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初中数学人教版（2024）九年级下册29.1 投影课堂检测
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这是一份初中数学人教版（2024）九年级下册29.1 投影课堂检测，共35页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（3分）（2023秋·山东烟台·九年级统考期末）下列关于投影的说法正确的是（ ）
A．平行投影中的光线是聚成一点的
B．线段的正投影还是线段
C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆
D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同
4．（3分）（2023·云南楚雄·统考二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r=2，扇形的圆心角等于90°，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A．2B．4C．8D．10
5．（3分）（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤B．②④①③⑤C．⑤④①③②D．⑤③①④②
6．（3分）（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）（2023春·河北承德·九年级校考阶段练习）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下，
甲：若m=6，则该几何体有两种摆法；
乙：若m=7，则该几何体有三种摆法；
丙：若m=8，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错B．乙和丙都错C．甲错，乙对D．乙对，丙错
9．（3分）（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
10．（3分）（2023秋·河北承德·九年级统考期末）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（ ）
A．只有嘉嘉的说法正确B．只有淇淇的说法正确
C．两个人的说法均正确D．两人的说法均不正确
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号）
12．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
13．（3分）（2023秋·内蒙古包头·九年级包头市第三十五中学校考期中）如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 cm3（结果保留）
14．（3分）（2023秋·湖南永州·九年级统考期中）如下图是由一些完全相同的小立方块达成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何体所用的小立方块个数是 块．
15．（3分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是 (多填或错填得0分，少填酌情给分)．
16．（3分）（2023春·山东日照·九年级校考期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023秋·福建三明·九年级统考期末）如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，请在网格中画出从左面和上面看到的几何体的形状图．（用实线描黑）
18．（6分）（2023春·九年级单元测试）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的个数的关系如表1所示．
(1)把x个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）；
(2)如图所示，是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是多少．
19．（8分）（2023·浙江台州·统考一模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t8≤t≤16之间近似二次函数关系，可满足关系式y=at−122+c．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
20．（8分）（2023·山西·九年级校考期中）综合与实践
问题情境：在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其它正方体，使拼成的立体图形为一个长方体．如图1，是两个棱长为1的正方体搭成的长方体，图2是从上面看这个长方体得到的平面图形，它由两个正方形组成．
操作探究：
(1)如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体，请画出从上面看这个长方体得到的平面图形；
(2)已知一个长方体是按上述方式拼成的，组成它的正方体不超过10个，且若从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形）
B．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形，并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数）
21．（8分）（2023秋·山东青岛·九年级校联考期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n=nn+12）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
22．（8分）（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
(1)【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；
(2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为________；
A． B．
C． D．
(3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
23．（8分）（2023秋·山西运城·九年级统考期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数．
第29章 投影与视图章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；
B. 影子的方向不相同，故本选项错误；
C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;
D. 影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
2．（3分）（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据俯视图可知这个几何体，底面有5个正方体，根据主视图及左视图，可知上面有1个正方体，即可得出答案．
【详解】解：根据俯视图可知这个几何体，底面有5个正方体，根据主视图及左视图，可知上面有1个正方体，
∴搭成这个几何体的小正方体的个数是6，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图还原几何体，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
3．（3分）（2023秋·山东烟台·九年级统考期末）下列关于投影的说法正确的是（ ）
A．平行投影中的光线是聚成一点的
B．线段的正投影还是线段
C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆
D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同
【答案】C
【分析】根据平行投影和视图的关系进行判断即可．
【详解】解：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意；
B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意；
C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意；
D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影，解题的关键是掌握平行投影的性质和投影的意义．
4．（3分）（2023·云南楚雄·统考二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r=2，扇形的圆心角等于90°，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A．2B．4C．8D．10
【答案】C
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【详解】解：∵圆的半径r=2，
∴圆的周长=4π，
∴这个圆锥侧面展开的扇形的弧长是4π，
∵扇形的圆心角等于90°，
∴4π=90πR180，
∴这个扇形的半径是R=8．
故选：C．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
5．（3分）（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤B．②④①③⑤C．⑤④①③②D．⑤③①④②
【答案】B
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．
6．（3分）（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据组合体的三视图逐项判断即可解答．
【详解】解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分．
故选：A．
【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图、三视图的定义等知识点，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是解决问题的关键．
7．（3分）（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB//A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ABA'B'=PDPE，即3A'B'=12，
∴A′B′=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
8．（3分）（2023春·河北承德·九年级校考阶段练习）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下，
甲：若m=6，则该几何体有两种摆法；
乙：若m=7，则该几何体有三种摆法；
丙：若m=8，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错B．乙和丙都错C．甲错，乙对D．乙对，丙错
【答案】C
【分析】根据甲、乙、丙所说m的值，分别画出相应几何体的三视图，再进行判断即可．
【详解】解：如图，
甲：若m=6，则第一层已经摆放5个，第二层只放1个，由左视图的俯视图可得主视图如图①②③所示三种，故甲错；
乙：若m=7，则第二层可放2个，可得主视图如④⑤⑥所示三种，故乙对；
丙：若m=8，则第一层放5个，第二层放3个小正方体，这样只能摆放在后面三个小正方体上，主视图如图⑦所示，只有一种摆法，故丙对，
故选：C
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的相关知识是解答本题的关键．
9．（3分）（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
10．（3分）（2023秋·河北承德·九年级统考期末）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（ ）
A．只有嘉嘉的说法正确B．只有淇淇的说法正确
C．两个人的说法均正确D．两人的说法均不正确
【答案】C
【分析】根据图1可知正方形的边长为R，则可求出正方形的对角线长为2R，即R+2r=2R，当扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长时，剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，根据扇形的弧长和圆的周长公式可以得到r=14R，代入R+2r=2R中，即可判断嘉嘉的说法是否正确；图11-2中正方形的边长不再是R，所以不再满足R+2r=2R，根据淇淇所说的，当R=4r时，可得扇形的弧长=2πr，即得到扇形的弧长等于小圆的周长，从而可判断淇淇的说法是否正确．
【详解】解：由图1可知正方形的边长为R，
∴正方形的对角线=R2+R2=2R，
∴R+2r=2R，
∵l扇形=90°πR180°=πR2，C小圆=2πr，
要使剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，则扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长，
∴πR2=2πr，
∴r=14R，
将r=14R代入R+2r，得
R+2×14R=32R≠2R，
∴图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，
∴嘉嘉说的对，
∵图2中正方形的边长不再是R，
∴不再满足R+2r=2R，
当R=4r时，l扇形=90°πR180°=πR2=π·4r2=2πr，
∵C小圆=2πr，
∴l扇形= C小圆，
∴淇淇说的对
故选C．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图．关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号）
【答案】323+96
【分析】根据三视图可得机器零件为正三棱柱，三棱柱的上下底是高为43的等边三角形，三棱柱高为4，求出等边三角形边长，求出表面积即可．
【详解】解： 由三视图得机器零件为正三棱柱，
作CD⊥AB于D，
∵△ABC是正三角形，
在Rt△BCD中，BC=CDsin∠B=8
∴ S表面积=2S底面积+S侧面积=2×12×8×43+3×8×4=323+96 ．
故答案为：323+96
【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，并求其表面积．根据三视图得到几何体是正三棱柱，并根据三视图原则“长对正，高平齐，宽相等”确定相关数据时解题关键．
12．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
【答案】8m
【分析】根据题意，画出示意图，易得：RtΔEDC∼RtΔCDF,，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．
【详解】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∵∠EDC=∠CDF=90∘，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90∘，
∴∠E=∠DCF，
∴RtΔEDC∼RtΔCDF,，
∴EDDC=DCFD；即DC2=ED⋅FD，
由题意得：ED=4，FD=16，
∴DC2=64，
DC=8（负值舍去），
故答案为：8m．
【点睛】本题考查了平行投影，相似三角形应用，通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小是平行投影性质在实际生活中的应用．
13．（3分）（2023秋·内蒙古包头·九年级包头市第三十五中学校考期中）如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 cm3（结果保留）
【答案】2000π.
【分析】由图可知包装盒是圆柱体，直径20cm，高20cm，由此求圆柱体体积即可.
【详解】由图知此包装盒是圆柱体，底面圆的直径是20cm，高是20cm，
∴π×(202)2×20=2000π（cm3），
故填： 2000π.
【点睛】此题考查由三视图得到立体图形，会观察三视图得到立体图形的具体形状是解题的关键.
14．（3分）（2023秋·湖南永州·九年级统考期中）如下图是由一些完全相同的小立方块达成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何体所用的小立方块个数是 块．
【答案】9
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【详解】解：综合主视图，俯视图，左视图，可得：
底层有6个小正方体，第二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体，
所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是6+2+1=9，
故答案为：9.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体.
15．（3分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是 (多填或错填得0分，少填酌情给分)．
【答案】①②③
【分析】根据几何体的主视图和左视图用正方体实物搭出图形判断，或者根据主视图和左视图想象出每个位置正方体的个数进行计算.
【详解】综合左视图跟主视图，从正面看，第1行第1列有3个正方体，第1行第2列有1个或第2行第2列有1个或都有1个，第2行第1列有2个正方体，第2行第1列有2个正方体.
故答案为: ①②③.
【点睛】本题考查了学生的空间想象能力和三视图的综合能力，解题关键是熟练掌握三视图，充分发挥空间想象.
16．（3分）（2023春·山东日照·九年级校考期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【答案】 10 10+13
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据EFFG=OMMH=23，求出OM的长度，证明△BIO∽△JIB，得出BI=23IJ，OI=49IJ，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵OH∥AC∥BD，
∴点H是CD的中点，
∵CD=13m，
∴CH=HD=12CD=6.5m，
∴MH=MC+CH=8.5+6.5=15m，
又∵由题意可知：EFFG=OMMH=23，
∴OM15=23，解得OM=10m，
∴点O、M之间的距离等于10m，
∵BI⊥OJ，
∴∠BIO=∠BIJ=90°，
∵由题意可知：∠OBJ=∠OBI+∠JBI=90°，
又∵∠BOI+∠OBI=90°，
∴∠BOI=∠JBI，
∴△BIO∽△JIB，
∴BIIJ=OIBI=23，
∴BI=23IJ，OI=49IJ，
∵OJ∥CD,OH∥DJ，
∴四边形OHDJ是平行四边形，
∴OJ=HD=6.5m，
∵OJ=OI+IJ=49IJ+IJ=6.5m，
∴IJ=4.5m，BI=3m，OI=2m，
∵在Rt△OBI中，由勾股定理得：OB2=OI2+BI2，
∴OB=OI2+BI2=22+32=13m，
∴OB=OK=13m，
∴MK=MO+OK=10+13m，
∴叶片外端离地面的最大高度等于10+13m，
故答案为：10，10+13．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023秋·福建三明·九年级统考期末）如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，请在网格中画出从左面和上面看到的几何体的形状图．（用实线描黑）
【答案】见解析
【分析】从左面看到的形状是2列，从左往右正方形的个数依次是3，1；从上面看到的形状是3列，从左往右正方形的个数依次是1，2，1；依此作图即可．
【详解】
【点睛】本题考查组合几何体三视图的画法；用到的知识点为：主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看到的平面图形．
18．（6分）（2023春·九年级单元测试）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的个数的关系如表1所示．
(1)把x个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）；
(2)如图所示，是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是多少．
【答案】(1)1.8x+1.2cm
(2)26.4cm
【分析】（1）由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为3+1.8x−1；
（2）根据三视图得出碟子的总数，由（1）知每个碟子的高度，即可得出答案．
【详解】（1）由表格可知，每增加一个碟子高度增加1.8cm，
∴当桌子上放有x个碟子时，碟子的高度是3+1.8x−1=1.8x+1.2cm；
（2）由三视图知这四摞碟子一共有7+4+3=14个碟子，
由（1）知每个碟子的高度为1.8cm，
∴叠成一摞后碟子的高度为14×1.8+1.2=26.4cm．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有获取信息（读表）、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．
19．（8分）（2023·浙江台州·统考一模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t8≤t≤16之间近似二次函数关系，可满足关系式y=at−122+c．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
【答案】(1)a=0.23c=1.08
(2)tanθ=1.35
(3)2.16≤m≤6.3
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得t=14时，y=2，再利用正切函数即可求解；
（3）先求得9≤t≤14时，函数的最大值和最小值，再相似比即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知t=11，y=1.31代入函数解析式得1.31=a11−122+c，
把t=12，y=1.08代入函数解析式得1.08=a12−122+c，
即1.31=a+c1.08=c，
解得a=0.23c=1.08．
（2）解：由（1）得函数解析式为y=0.23t−122+1.088≤t≤16，
把t=14代入y=0.23t−122+1.08得y=2，
则tanθ=2.72=1.35．
（3）解：∵y=0.23t−122+1.089≤t≤14，0.23>0
∴当t=12时，y取得最小值，y=0.2312−122+1.08=1.08，
当t=9时，y取得最大值，y=0.239−122+1.08=3.15，
∵旗杆与直杆的长度比为5.4:2.7=2:1，
∴m:y=2:1，
∴m的取值范围为1.08×2≤m≤3.15×2，
即2.16≤m≤6.3．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正切函数的定义，相似比的意义，用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
20．（8分）（2023·山西·九年级校考期中）综合与实践
问题情境：在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其它正方体，使拼成的立体图形为一个长方体．如图1，是两个棱长为1的正方体搭成的长方体，图2是从上面看这个长方体得到的平面图形，它由两个正方形组成．
操作探究：
(1)如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体，请画出从上面看这个长方体得到的平面图形；
(2)已知一个长方体是按上述方式拼成的，组成它的正方体不超过10个，且若从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形）
B．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形，并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数）
【答案】(1)画图见解析；(2)见解析.
【分析】(1)根据题意画出图形即可；
(2)有四种可能的图形，
第一种：4个棱长为1的正方体排成一行；
第二种：左右各1个棱长为1的正方体，中间4个棱长为12的正方体（2行2列摆放）；
第三种：左边1个棱长为1的正方体，右边9个棱长为13的正方体（3行3列摆放）；
第四种：左边1个棱长为1的正方体，右边1个棱长为23和10个棱长为13的正方体.
【详解】解：(1)由图3可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为：
(2) 若选A题：由题可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为：
若选B题：由题可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为：
【点睛】本题涉及的知识点：物体的三视图.
21．（8分）（2023秋·山东青岛·九年级校联考期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n=nn+12）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：abca+1b+1c+18；探究四：91125；探究五：72，124或142或158或164
【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有nn+12个长方体，由此求解即可；
探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有aa+12条线段，宽有bb+12条线段，宽有cc+12条线段，由此求解即可；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有9×9×99+19+19+18=91125个长方体；
探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可.
【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有1×22=1个长方体，有2个小正方体组成的几何体有2×32=3个长方体，有3个小正方体组成的几何体有3×42=6个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有nn+12个长方体，
∴nn+12=210，即n2+n−420=0，
解得n=20或n=−21（舍去），
故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有aa+12条线段，宽有bb+12条线段，宽有cc+12条线段，
∴图1中一共包含aa+12·bb+12·cc+12=abca+1b+1c+18个长方体，
故答案为：abca+1b+1c+18；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有9×9×99+19+19+18=91125个长方体；
探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，
∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
①当剩下正方体按如下俯视图摆放时，
表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124
②当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142
③同理，当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158
④当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164
故答案为：124或142或158或164
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．
22．（8分）（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
(1)【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；
(2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为________；
A． B．
C． D．
(3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
【答案】(1)见解析
(2)D
(3)6.4m
【分析】[画图操作]根据中心投影，直接画图即可；
[数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；
[解决问题]根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：[画图操作]光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图①所示；
（2）[数学思考]如图②所示，等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以小明的影长从A到B的变化是先越来越短再越来越长；
故答案为：D；
（3）[解决问题]∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴ CDAB=DFBF，EFAB=GFBG，
又∵CD=EF，
∴ DFBF=GFBG，
∵DF=3m，FG=4m，BF=BD+DF=(BD+3)(m)，BG=BD+DF+FG=(BD+7)(m)，
∴ 3BD+3=4BD+7，
∴BD=9m，BF=9+3=12m，
∴ 1.6AB=312，
解得：AB=6.4m；
∴灯杆AB的高度为6.4m．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的性质的应用等，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
23．（8分）（2023秋·山西运城·九年级统考期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可；
（2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可．
【详解】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形，如图
从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形，
如图所示：
（2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，
从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，
左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2．
根据题意，填图如下：
【点睛】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键．菜碟的个数
菜碟的高度（单位：cm）
1
3
2
3＋1.8
3
3＋3.6
4
3＋5.4
…
…
菜碟的个数
菜碟的高度（单位：cm）
1
3
2
3＋1.8
3
3＋3.6
4
3＋5.4
…
…
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（3分）（2023秋·山东烟台·九年级统考期末）下列关于投影的说法正确的是（ ）
A．平行投影中的光线是聚成一点的
B．线段的正投影还是线段
C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆
D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同
4．（3分）（2023·云南楚雄·统考二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r=2，扇形的圆心角等于90°，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A．2B．4C．8D．10
5．（3分）（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤B．②④①③⑤C．⑤④①③②D．⑤③①④②
6．（3分）（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）（2023春·河北承德·九年级校考阶段练习）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下，
甲：若m=6，则该几何体有两种摆法；
乙：若m=7，则该几何体有三种摆法；
丙：若m=8，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错B．乙和丙都错C．甲错，乙对D．乙对，丙错
9．（3分）（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
10．（3分）（2023秋·河北承德·九年级统考期末）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（ ）
A．只有嘉嘉的说法正确B．只有淇淇的说法正确
C．两个人的说法均正确D．两人的说法均不正确
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号）
12．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
13．（3分）（2023秋·内蒙古包头·九年级包头市第三十五中学校考期中）如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 cm3（结果保留）
14．（3分）（2023秋·湖南永州·九年级统考期中）如下图是由一些完全相同的小立方块达成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何体所用的小立方块个数是 块．
15．（3分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是 (多填或错填得0分，少填酌情给分)．
16．（3分）（2023春·山东日照·九年级校考期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023秋·福建三明·九年级统考期末）如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，请在网格中画出从左面和上面看到的几何体的形状图．（用实线描黑）
18．（6分）（2023春·九年级单元测试）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的个数的关系如表1所示．
(1)把x个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）；
(2)如图所示，是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是多少．
19．（8分）（2023·浙江台州·统考一模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t8≤t≤16之间近似二次函数关系，可满足关系式y=at−122+c．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
20．（8分）（2023·山西·九年级校考期中）综合与实践
问题情境：在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其它正方体，使拼成的立体图形为一个长方体．如图1，是两个棱长为1的正方体搭成的长方体，图2是从上面看这个长方体得到的平面图形，它由两个正方形组成．
操作探究：
(1)如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体，请画出从上面看这个长方体得到的平面图形；
(2)已知一个长方体是按上述方式拼成的，组成它的正方体不超过10个，且若从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形）
B．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形，并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数）
21．（8分）（2023秋·山东青岛·九年级校联考期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n=nn+12）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
22．（8分）（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
(1)【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；
(2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为________；
A． B．
C． D．
(3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
23．（8分）（2023秋·山西运城·九年级统考期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数．
第29章 投影与视图章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；
B. 影子的方向不相同，故本选项错误；
C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;
D. 影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
2．（3分）（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据俯视图可知这个几何体，底面有5个正方体，根据主视图及左视图，可知上面有1个正方体，即可得出答案．
【详解】解：根据俯视图可知这个几何体，底面有5个正方体，根据主视图及左视图，可知上面有1个正方体，
∴搭成这个几何体的小正方体的个数是6，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图还原几何体，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
3．（3分）（2023秋·山东烟台·九年级统考期末）下列关于投影的说法正确的是（ ）
A．平行投影中的光线是聚成一点的
B．线段的正投影还是线段
C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆
D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同
【答案】C
【分析】根据平行投影和视图的关系进行判断即可．
【详解】解：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意；
B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意；
C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意；
D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影，解题的关键是掌握平行投影的性质和投影的意义．
4．（3分）（2023·云南楚雄·统考二模）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r=2，扇形的圆心角等于90°，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ）
A．2B．4C．8D．10
【答案】C
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【详解】解：∵圆的半径r=2，
∴圆的周长=4π，
∴这个圆锥侧面展开的扇形的弧长是4π，
∵扇形的圆心角等于90°，
∴4π=90πR180，
∴这个扇形的半径是R=8．
故选：C．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
5．（3分）（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤B．②④①③⑤C．⑤④①③②D．⑤③①④②
【答案】B
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．
6．（3分）（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据组合体的三视图逐项判断即可解答．
【详解】解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分．
故选：A．
【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图、三视图的定义等知识点，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是解决问题的关键．
7．（3分）（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB//A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ABA'B'=PDPE，即3A'B'=12，
∴A′B′=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
8．（3分）（2023春·河北承德·九年级校考阶段练习）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下，
甲：若m=6，则该几何体有两种摆法；
乙：若m=7，则该几何体有三种摆法；
丙：若m=8，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错B．乙和丙都错C．甲错，乙对D．乙对，丙错
【答案】C
【分析】根据甲、乙、丙所说m的值，分别画出相应几何体的三视图，再进行判断即可．
【详解】解：如图，
甲：若m=6，则第一层已经摆放5个，第二层只放1个，由左视图的俯视图可得主视图如图①②③所示三种，故甲错；
乙：若m=7，则第二层可放2个，可得主视图如④⑤⑥所示三种，故乙对；
丙：若m=8，则第一层放5个，第二层放3个小正方体，这样只能摆放在后面三个小正方体上，主视图如图⑦所示，只有一种摆法，故丙对，
故选：C
【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的相关知识是解答本题的关键．
9．（3分）（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块D．最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
10．（3分）（2023秋·河北承德·九年级统考期末）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（ ）
A．只有嘉嘉的说法正确B．只有淇淇的说法正确
C．两个人的说法均正确D．两人的说法均不正确
【答案】C
【分析】根据图1可知正方形的边长为R，则可求出正方形的对角线长为2R，即R+2r=2R，当扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长时，剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，根据扇形的弧长和圆的周长公式可以得到r=14R，代入R+2r=2R中，即可判断嘉嘉的说法是否正确；图11-2中正方形的边长不再是R，所以不再满足R+2r=2R，根据淇淇所说的，当R=4r时，可得扇形的弧长=2πr，即得到扇形的弧长等于小圆的周长，从而可判断淇淇的说法是否正确．
【详解】解：由图1可知正方形的边长为R，
∴正方形的对角线=R2+R2=2R，
∴R+2r=2R，
∵l扇形=90°πR180°=πR2，C小圆=2πr，
要使剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，则扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长，
∴πR2=2πr，
∴r=14R，
将r=14R代入R+2r，得
R+2×14R=32R≠2R，
∴图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，
∴嘉嘉说的对，
∵图2中正方形的边长不再是R，
∴不再满足R+2r=2R，
当R=4r时，l扇形=90°πR180°=πR2=π·4r2=2πr，
∵C小圆=2πr，
∴l扇形= C小圆，
∴淇淇说的对
故选C．
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图．关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号）
【答案】323+96
【分析】根据三视图可得机器零件为正三棱柱，三棱柱的上下底是高为43的等边三角形，三棱柱高为4，求出等边三角形边长，求出表面积即可．
【详解】解： 由三视图得机器零件为正三棱柱，
作CD⊥AB于D，
∵△ABC是正三角形，
在Rt△BCD中，BC=CDsin∠B=8
∴ S表面积=2S底面积+S侧面积=2×12×8×43+3×8×4=323+96 ．
故答案为：323+96
【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，并求其表面积．根据三视图得到几何体是正三棱柱，并根据三视图原则“长对正，高平齐，宽相等”确定相关数据时解题关键．
12．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
【答案】8m
【分析】根据题意，画出示意图，易得：RtΔEDC∼RtΔCDF,，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．
【详解】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∵∠EDC=∠CDF=90∘，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90∘，
∴∠E=∠DCF，
∴RtΔEDC∼RtΔCDF,，
∴EDDC=DCFD；即DC2=ED⋅FD，
由题意得：ED=4，FD=16，
∴DC2=64，
DC=8（负值舍去），
故答案为：8m．
【点睛】本题考查了平行投影，相似三角形应用，通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小是平行投影性质在实际生活中的应用．
13．（3分）（2023秋·内蒙古包头·九年级包头市第三十五中学校考期中）如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 cm3（结果保留）
【答案】2000π.
【分析】由图可知包装盒是圆柱体，直径20cm，高20cm，由此求圆柱体体积即可.
【详解】由图知此包装盒是圆柱体，底面圆的直径是20cm，高是20cm，
∴π×(202)2×20=2000π（cm3），
故填： 2000π.
【点睛】此题考查由三视图得到立体图形，会观察三视图得到立体图形的具体形状是解题的关键.
14．（3分）（2023秋·湖南永州·九年级统考期中）如下图是由一些完全相同的小立方块达成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图，那么搭成这个几何体所用的小立方块个数是 块．
【答案】9
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【详解】解：综合主视图，俯视图，左视图，可得：
底层有6个小正方体，第二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体，
所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是6+2+1=9，
故答案为：9.
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体.
15．（3分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是 (多填或错填得0分，少填酌情给分)．
【答案】①②③
【分析】根据几何体的主视图和左视图用正方体实物搭出图形判断，或者根据主视图和左视图想象出每个位置正方体的个数进行计算.
【详解】综合左视图跟主视图，从正面看，第1行第1列有3个正方体，第1行第2列有1个或第2行第2列有1个或都有1个，第2行第1列有2个正方体，第2行第1列有2个正方体.
故答案为: ①②③.
【点睛】本题考查了学生的空间想象能力和三视图的综合能力，解题关键是熟练掌握三视图，充分发挥空间想象.
16．（3分）（2023春·山东日照·九年级校考期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m,CD=13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米．
【答案】 10 10+13
【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据EFFG=OMMH=23，求出OM的长度，证明△BIO∽△JIB，得出BI=23IJ，OI=49IJ，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度．
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵OH∥AC∥BD，
∴点H是CD的中点，
∵CD=13m，
∴CH=HD=12CD=6.5m，
∴MH=MC+CH=8.5+6.5=15m，
又∵由题意可知：EFFG=OMMH=23，
∴OM15=23，解得OM=10m，
∴点O、M之间的距离等于10m，
∵BI⊥OJ，
∴∠BIO=∠BIJ=90°，
∵由题意可知：∠OBJ=∠OBI+∠JBI=90°，
又∵∠BOI+∠OBI=90°，
∴∠BOI=∠JBI，
∴△BIO∽△JIB，
∴BIIJ=OIBI=23，
∴BI=23IJ，OI=49IJ，
∵OJ∥CD,OH∥DJ，
∴四边形OHDJ是平行四边形，
∴OJ=HD=6.5m，
∵OJ=OI+IJ=49IJ+IJ=6.5m，
∴IJ=4.5m，BI=3m，OI=2m，
∵在Rt△OBI中，由勾股定理得：OB2=OI2+BI2，
∴OB=OI2+BI2=22+32=13m，
∴OB=OK=13m，
∴MK=MO+OK=10+13m，
∴叶片外端离地面的最大高度等于10+13m，
故答案为：10，10+13．
【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023秋·福建三明·九年级统考期末）如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，请在网格中画出从左面和上面看到的几何体的形状图．（用实线描黑）
【答案】见解析
【分析】从左面看到的形状是2列，从左往右正方形的个数依次是3，1；从上面看到的形状是3列，从左往右正方形的个数依次是1，2，1；依此作图即可．
【详解】
【点睛】本题考查组合几何体三视图的画法；用到的知识点为：主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看到的平面图形．
18．（6分）（2023春·九年级单元测试）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的菜碟，每一摞菜碟的高度与菜碟的个数的关系如表1所示．
(1)把x个菜碟放成一摞时，请直接写出这一摞菜碟的高度（用含x的式子表示）；
(2)如图所示，是几摞菜碟的三视图，厨师想把它们整齐叠成一摞，求叠成一摞后的高度是多少．
【答案】(1)1.8x+1.2cm
(2)26.4cm
【分析】（1）由表中给出的碟子个数与碟子高度的规律，可以看出碟子数为x时，碟子的高度为3+1.8x−1；
（2）根据三视图得出碟子的总数，由（1）知每个碟子的高度，即可得出答案．
【详解】（1）由表格可知，每增加一个碟子高度增加1.8cm，
∴当桌子上放有x个碟子时，碟子的高度是3+1.8x−1=1.8x+1.2cm；
（2）由三视图知这四摞碟子一共有7+4+3=14个碟子，
由（1）知每个碟子的高度为1.8cm，
∴叠成一摞后碟子的高度为14×1.8+1.2=26.4cm．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有获取信息（读表）、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．
19．（8分）（2023·浙江台州·统考一模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间t8≤t≤16之间近似二次函数关系，可满足关系式y=at−122+c．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为θ，求14点时tanθ的值．
(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为5.4米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
【答案】(1)a=0.23c=1.08
(2)tanθ=1.35
(3)2.16≤m≤6.3
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得t=14时，y=2，再利用正切函数即可求解；
（3）先求得9≤t≤14时，函数的最大值和最小值，再相似比即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知t=11，y=1.31代入函数解析式得1.31=a11−122+c，
把t=12，y=1.08代入函数解析式得1.08=a12−122+c，
即1.31=a+c1.08=c，
解得a=0.23c=1.08．
（2）解：由（1）得函数解析式为y=0.23t−122+1.088≤t≤16，
把t=14代入y=0.23t−122+1.08得y=2，
则tanθ=2.72=1.35．
（3）解：∵y=0.23t−122+1.089≤t≤14，0.23>0
∴当t=12时，y取得最小值，y=0.2312−122+1.08=1.08，
当t=9时，y取得最大值，y=0.239−122+1.08=3.15，
∵旗杆与直杆的长度比为5.4:2.7=2:1，
∴m:y=2:1，
∴m的取值范围为1.08×2≤m≤3.15×2，
即2.16≤m≤6.3．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正切函数的定义，相似比的意义，用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
20．（8分）（2023·山西·九年级校考期中）综合与实践
问题情境：在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其它正方体，使拼成的立体图形为一个长方体．如图1，是两个棱长为1的正方体搭成的长方体，图2是从上面看这个长方体得到的平面图形，它由两个正方形组成．
操作探究：
(1)如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体，请画出从上面看这个长方体得到的平面图形；
(2)已知一个长方体是按上述方式拼成的，组成它的正方体不超过10个，且若从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形）
B．请画出从上面看这个长方体得到的平面图形．（请画出所有可能的图形，并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数）
【答案】(1)画图见解析；(2)见解析.
【分析】(1)根据题意画出图形即可；
(2)有四种可能的图形，
第一种：4个棱长为1的正方体排成一行；
第二种：左右各1个棱长为1的正方体，中间4个棱长为12的正方体（2行2列摆放）；
第三种：左边1个棱长为1的正方体，右边9个棱长为13的正方体（3行3列摆放）；
第四种：左边1个棱长为1的正方体，右边1个棱长为23和10个棱长为13的正方体.
【详解】解：(1)由图3可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为：
(2) 若选A题：由题可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为：
若选B题：由题可得，从上面看这个长方体得到的平面图形为：
【点睛】本题涉及的知识点：物体的三视图.
21．（8分）（2023秋·山东青岛·九年级校联考期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n=nn+12）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：abca+1b+1c+18；探究四：91125；探究五：72，124或142或158或164
【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有nn+12个长方体，由此求解即可；
探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有aa+12条线段，宽有bb+12条线段，宽有cc+12条线段，由此求解即可；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有9×9×99+19+19+18=91125个长方体；
探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可.
【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有1×22=1个长方体，有2个小正方体组成的几何体有2×32=3个长方体，有3个小正方体组成的几何体有3×42=6个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有nn+12个长方体，
∴nn+12=210，即n2+n−420=0，
解得n=20或n=−21（舍去），
故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有aa+12条线段，宽有bb+12条线段，宽有cc+12条线段，
∴图1中一共包含aa+12·bb+12·cc+12=abca+1b+1c+18个长方体，
故答案为：abca+1b+1c+18；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有9×9×99+19+19+18=91125个长方体；
探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，
∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
①当剩下正方体按如下俯视图摆放时，
表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124
②当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142
③同理，当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158
④当正方体如图摆放时，
相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164
故答案为：124或142或158或164
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．
22．（8分）（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
(1)【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）；
(2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为________；
A． B．
C． D．
(3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m．已知小明的身高为1.6m，求灯杆AB的高度．
【答案】(1)见解析
(2)D
(3)6.4m
【分析】[画图操作]根据中心投影，直接画图即可；
[数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；
[解决问题]根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：[画图操作]光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图①所示；
（2）[数学思考]如图②所示，等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以小明的影长从A到B的变化是先越来越短再越来越长；
故答案为：D；
（3）[解决问题]∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴ CDAB=DFBF，EFAB=GFBG，
又∵CD=EF，
∴ DFBF=GFBG，
∵DF=3m，FG=4m，BF=BD+DF=(BD+3)(m)，BG=BD+DF+FG=(BD+7)(m)，
∴ 3BD+3=4BD+7，
∴BD=9m，BF=9+3=12m，
∴ 1.6AB=312，
解得：AB=6.4m；
∴灯杆AB的高度为6.4m．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的性质的应用等，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
23．（8分）（2023秋·山西运城·九年级统考期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可；
（2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可．
【详解】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形，如图
从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形，
如图所示：
（2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，
从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，
左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2．
根据题意，填图如下：
【点睛】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键．菜碟的个数
菜碟的高度（单位：cm）
1
3
2
3＋1.8
3
3＋3.6
4
3＋5.4
…
…
菜碟的个数
菜碟的高度（单位：cm）
1
3
2
3＋1.8
3
3＋3.6
4
3＋5.4
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