高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第六课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质学案

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函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
(1)先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；
(2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是φω(ω＞0)个单位长度．
[典例1] (多选)(2023·重庆巴蜀中学模拟)要得到函数y＝sin x的图象，只需将y＝sin 2x-π4图象上的所有点( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π4个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π8个单位长度
C．向左平移π8个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍
D．向右平移π4个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12
AC [将函数y＝sin 2x-π4的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin x-π4的图象，再将y＝sin x-π4图象上所有点向左平移π4个单位长度，得到y＝sin x的图象，所以A正确，B错误．
将函数y＝sin 2x-π4图象上所有点向左平移π8个单位长度，得到y＝sin 2x+π8-π4＝sin 2x的图象，再将y＝sin 2x图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin x的图象，所以C正确，D错误．故选AC．]
注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．
跟进训练1 (1)(2024·福建武夷山模拟)把y＝sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移π6个单位长度，得到y＝f (x)的图象， 则( )
A．f (x)＝sin 12x-π6
B．f (x)＝sin 12x-π12
C．f (x)＝sin 2x-π3
D．f (x)＝sin 2x-π6
(2)(2024·开封模拟)设ω>0，将函数y＝sin ωx+π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
(1)C (2)D [(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y＝sin 2x的图象，再把所得图象向右平移π6个单位长度，可得函数y＝sin 2x-π6＝sin 2x-π3的图象，所以f (x)＝sin 2x-π3．故选C．
(2)将函数y＝sin ωx+π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，
故π6为函数y＝sin ωx+π6的周期的整数倍，即2kπω＝π6(k∈N*)，则ω＝12k(k∈N*)，故当k＝1时，ω取得最小值12．]
【教师备用】
要得到函数y＝cs 2x-π6的图象，可以把函数y＝sin 2x+π6的图象( )
A．向右平移π6个单位长度
B．向右平移π12个单位长度
C．向左平移π6个单位长度
D．向左平移π12个单位长度
D [函数y＝cs 2x-π6
＝sin 2x-π6+π2
＝sin 2x+π6+π6
＝sin 2x+π12+π6，
所以只需将y＝sin 2x+π6的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y＝cs 2x-π6的图象．]
考点二 确定y＝A sin (ωx＋φ )的解析式
1．简谐运动的有关概念
2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
[典例2] (1)函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)ω>0，-π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω＝______，φ＝________．
(2)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式为________．
(1)2 －π3 (2)f (x)＝2sin 2x+π3 [(1)由题图可知，3T4＝34·2πω＝5π12－-π3，得ω＝2．
又函数过点5π12，2，f (x)＝2sin (2x＋φ)，故2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，得φ＝2kπ－π3，k∈Z，
∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3．
(2)由题图可知A＝2，
法一：T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，故ω＝2，
因此f (x)＝2sin (2x＋φ)，
又π3，0对应五点法作图中的第三个点，
因此2·π3＋φ＝π，
所以φ＝π3，故f (x)＝2sin 2x+π3．
法二：以x＝π3为第二个“零点”，7π12，-2为最小值点，列方程组ω·π3+φ=π，ω·7π12+φ=3π2，
解得ω=2，φ=π3，故f (x)＝2sin 2x+π3．]
求待定系数φ值时的方法：以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
跟进训练2 若将函数g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数f (x)的图象，已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)A>0，ω>0，φ<π2的部分图象如图所示，则( )
A．g(x)＝sin 2x+π3
B．g(x)＝sin 2x+2π3
C．g(x)＝sin 2x
D．g(x)＝sin 2x+π6
C [根据题图有A＝1，
34T＝5π6－π12＝3π4，
故T＝π＝2πω，则ω＝2(T为f (x)的最小正周期)，所以f (x)＝sin (2x＋φ)，
由f π12＝sin 2×π12+φ＝1⇒φ＝π3＋2kπ，k∈Z．
因为|φ|<π2，所以φ＝π3，
所以f (x)＝sin 2x+π3，
将f (x)＝sin 2x+π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，
则g(x)＝f x-π6＝sin 2x-π6+π3＝sin 2x．]
考点三 三角函数图象与性质的综合应用
图象与性质的综合应用
[典例3] (2024·衡阳模拟)若函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)ω>0，φ<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数g(x)为偶函数，则f (x)的图象( )
A．关于直线x＝π3对称
B．关于点π6，0对称
C．关于直线x＝－π6对称
D．关于点5π12，0对称
D [依题意可得ω＝2ππ＝2，所以f (x)＝2sin (2x＋φ)，
所以f (x)的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)＝2sin 2x+π3+φ，
又函数g(x)为偶函数，所以π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，
解得φ＝π6＋kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ＝π6，
所以f (x)＝2sin 2x+π6．
由2x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝π6＋kπ2，k∈Z，
所以f (x)图象的对称轴为x＝π6＋kπ2，k∈Z，排除A，C．由2x＋π6＝kπ，k∈Z，得x＝－π12＋kπ2，k∈Z，则f (x)图象的对称中心为-π12+kπ2，0，k∈Z，排除B．当k＝1时，－π12＋π2＝5π12，故D正确．]
函数零点(方程根)问题
[典例4] (多选)若关于x的方程23cs2x－sin2x＝3－m在区间-π4，π6上有且只有一个解，则m的值可能为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
AC [23cs2x－sin2x＝3－m，整理可得cs 2x+π6＝－m2，令t＝2x＋π6，因为x∈-π4，π6，则t∈-π3，π2．
所以cs t＝－m2在区间-π3，π2上有且只有一个解，即y＝cs t的图象和直线y＝－m2只有1个交点．
由图可知，－m2＝1或0≤－m2<12，解得m＝－2或－1 三角函数模型的应用
[典例5] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，φ<π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为______元．
6 000 [作出函数简图如图．
三角函数模型为y＝A sin (ωx＋φ)＋B，由题意知A＝12×(9 000－5 000)＝2 000，
B＝12×(9 000＋5 000)＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝2πT＝π6．将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，
故f (x)＝2 000sin π6x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000(元)．
故7月份的出厂价格为6 000元．]
(1)研究y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)的性质时，一般将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题．
(2)与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析．
(3)解决应用问题时，首先确定三角函数模型，然后搜集数据，求出三角函数解析式后再解决有关问题．
跟进训练3 (1)(2024·山东省实验中学月考)将函数f (x)的图象向左平移π3个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的32倍，得到函数g(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f (x)的说法正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为π3
B．f (x)在π9，π3上单调递减
C．f (x)的图象关于直线x＝π9对称
D．f (x)的图象关于点π9，0成中心对称
(2)已知函数f (x)＝2cs x·cs x-π6在π4-a，π4+a(a>0)上单调递减．
①求f (x)的最小正周期和对称轴方程；
②求实数a的取值范围．
(1)D [根据g(x)的部分图象，可得A＝2，
12×2πω＝5π12＋π12＝π2，所以ω＝2．
结合五点法作图，可得2×-π12＋φ＝π2，
所以φ＝2π3，故g(x)＝2sin 2x+2π3．
由题意，把y＝g(x)图象上所有点的横坐标变为原来的23倍，再向右平移π3个单位长度，
可得f (x)＝2sin 3x+2π3-π＝2sin 3x-π3的图象，故f (x)的最小正周期为2π3，故A错误；
当x∈π9，π3时，3x－π3∈0，2π3，f (x)不单调递减，故B错误；
令x＝π9，得f (x)＝0，不是最值，故f (x)的图象关于点π9，0对称，但不关于直线x＝π9对称，故C错误，D正确．故选D．]
(2)[解] ①f (x)＝2cs x·32csx+12sinx
＝32(1＋cs 2x)＋12sin 2x＝sin 2x+π3＋32．
所以f (x)的最小正周期为T＝2πω＝π．
令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，
解得x＝kπ2＋π12，k∈Z，
所以f (x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z．
②法一：由①可知f (x)在π12，7π12上单调递减．
因为π4∈π12，7π12，所以要使得f (x)在π4-a，π4+a上单调递减，只需满足π4+a≤7π12，π4-a≥π12，解得a≤π6．
又a>0，所以实数a的取值范围为0，π6．
法二：因为f (x)在π4-a，π4+a上单调递减，
所以π4+a－π4-a≤T2＝π2，即0由①可知f (x)在kπ+π12，kπ+7π12(k∈Z)上单调递减，
所以π4－a≥kπ＋π12，且π4＋a≤kπ＋7π12，
即a≤kπ＋π3，且a≤－kπ＋π6，k∈Z．
结合0【教师备用】
(2024·广州模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，其中A>0，ω>0，0<φ<π，函数f (x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x＝π3处取到最小值－2．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈0，9π8上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
[解] (1)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，
其中A>0，ω>0，0<φ<π，
由题知函数f (x)的最小正周期为π2＝2πω，
解得ω＝4，
又函数f (x)在x＝π3处取到最小值－2，
则A＝2，且f π3＝－2，
即4π3＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，
令k＝0，可得φ＝π6，
所以f (x)＝2sin 4x+π6．
(2)函数f (x)＝2sin 4x+π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin 2x+π6，
再向左平移π6个单位长度可得
g(x)＝2sin 2x+π6+π6＝2cs 2x，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－π2＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以g(x)的单调递增区间为-π2+kπ，kπ(k∈Z)．
(3)因为方程g(x)＝m＋2在x∈0，9π8上有两个不同的实根，
作出函数g(x)＝2cs 2x，x∈0，9π8的图象，
由图可知－2解得－4所以m的取值范围为－4课后习题(二十四) 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin 12x-π3的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，4π，π3 B．2，14π，π3
C．2，14π，－π3 D．2，4π，－π3
C [由题意知A＝2，f ＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3．]
2．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 2x-π3的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移π6个单位长度
B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移π6个单位长度
D．向左平移π3个单位长度
A [y＝2sin 2x-π3＝2sin 2x-π6．]
3．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到y＝3cs3x+π8的图象，只需把y＝3csx+π8图象上的所有点的( )
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变
D [因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3csx+π8图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，即可得到函数y＝3cs3x+π8的图象，故选D．]
4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________________．
y＝5sin π8x+3π4＋10，x∈[6，14] [从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的半个周期，则A+B=15，-A+B=5，
所以A＝12×(15－5)＝5，B＝12×(15＋5)＝10．
又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8．
又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝3π4，
所以y＝5sin π8x+3π4＋10，x∈[6，14]．]
5．函数y＝sin 2x-π3在区间-π2，π上的简图是( )
A B
C D
A [令x＝0得y＝sin -π3＝－32，排除B，D项，由f -π3＝0，f π6＝0，排除C项，故选A．]
6．将函数f (x)＝sin 2x+π4的图象，向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin 2x
B．g(x)＝sin 2x+π4
C．g(x)＝sin 2x-π4
D．g(x)＝sin 2x+3π4
C [向右平移π4个单位长度后得，g(x)＝sin 2x-π4+π4＝sin 2x-π4．]
7．(2024·福州模拟)已知P是半径为3 cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为π2 rad/s．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系Oxy，若∠P0Ox＝π3，则点P的纵坐标y关于时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A．y＝3sin 4t+π3 B．y＝3sin π2t+π3
C．y＝3sin 4t-π3 D．y＝3sin π2t-π3
D [设点P的纵坐标y关于时间t(单位：s)的函数关系式为y＝A sin ωt+φ，由题意可得A＝3，φ＝－π3，t s时，射线OP可视为角πt2－π3的终边，则y＝3sin πt2-π3．故选D．]
8．(2024·天津中学月考)音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝11 000·sin ωt．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )
A．200 B．400
C．200π D．400π
D [由题图可得，ω>0，T＝4×1800＝1200，
即2πω＝1200，则ω＝400π．故选D．]
9．(多选)设函数f (x)＝sin 2x-π3的图象为曲线E，则下列结论中正确的是( )
A．-π12，0是曲线E的一个对称中心
B．若x1≠x2，且f (x1)＝f (x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为π2
C．将曲线y＝sin 2x向右平移π3个单位长度，与曲线E重合
D．将曲线y＝sin x-π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合
BD [函数f (x)＝sin 2x-π3的图象为曲线E，
令x＝－π12，求得f (x)＝－1，为最小值，
故f (x)的图象关于直线x＝－π12对称，故A错误；
若x1≠x2，且f (x1)＝f (x2)＝0，
则|x1－x2|的最小值为T2＝12×2π2＝π2，故B正确；
将曲线y＝sin 2x向右平移π3个单位长度，
可得y＝sin 2x-2π3的图象，故C错误；
将曲线y＝sin x-π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y＝sin 2x-π3的图象，与曲线E重合，故D正确．]
10．(2024·北京丰台区模拟)将函数f (x)＝cs 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．
π4答案不唯一，符合φ=π4+kπ2，k∈N即可 [将函数f (x)＝cs 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得g(x)＝cs (2x＋2φ)，由函数g(x)的图象关于原点对称，
可得g(0)＝cs 2φ＝0，所以2φ＝π2＋kπ，k∈Z，φ＝π4＋kπ2，k∈Z，当k＝0时，φ＝π4．]
11．函数f (x)＝cs 3x+π6在[0，π]上的零点个数为________．
3 [由题意知cs 3x+π6＝0，
所以3x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，
所以x＝π9＋kπ3，k∈Z，当k＝0时，x＝π9；当k＝1时，x＝4π9；当k＝2时，x＝7π9，均满足题意，所以函数f (x)在[0，π]上的零点个数为3．]
12．(2024·深圳模拟)已知函数f (x)＝23sin ωx·cs ωx＋2cs2ωx(ω>0)，且f (x)的最小正周期为π．
(1)求ω的值及函数f (x)的单调递减区间；
(2)将函数f (x)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈0，π2时，函数g(x)的最大值．
[解] (1)由题意知f (x)＝3sin2ωx＋1＋cs 2ωx＝2sin 2ωx+π6＋1，
∵最小正周期T＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，
∴f (x)＝2sin 2x+π6＋1，
令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z．
∴函数f (x)的单调递减区间为π6+kπ，2π3+kπ，k∈Z．
(2)∵g(x)＝2sin 2x-π6+π6＋1
＝2sin 2x-π6＋1，
当x∈0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，
∴当2x－π6＝π2，即x＝π3时，g(x)max＝2×1＋1＝3．
y＝A sin (ωx＋φ)
(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝2πω
f ＝1T＝ω2π
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
π2
π
3π2
2π
x
0-φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0