高中数学第十章 概率10.2 事件的相互独立性同步练习题

这是一份高中数学第十章 概率10.2 事件的相互独立性同步练习题，共9页。试卷主要包含了直接法，公式法，8和0等内容，欢迎下载使用。

对任意两个事件A与B，如果 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
二．相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.
三．两个事件是否相互独立的判断
1.直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
2.公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.
四．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
1.首先确定各事件之间是相互独立的.
2.求出每个事件的概率，再求积.
五．求较复杂事件的概率的一般步骤如下
1.列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
2.理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率
知识简用
题型一 事件独立性的判断
【例1-1】（2023安徽）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件D．A与C是相互独立事件
【例1-2】（2022安徽马鞍山）“事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例1-3】（2022·高一单元测试）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又相互独立
【例1-4】（2022·高一课时练习）袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥D．与互斥，与相互独立
题型二 相互独立事件的概率
【例2-1】（2023新疆）在一次知识竞赛中，共有20道题，两名同学独立竞答，甲同学对了12个，乙同学对了8个，假设答对每道题都是等可能的，那么任选一道题，恰有一人答对的概率________．
【例2-2】（2022·高一单元测试）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲复原三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．
【例2-3】（2023秋·广西桂林·高一统考期末）甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、.现3人各射一次箭，求：
(1)3人都射中目标的概率；
(2)3人中恰有2人射中目标的概率.
【例2-4】（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
(2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
10.2 事件的相互独立性（学案）知识自测
一．相互独立事件概念
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.
二．相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.
三．两个事件是否相互独立的判断
1.直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
2.公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.
四．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
1.首先确定各事件之间是相互独立的.
2.求出每个事件的概率，再求积.
五．求较复杂事件的概率的一般步骤如下
1.列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
2.理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.
3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率
知识简用
题型一 事件独立性的判断
【例1-1】（2023安徽）袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件D．A与C是相互独立事件
【答案】B
【解析】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确；
事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件与事件为对立事件，故D错.故选：B.
【例1-2】（2022安徽马鞍山）“事件与事件相互独立”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当事件与事件相互独立时，，
当时，事件与事件相互独立，
所以 “事件相互独立”是“”的充要条件.
故选：C.
【例1-3】（2022·高一单元测试）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C
【例1-4】（2022·高一课时练习）袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【解析】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，
用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．故选:A．
题型二 相互独立事件的概率
【例2-1】（2023新疆）在一次知识竞赛中，共有20道题，两名同学独立竞答，甲同学对了12个，乙同学对了8个，假设答对每道题都是等可能的，那么任选一道题，恰有一人答对的概率________．
【答案】
【解析】依题意，恰有一人答对的概率为.故答案为：
【例2-2】（2022·高一单元测试）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲复原三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．
【答案】(1)0.032(2)0.92
【解析】（1）记“甲第次复原成功”为事件，“乙第次复原成功”为事件，
依题意，，．
“甲第三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立，
．
（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件．
所以．
【例2-3】（2023秋·广西桂林·高一统考期末）甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、.现3人各射一次箭，求：
(1)3人都射中目标的概率；
(2)3人中恰有2人射中目标的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）记“甲、乙、丙射一次箭能射中目标”分别为事件、、，
则，，，3人都射中目标的事件为，
其概率为.
（2）设“3人中恰有2人射中目标”为事件，
由（1）知，
因此
，
所以3人中恰有2人射中目标的概率为.
【例2-4】（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；
(2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)
(2)派甲参赛获胜的概率更大
(3)
【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，
“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，
则，，，相互独立，且，，，，
设“甲在比赛中恰好赢一轮”
则；
（2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
所以，
，
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大；
（3）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，
于是“两人中至少有一人赢得比赛”，
由（2）知，，
所以，
，
所以.