹣4a﹣2b+3＝8，
∴b＝，
由题意得：x0＝＝，
∵1≤x0＜8，
∴1≤＜3，
整理得：2≤a2＜9，
∴﹣8＜a≤﹣1或1≤a＜6，
∵a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或5或2，共4个．
解：（1）如图③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝，
∴AC＝AB＝，
两腰之和为AB+AC＝，两腰之积为AB•AC＝×＝，
猜想：AB+AC＝2，
证明：如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝＝，
∴AB+AC＝，AB•AC＝，
∴AB+AC＝7AB•AC•csα；
故答案为：，，，AB+AC＝7AB•AC•csα；
（2）AB+AC＝AB•AC．
证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CG⊥AB于G，
则DE＝AD•sin∠BAD＝1×sin30°＝，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝，
在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝AC•sin60°＝，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB•AB•+，
∴AB•AC＝AB+AC；
（3）补全图形如图所示：
设∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝8α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如图，过点E作EF⊥AB于F，过点N作NG⊥AB于G，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴BM•NG＝BN•EH，
∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，
∴EF＝EH，
∴BM•BN•sin72°＝（BM+BN）•EH，
∴＝＝+，
∵＝sin∠CBD＝sin36°，
∴EH＝BE•sin36°，
∴+＝，
∵BE为定长，sin36°和sin72°为定值，
∴为定值，
即+为定值． 组别
家庭月均用水量（单位：吨）
频数
A
2.0≤t＜3.4
7
B
3.4≤t＜4.8
m
C
4.8≤t＜6.2
n
D
6.2≤t＜7.6
6
E
7.6≤t＜9.0
2
合计
50
A型机器人台数
B型机器人台数
总费用（单位：万元）
1
3
260
3
2
360
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；
B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
图序
角平分线AD的长
∠BAD的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
60°
2
4
4
图②
1
45°
2
图③
1
30°