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高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题1.4空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】(原卷版+解析)
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这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题1.4空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】(原卷版+解析)，共28页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4225" 【题型1 求空间点的坐标】 PAGEREF _Tc4225 \h 1
\l "_Tc18829" 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc18829 \h 2
\l "_Tc26397" 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc26397 \h 3
\l "_Tc1736" 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 PAGEREF _Tc1736 \h 3
\l "_Tc1894" 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 PAGEREF _Tc1894 \h 4
\l "_Tc19610" 【题型6 空间向量平行的坐标表示】 PAGEREF _Tc19610 \h 6
\l "_Tc13829" 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc13829 \h 7
\l "_Tc25633" 【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】 PAGEREF _Tc25633 \h 8
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A−1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A．1,1,−3B．−1,−1,−3C．1,1,3D．−1,−1,3
【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（ ）
A．(1,−6,3)B．(5,4,−3)C．(−1,6,−3)D．(2,5,−3)
【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点C的坐标为（ ）
A．3,0,1B．2,1,2
C．32,−32,−32D．52,12,32
【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（ ）
①点P关于x轴的对称点是P1(x,−y,z)
②点P关于yOz平面的对称点是P2(−x,y,z)
③点P关于y轴的对称点是P3(x,−y,z)
④点P关于原点的对称点是P4(−x,−y,−z)
A．①②B．①③C．②④D．②③
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量a=3,−4,2，b=2,−3,1，则a−2b=（ ）
A．7,−10,4B．5,−7,3C．1,−1,1D．−1,2,0
【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量AB=2,3,1,AC=4,5,3，那么BC=（ ）
A．−2,−2,−2B．（8，15，3）C．（6，8，4）D．（2，2，2）
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（ ）
A．0,3,−6B．0,6,−20C．0,6,−6D．6,6,−6
【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（ ）
A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则CA⋅CB=（ ）
A．-11B．3C．4D．15
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1⋅AC1的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP⋅AB的取值范围是（ ）
A．(−12,32)B．(−32,12)
C．(−12,1)D．(0,32)
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】
【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，则实数λ等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知a=−3,2,5，b=1,x,−1，且a⋅b=2，则x的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量a=(1,−1,λ),b=(1,−2,1),c=(1,1,1)，满足条件(c−a)⋅b=−1，则λ=（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点A1,−1,2，B2,−1,1，C3,3,2，又点Px,7,−2在平面ABC内，则x的值为（ ）
A．11B．9C．1D．−4
【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】
1．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
2．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．
【题型5 空间向量模长的坐标表示】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD，H为C1G的中点．求|FH|.
【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点.
(1)求线段FG的长度；
(2)求CG⋅EF.
【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M,N分别是B1C1，A1A的中点．
(1)求M,N的距离；
(2)求csBA1,CB1的值．
【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，A0,2,3，B−2,1,6，C(1,−1,5)．
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；
(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，点P是BC的中点，求DP的值．
【题型6 空间向量平行的坐标表示】
【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB,b=AC.若(ka+b)//(a−3b)，求实数k的值．
【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标．
【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知a=1,4,−2，b=−2,2,4.
(1)若c=12b，求cs的值；
(2)若ka+b∥a−3b，求实数k的值.
【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD＝λDQ，求λ的值．
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】
【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3 ,0,4)，设a=AB,b=AC.若m(a+b)+n(a−b)与2a−b垂直，求m,n满足的关系式.
【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知a=3,2,−1，b=2,1,2．
(1)求a−b⋅a+2b；
(2)当a−b⊥a+kb时，求实数k的值．
【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点A2,0,−2，B1,−1,3，C3,0,1，设a=AB，b=AC.
(1)若c=3，且c∥BC，求向量c；
(2)已知向量a+kb与b互相垂直，求k的值.
【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知a=1,−4,5，b=−2,3,2，点A−3,−2,3，B−2,−3,2．
(1)求2a+b的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】
【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD．求csEF,C1G．
【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2).
(1)求|a|；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点P(−2,0,2),M(−1,1,2),N(−3,0,4)，a=PM，b=PN.
(1)求△PMN的面积；
(2)当ka+b与ka−2b的夹角为钝角时，求k的范围．
【变式8-3】（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是DD1、DB的中点，G在棱CD上，且CG=13CD，H是C1G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求cs；
(3)求FH的长．
专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4225" 【题型1 求空间点的坐标】 PAGEREF _Tc4225 \h 1
\l "_Tc18829" 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc18829 \h 3
\l "_Tc26397" 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc26397 \h 4
\l "_Tc1736" 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 PAGEREF _Tc1736 \h 6
\l "_Tc1894" 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 PAGEREF _Tc1894 \h 8
\l "_Tc19610" 【题型6 空间向量平行的坐标表示】 PAGEREF _Tc19610 \h 11
\l "_Tc13829" 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc13829 \h 13
\l "_Tc25633" 【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】 PAGEREF _Tc25633 \h 15
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A−1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A．1,1,−3B．−1,−1,−3C．1,1,3D．−1,−1,3
【解题思路】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.
【解答过程】根据空间直角坐标系的对称性可得A−1,1,3关于yOz平面的对称点的坐标为1,1,3，
故选：C.
【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（ ）
A．(1,−6,3)B．(5,4,−3)C．(−1,6,−3)D．(2,5,−3)
【解题思路】设Bx,y,z，表达出AB=x−3,y+1,z，从而列出方程组，求出点B的坐标为2,5,−3.
【解答过程】设Bx,y,z，则AB=x−3,y+1,z，
因为AB=−1,6,−3，所以x−3=−1,y+1=6,z=−3，解得：x=2,y=5,z=−3，
故点B的坐标为2,5,−3.
故选：D.
【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点C的坐标为（ ）
A．3,0,1B．2,1,2
C．32,−32,−32D．52,12,32
【解题思路】设Cx,y,z，根据AC=2CB列方程组即可求解.
【解答过程】设Cx,y,z，则AC=x−1,y−2,z−3，CB=4−x,−1−y,−z，
因为AC=2CB，所以x−1=24−xy−2=2−1−yz−3=2−z，解得x=3y=0z=1.
故点C的坐标为3,0,1.
故选:A.
【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（ ）
①点P关于x轴的对称点是P1(x,−y,z)
②点P关于yOz平面的对称点是P2(−x,y,z)
③点P关于y轴的对称点是P3(x,−y,z)
④点P关于原点的对称点是P4(−x,−y,−z)
A．①②B．①③C．②④D．②③
【解题思路】根据空间坐标的对称性进行判断即可．
【解答过程】点P关于x轴的对称点的坐标是(x，−y，−z)，故①错误；
点P关于yOz平面的对称点的坐标是(−x，y，z)，则②正确；
点P关于y轴的对称点的坐标是(−x，y，−z)，则③错误；
点P关于原点的对称点的坐标是(−x，−y，−z)，故④正确，
故正确的命题的序号是②④，
故选：C.
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量a=3,−4,2，b=2,−3,1，则a−2b=（ ）
A．7,−10,4B．5,−7,3C．1,−1,1D．−1,2,0
【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.
【解答过程】a−2b=3−2×2,−4−2×−3,2−2×1=−1,2,0，
故选：D.
【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量AB=2,3,1,AC=4,5,3，那么BC=（ ）
A．−2,−2,−2B．（8，15，3）C．（6，8，4）D．（2，2，2）
【解题思路】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.
【解答过程】因为AB=2,3,1,AC=4,5,3，
所以BC=AC−AB=4−2,5−3,3−1=2,2,2.
故选：D.
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（ ）
A．0,3,−6B．0,6,−20C．0,6,−6D．6,6,−6
【解题思路】推导出c=4a+2b,利用向量坐标运算法则直接求解.
【解答过程】∵向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,
∴c=4a+2b=8,12,−16+−8,−6,−4=0,6,−20.
故选:B.
【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（ ）
A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）
【解题思路】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解.
【解答过程】如图，取AC中点M，连接ME,MF, 如图，
则ME=12AB=(−32,52,1), MF=12CD=(−72,−12,−2),
而EF=MF−ME=(−2,−3,−3),
故选：B.
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则CA⋅CB=（ ）
A．-11B．3C．4D．15
【解题思路】先求出CA，CB的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【解答过程】由已知，CA=(2−3,−4−(−4),−1−1)=(−1,0,−2)，
CB=(−1−3,5−(−4),1−1)=(−4,9,0)，
∴CA⋅CB=4+0+0=4.
故选：C．
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.
【解答过程】因为a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，
所以a−b⋅c=1,1,0⋅−1,2,2=−1+2+0=1.
故选：C.
【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1⋅AC1的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出AO1⋅AC1.
【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，
A1,0,0,O112,12,1,C10,1,1，
AO1=−12,12,1,AC1=−1,1,1，
AO1⋅AC1=−12,12,1⋅−1,1,1=12+12+1=2
故选：D.
【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP⋅AB的取值范围是（ ）
A．(−12,32)B．(−32,12)
C．(−12,1)D．(0,32)
【解题思路】建立空间直角坐标系，设P(x,y,z)，由正六边形的性质可知−12【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，且AB=BC=CD=DE=EF=AF=1，
由正六边形的性质可得，A(0,0,0),B(1,0,0),F(−12,32,0),C(32,32,0)，
设P(x,y,z)，其中−12所以AB=(1,0,0)，AP=(x,y,z)，
所以AB⋅AP=x，所以AB⋅AP的取值范围(−12,32).
故选：A.
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】
【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，则实数λ等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】根据向量的数乘运算和向量坐标的相等即可求解.
【解答过程】因为c=2a+b，
所以c=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),
所以λ=4，
故选：C.
【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知a=−3,2,5，b=1,x,−1，且a⋅b=2，则x的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解题思路】根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【解答过程】解：因为a=−3,2,5，b=1,x,−1，且a⋅b=2，
所以a⋅b=−3×1+2x+5×−1=2，
解得x=5；
故选：B.
【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量a=(1,−1,λ),b=(1,−2,1),c=(1,1,1)，满足条件(c−a)⋅b=−1，则λ=（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【解题思路】首先通过向量的减法的坐标运算可得(c−a)=(0,2,1−λ)，再通过数量积运算即可得解.
【解答过程】根据向量的运算可得：
(c−a)=(0,2,1−λ)，
所以(c−a)⋅b=0×1+2×(−2)+(1−λ)×1
=−4+1−λ=−3−λ=−1，
所以λ=−2，
故选：B.
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点A1,−1,2，B2,−1,1，C3,3,2，又点Px,7,−2在平面ABC内，则x的值为（ ）
A．11B．9C．1D．−4
【解题思路】根据向量的坐标表示求出向量AP、AB、AC的坐标，再结合空间向量的共面定理即可得出结果.
【解答过程】由题意，得
A(1，−1，2)，B(2，−1，1)，C(3，3，2)，P(x，7，−2)，
则AP=(x−1，8，−4)，AB=(1，0，−1)，AC=(2，4，0)，
因为P在平面ABC内，并设未知数a，b，
则AP=aAB+bAC，
(x−1，8，−4)=a(1，0，−1)+b(2，4，0)，
即x−1=a+2b8=0+4b−4=−a+0，解得x=9.
故选：B.
【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】
1．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
2．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．
【题型5 空间向量模长的坐标表示】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD，H为C1G的中点．求|FH|.
【解题思路】利用空间向量法求向量的模长得到结果.
【解答过程】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有D0,0,0 E0,0,12，F12,12,0，C0,1,0，C10,1,1，B11,1,1，G0,34,0，H0,78,12，FH=−12,38,12，
∴FH=−122+382+122=418.
【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点.
(1)求线段FG的长度；
(2)求CG⋅EF.
【解题思路】（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出FG即可；
（2）根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【解答过程】（1）如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则F1,4,0,G0,2,4，故FG=−1,−2,4，
所以FG=1+4+16=21，
即线段FG的长度为21；
（2）C2,0,2,E2,2,0，
则CG=−2,2,2,EF=−1,2,0，
所以CG⋅EF=2+4+0=6.
【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M,N分别是B1C1，A1A的中点．
(1)求M,N的距离；
(2)求csBA1,CB1的值．
【解题思路】（1）以点C作为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算csBA1,CB1的值；
【解答过程】（1）如图，以C为原点，分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系C−xyz，依题意得B0,1,0，N1,0,1，B10,1,2，C10,0,2．
M(0,12,2)，∴MN=1,−12,−1
∴MN=12+−122+(−1)2=32．
所以M,N的距离为32.
（2）依题意得A11,0,2，B0,1,0，C0,0,0，B10,1,2，
∴BA1=1,−1,2，CB1=0,1,2，
BA1⋅CB1=3，BA1=6，CB1=5，
∴csBA1,CB1=BA1⋅CB1BA1⋅CB1=3010．
【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，A0,2,3，B−2,1,6，C(1,−1,5)．
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；
(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，点P是BC的中点，求DP的值．
【解题思路】（1）写出AB,AC的坐标，求出模长和夹角，用平行四边形的面积公式即可求解；（2）将DP分解到AB,AC,AD上，利用向量数量积的性质即可求解.
【解答过程】（1）∵AB=−2,−1,3,AC=1,−3,2，
∴AB=22+12+32AC=12+32+22，∴AB=AC=14，
csAB,AC=AB⋅ACAB⋅AC =−2×1+1×3+3×214×14=12，
∴sinAB,AC=32，
∴S四边形=2⋅12⋅AB⋅ACsinAB,AC=14×14×32=73.
（2）∵点P是BC的中点，
∴AP=12AB+12AC，
∴DP=AP−AD=12AB+12AC−AD，
∴DP2 =14AB2+14AC2+AD2+12AB⋅AC−AB⋅AD−AC⋅AD
=14×142+14×142+72+12×−2×1+1×3+3×2−14×7cs60°×2
=352−72=70−2824
∴DP=70−2822.
【题型6 空间向量平行的坐标表示】
【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB,b=AC.若(ka+b)//(a−3b)，求实数k的值．
【解题思路】求出a,b的坐标，再利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的条件列式计算作答.
【解答过程】三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，则a=AB=(1,1,0),b=AC=(−1,0,2)，
ka+b=(k−1,k,2),a−3b=(4,1,−6)，因为(ka+b)//(a−3b)，
则有k−14=k1=2−6，解得k=−13，
所以实数k的值是−13.
【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标．
【解题思路】由平行四边形的性质可得AD→=BC→, 建立方程求解即可.
【解答过程】设D(x,y,z)，
因为ABCD是平行四边形，
所以AD→=BC→,
即(x−3,y−4,z)=(−2,−2,0)，
解得x=1,y=2,z=0，
故顶点D的坐标为(1,2,0).
【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知a=1,4,−2，b=−2,2,4.
(1)若c=12b，求cs的值；
(2)若ka+b∥a−3b，求实数k的值.
【解题思路】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.
【解答过程】（1）由已知可得c=12b=−1,1,2，a=1,4,−2，
∴cs=a⋅cac=1×−1+4×1+−2×21+16+4×1+1+4=−1216=−1442.
（2）ka+b=k−2,4k+2,−2k+4，a−3b=7,−2,−14，
∵ka+b∥a−3b，∴存在实数m使得ka+b=ma−3b，
∴k−2=7m，4k+2=−2m，−2k+4=−14m，联立解得k=−13.
【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD＝λDQ，求λ的值．
【解题思路】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出A,E,B,B1,D1的坐标，设点P的坐标为(a，a，1)和Q的坐标为(b，b，0)，结合已知向量共线和向量垂直即可求出未知数的值，从而求出Q的坐标，进而可求出λ.
【解答过程】以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E(0,0,12)，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3B1P＝PD1，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a=34，
所以点P的坐标为(34,34,1).由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，
所以PQ⋅AE＝0，所以(b−34,b−34,−1)·(−1,0,12)＝0，即−(b−34)−12=0，解得b=14 ，
所以点Q的坐标为(14,14,0)，因为BD=λDQ，所以(−1,−1,0)＝λ(14,14,0)，
所以λ4=−1，故λ＝－4.
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】
【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3 ,0,4)，设a=AB,b=AC.若m(a+b)+n(a−b)与2a−b垂直，求m,n满足的关系式.
【解题思路】根据空间向量垂直的坐标表示可求出结果.
【解答过程】a=AB=(1,1,0),b=AC=(−1,0,2)，
a+b=(0,1,2)，a−b=(2,1,−2)，2a−b=(3,2,−2)，
m(a+b)+n(a−b) =m(0,1,2)+n(2,1,−2)=(2n,m+n,2m−2n)，
所以(2n,m+n,2m−2n)⋅(3,2,−2)=0，
所以6n+2(m+n)−2(2m−2n)=0，即m=6n(m≠0).
【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知a=3,2,−1，b=2,1,2．
(1)求a−b⋅a+2b；
(2)当a−b⊥a+kb时，求实数k的值．
【解题思路】（1）根据空间向量的运算，先求出a−b，a+2b，然后计算数量积；
（2）根据空间向量的运算，先求出a−b，a+kb，根据垂直关系可知它们数量积为0，据此计算.
【解答过程】（1）因为a=3,2,−1，b=2,1,2，
所以a−b=(1,1,−3)，a+2b=(3,2,−1)+2(2,1,2)=(7,4,3)，
所以a−b⋅a+2b=1×7+1×4+(−3)×3=2
（2）因为a=3,2,−1，b=2,1,2，
所以a+kb=(3,2,−1)+k(2,1,2)=(3+2k,2+k,−1+2k)，由（1）a−b=(1,1,−3)，
因为a−b⊥a+kb，所以a−b⋅a+kb=0，
所以3+2k+2+k−3(2k−1)=0，解得k=83.
【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点A2,0,−2，B1,−1,3，C3,0,1，设a=AB，b=AC.
(1)若c=3，且c∥BC，求向量c；
(2)已知向量a+kb与b互相垂直，求k的值.
【解题思路】（1）由c∥BC可得存在非零实数m，使得c=mBC，根据向量的坐标运算结合c=3，即可求解；
（2）根据向量垂直的条件即可解答.
【解答过程】（1）∵A2,0,−2，B1,−1,3，C3,0,1，
∴BC=3,0,1−1,−1,3=2,1,−2，
又c=3，且c∥BC，
∴存在非零实数m，使得c=mBC=2m,m,−2m，
∴c=(2m)2+(m)2+(−2m)2=3，
∴m=±1，
∴c=2,1,−2或c=−2,−1,2；
（2）a=AB=−1,−1,5，b=AC=1,0,3，
∴a+kb=−1+k,−1,5+3k，
∵向量a+kb与b互相垂直，
∴a+kb⋅b=−1+k+0+35+3k=0，解得k=−75，
故k=−75.
【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知a=1,−4,5，b=−2,3,2，点A−3,−2,3，B−2,−3,2．
(1)求2a+b的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【解题思路】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；
（2）利用空间向量共线定理得到OE关于λ的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得λ，从而得到点E的坐标.
【解答过程】（1）因为a=1,−4,5，b=−2,3,2，
所以2a+b=2×1,−4,5+−2,3,2=2,−8,10+−2,3,2=0,−5,12，
则2a+b=02+−52+122=13.
（2）假设线段AB上存在一点E，使得OE⊥b，则设AE=λAB0≤λ≤1，
因为A−3,−2,3，B−2,−3,2，所以AB=−2,−3,2−−3,−2,3=1,−1,−1，
又因为OE−OA=AE=λAB，
所以OE=λAB+OA=λ,−λ,−λ+−3,−2,3=λ−3,−λ−2,−λ+3，
因为OE⊥b，b=−2,3,2，
所以−2λ−3+3−λ−2+2−λ+3=0，解得λ=67，满足0≤λ≤1，
所以OE=67−3,−67−2,−67+3=−157,−207,157，即E−157,−207,157，
所以线段AB上存在一点E，使得OE⊥b，且E−157,−207,157.
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】
【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD．求csEF,C1G．
【解题思路】利用空间向量法求两个向量所成角的余弦值.
【解答过程】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有D0,0,0 E0,0,12，F12,12,0，C0,1,0，C10,1,1，B11,1,1，G0,34,0，EF=12,12,−12，C1G=0,−14,−1，
所以C1G=174，EF=32，EF⋅C1G=12×0+12×−14+−12×−1=38.
所以csEF,C1G=EF⋅C1GEFC1G=3832×174=5117.
【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2).
(1)求|a|；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
【解题思路】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案；
（2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案.
【解答过程】（1）因为a=(−4,2,4)，所以|a|=(−4)2+22+42=36=6.
（2）因为a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2)，所以a⋅b=(−4,2,4)⋅(−6,3,−2)=24+6−8=22，
又因为|a|=6,|b|=(−6)2+32+(−2)2=7，所以csa,b=226×7=1121.
故a与b夹角的余弦值为1112.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点P(−2,0,2),M(−1,1,2),N(−3,0,4)，a=PM，b=PN.
(1)求△PMN的面积；
(2)当ka+b与ka−2b的夹角为钝角时，求k的范围．
【解题思路】（1）应用向量坐标表示有a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，由向量夹角的坐标运算可得cs=−1010，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；
（2）向量坐标表示得ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=k+2,k,−4，它们的夹角θ为钝角，即csθ<0，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.
【解答过程】（1）由题设a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，则cs=a⋅b|a||b|=−12×5=−1010，
所以cs∠MPN=−1010，故在△PMN中sin∠MPN=31010，
故△PMN的面积为12×2×5×31010=32.
（2）由（1）知：ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=k+2,k,−4，且它们夹角θ为钝角，
所以csθ=k−1k+2+k2−8k−12+k2+4⋅k+22+k2+16<0，即k−1k+2+k2−8<0，
所以2k2+k−10=2k+5k−2<0，可得−52当它们反向共线，即ka+b=λ(ka−2b)且λ<0时，有k−1=λ(k+2)k=λk2=−4λ，无解，
综上，k∈(−52,2).
【变式8-3】（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是DD1、DB的中点，G在棱CD上，且CG=13CD，H是C1G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求cs；
(3)求FH的长．
【解题思路】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明EF⊥B1C即可；
（2）求出EF,C1G的坐标，再根据cs=EF⋅C1G|EF|⋅|C1G|即可求得答案；
（3）转化为求|HF|即可.
【解答过程】（1）解：如图，以D为原点，DA,DC,DD1 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，
则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G(0,43,0),
因为EF=(1,1,−1),B1C=(−2,0,−2)，
所以EF⋅BC=(1,1,−1)⋅(−2,0,−2)=1×(−2)+1×0+(−1)×(−2)=0，
所以EF⊥B1C，
故EF⊥B1C；
（2）解：因为C1G=(0,−23,−2)，所以|C1G|=2103
因为|EF|=3，且EF⋅C1G=(1,1,−1)⋅(0,−23,−2)=2−23=43,
所以cs=EF⋅C1G|EF||C1G|=433⋅2103=43⋅3230=230=3015；
（3）解：因为H是C1G的中点，所以H(0,53,1)
又因为F(1,1,0)，
所以HF=(1,−23,−1),
|FH|=12+(−23)2+(−1)2=229=223.
即FH=223.向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4225" 【题型1 求空间点的坐标】 PAGEREF _Tc4225 \h 1
\l "_Tc18829" 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc18829 \h 2
\l "_Tc26397" 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc26397 \h 3
\l "_Tc1736" 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 PAGEREF _Tc1736 \h 3
\l "_Tc1894" 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 PAGEREF _Tc1894 \h 4
\l "_Tc19610" 【题型6 空间向量平行的坐标表示】 PAGEREF _Tc19610 \h 6
\l "_Tc13829" 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc13829 \h 7
\l "_Tc25633" 【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】 PAGEREF _Tc25633 \h 8
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A−1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A．1,1,−3B．−1,−1,−3C．1,1,3D．−1,−1,3
【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（ ）
A．(1,−6,3)B．(5,4,−3)C．(−1,6,−3)D．(2,5,−3)
【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点C的坐标为（ ）
A．3,0,1B．2,1,2
C．32,−32,−32D．52,12,32
【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（ ）
①点P关于x轴的对称点是P1(x,−y,z)
②点P关于yOz平面的对称点是P2(−x,y,z)
③点P关于y轴的对称点是P3(x,−y,z)
④点P关于原点的对称点是P4(−x,−y,−z)
A．①②B．①③C．②④D．②③
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量a=3,−4,2，b=2,−3,1，则a−2b=（ ）
A．7,−10,4B．5,−7,3C．1,−1,1D．−1,2,0
【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量AB=2,3,1,AC=4,5,3，那么BC=（ ）
A．−2,−2,−2B．（8，15，3）C．（6，8，4）D．（2，2，2）
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（ ）
A．0,3,−6B．0,6,−20C．0,6,−6D．6,6,−6
【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（ ）
A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则CA⋅CB=（ ）
A．-11B．3C．4D．15
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1⋅AC1的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP⋅AB的取值范围是（ ）
A．(−12,32)B．(−32,12)
C．(−12,1)D．(0,32)
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】
【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，则实数λ等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知a=−3,2,5，b=1,x,−1，且a⋅b=2，则x的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量a=(1,−1,λ),b=(1,−2,1),c=(1,1,1)，满足条件(c−a)⋅b=−1，则λ=（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点A1,−1,2，B2,−1,1，C3,3,2，又点Px,7,−2在平面ABC内，则x的值为（ ）
A．11B．9C．1D．−4
【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】
1．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
2．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．
【题型5 空间向量模长的坐标表示】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD，H为C1G的中点．求|FH|.
【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点.
(1)求线段FG的长度；
(2)求CG⋅EF.
【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M,N分别是B1C1，A1A的中点．
(1)求M,N的距离；
(2)求csBA1,CB1的值．
【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，A0,2,3，B−2,1,6，C(1,−1,5)．
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；
(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，点P是BC的中点，求DP的值．
【题型6 空间向量平行的坐标表示】
【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB,b=AC.若(ka+b)//(a−3b)，求实数k的值．
【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标．
【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知a=1,4,−2，b=−2,2,4.
(1)若c=12b，求cs
(2)若ka+b∥a−3b，求实数k的值.
【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD＝λDQ，求λ的值．
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】
【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3 ,0,4)，设a=AB,b=AC.若m(a+b)+n(a−b)与2a−b垂直，求m,n满足的关系式.
【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知a=3,2,−1，b=2,1,2．
(1)求a−b⋅a+2b；
(2)当a−b⊥a+kb时，求实数k的值．
【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点A2,0,−2，B1,−1,3，C3,0,1，设a=AB，b=AC.
(1)若c=3，且c∥BC，求向量c；
(2)已知向量a+kb与b互相垂直，求k的值.
【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知a=1,−4,5，b=−2,3,2，点A−3,−2,3，B−2,−3,2．
(1)求2a+b的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】
【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD．求csEF,C1G．
【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2).
(1)求|a|；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点P(−2,0,2),M(−1,1,2),N(−3,0,4)，a=PM，b=PN.
(1)求△PMN的面积；
(2)当ka+b与ka−2b的夹角为钝角时，求k的范围．
【变式8-3】（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是DD1、DB的中点，G在棱CD上，且CG=13CD，H是C1G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求cs
(3)求FH的长．
专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示【八大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4225" 【题型1 求空间点的坐标】 PAGEREF _Tc4225 \h 1
\l "_Tc18829" 【题型2 空间向量运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc18829 \h 3
\l "_Tc26397" 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc26397 \h 4
\l "_Tc1736" 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 PAGEREF _Tc1736 \h 6
\l "_Tc1894" 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 PAGEREF _Tc1894 \h 8
\l "_Tc19610" 【题型6 空间向量平行的坐标表示】 PAGEREF _Tc19610 \h 11
\l "_Tc13829" 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc13829 \h 13
\l "_Tc25633" 【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】 PAGEREF _Tc25633 \h 15
【知识点1 空间直角坐标系】
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.
②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．空间一点的坐标
在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【题型1 求空间点的坐标】
【例1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）空间直角坐标系中，已知A−1,1,3，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A．1,1,−3B．−1,−1,−3C．1,1,3D．−1,−1,3
【解题思路】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.
【解答过程】根据空间直角坐标系的对称性可得A−1,1,3关于yOz平面的对称点的坐标为1,1,3，
故选：C.
【变式1-1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知点A(3,−1,0)，若向量AB=−1,6,−3，则点B的坐标是（ ）
A．(1,−6,3)B．(5,4,−3)C．(−1,6,−3)D．(2,5,−3)
【解题思路】设Bx,y,z，表达出AB=x−3,y+1,z，从而列出方程组，求出点B的坐标为2,5,−3.
【解答过程】设Bx,y,z，则AB=x−3,y+1,z，
因为AB=−1,6,−3，所以x−3=−1,y+1=6,z=−3，解得：x=2,y=5,z=−3，
故点B的坐标为2,5,−3.
故选：D.
【变式1-2】（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点C的坐标为（ ）
A．3,0,1B．2,1,2
C．32,−32,−32D．52,12,32
【解题思路】设Cx,y,z，根据AC=2CB列方程组即可求解.
【解答过程】设Cx,y,z，则AC=x−1,y−2,z−3，CB=4−x,−1−y,−z，
因为AC=2CB，所以x−1=24−xy−2=2−1−yz−3=2−z，解得x=3y=0z=1.
故点C的坐标为3,0,1.
故选:A.
【变式1-3】（2023·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)下列叙述中正确的是（ ）
①点P关于x轴的对称点是P1(x,−y,z)
②点P关于yOz平面的对称点是P2(−x,y,z)
③点P关于y轴的对称点是P3(x,−y,z)
④点P关于原点的对称点是P4(−x,−y,−z)
A．①②B．①③C．②④D．②③
【解题思路】根据空间坐标的对称性进行判断即可．
【解答过程】点P关于x轴的对称点的坐标是(x，−y，−z)，故①错误；
点P关于yOz平面的对称点的坐标是(−x，y，z)，则②正确；
点P关于y轴的对称点的坐标是(−x，y，−z)，则③错误；
点P关于原点的对称点的坐标是(−x，−y，−z)，故④正确，
故正确的命题的序号是②④，
故选：C.
【知识点2 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【题型2 空间向量运算的坐标表示】
【例2】（2023春·全国·高二校联考开学考试）已知向量a=3,−4,2，b=2,−3,1，则a−2b=（ ）
A．7,−10,4B．5,−7,3C．1,−1,1D．−1,2,0
【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.
【解答过程】a−2b=3−2×2,−4−2×−3,2−2×1=−1,2,0，
故选：D.
【变式2-1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知向量AB=2,3,1,AC=4,5,3，那么BC=（ ）
A．−2,−2,−2B．（8，15，3）C．（6，8，4）D．（2，2，2）
【解题思路】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.
【解答过程】因为AB=2,3,1,AC=4,5,3，
所以BC=AC−AB=4−2,5−3,3−1=2,2,2.
故选：D.
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）已知向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,则c=（ ）
A．0,3,−6B．0,6,−20C．0,6,−6D．6,6,−6
【解题思路】推导出c=4a+2b,利用向量坐标运算法则直接求解.
【解答过程】∵向量a=2,3,−4,b=−4,−3,−2,b=12c−2a,
∴c=4a+2b=8,12,−16+−8,−6,−4=0,6,−20.
故选:B.
【变式2-3】（2022秋·河南信阳·高二校考阶段练习）在空间四边形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，-1，﹣4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为（ ）
A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）
【解题思路】根据空间向量的加法减法运算及三角形中线的性质求解.
【解答过程】如图，取AC中点M，连接ME,MF, 如图，
则ME=12AB=(−32,52,1), MF=12CD=(−72,−12,−2),
而EF=MF−ME=(−2,−3,−3),
故选：B.
【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若A(2,−4,−1)，B(−1,5,1)，C(3,−4,1)，则CA⋅CB=（ ）
A．-11B．3C．4D．15
【解题思路】先求出CA，CB的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可
【解答过程】由已知，CA=(2−3,−4−(−4),−1−1)=(−1,0,−2)，
CB=(−1−3,5−(−4),1−1)=(−4,9,0)，
∴CA⋅CB=4+0+0=4.
故选：C．
【变式3-1】（2023春·高二课时练习）若a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，则a−b⋅c的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.
【解答过程】因为a=2,3,2,b=1,2,2,c=−1,2,2，
所以a−b⋅c=1,1,0⋅−1,2,2=−1+2+0=1.
故选：C.
【变式3-2】（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1⋅AC1的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出AO1⋅AC1.
【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，
A1,0,0,O112,12,1,C10,1,1，
AO1=−12,12,1,AC1=−1,1,1，
AO1⋅AC1=−12,12,1⋅−1,1,1=12+12+1=2
故选：D.
【变式3-3】（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP⋅AB的取值范围是（ ）
A．(−12,32)B．(−32,12)
C．(−12,1)D．(0,32)
【解题思路】建立空间直角坐标系，设P(x,y,z)，由正六边形的性质可知−12
由正六边形的性质可得，A(0,0,0),B(1,0,0),F(−12,32,0),C(32,32,0)，
设P(x,y,z)，其中−12
所以AB⋅AP=x，所以AB⋅AP的取值范围(−12,32).
故选：A.
【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】
【例4】（2022秋·广东江门·高二校考期中）a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，则实数λ等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】根据向量的数乘运算和向量坐标的相等即可求解.
【解答过程】因为c=2a+b，
所以c=(3，2，λ)=2(2，-1，3)+(-1，4，-2)=(3，3，4),
所以λ=4，
故选：C.
【变式4-1】（2022秋·广西南宁·高二校考期中）已知a=−3,2,5，b=1,x,−1，且a⋅b=2，则x的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解题思路】根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【解答过程】解：因为a=−3,2,5，b=1,x,−1，且a⋅b=2，
所以a⋅b=−3×1+2x+5×−1=2，
解得x=5；
故选：B.
【变式4-2】（2023秋·北京丰台·高二校考期末）若向量a=(1,−1,λ),b=(1,−2,1),c=(1,1,1)，满足条件(c−a)⋅b=−1，则λ=（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【解题思路】首先通过向量的减法的坐标运算可得(c−a)=(0,2,1−λ)，再通过数量积运算即可得解.
【解答过程】根据向量的运算可得：
(c−a)=(0,2,1−λ)，
所以(c−a)⋅b=0×1+2×(−2)+(1−λ)×1
=−4+1−λ=−3−λ=−1，
所以λ=−2，
故选：B.
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高二校考阶段练习）已知点A1,−1,2，B2,−1,1，C3,3,2，又点Px,7,−2在平面ABC内，则x的值为（ ）
A．11B．9C．1D．−4
【解题思路】根据向量的坐标表示求出向量AP、AB、AC的坐标，再结合空间向量的共面定理即可得出结果.
【解答过程】由题意，得
A(1，−1，2)，B(2，−1，1)，C(3，3，2)，P(x，7，−2)，
则AP=(x−1，8，−4)，AB=(1，0，−1)，AC=(2，4，0)，
因为P在平面ABC内，并设未知数a，b，
则AP=aAB+bAC，
(x−1，8，−4)=a(1，0，−1)+b(2，4，0)，
即x−1=a+2b8=0+4b−4=−a+0，解得x=9.
故选：B.
【知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题】
1．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
2．空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得．
【题型5 空间向量模长的坐标表示】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD，H为C1G的中点．求|FH|.
【解题思路】利用空间向量法求向量的模长得到结果.
【解答过程】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有D0,0,0 E0,0,12，F12,12,0，C0,1,0，C10,1,1，B11,1,1，G0,34,0，H0,78,12，FH=−12,38,12，
∴FH=−122+382+122=418.
【变式5-1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点.
(1)求线段FG的长度；
(2)求CG⋅EF.
【解题思路】（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出FG即可；
（2）根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.
【解答过程】（1）如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则F1,4,0,G0,2,4，故FG=−1,−2,4，
所以FG=1+4+16=21，
即线段FG的长度为21；
（2）C2,0,2,E2,2,0，
则CG=−2,2,2,EF=−1,2,0，
所以CG⋅EF=2+4+0=6.
【变式5-2】（2023春·福建龙岩·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M,N分别是B1C1，A1A的中点．
(1)求M,N的距离；
(2)求csBA1,CB1的值．
【解题思路】（1）以点C作为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算csBA1,CB1的值；
【解答过程】（1）如图，以C为原点，分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系C−xyz，依题意得B0,1,0，N1,0,1，B10,1,2，C10,0,2．
M(0,12,2)，∴MN=1,−12,−1
∴MN=12+−122+(−1)2=32．
所以M,N的距离为32.
（2）依题意得A11,0,2，B0,1,0，C0,0,0，B10,1,2，
∴BA1=1,−1,2，CB1=0,1,2，
BA1⋅CB1=3，BA1=6，CB1=5，
∴csBA1,CB1=BA1⋅CB1BA1⋅CB1=3010．
【变式5-3】（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知空间三点，A0,2,3，B−2,1,6，C(1,−1,5)．
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；
(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，点P是BC的中点，求DP的值．
【解题思路】（1）写出AB,AC的坐标，求出模长和夹角，用平行四边形的面积公式即可求解；（2）将DP分解到AB,AC,AD上，利用向量数量积的性质即可求解.
【解答过程】（1）∵AB=−2,−1,3,AC=1,−3,2，
∴AB=22+12+32AC=12+32+22，∴AB=AC=14，
csAB,AC=AB⋅ACAB⋅AC =−2×1+1×3+3×214×14=12，
∴sinAB,AC=32，
∴S四边形=2⋅12⋅AB⋅ACsinAB,AC=14×14×32=73.
（2）∵点P是BC的中点，
∴AP=12AB+12AC，
∴DP=AP−AD=12AB+12AC−AD，
∴DP2 =14AB2+14AC2+AD2+12AB⋅AC−AB⋅AD−AC⋅AD
=14×142+14×142+72+12×−2×1+1×3+3×2−14×7cs60°×2
=352−72=70−2824
∴DP=70−2822.
【题型6 空间向量平行的坐标表示】
【例6】（2023春·高二课时练习）已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB,b=AC.若(ka+b)//(a−3b)，求实数k的值．
【解题思路】求出a,b的坐标，再利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的条件列式计算作答.
【解答过程】三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，则a=AB=(1,1,0),b=AC=(−1,0,2)，
ka+b=(k−1,k,2),a−3b=(4,1,−6)，因为(ka+b)//(a−3b)，
则有k−14=k1=2−6，解得k=−13，
所以实数k的值是−13.
【变式6-1】（2022·高二课时练习）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标．
【解题思路】由平行四边形的性质可得AD→=BC→, 建立方程求解即可.
【解答过程】设D(x,y,z)，
因为ABCD是平行四边形，
所以AD→=BC→,
即(x−3,y−4,z)=(−2,−2,0)，
解得x=1,y=2,z=0，
故顶点D的坐标为(1,2,0).
【变式6-2】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）已知a=1,4,−2，b=−2,2,4.
(1)若c=12b，求cs
(2)若ka+b∥a−3b，求实数k的值.
【解题思路】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.
【解答过程】（1）由已知可得c=12b=−1,1,2，a=1,4,−2，
∴cs
（2）ka+b=k−2,4k+2,−2k+4，a−3b=7,−2,−14，
∵ka+b∥a−3b，∴存在实数m使得ka+b=ma−3b，
∴k−2=7m，4k+2=−2m，−2k+4=−14m，联立解得k=−13.
【变式6-3】（2022·高二课时练习）正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD＝λDQ，求λ的值．
【解题思路】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出A,E,B,B1,D1的坐标，设点P的坐标为(a，a，1)和Q的坐标为(b，b，0)，结合已知向量共线和向量垂直即可求出未知数的值，从而求出Q的坐标，进而可求出λ.
【解答过程】以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E(0,0,12)，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3B1P＝PD1，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a=34，
所以点P的坐标为(34,34,1).由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，
所以PQ⋅AE＝0，所以(b−34,b−34,−1)·(−1,0,12)＝0，即−(b−34)−12=0，解得b=14 ，
所以点Q的坐标为(14,14,0)，因为BD=λDQ，所以(−1,−1,0)＝λ(14,14,0)，
所以λ4=−1，故λ＝－4.
【题型7 空间向量垂直的坐标表示】
【例7】（2023春·高二单元测试）已知空间三点A(−2,0,2),B(−1,1,2)，C(−3 ,0,4)，设a=AB,b=AC.若m(a+b)+n(a−b)与2a−b垂直，求m,n满足的关系式.
【解题思路】根据空间向量垂直的坐标表示可求出结果.
【解答过程】a=AB=(1,1,0),b=AC=(−1,0,2)，
a+b=(0,1,2)，a−b=(2,1,−2)，2a−b=(3,2,−2)，
m(a+b)+n(a−b) =m(0,1,2)+n(2,1,−2)=(2n,m+n,2m−2n)，
所以(2n,m+n,2m−2n)⋅(3,2,−2)=0，
所以6n+2(m+n)−2(2m−2n)=0，即m=6n(m≠0).
【变式7-1】（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知a=3,2,−1，b=2,1,2．
(1)求a−b⋅a+2b；
(2)当a−b⊥a+kb时，求实数k的值．
【解题思路】（1）根据空间向量的运算，先求出a−b，a+2b，然后计算数量积；
（2）根据空间向量的运算，先求出a−b，a+kb，根据垂直关系可知它们数量积为0，据此计算.
【解答过程】（1）因为a=3,2,−1，b=2,1,2，
所以a−b=(1,1,−3)，a+2b=(3,2,−1)+2(2,1,2)=(7,4,3)，
所以a−b⋅a+2b=1×7+1×4+(−3)×3=2
（2）因为a=3,2,−1，b=2,1,2，
所以a+kb=(3,2,−1)+k(2,1,2)=(3+2k,2+k,−1+2k)，由（1）a−b=(1,1,−3)，
因为a−b⊥a+kb，所以a−b⋅a+kb=0，
所以3+2k+2+k−3(2k−1)=0，解得k=83.
【变式7-2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知空间中三点A2,0,−2，B1,−1,3，C3,0,1，设a=AB，b=AC.
(1)若c=3，且c∥BC，求向量c；
(2)已知向量a+kb与b互相垂直，求k的值.
【解题思路】（1）由c∥BC可得存在非零实数m，使得c=mBC，根据向量的坐标运算结合c=3，即可求解；
（2）根据向量垂直的条件即可解答.
【解答过程】（1）∵A2,0,−2，B1,−1,3，C3,0,1，
∴BC=3,0,1−1,−1,3=2,1,−2，
又c=3，且c∥BC，
∴存在非零实数m，使得c=mBC=2m,m,−2m，
∴c=(2m)2+(m)2+(−2m)2=3，
∴m=±1，
∴c=2,1,−2或c=−2,−1,2；
（2）a=AB=−1,−1,5，b=AC=1,0,3，
∴a+kb=−1+k,−1,5+3k，
∵向量a+kb与b互相垂直，
∴a+kb⋅b=−1+k+0+35+3k=0，解得k=−75，
故k=−75.
【变式7-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知a=1,−4,5，b=−2,3,2，点A−3,−2,3，B−2,−3,2．
(1)求2a+b的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【解题思路】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；
（2）利用空间向量共线定理得到OE关于λ的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得λ，从而得到点E的坐标.
【解答过程】（1）因为a=1,−4,5，b=−2,3,2，
所以2a+b=2×1,−4,5+−2,3,2=2,−8,10+−2,3,2=0,−5,12，
则2a+b=02+−52+122=13.
（2）假设线段AB上存在一点E，使得OE⊥b，则设AE=λAB0≤λ≤1，
因为A−3,−2,3，B−2,−3,2，所以AB=−2,−3,2−−3,−2,3=1,−1,−1，
又因为OE−OA=AE=λAB，
所以OE=λAB+OA=λ,−λ,−λ+−3,−2,3=λ−3,−λ−2,−λ+3，
因为OE⊥b，b=−2,3,2，
所以−2λ−3+3−λ−2+2−λ+3=0，解得λ=67，满足0≤λ≤1，
所以OE=67−3,−67−2,−67+3=−157,−207,157，即E−157,−207,157，
所以线段AB上存在一点E，使得OE⊥b，且E−157,−207,157.
【题型8 空间向量夹角余弦的坐标表示】
【例8】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=14CD．求csEF,C1G．
【解题思路】利用空间向量法求两个向量所成角的余弦值.
【解答过程】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有D0,0,0 E0,0,12，F12,12,0，C0,1,0，C10,1,1，B11,1,1，G0,34,0，EF=12,12,−12，C1G=0,−14,−1，
所以C1G=174，EF=32，EF⋅C1G=12×0+12×−14+−12×−1=38.
所以csEF,C1G=EF⋅C1GEFC1G=3832×174=5117.
【变式8-1】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2).
(1)求|a|；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
【解题思路】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案；
（2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案.
【解答过程】（1）因为a=(−4,2,4)，所以|a|=(−4)2+22+42=36=6.
（2）因为a=(−4,2,4),b=(−6,3,−2)，所以a⋅b=(−4,2,4)⋅(−6,3,−2)=24+6−8=22，
又因为|a|=6,|b|=(−6)2+32+(−2)2=7，所以csa,b=226×7=1121.
故a与b夹角的余弦值为1112.
【变式8-2】（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点P(−2,0,2),M(−1,1,2),N(−3,0,4)，a=PM，b=PN.
(1)求△PMN的面积；
(2)当ka+b与ka−2b的夹角为钝角时，求k的范围．
【解题思路】（1）应用向量坐标表示有a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，由向量夹角的坐标运算可得cs
（2）向量坐标表示得ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=k+2,k,−4，它们的夹角θ为钝角，即csθ<0，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.
【解答过程】（1）由题设a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，则cs
所以cs∠MPN=−1010，故在△PMN中sin∠MPN=31010，
故△PMN的面积为12×2×5×31010=32.
（2）由（1）知：ka+b=(k−1,k,2)，ka−2b=k+2,k,−4，且它们夹角θ为钝角，
所以csθ=k−1k+2+k2−8k−12+k2+4⋅k+22+k2+16<0，即k−1k+2+k2−8<0，
所以2k2+k−10=2k+5k−2<0，可得−52
综上，k∈(−52,2).
【变式8-3】（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是DD1、DB的中点，G在棱CD上，且CG=13CD，H是C1G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求cs
(3)求FH的长．
【解题思路】（1）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明EF⊥B1C即可；
（2）求出EF,C1G的坐标，再根据cs
（3）转化为求|HF|即可.
【解答过程】（1）解：如图，以D为原点，DA,DC,DD1 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，
则D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G(0,43,0),
因为EF=(1,1,−1),B1C=(−2,0,−2)，
所以EF⋅BC=(1,1,−1)⋅(−2,0,−2)=1×(−2)+1×0+(−1)×(−2)=0，
所以EF⊥B1C，
故EF⊥B1C；
（2）解：因为C1G=(0,−23,−2)，所以|C1G|=2103
因为|EF|=3，且EF⋅C1G=(1,1,−1)⋅(0,−23,−2)=2−23=43,
所以cs
（3）解：因为H是C1G的中点，所以H(0,53,1)
又因为F(1,1,0)，
所以HF=(1,−23,−1),
|FH|=12+(−23)2+(−1)2=229=223.
即FH=223.向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
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