第二十二章 二次函数（A卷·提升卷·单元重点综合测试）(解析版）

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第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷）班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1．抛物线顶点坐标是（    ）．A． B． C． D．2．二次函数的图象与x轴交点的情况是（    ）A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．与m的值有关3．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）A． B． C． D．4．二次函数y＝x2+mx+n的对称轴为x＝﹣1，点（﹣5，y1），（﹣3，y2）在此函数的图像上，则有（　　）A．y1＞y2 B．y1＝y2C．y2＞y1 D．以上均有可能5．在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（    ）A． B． C． D．6．对于二次函数的性质，下列叙述正确的是（    ）A．当时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线有两个交点C．当时，y有最小值3 D．与抛物线形状相同7．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ）A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）8．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．下列结论正确的是（  ）  A． B．C． D．若是抛物线上两点，则9．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ） A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+210．已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．11．形状、开口方向与抛物线相同，但是顶点为（﹣2，0）的抛物线解析式为（ ）A． B．C． D．12．若二次函数的图象与轴有两个交点，坐标分别是（x1，0），（x2，0），且. 图象上有一点在轴下方，则下列判断正确的是（   ）A． B． C． D．13．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝314．已知抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点若AB=4，则点M到直线l的距离为（  ）A．11 B．12 C． D．1315．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点0,2，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（  ）A．B．若点，均在二次函数图象上，则C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根D．满足的x的取值范围为二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16．的对称轴是直线，则b的值为 ．17．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．18．已知点，是抛物线上的两点，且满足，则m的取值范围是 ．19．如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的有 .  三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点．21．（6分）“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？22．（7分）二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）当x>3时，求y的取值范围．23．（6分）已知：二次函数的图象经过点．(1)求b的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；24．（8分）如图，二次函数的图像经过，两点．(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知二次函数(为常数，）．若二次函数的图象经过点和两点．(1)求函数的表达式，并写出函数图像的顶点C的坐标．(2)试求出的面积是多少？26．（8分）二次函数和一次函数（k是常数）相交于点A．(1)证明：交点A的横坐标必是方程的根．(2)二次函数和一次函数有两个不同的交点B和C，其中B点的坐标为．求点C的坐标．(3)在（2）的条件下求点B、C与顶点所构成三角形的面积．27．（12分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．  （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷）班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1．抛物线顶点坐标是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．【详解】抛物线的顶点坐标是，故选：D．【点睛】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．2．二次函数的图象与x轴交点的情况是（    ）A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．与m的值有关【答案】C【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算出一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可判断．【详解】解：令得一元二次方程，∵，∴二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当Δ>0时，二次函数与x轴有两个不同的交点；当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ0时，抛物线开口向上，当ay2⩾y0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a>0；∴25a−5b+c>9a+3b+c，∴−1，∴x0>−1∴x0的取值范围是x0>−1.故选B.点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口向上是解题的关键.11．形状、开口方向与抛物线相同，但是顶点为（﹣2，0）的抛物线解析式为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】试题分析：设所求的抛物线解析式为，因为抛物线与抛物线形状相同，开口方向相同，所以，所以该抛物线的解析式为．故选B．考点：二次函数的性质．12．若二次函数的图象与轴有两个交点，坐标分别是（x1，0），（x2，0），且. 图象上有一点在轴下方，则下列判断正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．【详解】A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、∵x1＜x2，∴△=b2-4ac＞0，故本选项错误；C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；D、若a＞0，则x0-x1＞0，x0-x2＜0，所以，（x0-x1）（x0-x2）＜0，∴a（x0-x1）（x0-x2）＜0，若a＜0，则（x0-x1）与（x0-x2）同号，∴a（x0-x1）（x0-x2）＜0，综上所述，a（x0-x1）（x0-x2）＜0正确，故本选项正确．13．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3【答案】B【详解】试题分析：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴．∴．故选B．14．已知抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点若AB=4，则点M到直线l的距离为（  ）A．11 B．12 C． D．13【答案】B【分析】根据题意可知，抛物线的顶点M（），则抛物线解析式为：，由AB=4，利用抛物线的对称性，得点A的横坐标为，代入解析式，求出纵坐标，然后求出点M到直线l的距离.【详解】解：∵抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，∴点M为抛物线的顶点，其坐标为：（，），则抛物线解析式为：，∵抛物线与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点，且AB=4，∴点A的横坐标为：，点B的横坐标为：，把代入抛物线，得：，∴直线l为：，∴点M到直线l的距离为：11﹣（﹣1）=12；故选择：B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及抛物线与直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确求出直线l的方程.15．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点0,2，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（  ）A．B．若点，均在二次函数图象上，则C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根D．满足的x的取值范围为【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．由对称轴为直线可得，再将代入可判断A，找出关于直线对称的点为，再根据二次函数的性质可判断B，根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可判断C，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断D．【详解】解：∵对称轴为直线，∴，∵当时，，∴，故A错误，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵关于直线对称的点为，又∵，∴，故B错误，根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，∵0,2关于直线对称的点为，∴x的取值范围为，故D正确；故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）16．的对称轴是直线，则b的值为 ．【答案】【分析】根据抛物线对称轴公式进行求解即可．【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知对于二次函数的对称轴为直线是解题的关键．17．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．【答案】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：，即：故答案为：．【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．18．已知点，是抛物线上的两点，且满足，则m的取值范围是 ．【答案】【分析】根据题意可得抛物线开口向上，且对称轴为直线为，再根据抛物线的对称性，可得，即可求解．【详解】解：∵抛物线，∴抛物线开口向上，且对称轴为直线为，∵点，，且，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．19．如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的有 .  【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据对称轴，，可得，，点，点，当时，即可判断；根据对称轴，以及得与的关系，即可判断；根据函数的最小值是当时，，即可判断．【详解】解：观察图象可知：，，，，故错误；对称轴为直线，，可得，，点，点，当时，，即，，故正确；抛物线的对称轴为直线，即，，，，，，，，故正确；当时，函数有最小值，由，可得，若为任意实数，则，故正确；故答案为：②③④．三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点．【答案】见解析【分析】根据函数表达式，求出对应方程的，再对的值进行判断即可．【详解】解：证明：令，则，该二次函数图象与轴有两个交点．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键．21．（6分）“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？【答案】每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元．【分析】分类讨论，当售价（元）时，计算出最高日收入；当售价（元）时，列出二次函数，并判断二次函数的最大值，由此即可求解．【详解】解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元；当售价（元）时，该店日纯收入为，∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值，∴，售价（元）取整数，则售价或元时，日销售量最大，要吸引顾客，销售量较大，∴售价为元时，最大利润为元，∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元．【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，分析题目中的数量关系，列出函数表达式，掌握二次函数的知识是解题的关键．22．（7分）二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）当x>3时，求y的取值范围．【答案】（1）y=（x+1）2-4；（2）当x>3时，y>12．【分析】（1）根据表格的特点可找到函数的顶点，设函数的顶点式，再代入一点即可求解．（2）根据函数的图像与性质即可求解．【详解】（1）由表格中函数值的对称性可得函数的顶点为（-1，-4）设函数为y=a（x+1）2-4代入（1，0）得0=4a-4解得a=1∴函数为y=（x+1）2-4（2）∵函数的对称轴为x=-1，a=1＞0故当x＞3时，y随x增大而增大当x=3时，y=16-4=12∴当x>3时，y>12．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．23．（6分）已知：二次函数的图象经过点．(1)求b的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；【答案】(1)(2)，【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法．（1）直接把点代入到二次函数解析式中进行求解即可；（2）根据（1）所求把二次函数化成顶点式进行求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，∴；（2）∵，∴二次函数解析式为，∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线．24．（8分）如图，二次函数的图像经过，两点．(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，点坐标为或【分析】（1）根据二次函数的图像经过，两点，即可得到抛物线的解析式，再将它化为顶点式，可得出抛物线的顶点坐标；（2）分两种情况讨论：当四边形是平行四边形时，；当四边形是平行四边形时，，即可得到点坐标．【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过，两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为，即，∴抛物线的顶点坐标为．（2）存在，点坐标为或．∵抛物线的解析式为，且过点，∴抛物线的对称轴为：，，∴，①如图，当四边形是平行四边形时，∴，∴，②如图，当四边形是平行四边形时，∴，∴．综上所述，在抛物线的对称轴上存在点，使得、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，解题时注意分类思想的运用．解题的关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．25．（8分）已知二次函数(为常数，）．若二次函数的图象经过点和两点．(1)求函数的表达式，并写出函数图像的顶点C的坐标．(2)试求出的面积是多少？【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数、二次函数的图象和性质；（1）利用待定系数法可求函数的表达式，将一般式化成顶点式可得函数图像的顶点C的坐标；（2）画出图形，设与轴交于点D，连接，求出直线的解析式，然后可得点D坐标，再根据可知，轴，进而根据进行计算．【详解】（1）解：把、代入得：，解得：，∴函数的表达式为，∴函数图像的顶点坐标为；（2）解：如图，设与轴交于点D，连接，设直线的解析式为，代入、得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，解得：，∴，∵，∴，轴，∴．26．（8分）二次函数和一次函数（k是常数）相交于点A．(1)证明：交点A的横坐标必是方程的根．(2)二次函数和一次函数有两个不同的交点B和C，其中B点的坐标为．求点C的坐标．(3)在（2）的条件下求点B、C与顶点所构成三角形的面积．【答案】(1)见解析(2)（6，29）(3)60【分析】（1）联立一次函数与二次函数解析式即可得到答案；（2）先求出一次函数的解析式，然后联立一次函数和二次函数即可求解；（3）先求出抛物线的顶点D的坐标，然后求出直线CD的解析式，从而求出点E的坐标，得到BE的长，由此即可求解．【详解】（1）解：联立得，∵二次函数和一次函数（k是常数）相交于点A，∴点A既在二次函数图象上，也在一次函数图象上，∴交点A的横坐标必是方程的根；（2）解：∵二次函数与一次函数的一个交点为（-2，13），∴，∴，∴一次函数解析式为，联立得，解得或（舍去），∴，∴点C的坐标为（6，29）；（3）解：设抛物线的顶点为D，∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）设直线CD的解析式为，直线CD与直线交于点E∴，∴，∴直线CD的解析式为，∴点E的坐标为，∴，∴ 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，三角形面积，熟知待定系数法求函数解析式和求一次函数与二次函数的交点坐标是解题的关键．27．（12分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．  （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【答案】（1）y=；0≤x≤12 ；（2）不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；（3）15．【详解】试题分析：（1）根据点P（6，6）为抛物线的顶点坐标可设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6，在根据图象经过原点即可求得结果；（2）把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.；（3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），即可得到OB=m，AB=DC=－m2+2m，再根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，从而可以得到BC=12－2m，即AD=12－2m，即可得到L关于x的函数关系式，最后根据二次函数的性质即可求得结果．（1）∵M（12，0），P（6，6）．∴设这条抛物线的函数解析式为y=a(x－6)2+6，∵把（0，0）代入解得a=－，∴这条抛物线的函数解析式为y=－(x－6)2+6，即y=－x2+2x（0≤x≤12）；（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时，y=4.5＜5  ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；（3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），∴OB=m，AB=DC=－m2+2m根据抛物线的轴对称可得OB=CM=m，∴BC=12－2m，即AD=12－2m∴L=AB+AD+DC=－m2+2m+12=－(m－3)2+15∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．x···-4-3-2-1012···y···50-3-4-305···x···-4-3-2-1012···y···50-3-4-305···