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人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性精练
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性精练，共17页。试卷主要包含了事件独立性的判断，独立事件与互斥事件辨析，求相互独立事件的概率等内容，欢迎下载使用。
典例精讲
考点一 事件独立性的判断
【例1】（2022·高一课时练习）下列A，为独立事件的是__________________（写出所有正确选项的序号）．
①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，：第二张抽中7；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃．
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）投掷一颗骰子两次，判断事件是否独立__________．
第一次投出1点； 两次点数之和为7； 两次点数最大为2； 两次点数最小为2．
2．（2023·高一单元测试）已知下列各组事件：
①掷一次骰子，事件A：点数为奇数，事件B：点数为偶数；
②掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：两次正面都朝上；
③从10男10女中选两个人分别担任正副班长，事件A：正班长是男的，事件B：副班长是男的；
④掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．
其中A、B是独立事件的序号是______.
3．（2022·高一课时练习）有两个设计团队，一个比较稳重，记作，另一个具有创新性，记作．要求他们分别在一个月内做一个设计，从过去的经验知道：
的成功概率为；的成功概率为；两个团队中至少有一个成功的概率为．
问：从过去的经验推断的成功及的成功是否相互独立，并说明理由．
考点二 独立事件与互斥事件辨析
【例2-1】（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
【例2-2】（2022重庆）已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与C互斥
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【一隅三反】
1．（2023辽宁沈阳）（多选）若，，，则事件与的关系错误的是（ ）
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与既互斥又相互独立
2．（2022秋·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）（多选）甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
3．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）（多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（ ）
A．A与C互斥B．B与D对立C．A与相互独立D．B与C相互独立
考点三 求相互独立事件的概率
【例3-1】（2023·全国·高一专题练习）某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节．现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响．求：
(1)此人进入第四环节才被淘汰的概率；
(2)此人至多进入第三环节的概率．
【例3-2】（2022春·广西梧州·高一校考开学考试）年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．
(1)求甲乙两队都答对此题的概率；
(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．
2．（2022秋·北京延庆·高一统考期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．
3．（2023·全国·高一专题练习）第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
10.2 事件的相互独立性（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 事件独立性的判断
【例1】（2022·高一课时练习）下列A，为独立事件的是__________________（写出所有正确选项的序号）．
①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，：第二张抽中7；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃．
【答案】②④
【解析】①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2
则，则，则A，不为独立事件；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5
则，则，则A，为独立事件；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，
A：第一张抽中7，：第二张抽中7；
则，
则，则A，不为独立事件；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，
A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃．
则，
则，则A，为独立事件.故答案为：②④
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）投掷一颗骰子两次，判断事件是否独立__________．
第一次投出1点； 两次点数之和为7； 两次点数最大为2； 两次点数最小为2．
【答案】相互独立；不相互独立．
【解析】事件 第一次投出1点，所以 ；
两次点数之和为7，所以 ；
又因为，
所以相互独立；
事件 两次点数最大为2，其基本事件为：，
所以；
两次点数最小为2，其基本事件为：，
所以，
所以，
所以不相互独立.
故答案为：相互独立；不相互独立．
2．（2023·高一单元测试）已知下列各组事件：
①掷一次骰子，事件A：点数为奇数，事件B：点数为偶数；
②掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：两次正面都朝上；
③从10男10女中选两个人分别担任正副班长，事件A：正班长是男的，事件B：副班长是男的；
④掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．
其中A、B是独立事件的序号是______.
【答案】④
【解析】对于①，因为，而，此时，所以事件与不独立；
对于②，掷两次硬币，可能的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
则，而，此时，所以事件与不独立；
对于③，因为，而，
此时，所以事件与不独立；
对于④，掷两次硬币，可能的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
则，而，此时，所以事件与相互独立，
综上可知，A、B是独立事件的序号为④．
故答案为：④．
3．（2022·高一课时练习）有两个设计团队，一个比较稳重，记作，另一个具有创新性，记作．要求他们分别在一个月内做一个设计，从过去的经验知道：
的成功概率为；的成功概率为；两个团队中至少有一个成功的概率为．
问：从过去的经验推断的成功及的成功是否相互独立，并说明理由．
【答案】的成功与的成功不相互独立，理由见解析
【解析】的成功与的成功不相互独立．理由：
，，，，
从而可得的成功与的成功不相互独立.
考点二 独立事件与互斥事件辨析
【例2-1】（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
【答案】A
【解析】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
【例2-2】（2022重庆）已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与C互斥
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【答案】C
【解析】由题知，，因为，故A错误；
因为，A发生时C一定发生，故B错误；
因为，所以，
又，所以，故C正确；
因为，所以，由，，故D错误.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023辽宁沈阳）（多选）若，，，则事件与的关系错误的是（ ）
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与既互斥又相互独立
【答案】ABD
【解析】由题意可得，
因为，， 可得，
所以事件与相互独立，不互斥不对立.
故选：ABD．
2．（2022秋·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）（多选）甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
【答案】ABC
【解析】对于A，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A正确；
对于B, 事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；
对于C，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，
故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C正确；
对于D，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，
故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，
故选：
3．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）（多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（ ）
A．A与C互斥B．B与D对立C．A与相互独立D．B与C相互独立
【答案】AD
【解析】事件A：两枚骰子的点数之和为5，则为（1,4）（4,1）（2,3）（3,2）
事件C：表示“两枚骰子的点数相同，则为（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）
故事件A与事件C互斥，所以A正确；
事件中与事件D会出现相同的情况，例如（2,1）（4,3）等
故事件中与事件D不对立，故B不正确；
事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”
事件D的对立事件表示“掷出的点数都是偶数点”
所以,,所以故C不正确；
,,所以故D正确；故选：AD.
考点三 求相互独立事件的概率
【例3-1】（2023·全国·高一专题练习）某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节．现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响．求：
(1)此人进入第四环节才被淘汰的概率；
(2)此人至多进入第三环节的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率；
（2）此人进入第一环节被淘汰的概率；
此人进入第二环节被淘汰的概率；
此人进入第三环节被淘汰的概率，
此人至多进入第三环节的概率为．
【例3-2】（2022春·广西梧州·高一校考开学考试）年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）解：令事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，
事件在一定时期内能研制出疫苗，
由题意可知，事件、、相互独立，且，，.
若他们都研制出疫苗，即事件、、同时发生，
所以，，即他们都研制出疫苗的概率为．
（2）解：他们都失败，即事件、、同时发生，
所以，.
即他们都失败的概率为．
（3）解：“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，
结合对立事件间的概率关系，可得所求事件的概率.
即他们能研制出疫苗的概率为．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．
(1)求甲乙两队都答对此题的概率；
(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：设甲、乙队答对此题分别为事件，则，
记事件“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，
所以，故甲乙两队都答对此题的概率为；
（2）解：记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，
故.
故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.
2．（2022秋·北京延庆·高一统考期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．
【答案】(1)0.21；
(2)0.44；
(3)0.94.
【解析】（1）设事件：甲投篮命中;
事件：乙投篮命中;
事件：丙投篮命中.
甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率
.
所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.
（2）设事件:恰有两人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.
（3）设事件:至少有一人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.
3．（2023·全国·高一专题练习）第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件，
若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，
所以；
（2）设“该局比赛甲得11分获胜”为事件，
甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲获胜；
甲得3分，乙得1分，则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，
所以.
典例精讲
考点一 事件独立性的判断
【例1】（2022·高一课时练习）下列A，为独立事件的是__________________（写出所有正确选项的序号）．
①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，：第二张抽中7；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃．
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）投掷一颗骰子两次，判断事件是否独立__________．
第一次投出1点； 两次点数之和为7； 两次点数最大为2； 两次点数最小为2．
2．（2023·高一单元测试）已知下列各组事件：
①掷一次骰子，事件A：点数为奇数，事件B：点数为偶数；
②掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：两次正面都朝上；
③从10男10女中选两个人分别担任正副班长，事件A：正班长是男的，事件B：副班长是男的；
④掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．
其中A、B是独立事件的序号是______.
3．（2022·高一课时练习）有两个设计团队，一个比较稳重，记作，另一个具有创新性，记作．要求他们分别在一个月内做一个设计，从过去的经验知道：
的成功概率为；的成功概率为；两个团队中至少有一个成功的概率为．
问：从过去的经验推断的成功及的成功是否相互独立，并说明理由．
考点二 独立事件与互斥事件辨析
【例2-1】（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
【例2-2】（2022重庆）已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与C互斥
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【一隅三反】
1．（2023辽宁沈阳）（多选）若，，，则事件与的关系错误的是（ ）
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与既互斥又相互独立
2．（2022秋·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）（多选）甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
3．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）（多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（ ）
A．A与C互斥B．B与D对立C．A与相互独立D．B与C相互独立
考点三 求相互独立事件的概率
【例3-1】（2023·全国·高一专题练习）某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节．现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响．求：
(1)此人进入第四环节才被淘汰的概率；
(2)此人至多进入第三环节的概率．
【例3-2】（2022春·广西梧州·高一校考开学考试）年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．
(1)求甲乙两队都答对此题的概率；
(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．
2．（2022秋·北京延庆·高一统考期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．
3．（2023·全国·高一专题练习）第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
10.2 事件的相互独立性（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 事件独立性的判断
【例1】（2022·高一课时练习）下列A，为独立事件的是__________________（写出所有正确选项的序号）．
①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A：第一张抽中7，：第二张抽中7；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃．
【答案】②④
【解析】①投掷骰子一次，A：投出点数为3，：投出点数为2
则，则，则A，不为独立事件；
②投掷骰子两次，A：第一次投出点数为3，：第二次投出点数为5
则，则，则A，为独立事件；
③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，
A：第一张抽中7，：第二张抽中7；
则，
则，则A，不为独立事件；
④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，
A：第一张抽中红桃，：第二张抽中黑桃．
则，
则，则A，为独立事件.故答案为：②④
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）投掷一颗骰子两次，判断事件是否独立__________．
第一次投出1点； 两次点数之和为7； 两次点数最大为2； 两次点数最小为2．
【答案】相互独立；不相互独立．
【解析】事件 第一次投出1点，所以 ；
两次点数之和为7，所以 ；
又因为，
所以相互独立；
事件 两次点数最大为2，其基本事件为：，
所以；
两次点数最小为2，其基本事件为：，
所以，
所以，
所以不相互独立.
故答案为：相互独立；不相互独立．
2．（2023·高一单元测试）已知下列各组事件：
①掷一次骰子，事件A：点数为奇数，事件B：点数为偶数；
②掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：两次正面都朝上；
③从10男10女中选两个人分别担任正副班长，事件A：正班长是男的，事件B：副班长是男的；
④掷两次硬币，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．
其中A、B是独立事件的序号是______.
【答案】④
【解析】对于①，因为，而，此时，所以事件与不独立；
对于②，掷两次硬币，可能的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
则，而，此时，所以事件与不独立；
对于③，因为，而，
此时，所以事件与不独立；
对于④，掷两次硬币，可能的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
则，而，此时，所以事件与相互独立，
综上可知，A、B是独立事件的序号为④．
故答案为：④．
3．（2022·高一课时练习）有两个设计团队，一个比较稳重，记作，另一个具有创新性，记作．要求他们分别在一个月内做一个设计，从过去的经验知道：
的成功概率为；的成功概率为；两个团队中至少有一个成功的概率为．
问：从过去的经验推断的成功及的成功是否相互独立，并说明理由．
【答案】的成功与的成功不相互独立，理由见解析
【解析】的成功与的成功不相互独立．理由：
，，，，
从而可得的成功与的成功不相互独立.
考点二 独立事件与互斥事件辨析
【例2-1】（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件B．不相互独立事件
C．互斥事件D．对立事件
【答案】A
【解析】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
【例2-2】（2022重庆）已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件，下列选项中正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与C互斥
C．A与B相互独立D．A与C相互独立
【答案】C
【解析】由题知，，因为，故A错误；
因为，A发生时C一定发生，故B错误；
因为，所以，
又，所以，故C正确；
因为，所以，由，，故D错误.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023辽宁沈阳）（多选）若，，，则事件与的关系错误的是（ ）
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与既互斥又相互独立
【答案】ABD
【解析】由题意可得，
因为，， 可得，
所以事件与相互独立，不互斥不对立.
故选：ABD．
2．（2022秋·河南·高一武陟县第一中学校联考阶段练习）（多选）甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
【答案】ABC
【解析】对于A，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A正确；
对于B, 事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；
对于C，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，
故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C正确；
对于D，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，
故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，
故选：
3．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）（多选）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（ ）
A．A与C互斥B．B与D对立C．A与相互独立D．B与C相互独立
【答案】AD
【解析】事件A：两枚骰子的点数之和为5，则为（1,4）（4,1）（2,3）（3,2）
事件C：表示“两枚骰子的点数相同，则为（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）
故事件A与事件C互斥，所以A正确；
事件中与事件D会出现相同的情况，例如（2,1）（4,3）等
故事件中与事件D不对立，故B不正确；
事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”
事件D的对立事件表示“掷出的点数都是偶数点”
所以,,所以故C不正确；
,,所以故D正确；故选：AD.
考点三 求相互独立事件的概率
【例3-1】（2023·全国·高一专题练习）某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节．现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响．求：
(1)此人进入第四环节才被淘汰的概率；
(2)此人至多进入第三环节的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率；
（2）此人进入第一环节被淘汰的概率；
此人进入第二环节被淘汰的概率；
此人进入第三环节被淘汰的概率，
此人至多进入第三环节的概率为．
【例3-2】（2022春·广西梧州·高一校考开学考试）年月日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种，月日时分，重组新冠疫苗获批启动临床试验.月日，中国新冠病毒疫苗进入期临床试验截至月日，全球当前有大约种候选新冠病毒疫苗在研发中，其中至少有种疫苗正处于临床试验阶段现有、、三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗的概率分别是、、．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）解：令事件在一定时期内能研制出疫苗，事件在一定时期内能研制出疫苗，
事件在一定时期内能研制出疫苗，
由题意可知，事件、、相互独立，且，，.
若他们都研制出疫苗，即事件、、同时发生，
所以，，即他们都研制出疫苗的概率为．
（2）解：他们都失败，即事件、、同时发生，
所以，.
即他们都失败的概率为．
（3）解：“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，
结合对立事件间的概率关系，可得所求事件的概率.
即他们能研制出疫苗的概率为．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是，乙队答对此题的概率是，假设每队答题正确与否是相互独立的．
(1)求甲乙两队都答对此题的概率；
(2)求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：设甲、乙队答对此题分别为事件，则，
记事件“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，
所以，故甲乙两队都答对此题的概率为；
（2）解：记事件“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，
故.
故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为.
2．（2022秋·北京延庆·高一统考期末）已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．
【答案】(1)0.21；
(2)0.44；
(3)0.94.
【解析】（1）设事件：甲投篮命中;
事件：乙投篮命中;
事件：丙投篮命中.
甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率
.
所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.
（2）设事件:恰有两人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.
（3）设事件:至少有一人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.
3．（2023·全国·高一专题练习）第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件，
若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，
所以；
（2）设“该局比赛甲得11分获胜”为事件，
甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲获胜；
甲得3分，乙得1分，则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，
所以.
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