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所属成套资源：第二十二章二次函数综合练习题
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二次函数与一元二次方程试卷(解析版)
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这是一份二次函数与一元二次方程试卷(解析版)，共44页。
专题22.5 二次函数与一元二次方程 目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc26626" 【典型例题】 PAGEREF _Toc26626 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc6862" 【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】 PAGEREF _Toc6862 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10324" 【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】 PAGEREF _Toc10324 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc28533" 【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Toc28533 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26281" 【考点四 图象法解一元二次不等式】 PAGEREF _Toc26281 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc2105" 【考点五 二次函数与x轴的交点问题】 PAGEREF _Toc2105 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1841" 【考点六 二次函数与x轴的截线长】 PAGEREF _Toc1841 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc13242" 【过关检测】 PAGEREF _Toc13242 \h 18【典型例题】【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】例题：（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ．【变式训练】1．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ．2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ．3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ．【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ．【变式训练】1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ．2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ．3．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ．【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】例题：（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（ ）A． B． C． D．2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）A． B．C． D．3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解：由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ）A． B． C． D．【考点四 图象法解一元二次不等式】例题：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．【变式训练】1．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）A． B．C．且 D．或2．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点C0,−3， (1)求该二次函数的解析式；(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．【考点五 二次函数与x轴的交点问题】例题：（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ．【变式训练】1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（ ）A．没有交点 B．只有一个交点C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点2．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中，(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象和x轴有两个交点．(1)求实数的取值范围；(2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．(3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围．【考点六 二次函数与x轴的截线长】例题：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点．(1)若，请求出函数解析式；(2)设直线与该抛物线的交点为，求的长．【变式训练】1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习） 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)若为二次函数的图象上一点，求的值；(2)求的长．2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴． (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)求的长．3．（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线．(1)求b和c的值．(2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由．(3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比．【过关检测】一、单选题1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）二次函数自变量和函数量的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（ ）A． B． C．或 D．3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）A．B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5C．当时，D．直线与二次函数图象有两个交点4．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题5．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ．6．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ；7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ．8．（2023·上海·模拟预测）关于的二次函数的结论①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．②若图象过点，点，点，则当时，．③若，对应的的整数值有4个，则或．④当且时，，则．其中错误的序号为 ．三、解答题9．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的解析式；(2)根据图象回答：当时，的取值范围；(3)当时，求的取值范围．10．（23-24九年级上·北京石景山·期中）在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标）(1)求交点和点的坐标；(2)求当时，的最大值；(3)直接写出的解集．11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的表达式为，且抛物线经过，，三点，直线的表达式为．(1)求抛物线的表达式．(2)求证：抛物线与直线无公共点．(3)若与直线平行的直线与抛物线只有一个公共点，求点的坐标．12．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象如图所示．(1)利用图象判断方程较大的解在哪两个整数范围内？(2)若关于x的方程有四个不等实数根，求m的取值范围．13．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集．(3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．14．（2024·山东临沂·模拟预测）已知关于x 的二次函数（m，n为常数）(1)若二次函数图象经过A，B两点，求二次函数的表达式；(2)若，试说明该函数图象与x 轴必有两个不同的交点；(3)若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值专题22.5 二次函数与一元二次方程 目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc26626" 【典型例题】 PAGEREF _Toc26626 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc6862" 【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】 PAGEREF _Toc6862 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10324" 【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】 PAGEREF _Toc10324 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc28533" 【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Toc28533 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26281" 【考点四 图象法解一元二次不等式】 PAGEREF _Toc26281 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc2105" 【考点五 二次函数与x轴的交点问题】 PAGEREF _Toc2105 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1841" 【考点六 二次函数与x轴的截线长】 PAGEREF _Toc1841 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc13242" 【过关检测】 PAGEREF _Toc13242 \h 18【典型例题】【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】例题：（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ．【答案】，【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，代入函数解析式求出的值即可．【详解】解：当时，，解得：，二次函数的图象与x轴的交点坐标是，，故答案为：，．【变式训练】1．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ．【答案】【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，理解抛物线与x轴有交点，即，与y轴有交点即是解题的关键．令，代入抛物线的解析式求出x值，写出坐标形式即可．【详解】解：把代入，得：，解得：，则抛物线与x轴的交点坐标为．故答案为：．2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ．【答案】，【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，正确利用时求出的值是解题关键．直接利用抛物线与轴交点求法：令，得到一元二次方程求解即可得到答案．【详解】解：当时，则，解得：，，故抛物线与轴的交点坐标分别为：，．故答案为：，．3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ．【答案】【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解．【详解】解：∵，∴二次函数图象的对称轴为直线，∵的图象与轴的一个交点为，∴的图象与轴的另一个交点为．故答案为：【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ．【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标．【详解】解：令，得，抛物线与轴的交点坐标是：，令，即，解得，，所以抛物线与轴交点的坐标是，．故答案为：；，．【变式训练】1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ．【答案】9【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题．直接令，即可求出抛物线与y轴交点的纵坐标．【详解】当时，，∴二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是9．故答案为：9．2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键．令，解得的值，即可获得答案．【详解】解：对于二次函数，令，可得，所以，该函数的图像与轴交点坐标为．故答案为：．3．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ．【答案】【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”得到新的二次函数，再令即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．【详解】解：根据平移得新抛物线的解析为：，令，则，∴新抛物线与轴的交点为，故答案为：．【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】例题：（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查估算一元二次方程的解，是解本题的方法．本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解．利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当时，；当时，，即的一个根在2和3之间．【详解】解：由可得：，根据表内数据，可以发现：的值随着x的增大而增大，且：当时，；当时，；∴一元二次方程的其中一个解x的范围是，故选：D．【变式训练】1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解．根据表格可知，方程的根，而当时，更接近于0，据此分析可得近似解．【详解】解：，整理得：，当时，，当时，，则方程的根，而当时，更接近于0，∴原方程的一个近似解为1.4．故选：B2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，根据表格中数据的变化情况进行估计即可．【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解x的取值范围为．故选：B．3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解：由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可．【详解】解：由表格可知， 当时，与时，∴时，， 故选C．【考点四 图象法解一元二次不等式】例题：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，则当时，x的取值范围为或．故选：B．【变式训练】1．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）A． B．C．且 D．或【答案】A【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，∴不等式的解集是．故选：A．2．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解．【详解】解：由图象得：，，对称轴是，∴，∴，故A正确，不符合题意；∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是，∴另一个交点，∴不等式的解集是，故B错误，符合题意；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴，故C正确，不符合题意；∵函数图象与x轴的两个交点为和，∴方程的解是，，故D正确，不符合题意；故选：B．3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点C0,−3， (1)求该二次函数的解析式；(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．【答案】(1)(2)(3)6【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．（1）用待定系数法求解即可．（2）根据二次函数图象可得出结论．（3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论．【详解】（1）将和点C0,−3代入二次函数得：，解得：，∴二次函数解析式为：．（2）∵当时，的图象在的下方，∴不等式的解集为：．（3）当时，，解得，∴，∴．∴．【考点五 二次函数与x轴的交点问题】例题：（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键在于理解抛物线与轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式小于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出的值．【详解】解：抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，，解得，故答案为：．【变式训练】1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（ ）A．没有交点 B．只有一个交点C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点【答案】C【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：对于抛物线，当时，即，∵∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点，故选：C．2．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中，(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标(2)见解析(3)【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解；（3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解．【详解】（1）解：二次函数图象经过，，，抛物线为，，顶点坐标为；（2）证明：∴二次函数图象与轴总有两个公共点；（3）解：对称轴直线，∴即．∵，∴，∵抛物线过，∴，即，∵，∴，解得，即∵抛物线开口向上，∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．∵，∴，当，解得（不合题意舍去）；当，解得，∴．【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象和x轴有两个交点．(1)求实数的取值范围；(2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．(3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质：（1）根据题意，得到，进行求解即可；（2）求出的值，将一般式转化为顶点式，即可得出结果；（2）根据增减性，求出函数值的取值范围即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点，∴，解得：；（2）∵，∴的最大整数解为：2，∴，∴顶点坐标为：；（3）∵，∴对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴当时，值最小为：，当时，值最大为：，∴．【考点六 二次函数与x轴的截线长】例题：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点．(1)若，请求出函数解析式；(2)设直线与该抛物线的交点为，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，（1）根据题意可得，列方程，即可解答；（2）列方程，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，结合，即可解答．【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点，方程有两个相同的解，根据，可得，可得，，，二次函数解析式为；（2）解：根据题意可列方程，设点的横坐标为，可得，，根据完全平方公式，可得，（1）中得到，，．【变式训练】1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习） 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)若为二次函数的图象上一点，求的值；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）将代入二次函数解析式，即可求解；（2）令，可求出，，即可求解．【详解】（1）解：当时，；（2）解：当时，，解得：，，，，．【点睛】本题考查了函数图象上的点坐标，函数图象与坐标轴的交点，图象与x轴的截线长，理解函数图象上点的坐标意义及坐标求法是解题的关键．2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴． (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)求的长．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）将，代入抛物线，利用待定系数法可求得解析式，配成顶点式为，进而可得顶点坐标；（2）根据直线轴，将代入，求得点的坐标为，进而可求解．【详解】（1）解：抛物线过点，，将代入，得解得，则该抛物线的函数表达式为，配成顶点式为，∴顶点坐标为．（2）∵直线轴，则将代入，得．解得，．∴点的坐标为．∴．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求得函数解析式是解决问题的关键．3．（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线．(1)求b和c的值．(2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由．(3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比．【答案】(1)，；(2)，理由见解析；(3)2．【分析】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值；（2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案；（3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴；（2）解：当时，函数值y的取值范围为：；理由：由（1）可知抛物线解析式为，∵，∴抛物线开口向上，∵抛物线的对称轴为直线，∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为，∵，∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为，∴当时，函数值y的取值范围为：；（3）解：联立得：，整理得：，设点A，B的横坐标分别为，则，，∴，∵，∴，即线段的长为，联立得：，整理得：，设点C，D的横坐标分别为，则，，∴，∵，∴，即线段的长为，∴线段与线段的长度之比为：．【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．本题现将点代入，得到和的关系，于是解析式变为：，令，由于，于是，解方程即可．【详解】把点代入得，，∴解析式变为：，令，由于， ∴，解得：，，此抛物线与轴的另一个交点的坐标是，故选：．2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）二次函数自变量和函数量的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（ ）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识．从表格中获取正确的信息是解题的关键．由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上，由表格可知，当时，，即．【详解】解：由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上，由表格可知，当时，，即， 故选：D．3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）A．B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5C．当时，D．直线与二次函数图象有两个交点【答案】D【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，∴二次函数解析式为，即，故A错误；∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点，∴图象与轴交于另一点，∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误；将代入，得∴当时，；当时，，∵图象开口向上，顶点坐标为，∴函数有最小值，∴当时，，故C错误；令，整理得，∴，∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确；故选：D．4．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键．【详解】解：∵抛物线过点、，∴抛物线的对称轴为，又∵抛物线过点，1,0，∴，∴抛物线与轴的交点为、1,0，设抛物线解析式为，整理得：又∵二次函数∴，解得：，∴二次函数解析式为，∴当时，，当时，，当时，最大值，∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，∴．故选：C．二、填空题5．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ．【答案】【分析】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题．【详解】解：，，，，抛物线与轴交点的个数为，当时，，抛物线与轴交点的个数为，抛物线与坐标轴交点的个数为；故答案为：3．6．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ；【答案】，【分析】本题考查用函数图象解一元二次方程．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值．【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为，∴方程的根为，，故答案为：，．7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，∵抛物线与轴的一个交点坐标为，∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，当时，，故答案为：．8．（2023·上海·模拟预测）关于的二次函数的结论①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．②若图象过点，点，点，则当时，．③若，对应的的整数值有4个，则或．④当且时，，则．其中错误的序号为 ．【答案】①③【分析】本题主要考查了二次函数的性质．先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，y随x的增大而增大，得出，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出y随x的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出n的值，即可判断④．【详解】解：①∵二次函数，∴该函数的对称轴为直线，∵，，∴，即和关于直线对称，∴对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意；②把代入得： ，解得：，∴二次函数表达式为，∵，该函数的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，∴，∴，故②不正确，不符合题意；③∵，∴当时，，当时，，当时，∵，∴y随x的增大而增大，∵，对应的的整数值有个，∴四个整数解为：，∴，解得：，当时，∵，∴y随x的增大而减小，∵，对应的的整数值有个，∴四个整数解为：，∴，解得：，综上：或，故③正确，符合题意；④当且时，y随x的增大而减小，∵，∴当时，，解得：，∴，当时，，解得：，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③，故答案为：①③．三、解答题9．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的解析式；(2)根据图象回答：当时，的取值范围；(3)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答．（2）运用数形结合思想，即可作答．（3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴二次函数解析式为．（2）解：依题意，结合图象，当或时，．（3）解：∵二次函数解析式为．∴，∴当时，y有最小值；当时，；当时，y的取值范围为．10．（23-24九年级上·北京石景山·期中）在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标）(1)求交点和点的坐标；(2)求当时，的最大值；(3)直接写出的解集．【答案】(1)，(2)9(3)【分析】本题主要靠除了你一次函数与二次函数综合：（1）联立两函数解析式，求出对应的x、y的值即可得到答案；（2）根据二次函数的性质求解即可；（3）找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可．【详解】（1）解：联立，解得或，∵点的横坐标小于点的横坐标，∴，；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，∴离对称轴越远函数值越大，∵，∴当时，且时，有最大值，最大值为；（3）解：由函数图象可知，当时，．11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的表达式为，且抛物线经过，，三点，直线的表达式为．(1)求抛物线的表达式．(2)求证：抛物线与直线无公共点．(3)若与直线平行的直线与抛物线只有一个公共点，求点的坐标．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了二次函数的与一次函数的交点问题：（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）联立两函数解析式可得，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（3）联立两函数解析式可得，利用一元二次方程根的判别式，可得到，即可求解．【详解】（1）解：把，，代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）解：联立：，得：，整理得：，∵，∴方程没有实数根，∴抛物线与直线无公共点；（3）解：联立：，得：，整理得：，∵直线与抛物线只有一个公共点，∴方程只有一个实数根，∴，解得：，∴原方程为，解得：，即点P的横坐标为，∴点P的坐标为．12．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象如图所示．(1)利用图象判断方程较大的解在哪两个整数范围内？(2)若关于x的方程有四个不等实数根，求m的取值范围．【答案】(1)方程较大的解在整数2和3之间(2)当时，方程有四个不等实数根【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性．（1）把方程看作二次函数的图象与直线的图象的交点横坐标，画出图像根据图像求解即可．（2）把方程看作二次函数与直线的图象的交点横坐标，画出图像根据图像求解即可．【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线，∵可以整理为的形式，故可以把方程看作二次函数的图象与直线的图象的交点横坐标，如图，根据图象可得二次函数与直线的交点横坐标在和上，∴方程较大的解在整数2和3之间．（2），其顶点坐标为：，如图，画出函数的图象，可以把方程看作二次函数与直线的图象的交点横坐标，根据图象可得，当二次函数与直线有四个交点时，，∴当时，方程有四个不等实数根．13．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集．(3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标为(2)或(3)或【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可；（2）联立方程组求得，再根据图象求解即可；（3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可．【详解】（1）解：将点代入，得，∴．当时，，解得，∴点．将点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限，∴，解得（不符合题意，舍去）或，∴，∴，∴点A的坐标为，观察图象，得不等式的解集为或；（3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点；当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点，∴n的取值范围为或．14．（2024·山东临沂·模拟预测）已知关于x 的二次函数（m，n为常数）(1)若二次函数图象经过A，B两点，求二次函数的表达式；(2)若，试说明该函数图象与x 轴必有两个不同的交点；(3)若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值【答案】(1)(2)见解析(3)或3．【分析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求解析式；（2）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断；（3）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值．【详解】（1）将代入，得，解得，∴二次函数的表达式是；（2）∵，∴，∴函数解析式为，∵，∴，即，∴该函数图象与x轴必有两个不同的交点；（3）∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，∴当时， 当时有最大值，即；当时有最小值，，∵，∴，解得；当时，当时有最大值，即；当时有最小值，，∵，∴，解得或（舍去）综上，k的值为或3． xx…1.21.31.41.51.6…y…0.250.76…x y x1.41.51.61.71.80.190.44x 012y85458…………xx…1.21.31.41.51.6…y…0.250.76…x y x1.41.51.61.71.80.190.44x 012y85458…………
专题22.5 二次函数与一元二次方程 目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc26626" 【典型例题】 PAGEREF _Toc26626 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc6862" 【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】 PAGEREF _Toc6862 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10324" 【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】 PAGEREF _Toc10324 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc28533" 【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Toc28533 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26281" 【考点四 图象法解一元二次不等式】 PAGEREF _Toc26281 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc2105" 【考点五 二次函数与x轴的交点问题】 PAGEREF _Toc2105 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1841" 【考点六 二次函数与x轴的截线长】 PAGEREF _Toc1841 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc13242" 【过关检测】 PAGEREF _Toc13242 \h 18【典型例题】【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】例题：（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ．【变式训练】1．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ．2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ．3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ．【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ．【变式训练】1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ．2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ．3．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ．【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】例题：（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）A． B． C． D．【变式训练】1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（ ）A． B． C． D．2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）A． B．C． D．3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解：由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ）A． B． C． D．【考点四 图象法解一元二次不等式】例题：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．【变式训练】1．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）A． B．C．且 D．或2．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点C0,−3， (1)求该二次函数的解析式；(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．【考点五 二次函数与x轴的交点问题】例题：（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ．【变式训练】1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（ ）A．没有交点 B．只有一个交点C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点2．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中，(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象和x轴有两个交点．(1)求实数的取值范围；(2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．(3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围．【考点六 二次函数与x轴的截线长】例题：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点．(1)若，请求出函数解析式；(2)设直线与该抛物线的交点为，求的长．【变式训练】1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习） 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)若为二次函数的图象上一点，求的值；(2)求的长．2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴． (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)求的长．3．（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线．(1)求b和c的值．(2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由．(3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比．【过关检测】一、单选题1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）二次函数自变量和函数量的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（ ）A． B． C．或 D．3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）A．B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5C．当时，D．直线与二次函数图象有两个交点4．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题5．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ．6．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ；7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ．8．（2023·上海·模拟预测）关于的二次函数的结论①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．②若图象过点，点，点，则当时，．③若，对应的的整数值有4个，则或．④当且时，，则．其中错误的序号为 ．三、解答题9．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的解析式；(2)根据图象回答：当时，的取值范围；(3)当时，求的取值范围．10．（23-24九年级上·北京石景山·期中）在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标）(1)求交点和点的坐标；(2)求当时，的最大值；(3)直接写出的解集．11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的表达式为，且抛物线经过，，三点，直线的表达式为．(1)求抛物线的表达式．(2)求证：抛物线与直线无公共点．(3)若与直线平行的直线与抛物线只有一个公共点，求点的坐标．12．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象如图所示．(1)利用图象判断方程较大的解在哪两个整数范围内？(2)若关于x的方程有四个不等实数根，求m的取值范围．13．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集．(3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．14．（2024·山东临沂·模拟预测）已知关于x 的二次函数（m，n为常数）(1)若二次函数图象经过A，B两点，求二次函数的表达式；(2)若，试说明该函数图象与x 轴必有两个不同的交点；(3)若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值专题22.5 二次函数与一元二次方程 目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc26626" 【典型例题】 PAGEREF _Toc26626 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc6862" 【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】 PAGEREF _Toc6862 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc10324" 【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】 PAGEREF _Toc10324 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc28533" 【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Toc28533 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26281" 【考点四 图象法解一元二次不等式】 PAGEREF _Toc26281 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc2105" 【考点五 二次函数与x轴的交点问题】 PAGEREF _Toc2105 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1841" 【考点六 二次函数与x轴的截线长】 PAGEREF _Toc1841 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc13242" 【过关检测】 PAGEREF _Toc13242 \h 18【典型例题】【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】例题：（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ．【答案】，【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，代入函数解析式求出的值即可．【详解】解：当时，，解得：，二次函数的图象与x轴的交点坐标是，，故答案为：，．【变式训练】1．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ．【答案】【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，理解抛物线与x轴有交点，即，与y轴有交点即是解题的关键．令，代入抛物线的解析式求出x值，写出坐标形式即可．【详解】解：把代入，得：，解得：，则抛物线与x轴的交点坐标为．故答案为：．2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ．【答案】，【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，正确利用时求出的值是解题关键．直接利用抛物线与轴交点求法：令，得到一元二次方程求解即可得到答案．【详解】解：当时，则，解得：，，故抛物线与轴的交点坐标分别为：，．故答案为：，．3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ．【答案】【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解．【详解】解：∵，∴二次函数图象的对称轴为直线，∵的图象与轴的一个交点为，∴的图象与轴的另一个交点为．故答案为：【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ．【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标．【详解】解：令，得，抛物线与轴的交点坐标是：，令，即，解得，，所以抛物线与轴交点的坐标是，．故答案为：；，．【变式训练】1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ．【答案】9【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题．直接令，即可求出抛物线与y轴交点的纵坐标．【详解】当时，，∴二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是9．故答案为：9．2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ．【答案】【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键．令，解得的值，即可获得答案．【详解】解：对于二次函数，令，可得，所以，该函数的图像与轴交点坐标为．故答案为：．3．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ．【答案】【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”得到新的二次函数，再令即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．【详解】解：根据平移得新抛物线的解析为：，令，则，∴新抛物线与轴的交点为，故答案为：．【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】例题：（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查估算一元二次方程的解，是解本题的方法．本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解．利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当时，；当时，，即的一个根在2和3之间．【详解】解：由可得：，根据表内数据，可以发现：的值随着x的增大而增大，且：当时，；当时，；∴一元二次方程的其中一个解x的范围是，故选：D．【变式训练】1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解．根据表格可知，方程的根，而当时，更接近于0，据此分析可得近似解．【详解】解：，整理得：，当时，，当时，，则方程的根，而当时，更接近于0，∴原方程的一个近似解为1.4．故选：B2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，根据表格中数据的变化情况进行估计即可．【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解x的取值范围为．故选：B．3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解：由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可．【详解】解：由表格可知， 当时，与时，∴时，， 故选C．【考点四 图象法解一元二次不等式】例题：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，则当时，x的取值范围为或．故选：B．【变式训练】1．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）A． B．C．且 D．或【答案】A【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，∴不等式的解集是．故选：A．2．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解．【详解】解：由图象得：，，对称轴是，∴，∴，故A正确，不符合题意；∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是，∴另一个交点，∴不等式的解集是，故B错误，符合题意；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴，故C正确，不符合题意；∵函数图象与x轴的两个交点为和，∴方程的解是，，故D正确，不符合题意；故选：B．3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点C0,−3， (1)求该二次函数的解析式；(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．【答案】(1)(2)(3)6【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．（1）用待定系数法求解即可．（2）根据二次函数图象可得出结论．（3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论．【详解】（1）将和点C0,−3代入二次函数得：，解得：，∴二次函数解析式为：．（2）∵当时，的图象在的下方，∴不等式的解集为：．（3）当时，，解得，∴，∴．∴．【考点五 二次函数与x轴的交点问题】例题：（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键在于理解抛物线与轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式小于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出的值．【详解】解：抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，，解得，故答案为：．【变式训练】1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（ ）A．没有交点 B．只有一个交点C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点【答案】C【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：对于抛物线，当时，即，∵∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点，故选：C．2．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中，(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标(2)见解析(3)【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解；（3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解．【详解】（1）解：二次函数图象经过，，，抛物线为，，顶点坐标为；（2）证明：∴二次函数图象与轴总有两个公共点；（3）解：对称轴直线，∴即．∵，∴，∵抛物线过，∴，即，∵，∴，解得，即∵抛物线开口向上，∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．∵，∴，当，解得（不合题意舍去）；当，解得，∴．【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象和x轴有两个交点．(1)求实数的取值范围；(2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．(3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质：（1）根据题意，得到，进行求解即可；（2）求出的值，将一般式转化为顶点式，即可得出结果；（2）根据增减性，求出函数值的取值范围即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点，∴，解得：；（2）∵，∴的最大整数解为：2，∴，∴顶点坐标为：；（3）∵，∴对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，∴当时，值最小为：，当时，值最大为：，∴．【考点六 二次函数与x轴的截线长】例题：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点．(1)若，请求出函数解析式；(2)设直线与该抛物线的交点为，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，（1）根据题意可得，列方程，即可解答；（2）列方程，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，结合，即可解答．【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点，方程有两个相同的解，根据，可得，可得，，，二次函数解析式为；（2）解：根据题意可列方程，设点的横坐标为，可得，，根据完全平方公式，可得，（1）中得到，，．【变式训练】1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习） 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)若为二次函数的图象上一点，求的值；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）将代入二次函数解析式，即可求解；（2）令，可求出，，即可求解．【详解】（1）解：当时，；（2）解：当时，，解得：，，，，．【点睛】本题考查了函数图象上的点坐标，函数图象与坐标轴的交点，图象与x轴的截线长，理解函数图象上点的坐标意义及坐标求法是解题的关键．2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴． (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)求的长．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）将，代入抛物线，利用待定系数法可求得解析式，配成顶点式为，进而可得顶点坐标；（2）根据直线轴，将代入，求得点的坐标为，进而可求解．【详解】（1）解：抛物线过点，，将代入，得解得，则该抛物线的函数表达式为，配成顶点式为，∴顶点坐标为．（2）∵直线轴，则将代入，得．解得，．∴点的坐标为．∴．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求得函数解析式是解决问题的关键．3．（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线．(1)求b和c的值．(2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由．(3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比．【答案】(1)，；(2)，理由见解析；(3)2．【分析】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值；（2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案；（3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴；（2）解：当时，函数值y的取值范围为：；理由：由（1）可知抛物线解析式为，∵，∴抛物线开口向上，∵抛物线的对称轴为直线，∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为，∵，∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为，∴当时，函数值y的取值范围为：；（3）解：联立得：，整理得：，设点A，B的横坐标分别为，则，，∴，∵，∴，即线段的长为，联立得：，整理得：，设点C，D的横坐标分别为，则，，∴，∵，∴，即线段的长为，∴线段与线段的长度之比为：．【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键．本题现将点代入，得到和的关系，于是解析式变为：，令，由于，于是，解方程即可．【详解】把点代入得，，∴解析式变为：，令，由于， ∴，解得：，，此抛物线与轴的另一个交点的坐标是，故选：．2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）二次函数自变量和函数量的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（ ）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识．从表格中获取正确的信息是解题的关键．由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上，由表格可知，当时，，即．【详解】解：由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上，由表格可知，当时，，即， 故选：D．3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）A．B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5C．当时，D．直线与二次函数图象有两个交点【答案】D【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，∴二次函数解析式为，即，故A错误；∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点，∴图象与轴交于另一点，∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误；将代入，得∴当时，；当时，，∵图象开口向上，顶点坐标为，∴函数有最小值，∴当时，，故C错误；令，整理得，∴，∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确；故选：D．4．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键．【详解】解：∵抛物线过点、，∴抛物线的对称轴为，又∵抛物线过点，1,0，∴，∴抛物线与轴的交点为、1,0，设抛物线解析式为，整理得：又∵二次函数∴，解得：，∴二次函数解析式为，∴当时，，当时，，当时，最大值，∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，∴．故选：C．二、填空题5．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ．【答案】【分析】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题．【详解】解：，，，，抛物线与轴交点的个数为，当时，，抛物线与轴交点的个数为，抛物线与坐标轴交点的个数为；故答案为：3．6．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ；【答案】，【分析】本题考查用函数图象解一元二次方程．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值．【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为，∴方程的根为，，故答案为：，．7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，∵抛物线与轴的一个交点坐标为，∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，当时，，故答案为：．8．（2023·上海·模拟预测）关于的二次函数的结论①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．②若图象过点，点，点，则当时，．③若，对应的的整数值有4个，则或．④当且时，，则．其中错误的序号为 ．【答案】①③【分析】本题主要考查了二次函数的性质．先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，y随x的增大而增大，得出，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出y随x的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出n的值，即可判断④．【详解】解：①∵二次函数，∴该函数的对称轴为直线，∵，，∴，即和关于直线对称，∴对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意；②把代入得： ，解得：，∴二次函数表达式为，∵，该函数的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，∴，∴，故②不正确，不符合题意；③∵，∴当时，，当时，，当时，∵，∴y随x的增大而增大，∵，对应的的整数值有个，∴四个整数解为：，∴，解得：，当时，∵，∴y随x的增大而减小，∵，对应的的整数值有个，∴四个整数解为：，∴，解得：，综上：或，故③正确，符合题意；④当且时，y随x的增大而减小，∵，∴当时，，解得：，∴，当时，，解得：，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③，故答案为：①③．三、解答题9．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的解析式；(2)根据图象回答：当时，的取值范围；(3)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答．（2）运用数形结合思想，即可作答．（3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴二次函数解析式为．（2）解：依题意，结合图象，当或时，．（3）解：∵二次函数解析式为．∴，∴当时，y有最小值；当时，；当时，y的取值范围为．10．（23-24九年级上·北京石景山·期中）在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标）(1)求交点和点的坐标；(2)求当时，的最大值；(3)直接写出的解集．【答案】(1)，(2)9(3)【分析】本题主要靠除了你一次函数与二次函数综合：（1）联立两函数解析式，求出对应的x、y的值即可得到答案；（2）根据二次函数的性质求解即可；（3）找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可．【详解】（1）解：联立，解得或，∵点的横坐标小于点的横坐标，∴，；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，∴离对称轴越远函数值越大，∵，∴当时，且时，有最大值，最大值为；（3）解：由函数图象可知，当时，．11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的表达式为，且抛物线经过，，三点，直线的表达式为．(1)求抛物线的表达式．(2)求证：抛物线与直线无公共点．(3)若与直线平行的直线与抛物线只有一个公共点，求点的坐标．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了二次函数的与一次函数的交点问题：（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）联立两函数解析式可得，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（3）联立两函数解析式可得，利用一元二次方程根的判别式，可得到，即可求解．【详解】（1）解：把，，代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）解：联立：，得：，整理得：，∵，∴方程没有实数根，∴抛物线与直线无公共点；（3）解：联立：，得：，整理得：，∵直线与抛物线只有一个公共点，∴方程只有一个实数根，∴，解得：，∴原方程为，解得：，即点P的横坐标为，∴点P的坐标为．12．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象如图所示．(1)利用图象判断方程较大的解在哪两个整数范围内？(2)若关于x的方程有四个不等实数根，求m的取值范围．【答案】(1)方程较大的解在整数2和3之间(2)当时，方程有四个不等实数根【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性．（1）把方程看作二次函数的图象与直线的图象的交点横坐标，画出图像根据图像求解即可．（2）把方程看作二次函数与直线的图象的交点横坐标，画出图像根据图像求解即可．【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线，∵可以整理为的形式，故可以把方程看作二次函数的图象与直线的图象的交点横坐标，如图，根据图象可得二次函数与直线的交点横坐标在和上，∴方程较大的解在整数2和3之间．（2），其顶点坐标为：，如图，画出函数的图象，可以把方程看作二次函数与直线的图象的交点横坐标，根据图象可得，当二次函数与直线有四个交点时，，∴当时，方程有四个不等实数根．13．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集．(3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标为(2)或(3)或【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可；（2）联立方程组求得，再根据图象求解即可；（3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可．【详解】（1）解：将点代入，得，∴．当时，，解得，∴点．将点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限，∴，解得（不符合题意，舍去）或，∴，∴，∴点A的坐标为，观察图象，得不等式的解集为或；（3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点；当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点，∴n的取值范围为或．14．（2024·山东临沂·模拟预测）已知关于x 的二次函数（m，n为常数）(1)若二次函数图象经过A，B两点，求二次函数的表达式；(2)若，试说明该函数图象与x 轴必有两个不同的交点；(3)若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值【答案】(1)(2)见解析(3)或3．【分析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求解析式；（2）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断；（3）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值．【详解】（1）将代入，得，解得，∴二次函数的表达式是；（2）∵，∴，∴函数解析式为，∵，∴，即，∴该函数图象与x轴必有两个不同的交点；（3）∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，∴当时， 当时有最大值，即；当时有最小值，，∵，∴，解得；当时，当时有最大值，即；当时有最小值，，∵，∴，解得或（舍去）综上，k的值为或3． xx…1.21.31.41.51.6…y…0.250.76…x y x1.41.51.61.71.80.190.44x 012y85458…………xx…1.21.31.41.51.6…y…0.250.76…x y x1.41.51.61.71.80.190.44x 012y85458…………
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