高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.7直线与圆的位置关系【九大题型】(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.7直线与圆的位置关系【九大题型】(原卷版+解析)，共31页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16962" 【题型1 直线与圆的位置关系的判定】 PAGEREF _Tc16962 \h 2
\l "_Tc17680" 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 PAGEREF _Tc17680 \h 2
\l "_Tc10347" 【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】 PAGEREF _Tc10347 \h 3
\l "_Tc29945" 【题型4 已知切线求参数】 PAGEREF _Tc29945 \h 3
\l "_Tc15776" 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 PAGEREF _Tc15776 \h 4
\l "_Tc25121" 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 PAGEREF _Tc25121 \h 5
\l "_Tc7408" 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 PAGEREF _Tc7408 \h 5
\l "_Tc18561" 【题型8 直线与圆有关的最值问题】 PAGEREF _Tc18561 \h 7
\l "_Tc29441" 【题型9 直线与圆的方程的应用】 PAGEREF _Tc29441 \h 7
【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+my+1−m=0与圆C:x−12+y−22=9的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
【变式1-2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）⊙O的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为8 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相离
C．相切D．以上均不对
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知曲线C:x2+y2−6y+5=0，直线l:ax+y+a−2=0，则直线l与曲线C的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）设平面直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，则b的取值范围为（ ）
A．−12,12B．−1,1C．−2,2D．−3,3
【变式2-1】（2023·北京·高三专题练习）若直线x−y+1=0与圆x2+y2−2x+1−a=0相切，则a等于（ ）
A．2B．1C．2D．4
【变式2-2】（2023·广东茂名·统考二模）已知直线l:y=kx与圆C:x−22+y−12=1，则“0A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相切，则mn的最大值为（ ）
A．14B．12C．1D．2
【知识点2 圆的切线及切线方程】
1．圆的切线及切线方程
(1)自一点引圆的切线的条数：
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：
①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
②重要结论：
a.经过圆上一点P的切线方程为.
b.经过圆上一点P的切线方程为.
c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】
【例3】（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）过圆x2+y2−2x−4y=0上一点P3,3的切线方程为（ ）
A．2x−y+9=0B．2x+y−9=0
C．2x+y+9=0D．2x−y−9=0
【变式3-1】（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）设O为原点，点P在圆C:(x−2)2+(y−1)2=1上，若直线OP与圆C相切，则OP=（ ）
A．2B．23C．13D．14
【变式3-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）过点0,−2与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则csα=（ ）
A．14B．154C．−14D．104
【变式3-3】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知点P在圆C: x−a2+y2=a2a>0．上，点A0,2，若PA的最小值为1，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．x=0或7x+24y−48=0B．x=0或7x−24y−48=0
C．x=1或24x−7y−48=0D．x=1或24x+7y−48=0
【题型4 已知切线求参数】
【例4】（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线x−y+3=0与圆x2+y2−2x+2−a=0相切，则a=（ ）
A．9B．8C．7D．6
【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）“b=2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式4-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆x+12+y−m2=5相切，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或4B．1或6C．0或5D．2或7
【变式4-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）已知圆O:x2+y2=4，直线l的方程为x−y+m=0，若在直线l上存在点P，过点P作圆O的切线PA,PB，切点分别为点A,B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为（ ）
A．−∞,−4∪4,+∞B．−∞,−4∪4,+∞
C．−4,4D．−4,4
【知识点3 圆的弦长】
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【题型5 求圆的弦长与中点弦】
【例5】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知直线l:x−2y+3=0与圆C:x2+y2−2x−6y+6=0交于A,B两点，则AB=（ ）
A．1655B．855C．455D．255
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，则圆C中以a2,−a2为中点的弦长为（ ）
A．25B．5C．10D．210
【变式5-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知直线l与圆C:x−12+y2=9相交于A,B两点,弦AB的中点为M0,2,则直线l的方程为（ ）
A．x+2y+4=0B．x+2y−4=0C．x−2y+4=0D．x−2y−4=0
【变式5-3】（2023·北京·高三专题练习）已知直线y+1=m(x−2)与圆(x−1)2+(y−1)2=9相交于M，N两点.则|MN|的最小值为（ ）
A．5B．25C．4D．6
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】
【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）已知直线l：x−ky−5=0与圆O：x2+y2=10交于A、B两点且AB=25，则k=（ ）
A．0B．±1C．±2D．±3
【变式6-1】（2023·广西玉林·博白县模拟预测）已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（ ）
A．±2B．±2C．±3D．±3
【变式6-2】（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线x−3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为27，则此圆的方程是（ ）
A．(x−3)2+(y−1)2=9
B．(x+3)2+(y+1)2=9
C．(x+3)2+(y+1)2=9或(x−3)2+(y−1)2=9
D．(x+3)2+(y−1)2=9或(x−3)2+(y+1)2=9
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）直线y=kx+2与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若MN≥23，则k的取值范围是（ ）
A．−34,34B．−3,3C．−33,33D．0,43
【题型7 直线与部分圆的相交问题】
【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知曲线y=1−x2与直线y=k(x+3)−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．(12,34)B．0,34C．12,23D．[12,34)
【变式7-1】（2023·北京海淀·高三专题练习）已知直线l:x+y+t=0，曲线C:y=4−x2，则“l与C相切”是“t=−22”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式7-2】（2023春·江西宜春·高二校联考期中）若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y=4−x2有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A．34B．45C．43D．2
【变式7-3】（2023春·全国·高二开学考试）直线y=2x+m与曲线y=4−x2恰有两个交点，则实数m取值范围是（ ）
A．−4,4B．4,25C．−25,4D．−2,4
【知识点4 解与圆有关的最值问题】
1．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【题型8 直线与圆有关的最值问题】
【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆O:x2+y2=1，直线3x+4y−10=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式8-1】（2023春·北京东城·高三校考阶段练习）已知圆C:x2+y2−2x=0，过直线l:y=x+2上的动点M作圆C的切线，切点为N，则MN的最小值是（ ）
A．22B．2C．322D．142
【变式8-2】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知圆C:x−42+y−132=4，过直线l:4x−3y=0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则△PCQ的面积最小值为（ ）
A．3B．5C．25D．13
【变式8-3】（2023秋·山西晋城·高二校考期末）已知点P是圆x−12+y−62=425上的点，点Q是直线x−y=0上的点，点R是直线12x−5y+24=0上的点，则PQ+QR的最小值为（ ）
A．7B．335C．6D．295
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．直线与圆的方程的应用
(1)解决实际问题的步骤：
①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；
②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；
③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；
④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.
(2)建系原则
建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：
①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可
以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.
②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.
【题型9 直线与圆的方程的应用】
【例9】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度AB=20米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱A2P2=4米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
【变式9-1】（2023秋·湖北·高二校联考期末）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【变式9-2】（2023秋·云南丽江·高二统考期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向22km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时87km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【变式9-3】（2023春·上海浦东新·高二校考阶段练习）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．
(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；
(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；
(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求APAD的取值范围．
专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16962" 【题型1 直线与圆的位置关系的判定】 PAGEREF _Tc16962 \h 2
\l "_Tc17680" 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 PAGEREF _Tc17680 \h 3
\l "_Tc10347" 【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】 PAGEREF _Tc10347 \h 5
\l "_Tc29945" 【题型4 已知切线求参数】 PAGEREF _Tc29945 \h 7
\l "_Tc15776" 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 PAGEREF _Tc15776 \h 9
\l "_Tc25121" 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 PAGEREF _Tc25121 \h 11
\l "_Tc7408" 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 PAGEREF _Tc7408 \h 12
\l "_Tc18561" 【题型8 直线与圆有关的最值问题】 PAGEREF _Tc18561 \h 15
\l "_Tc29441" 【题型9 直线与圆的方程的应用】 PAGEREF _Tc29441 \h 18
【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
【题型1 直线与圆的位置关系的判定】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+my+1−m=0与圆C:x−12+y−22=9的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【解题思路】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系.
【解答过程】已知直线l:x+my+1−m=0过定点−1,1，
将点−1,1代入圆的方程可得−1−12+1−22<9，
可知点−1,1在圆内，
所以直线l:x+my+1−m=0与圆C:x−12+y−22=9相交.
故选：A.
【变式1-1】（2023秋·高二课时练习）M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
【解题思路】由题意可得x02+y02<1，结合圆心到直线x0x+y0y=1的距离判断与半径的大小关系，即得答案.
【解答过程】由题意知M(x0,y0)为圆x2+y2=1内异于圆心的一点，
则x02+y02<1，
而圆：x2+y2=1的圆心到直线x0x+y0y=1的距离为d=1x02+y02>1=r，
故直线x0x+y0y=1与该圆的位置关系为相离，
故选：C.
【变式1-2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）⊙O的半径为7 cm，圆心O到直线l的距离为8 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相离
C．相切D．以上均不对
【解题思路】根据圆与直线的位置关系即可得答案.
【解答过程】⊙O的半径为r=7cm，圆心O到直线l的距离为d=8cm，则r故选：B.
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知曲线C:x2+y2−6y+5=0，直线l:ax+y+a−2=0，则直线l与曲线C的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程得x2+y−32=4，再求出直线l所过定点，判断定点与圆的位置关系即可.
【解答过程】x2+y2−6y+5=0即x2+y−32=4，
故曲线C表示以点C0,3为圆心，2为半径的圆.
因为直线l的方程可化为ax+1+y−2=0，
所以直线l恒过点A−1,2.因为AC=12+12=2<2，故点A在圆C的内部，
所以直线l与圆C相交，
故选：C.
【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）设平面直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，则b的取值范围为（ ）
A．−12,12B．−1,1C．−2,2D．−3,3
【解题思路】利用圆心到直线l的距离小于半径列不等式，从而求得b的取值范围.
【解答过程】易知圆x2+y2=1的圆心为0,0，半径为1，直线l:x−y+b=0，
因为直线y=x+b与圆x2+y2=1相交，
所以0−0+b12+(−1)2=b2<1，解得−2故选：C.
【变式2-1】（2023·北京·高三专题练习）若直线x−y+1=0与圆x2+y2−2x+1−a=0相切，则a等于（ ）
A．2B．1C．2D．4
【解题思路】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求a的值.
【解答过程】圆x2+y2−2x+1−a=0化成标准方程为x−12+y2=a，则a>0且圆心坐标为1,0，半径为a，
直线x−y+1=0与圆x2+y2−2x+1−a=0相切，则圆心到直线距离等于半径，
即：d=1−0+112+−12=22=a，解得a=2.
故选：A.
【变式2-2】（2023·广东茂名·统考二模）已知直线l:y=kx与圆C:x−22+y−12=1，则“0A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先利用直线l与圆C相交可得到0【解答过程】由圆C:x−22+y−12=1可得圆心(2,1)，半径为1，
所以直线l与圆C相交⇔圆心(2,1)到直线l:kx−y=0的距离d=2k−1k2+1<1，解得0所以“0故选：A.
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相切，则mn的最大值为（ ）
A．14B．12C．1D．2
【解题思路】由直线和圆相切可得m2+n2=1，利用基本不等式即可求得答案.
【解答过程】由于直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相切，
故圆心到直线l的距离为d=1m2+n2=1，即m2+n2=1，
故mn≤m2+n22=12，当且仅当m=n=22时取等号，
故选：B.
【知识点2 圆的切线及切线方程】
1．圆的切线及切线方程
(1)自一点引圆的切线的条数：
①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：
①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
②重要结论：
a.经过圆上一点P的切线方程为.
b.经过圆上一点P的切线方程为.
c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【题型3 圆的切线长及切线方程的求解】
【例3】（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）过圆x2+y2−2x−4y=0上一点P3,3的切线方程为（ ）
A．2x−y+9=0B．2x+y−9=0
C．2x+y+9=0D．2x−y−9=0
【解题思路】根据圆的一般方程得到圆心，从而得到直线PC的斜率，进而求出过点P的切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程.
【解答过程】由x2+y2−2x−4y=0得：x−12+y−22=5，
则该圆的圆心为C1,2，又P3,3是该圆上一点，
则直线PC的斜率为kPC=3−23−1=12，
所以过点P的切线的斜率k=−2，
则过点P3,3的切线方程为y−3=−2x−3，即2x+y−9=0，
故选：B.
【变式3-1】（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）设O为原点，点P在圆C:(x−2)2+(y−1)2=1上，若直线OP与圆C相切，则OP=（ ）
A．2B．23C．13D．14
【解题思路】由题意利用勾股定理即可求解．
【解答过程】由圆C的方程可得C2,1，故OC2=22+12=5，
O为原点，P在圆C:(x−2)2+(y−1)2=1上，OP与圆C相切，
则OP=OC2−PC2=5−1=2.

故选:A．
【变式3-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）过点0,−2与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则csα=（ ）
A．14B．154C．−14D．104
【解题思路】圆的方程化为(x−2)2+y2=5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sinα2，由二倍角公式可得csα的值．
【解答过程】圆x2+y2−4x−1=0可化为(x−2)2+y2=5，则圆心C(2,0)，半径为r=5；

设P(0,−2)，切线为PA、PB，则PC=22+22=22，
△PAC中，sinα2=BCPC=522，所以csα=1−2sin2α2=1−2×5222=−14．
故选：C．
【变式3-3】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知点P在圆C: x−a2+y2=a2a>0．上，点A0,2，若PA的最小值为1，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．x=0或7x+24y−48=0B．x=0或7x−24y−48=0
C．x=1或24x−7y−48=0D．x=1或24x+7y−48=0
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，根据PA的最小值为1，得到方程求出a的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.
【解答过程】由圆C方程可得圆心为Ca,0，半径r=a，因为PA的最小值为1，所以a2+4−a=1，
解得a=32，故圆C:x−322+y2=94．
若过点A0,2的切线斜率存在，
设切线方程为y=kx+2，则32k−0+21+k2=32，解得k=−724，
所以切线方程为y=−724x+2，即7x+24y−48=0；
若过点A0,2的切线斜率不存在，由圆C方程可得，圆C过坐标原点0,0，所以切线方程为x=0．
综上，过点A且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y−48=0．
故选：A.
【题型4 已知切线求参数】
【例4】（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线x−y+3=0与圆x2+y2−2x+2−a=0相切，则a=（ ）
A．9B．8C．7D．6
【解题思路】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.
【解答过程】圆(x−1)2+y2=a−1 (a>1)的圆心(1,0)，半径a−1，
依题意，|1−0+3|12+(−1)2=a−1，解得a=9，
所以a=9.
故选：A.
【变式4-1】（2023·全国·高三对口高考）“b=2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出b值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.
【解答过程】若直线y=x+b与圆x2+y2=1相切，
则圆心0,0到直线x−y+b=0的距离d等于半径r，即b2=1，b=±2，
故前者能推出后者，后者无法推出前者，
故“b=2”是“直线y=x+b与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式4-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆x+12+y−m2=5相切，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或4B．1或6C．0或5D．2或7
【解题思路】结合基本不等式求得当直线l的斜率k=−12时，三角形OAB面积最小.结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求得m的值.
【解答过程】因为过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），其中k＜0，
令y＝0，解得x＝2−1k，令x＝0，则y＝1﹣2k，则A（2−1k，0），B（0，1﹣2k），
所以S△OAB=12×(2−1k)(1−2k)＝12(−4k−1k+4)≥12×(2−4k⋅1−k+4)＝4，当其仅当−4k=−1k，即k＝−12时取等号，
此时直线l的方程为y−1=−12(x−2)，即x+2y﹣4＝0，
因为直线l与圆x+12+y−m2=5相切，
所以|−1+2m−4|1+4=5，解得m＝0或m＝5．
故选：C.
【变式4-3】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）已知圆O:x2+y2=4，直线l的方程为x−y+m=0，若在直线l上存在点P，过点P作圆O的切线PA,PB，切点分别为点A,B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为（ ）
A．−∞,−4∪4,+∞B．−∞,−4∪4,+∞
C．−4,4D．−4,4
【解题思路】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解.
【解答过程】连接OA,OB,OP，如图，
则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形OAPB为正方形，
又OP=2r=22，
所以点O到直线l:x−y+m=0的距离必须小于或等于22，
即d=0−0+m2≤22，所以−4≤m≤4，
故选：D.
【知识点3 圆的弦长】
1．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【题型5 求圆的弦长与中点弦】
【例5】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知直线l:x−2y+3=0与圆C:x2+y2−2x−6y+6=0交于A,B两点，则AB=（ ）
A．1655B．855C．455D．255
【解题思路】先求圆C的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点C到直线l的距离，再
利用弦长公式AB=2r2−d2求AB.
【解答过程】因为圆C:x2+y2−2x−6y+6=0的圆心为C1,3，半径r=2，
因为C1,3到直线l:x−2y+3=0的距离d=1−2×3+31+4=255，
所以AB=2r2−d2=24−45=855.
故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，则圆C中以a2,−a2为中点的弦长为（ ）
A．25B．5C．10D．210
【解题思路】圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，即说明直线过圆心C2,−4，可求出a=2，再由垂径定理即可求出弦长.
【解答过程】圆方程配方得x−22+y+42=20，圆心C2,−4，r=25，
∵圆C：x2+y2−4x+8y=0关于直线3x−2ay−22=0对称，
∴可知直线过圆心C2,−4，即3×2+8a−22=0，解得a=2，
故a2,−a2=1,−1，
则圆心与点1,−1的距离的平方为10，
则圆C中以1,−1为中点的弦长为2252−10=210.
故选：D.
【变式5-2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知直线l与圆C:x−12+y2=9相交于A,B两点,弦AB的中点为M0,2,则直线l的方程为（ ）
A．x+2y+4=0B．x+2y−4=0C．x−2y+4=0D．x−2y−4=0
【解题思路】由M0,2是弦AB的中点,所以CM⊥AB,求出CM的斜率,进而求得AB的斜率,根据AB的中点为M0,2,根据点斜式即可写出直线l的方程.
【解答过程】解:由题知,圆C:x−12+y2=9,即圆心C1,0,
因为弦AB的中点为M0,2,所以CM⊥AB,
因为kCM=2−1=−2,所以kCM⋅kAB=−1,即kAB=12,
因为M0,2在AB上,所以AB:y−2=12x−0,即l:x−2y+4=0.
故选:C.
【变式5-3】（2023·北京·高三专题练习）已知直线y+1=m(x−2)与圆(x−1)2+(y−1)2=9相交于M，N两点.则|MN|的最小值为（ ）
A．5B．25C．4D．6
【解题思路】先求出圆心A(1,1)和半径，以及直线的定点B2,−1，利用圆的几何特征可得到当AB⊥MN时，|MN|最小
【解答过程】由圆的方程(x−1)2+(y−1)2=9，可知圆心A(1,1)，半径R=3，
直线y+1=m(x−2)过定点B2,−1，
因为(2−1)2+(−1−1)2=5<9，则定点B2,−1在圆内，
则点B2,−1和圆心A(1,1)连线的长度为d=(2−1)2+−1−12=5，
当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时AB⊥MN，
由圆的弦长公式可得|MN|=2R2−d2=232−(5)2=4，
故选：C.
【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】
【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）已知直线l：x−ky−5=0与圆O：x2+y2=10交于A、B两点且AB=25，则k=（ ）
A．0B．±1C．±2D．±3
【解题思路】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.
【解答过程】圆x2+y2=10的圆心为(0,0)，半径为r=10，
圆心(0,0)到直线x−ky−5=0的距离：d=51+k2，
由r2=d2+AB22得10=251+k2+5，解得k=±2.
故选：C.
【变式6-1】（2023·广西玉林·博白县模拟预测）已知圆C：x2+y2=4，直线L：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（ ）
A．±2B．±2C．±3D．±3
【解题思路】由直线L过定点M(0,m)，结合圆的对称性以及勾股定理得出m的取值.
【解答过程】直线L：y=kx+m恒过点M(0,m)，由于直线被圆C所截的弦长的最小值为2，即当直线L与直线OM垂直时（O为原点），弦长取得最小值，于是22=12×22+|OM|2=1+m2，解得m=±3.
故选：C.
【变式6-2】（2023秋·高二课时练习）与y轴相切，圆心在直线x−3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为27，则此圆的方程是（ ）
A．(x−3)2+(y−1)2=9
B．(x+3)2+(y+1)2=9
C．(x+3)2+(y+1)2=9或(x−3)2+(y−1)2=9
D．(x+3)2+(y−1)2=9或(x−3)2+(y+1)2=9
【解题思路】根据圆心位置以及与y轴相切可设出圆心坐标和半径，再根据弦长为27即可求得圆的方程.
【解答过程】由圆心在直线x−3y=0上，可设圆心坐标为3a,a，
又因为与y轴相切，所以半径r=3a，
易知圆心到直线y=x的距离为d=2a12+12=2a，
根据直线被圆截得的弦长公式可得，直线y=x被截得的弦长为2r2−d2=27，
所以27a2=27，解得a=±1；
当a=1时，该圆是以3,1为圆心，r=3为半径的圆，圆方程为(x−3)2+(y−1)2=9；
当a=−1时，该圆是以−3,−1为圆心，r=3为半径的圆，圆方程为(x+3)2+(y+1)2=9.
故选：C.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）直线y=kx+2与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若MN≥23，则k的取值范围是（ ）
A．−34,34B．−3,3C．−33,33D．0,43
【解题思路】根据MN≥23，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于1，从而可得关于k的不等式，即可求得结论.
【解答过程】圆(x−2)2+(y−3)2=4的圆心为(2,3),半径r=2,
直线y=kx+2的方程化为一般形式为kx−y+2=0.
∵MN≥23，设圆心到直线y=kx+2的距离为d，则d=4−MN22≤1，
∴d=2k−3+2k2+1=2k−1k2+1≤1，解得0≤k≤43.
故选：D.
【题型7 直线与部分圆的相交问题】
【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知曲线y=1−x2与直线y=k(x+3)−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．(12,34)B．0,34C．12,23D．[12,34)
【解题思路】利用直线和圆的位置关系列不等式，由此求得正确答案.
【解答过程】曲线y=1−x2可化为x2+y2=1y≥0，
即曲线y=1−x2是单位圆的上半部分，
直线y=k(x+3)−1过定点A−3,−1，
化为一般式得kx−y+3k−1=0，设B−1,0，直线AB的斜率kAB=12，
则3k−11+k2<1k≥kAB，解得12≤k<34，
所以k的取值范围是[12,34).
故选：D.
【变式7-1】（2023·北京海淀·高三专题练习）已知直线l:x+y+t=0，曲线C:y=4−x2，则“l与C相切”是“t=−22”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】首先得到曲线C所表示的图形为半圆，然后利用几何法求出直线与圆相切时t的值，再将t代入直线，利用几何法检验此时是否相切即可.
【解答过程】对曲线C，两边同平方得y2=4−x2，即x2+y2=4，其中y≥0，
其表示的图形是以0,0为圆心，半径为r=2的圆的上半部分，包括x轴上的点，
当直线l与曲线C相切时，则有t2=2，t=22或−22，
显然由图形知t<0，则t=−22，故充分性成立，
若t=−22，则直线l的方程为x+y−22=0，此时圆心到直线的距离d=−222=2=r，故此时直线与C相切，故必要性成立.
则“l与C相切”是“t=−22”的充分必要条件.
故选：C.
【变式7-2】（2023春·江西宜春·高二校联考期中）若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y=4−x2有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A．34B．45C．43D．2
【解题思路】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解
【解答过程】如图，
曲线y=4−x2即x2+y2=4y≥0表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线l：y=k(x−2)+4即kx−y−2k+4=0与半圆相切，所以|−2k+4|k2+1=2，解得k=34．
因为P(2,4)，A(−2,0)，所以kPA=4−02−−2=1，
又直线l与曲线y=4−x2有且只有一个交点，所以k>kPA或k=34，
所以实数k的取值范围是(1,+∞)∪34
故选：B.
【变式7-3】（2023春·全国·高二开学考试）直线y=2x+m与曲线y=4−x2恰有两个交点，则实数m取值范围是（ ）
A．−4,4B．4,25C．−25,4D．−2,4
【解题思路】根据已知条件及直线与圆相切的充要条件，结合点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】曲线y=4−x2表示圆x2+y2=4在x轴的上半部分，
当直线y=2x+m与圆x2+y2=4相切时，m5=2，解得m=±25，
当点−2,0在直线y=2x+m上时，m=4，可得4≤m<25,
所以实数m取值范围为4,25.
故选：B.
【知识点4 解与圆有关的最值问题】
1．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【题型8 直线与圆有关的最值问题】
【例8】（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆O:x2+y2=1，直线3x+4y−10=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【解题思路】首先得出切线长PA的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【解答过程】圆O：x2+y2=1中，圆心O(0,0)，半径r=1
设P(x0,y0)，则3x0+4y0−10=0，
则PA=PO2−12=x02+y02−1=1425x02−60x0+84,
当x0=3025=65时，PAmin=1436−60×65+84=1448=3，
故选：C.
【变式8-1】（2023春·北京东城·高三校考阶段练习）已知圆C:x2+y2−2x=0，过直线l:y=x+2上的动点M作圆C的切线，切点为N，则MN的最小值是（ ）
A．22B．2C．322D．142
【解题思路】根据题意易知当圆心C到直线l上点的距离最小时，MN最小，利用点到直线的距离公式计算即可.
【解答过程】圆C:x2+y2−2x=0，圆心C1,0，半径r=1，
设圆心C到直线l：x−y+2=0的距离为d，则d≤CM，
易得CN⊥MN，则MN2=CM2−r2，
故当圆心C到直线l上点的距离最小时，即圆心到直线的距离d，此时MN最小，
因为d=1+22=322，所以MN=d2−r2=(322)2−1=142，
故MN最小值是142．
故选：D.
【变式8-2】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知圆C:x−42+y−132=4，过直线l:4x−3y=0上一点P向圆C作切线，切点为Q，则△PCQ的面积最小值为（ ）
A．3B．5C．25D．13
【解题思路】结合图形，利用勾股定理可知CP取得最小值时PQ也最小，从而求得PQmin=5，进而可得△PCQ的面积最小值.
【解答过程】由圆C:x−42+y−132=4，得圆心C4,13，半径r=2，
所以圆心C4,13到直线l:4x−3y=0的距离为d=4×4−3×1342+32=3，
因为PQ=CP2−CQ2=CP2−4
所以当直线l与CP垂直时，CP取得最小值d，此时PQ也最小，
故PQmin=32−4=5，
所以S△CPQ=12×PQ×CQ=12×PQ×2=PQ≥5，
即△PCQ的面积最小值为5.
故选：B.
【变式8-3】（2023秋·山西晋城·高二校考期末）已知点P是圆x−12+y−62=425上的点，点Q是直线x−y=0上的点，点R是直线12x−5y+24=0上的点，则PQ+QR的最小值为（ ）
A．7B．335C．6D．295
【解题思路】设圆心C1,6，记点E6,1，作圆C:x−12+y−62=425关于直线x−y=0的对称圆E:x−62+y−12=425，计算出圆心E到直线12x−5y+24=0的距离d，结合对称性可得出PQ+QR的最小值为d−25，即可得解.
【解答过程】设圆心C1,6，记点E6,1，作圆C:x−12+y−62=425关于直线x−y=0的对称圆E:x−62+y−12=425，
由对称性可知CQ=EQ，
点E到直线12x−5y+24=0的距离为d=12×6−5+24122+−52=7，
故当ER与直线12x−5y+24=0垂直时，且当Q为ER与直线x−y=0的交点以及点P为圆C与线段CQ的交点(靠近直线x−y=0)时，PQ+QR=CQ−25+QR=EQ−25+QR取得最小值，
且PQ+QRmin=d−25=7−25=335.
故选：B.
【知识点5 与圆有关的对称问题】
1．直线与圆的方程的应用
(1)解决实际问题的步骤：
①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；
②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；
③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；
④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.
(2)建系原则
建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：
①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可
以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.
②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.
【题型9 直线与圆的方程的应用】
【例9】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度AB=20米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱A2P2=4米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
【解题思路】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，进而待定系数法求解即可；
（2）点P1的横坐标x=−5代入这个圆的方程并解方程即可得答案.
【解答过程】（1）解：建立如图所示的坐标系，
设该圆拱所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2−4F>0，
由于圆心在y轴上，所以D=0，那么方程即为x2+y2+Ey+F=0.
因为P、B都在圆上，
所以它们的坐标0,4,10,0都是这个圆的方程的解，
于是有方程组42+4E+F=0102+F=0，解得F=−100,E=21
所以，这个圆的方程是x2+y2+21y−100=0 (y≥0)．
（2）解：由题知P1点的横坐标为x=−5.
所以，把点P1的横坐标x=−5代入这个圆的方程，得−52+y2+21y−100=0，
所以y2+21y−75=0，
因为P1的纵坐标y>0，故应取正值，
所以，y=−21+212+4×752≈3.11（米）．
所以，支柱A1P1的高度约为3.11米.
【变式9-1】（2023秋·湖北·高二校联考期末）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【解题思路】（1）由图中坐标系得A,B,O坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程；
（2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．
【解答过程】（1）如图所示，A(40,40)、B(20,0)，
设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
得：F=0402+402+40D+40E+F=0202+20D+F=0，解得D=−20,E=−60,F=0，
故所以圆C的方程为x2+y2−20x−60y=0，
圆心为C(10,30)，半径r=1010，
（2）该船初始位置为点D，则D(−20,−203)，
且该船航线所在直线l的斜率为33,
故该船航行方向为直线l:3x−3y−403=0，
由于圆心C到直线l的距离d=15(3+1)>1010，
故该船没有触礁的危险.
【变式9-2】（2023秋·云南丽江·高二统考期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向22km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时87km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由A,O,B三点的坐标列出方程组得出经过O,A,B三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l，再由几何法得出直线l与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【解答过程】（1）由题意得A(−2,2),B(12,0)，∴AB=142+22=102km；
（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因为该圆经过O,A,B三点，∴F=0−2D+2y+8=0144+12D=0，得到D=−12E=−16F=0.
所以该圆的方程为：x2+y2−12x−16y=0，
化成标准方程为：x−62+y−82=100.
设轮船航线所在的直线为l，则直线l的方程为：y=x−10，
圆心（6，8）到直线l:x−y−10=0的距离d=6−8−102=62所以直线l与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线l与圆截得的弦长为L=2100−622=47 km，行驶时长t=Lv=4787=0.5小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
【变式9-3】（2023春·上海浦东新·高二校考阶段练习）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．
(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；
(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；
(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求APAD的取值范围．
【解题思路】（1）直接根据失败点的概念即可判断；
（2）建立直角坐标系，求出点p(x,y)的轨迹为圆，进而得面积；
（3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果.
【解答过程】（1）由于AF=6,AE=3，AF=2AE，即机器人和电子狗同时到达点A，
故A是失败点
（2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图E0,3，F0,6，
设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点Q(x,y)，
可得x2+y−32v≤x2+y−622v，即x2+y−22≤4，0≤x≤2，
即失败点组成的区域为以M0,2为圆心，2为半径的半圆及其内部，
所以电子狗失败的区域面积S=12×4π=2π（米2）
（3）当线段FP与（2）中圆相切时，sin∠AFP=2MF=12即∠AFP=30°，所以AP=6tan30°=23，
因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以AP∈(23,18]
又因为AD=18，所以APAD的取值范围是39,1．位置
相交
相切
相离
交点个数
两个
一个
零个
图形
d与r的关系
dd=r
d>r
方程组
解的情况
有两组不
同的解
仅有一组解
无解
位置
相交
相切
相离
交点个数
两个
一个
零个
图形
d与r的关系
dd=r
d>r
方程组
解的情况
有两组不
同的解
仅有一组解
无解