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高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】(原卷版+解析)
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这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】(原卷版+解析)，共21页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19026" 【题型1 空间向量数量积的计算】 PAGEREF _Tc19026 \h 2
\l "_Tc25784" 【题型2 空间向量的夹角及其应用】 PAGEREF _Tc25784 \h 2
\l "_Tc19225" 【题型3 利用空间向量的数量积求模】 PAGEREF _Tc19225 \h 3
\l "_Tc19564" 【题型4 向量垂直的应用】 PAGEREF _Tc19564 \h 4
\l "_Tc27521" 【题型5 投影向量的求解】 PAGEREF _Tc27521 \h 5
【知识点1 空间向量的夹角与数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【题型1 空间向量数量积的计算】
【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（ ）
A．−1B．0C．1D．不确定
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 CE = ED，AF =2 FD，则向量BE⋅CF=（ ）
A．− 13B．13C．− 12D．12
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+PB等于（ ）
A．109B．263C．823D．163
【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的直径，点P是正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一点，则PE⋅PF的取值范围是（ ）
A．−2,0B．−1,0C．0,1D．0,2
【题型2 空间向量的夹角及其应用】
【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a−b)⋅b=0 ，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0，a=2,b=3,c=4，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．以上都不对
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，则csOA,BC的值是（ ）
A．12B．22C．−12D．0
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=e1+e2与b=e1−2e2的夹角为（ ）
A．60°B．120°
C．30°D．90°
【题型3 利用空间向量的数量积求模】
【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=b,c=60°，则a−b+2c=（ ）
A．5B．5C．6D．6
【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且AB=1，AD=2，AA1=3，则AC1=（ ）
A．5B．6C．4D．8
【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（ ）
A．2B．3C．3−2D．3+2
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2e1+3e2，a=ke1−4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A．AD1⋅B1CB．BD1⋅ACC．AB⋅AD1D．BD1⋅BC
【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅AD=0，点M为BC的中点，则△AMD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=AA′=AD，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60∘，BM=15BC，N为C′D′上一点，且D′N=λD′C′，若DM⊥AN，则λ=（ ）
A．12B．13C．14D．15
【知识点2 向量的投影】
1．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．试确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=1，AD=2，AA′=3，分别求向量AC′在AB、AD、AA′方向上的投影数量．
【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定PC在直线AB上的投影向量，并求PC⋅AB.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．
(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅AB；
(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19026" 【题型1 空间向量数量积的计算】 PAGEREF _Tc19026 \h 2
\l "_Tc25784" 【题型2 空间向量的夹角及其应用】 PAGEREF _Tc25784 \h 4
\l "_Tc19225" 【题型3 利用空间向量的数量积求模】 PAGEREF _Tc19225 \h 6
\l "_Tc19564" 【题型4 向量垂直的应用】 PAGEREF _Tc19564 \h 8
\l "_Tc27521" 【题型5 投影向量的求解】 PAGEREF _Tc27521 \h 11
【知识点1 空间向量的夹角与数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【题型1 空间向量数量积的计算】
【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（ ）
A．−1B．0C．1D．不确定
【解题思路】令AB=a,AC=b,AD=c，利用空间向量的数量积运算律求解.
【解答过程】令AB=a,AC=b,AD=c，
则AB·CD+AC·DB+AD·BC，
=a·c−b+b·a−c+c·b−a，
=a·c−a·b+b·a−b·c+c·b−c·a=0.
故选：B.
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 CE = ED，AF =2 FD，则向量BE⋅CF=（ ）
A．− 13B．13C．− 12D．12
【解题思路】由向量的运算可得BE=12(BC+BD)，CF=13BA−BC+23BD，由向量数量积的定义即可得到答案.
【解答过程】由题得BA,BC夹角，BD,BC夹角，BD,BA夹角均为π3，
∵CE=ED,AF=2FD，
∴BE=12(BC+BD),AF=23AD，
∴CF=BF−BC=BA+AF−BC
=BA+23AD−BC=BA+23(BD−BA)−BC=13BA−BC+23BD，
∴BE⋅CF=12(BC+BD)⋅13BA−BC+23BD
=16BA⋅BC−12BC2−16BC⋅BD+16BA⋅BD+13BD2
=16×2×2×12−12×22−16×2×2×12+16×2×2×12+13×22=−13
故选：A.
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+PB等于（ ）
A．109B．263C．823D．163
【解题思路】将PA转化为PO+OA，PB转化为PO+OB，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥AO，PO⊥BO，即可将PO⋅PA转化为|PO|2，PO⋅PB转化为|PO|2，结合勾股定理即可求解．
【解答过程】∵P−ABC为正三棱椎，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，AO、BO⊂平面ABC，
∴PO⊥AO，PO⊥BO，
△ABC是等边三角形，
∴PO⋅OA=0，AO=12⋅ABsin60∘=233，PO⋅OB=0，BO=12⋅ABsin60∘=233，
故PO⋅PA=PO⋅PO+OA=PO2=PA2−OA2=4−43=83，
PO⋅PB=PO⋅PO+OB=PO2=PB2−OB2=4−43=83，
则PO⋅PA+PB=PO⋅PA+PO⋅PB=163．
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的直径，点P是正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一点，则PE⋅PF的取值范围是（ ）
A．−2,0B．−1,0C．0,1D．0,2
【解题思路】求出正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球O的半径R，可得出PE⋅PF=PO2−3，求出OP的取值范围，进而可求得PE⋅PF的取值范围.
【解答过程】设正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的球心为O，设球O的半径为R，
则2R=23，可得R=3，所以，OE=OF=3，
PE⋅PF=PO+OE⋅PO+OF=PO+OE⋅PO−OE=PO2−OE2
=PO2−3，
当点OP与正方体ABCD−A1B1C1D1的侧面或底面垂直时，OP的长取最小值，即OPmin=1，
当点P与正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点重合时，OP的长取最大值，即OPmax=3，
所以，1≤OP≤3，所以，PE⋅PF=PO2−3∈−2,0.
故选：A.
【题型2 空间向量的夹角及其应用】
【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a−b)⋅b=0 ，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解题思路】设a与b的夹角为θ，则由(2a−b)⋅b=0，a=b，可得csθ=12，从而可求得a与b的夹角
【解答过程】设a与b的夹角为θ，
因为(2a−b)⋅b=0，所以2a⋅b=b2，
所以2abcsθ=b2，
因为非零向量a，b满足a=b，
所以csθ=12，
因为θ∈[0,π]，所以θ=π3，即θ=60°，
故选：B.
【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0，a=2,b=3,c=4，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．以上都不对
【解题思路】设a与b的夹角为θ，由a+b+c=0，得a+b=−c，两边平方化简可得答案
【解答过程】设a与b的夹角为θ，
由a+b+c=0，得a+b=−c，
两边平方，得a2+2a⋅b+b2=c2，
因为a=2,b=3,c=4，
所以4+2×2×3csθ+9=16，解得csθ=14，
故选：D.
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，则csOA,BC的值是（ ）
A．12B．22C．−12D．0
【解题思路】利用OB=OC，以及OA⋅BC的数量积的定义化简csOA,BC的值，
【解答过程】解：∵OB=OC，
所以OA⋅BC=OA⋅(OC−OB)=OA⋅OC−OA⋅OB
=OA⋅OCcsπ3−OA⋅OBcsπ3=12OAOC−OB=0
所以csOA,BC=0，
故选：D．
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=e1+e2与b=e1−2e2的夹角为（ ）
A．60°B．120°
C．30°D．90°
【解题思路】先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得．
【解答过程】a⃑⋅b⃑=(e1⃑+e2⃑)⋅(e1⃑−2e2⃑)=e1⃑2−e1⃑⋅e2⃑−2e2⃑2=1−|e1⃑|e2⃑×12−2=−32,
a=a2=e1+e22=e12+2e1⋅e2+e22=1+1+1=3
b=b2=e1−2e22=e12−4e1⋅e2+4e22=1−2+4=3
所以csa,b=a⋅bab=−323=−12．
所以a,b=120°．
故选：B.
【题型3 利用空间向量的数量积求模】
【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=b,c=60°，则a−b+2c=（ ）
A．5B．5C．6D．6
【解题思路】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为a⊥b，a,c=b,c=60°，且a，b，c为单位向量，
则a−b+2c=a−b+2c2=a2+b2+4c2−2a⋅b+4a⋅c−4b⋅c
=1+1+4−0+4×1×1×12−4×1×1×12=6.
故选：D.
【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且AB=1，AD=2，AA1=3，则AC1=（ ）
A．5B．6C．4D．8
【解题思路】利用向量的数量积公式即可求解.
【解答过程】如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60∘，
且AB=1，AD=2，AA1=3，
∴ AC1=AB+BC+CC1
∴ AC12=AB+BC+CC12
=AB2+BC2+CC12+2AB·BC+2AB·CC1+2BC·CC1
=1+4+9+2×1×2×cs60∘+2×1×3×cs60∘+2×2×3×cs60∘
=25.
∴ AC1=5，
故选：A.
【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（ ）
A．2B．3C．3−2D．3+2
【解题思路】利用二面角的定义可得出∠AED=45∘，由空间向量的线性运算可得出DB=EA−ED+AB，利用空间向量数量积的运算性质可求得DB，即为所求.
【解答过程】因为四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则AE⊥EF，DE⊥EF，
又因为二面角A−EF−C的大小为45∘，即∠AED=45∘，则EA,ED=45∘，
因为DB=DE+EA+AB=EA−ED+AB，由图易知AB⊥EA，AB⊥ED，
所以，DB=EA−ED+AB2=EA2+ED2+AB2−2EA⋅ED+2EA⋅AB−2ED⋅AB
=1+1+1−2×1×1×cs45∘+0−0=3−2.
故选：C.
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【解题思路】首先在△DOC中利用余弦定理求出cs∠DOE，然后由空间向量的运算法则可得DE2=OE−OD2，变形可得DE2=λ2−λ+34，由二次函数的知识可得答案.
【解答过程】根据题意，在△DOC中， OD=CD=32,OC=1，
所以cs∠DOE=1+34−342×1×32=33
所以DE2=OE−OD2=OE2−2OE⋅OD+OD2=λ2−2×λ×32×33+34=(λ−12)2+12
则λ=12时，DE2取得最小值12，
则DE的最小值为22.
故选：B.
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2e1+3e2，a=ke1−4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【解题思路】由a和b的数量积为0，解出k的值.
【解答过程】由题意可得a⋅b=0，e1⋅e2=0，e1=e2=1，
所以(2e1+3e2)⋅(ke1−4e2)=0，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A．AD1⋅B1CB．BD1⋅ACC．AB⋅AD1D．BD1⋅BC
【解题思路】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.
【解答过程】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有AD1⋅B1C=0，故正确；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1=B，
BD,BB1⊂平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有BD1⋅AC=0，故正确；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有AB⋅AD1=0，故正确；
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即BD1⋅BC≠0，故错误.
故选：D.
【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅AD=0，点M为BC的中点，则△AMD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定
【解题思路】由题，可得AD⊥平面ABC，后由MA⊂平面ABC，可得答案.
【解答过程】由AD⋅AC=0，AB⋅AD=0，可知AD⊥AC，AD⊥AB.
又AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，AC∩AB=A，则AD⊥平面ABC.
因M∈BC，BC⊂平面ABC，则MA⊂平面ABC.
故AD⊥MA，即△AMD是直角三角形.
故选：C.
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=AA′=AD，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60∘，BM=15BC，N为C′D′上一点，且D′N=λD′C′，若DM⊥AN，则λ=（ ）
A．12B．13C．14D．15
【解题思路】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.
【解答过程】设AB=a,AD=b,AA′=c，
则AN=AA′+A′D′+D′N=AA′+AD+λD′C′=AA′+AD+λAB=λa+b+c，
DM=DC+CM=AB+45CB=AB−45AD=a−45b，
AN⋅DM=λa+b+c⋅a−45b=0，
λ⋅a2−45λ⋅a⋅b+a⋅b−45⋅b2+c⋅a−45⋅c⋅b=0，
设AB=AA′=AD=m，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60∘，
所以λ⋅m2−45⋅λm2⋅12+m2⋅12−45⋅m2+m2⋅12−45⋅m2⋅12=0，
解得λ=13，
故选：B.
【知识点2 向量的投影】
1．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．试确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【解题思路】由题意可知PC=PA+AB+BC，PC⋅AB即可转化为PA+AB+BC⋅AB，并化简利用数量积公式运算即可求得PC⋅AB的值；由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量为PC⋅cs⋅ABAB，化简运算即可等于AB.
【解答过程】∵ PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
因为PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB =0+a2+0=a2．
又|AB|=a，
所以PC在AB上的投影向量为：
PC⋅cs⋅ABAB=PC⋅PC⋅ABPC⋅AB⋅ABAB=PC⋅ABAB⋅ABAB=a2a⋅ABa=AB，
由数量积的几何意义可得：PC⋅AB=AB⋅AB=a2．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=1，AD=2，AA′=3，分别求向量AC′在AB、AD、AA′方向上的投影数量．
【解题思路】分析可得AC′=AB+AD+AA′，利用投影数量公式可求得向量AC′在AB、AD、AA′方向上的投影数量.
【解答过程】解：非零向量a在非零向量b方向上的投影数量为acs=a⋅a⋅ba⋅b=a⋅bb，
由空间向量的平行六面体法则可得AC′=AB+AD+AA′，
在长方体ABCD−A′B′C′D′中，AB⋅AD=AB⋅AA′=AD⋅AA′=0，
因此，向量AC′在AB方向上的投影数量为AC′⋅ABAB=AB+AD+AA′⋅ABAB=AB=1，
向量AC′在AD方向上的投影数量为AC′⋅ADAD=AB+AD+AA′⋅ADAD=AD=2，
向量AC′在AA′方向上的投影数量为AC′⋅AA′AA′=AB+AD+AA′⋅AA′AA′=AA′=3.
【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定PC在直线AB上的投影向量，并求PC⋅AB.
【解题思路】由图形特征，用PA，AB，BC为基底表示PC，计算数量积和投影向量.
【解答过程】因为PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB =0+a2+0=a2．
又|AB|=a，
所以PC在AB上的投影向量为：PC⋅csPC,AB⋅ABAB=PC⋅PC⋅ABPC⋅AB⋅ABAB=PC⋅ABAB⋅ABAB=a2a⋅ABa=AB.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．
(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅AB；
(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【解题思路】（1）根据PA⊥平面ABC可得PC在平面ABC上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得PC⋅AB的值.
【解答过程】（1）因为PA⊥平面ABC，所以PC在平面ABC上的投影向量为AC，
因为PA⊥平面ABC，AB⊂面ABC，可得PA⊥AB，所以PA⋅AB=0，
因为CB⊥AB，所以BC⋅AB=0，
所以PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB
=0+a2+0=a2.
（2）由（1）知：PC⋅AB=a2，AB=a，
所以PC在AB上的投影向量为：
PC⋅csPC,AB⋅ABAB=PC⋅PC⋅ABPC⋅AB⋅ABAB=PC⋅ABAB⋅ABAB=a2a⋅ABa=AB，
由数量积的几何意义可得：PC⋅AB=AB⋅AB=a2.定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19026" 【题型1 空间向量数量积的计算】 PAGEREF _Tc19026 \h 2
\l "_Tc25784" 【题型2 空间向量的夹角及其应用】 PAGEREF _Tc25784 \h 2
\l "_Tc19225" 【题型3 利用空间向量的数量积求模】 PAGEREF _Tc19225 \h 3
\l "_Tc19564" 【题型4 向量垂直的应用】 PAGEREF _Tc19564 \h 4
\l "_Tc27521" 【题型5 投影向量的求解】 PAGEREF _Tc27521 \h 5
【知识点1 空间向量的夹角与数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【题型1 空间向量数量积的计算】
【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（ ）
A．−1B．0C．1D．不确定
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 CE = ED，AF =2 FD，则向量BE⋅CF=（ ）
A．− 13B．13C．− 12D．12
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+PB等于（ ）
A．109B．263C．823D．163
【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的直径，点P是正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一点，则PE⋅PF的取值范围是（ ）
A．−2,0B．−1,0C．0,1D．0,2
【题型2 空间向量的夹角及其应用】
【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a−b)⋅b=0 ，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0，a=2,b=3,c=4，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．以上都不对
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，则csOA,BC的值是（ ）
A．12B．22C．−12D．0
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=e1+e2与b=e1−2e2的夹角为（ ）
A．60°B．120°
C．30°D．90°
【题型3 利用空间向量的数量积求模】
【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=b,c=60°，则a−b+2c=（ ）
A．5B．5C．6D．6
【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且AB=1，AD=2，AA1=3，则AC1=（ ）
A．5B．6C．4D．8
【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（ ）
A．2B．3C．3−2D．3+2
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2e1+3e2，a=ke1−4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A．AD1⋅B1CB．BD1⋅ACC．AB⋅AD1D．BD1⋅BC
【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅AD=0，点M为BC的中点，则△AMD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=AA′=AD，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60∘，BM=15BC，N为C′D′上一点，且D′N=λD′C′，若DM⊥AN，则λ=（ ）
A．12B．13C．14D．15
【知识点2 向量的投影】
1．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．试确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=1，AD=2，AA′=3，分别求向量AC′在AB、AD、AA′方向上的投影数量．
【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定PC在直线AB上的投影向量，并求PC⋅AB.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．
(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅AB；
(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19026" 【题型1 空间向量数量积的计算】 PAGEREF _Tc19026 \h 2
\l "_Tc25784" 【题型2 空间向量的夹角及其应用】 PAGEREF _Tc25784 \h 4
\l "_Tc19225" 【题型3 利用空间向量的数量积求模】 PAGEREF _Tc19225 \h 6
\l "_Tc19564" 【题型4 向量垂直的应用】 PAGEREF _Tc19564 \h 8
\l "_Tc27521" 【题型5 投影向量的求解】 PAGEREF _Tc27521 \h 11
【知识点1 空间向量的夹角与数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【题型1 空间向量数量积的计算】
【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（ ）
A．−1B．0C．1D．不确定
【解题思路】令AB=a,AC=b,AD=c，利用空间向量的数量积运算律求解.
【解答过程】令AB=a,AC=b,AD=c，
则AB·CD+AC·DB+AD·BC，
=a·c−b+b·a−c+c·b−a，
=a·c−a·b+b·a−b·c+c·b−c·a=0.
故选：B.
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中 CE = ED，AF =2 FD，则向量BE⋅CF=（ ）
A．− 13B．13C．− 12D．12
【解题思路】由向量的运算可得BE=12(BC+BD)，CF=13BA−BC+23BD，由向量数量积的定义即可得到答案.
【解答过程】由题得BA,BC夹角，BD,BC夹角，BD,BA夹角均为π3，
∵CE=ED,AF=2FD，
∴BE=12(BC+BD),AF=23AD，
∴CF=BF−BC=BA+AF−BC
=BA+23AD−BC=BA+23(BD−BA)−BC=13BA−BC+23BD，
∴BE⋅CF=12(BC+BD)⋅13BA−BC+23BD
=16BA⋅BC−12BC2−16BC⋅BD+16BA⋅BD+13BD2
=16×2×2×12−12×22−16×2×2×12+16×2×2×12+13×22=−13
故选：A.
【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+PB等于（ ）
A．109B．263C．823D．163
【解题思路】将PA转化为PO+OA，PB转化为PO+OB，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥AO，PO⊥BO，即可将PO⋅PA转化为|PO|2，PO⋅PB转化为|PO|2，结合勾股定理即可求解．
【解答过程】∵P−ABC为正三棱椎，O为△ABC的中心，
∴PO⊥平面ABC，AO、BO⊂平面ABC，
∴PO⊥AO，PO⊥BO，
△ABC是等边三角形，
∴PO⋅OA=0，AO=12⋅ABsin60∘=233，PO⋅OB=0，BO=12⋅ABsin60∘=233，
故PO⋅PA=PO⋅PO+OA=PO2=PA2−OA2=4−43=83，
PO⋅PB=PO⋅PO+OB=PO2=PB2−OB2=4−43=83，
则PO⋅PA+PB=PO⋅PA+PO⋅PB=163．
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD−A1B1C1D1外接球的直径，点P是正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一点，则PE⋅PF的取值范围是（ ）
A．−2,0B．−1,0C．0,1D．0,2
【解题思路】求出正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球O的半径R，可得出PE⋅PF=PO2−3，求出OP的取值范围，进而可求得PE⋅PF的取值范围.
【解答过程】设正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的球心为O，设球O的半径为R，
则2R=23，可得R=3，所以，OE=OF=3，
PE⋅PF=PO+OE⋅PO+OF=PO+OE⋅PO−OE=PO2−OE2
=PO2−3，
当点OP与正方体ABCD−A1B1C1D1的侧面或底面垂直时，OP的长取最小值，即OPmin=1，
当点P与正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点重合时，OP的长取最大值，即OPmax=3，
所以，1≤OP≤3，所以，PE⋅PF=PO2−3∈−2,0.
故选：A.
【题型2 空间向量的夹角及其应用】
【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a−b)⋅b=0 ，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解题思路】设a与b的夹角为θ，则由(2a−b)⋅b=0，a=b，可得csθ=12，从而可求得a与b的夹角
【解答过程】设a与b的夹角为θ，
因为(2a−b)⋅b=0，所以2a⋅b=b2，
所以2abcsθ=b2，
因为非零向量a，b满足a=b，
所以csθ=12，
因为θ∈[0,π]，所以θ=π3，即θ=60°，
故选：B.
【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0，a=2,b=3,c=4，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．以上都不对
【解题思路】设a与b的夹角为θ，由a+b+c=0，得a+b=−c，两边平方化简可得答案
【解答过程】设a与b的夹角为θ，
由a+b+c=0，得a+b=−c，
两边平方，得a2+2a⋅b+b2=c2，
因为a=2,b=3,c=4，
所以4+2×2×3csθ+9=16，解得csθ=14，
故选：D.
【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，则csOA,BC的值是（ ）
A．12B．22C．−12D．0
【解题思路】利用OB=OC，以及OA⋅BC的数量积的定义化简csOA,BC的值，
【解答过程】解：∵OB=OC，
所以OA⋅BC=OA⋅(OC−OB)=OA⋅OC−OA⋅OB
=OA⋅OCcsπ3−OA⋅OBcsπ3=12OAOC−OB=0
所以csOA,BC=0，
故选：D．
【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=e1+e2与b=e1−2e2的夹角为（ ）
A．60°B．120°
C．30°D．90°
【解题思路】先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得．
【解答过程】a⃑⋅b⃑=(e1⃑+e2⃑)⋅(e1⃑−2e2⃑)=e1⃑2−e1⃑⋅e2⃑−2e2⃑2=1−|e1⃑|e2⃑×12−2=−32,
a=a2=e1+e22=e12+2e1⋅e2+e22=1+1+1=3
b=b2=e1−2e22=e12−4e1⋅e2+4e22=1−2+4=3
所以csa,b=a⋅bab=−323=−12．
所以a,b=120°．
故选：B.
【题型3 利用空间向量的数量积求模】
【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=b,c=60°，则a−b+2c=（ ）
A．5B．5C．6D．6
【解题思路】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为a⊥b，a,c=b,c=60°，且a，b，c为单位向量，
则a−b+2c=a−b+2c2=a2+b2+4c2−2a⋅b+4a⋅c−4b⋅c
=1+1+4−0+4×1×1×12−4×1×1×12=6.
故选：D.
【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且AB=1，AD=2，AA1=3，则AC1=（ ）
A．5B．6C．4D．8
【解题思路】利用向量的数量积公式即可求解.
【解答过程】如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60∘，
且AB=1，AD=2，AA1=3，
∴ AC1=AB+BC+CC1
∴ AC12=AB+BC+CC12
=AB2+BC2+CC12+2AB·BC+2AB·CC1+2BC·CC1
=1+4+9+2×1×2×cs60∘+2×1×3×cs60∘+2×2×3×cs60∘
=25.
∴ AC1=5，
故选：A.
【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A−EF−C的大小为45∘，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（ ）
A．2B．3C．3−2D．3+2
【解题思路】利用二面角的定义可得出∠AED=45∘，由空间向量的线性运算可得出DB=EA−ED+AB，利用空间向量数量积的运算性质可求得DB，即为所求.
【解答过程】因为四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则AE⊥EF，DE⊥EF，
又因为二面角A−EF−C的大小为45∘，即∠AED=45∘，则EA,ED=45∘，
因为DB=DE+EA+AB=EA−ED+AB，由图易知AB⊥EA，AB⊥ED，
所以，DB=EA−ED+AB2=EA2+ED2+AB2−2EA⋅ED+2EA⋅AB−2ED⋅AB
=1+1+1−2×1×1×cs45∘+0−0=3−2.
故选：C.
【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O−ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC，则DE的最小值为（ ）
A．12B．22C．32D．1
【解题思路】首先在△DOC中利用余弦定理求出cs∠DOE，然后由空间向量的运算法则可得DE2=OE−OD2，变形可得DE2=λ2−λ+34，由二次函数的知识可得答案.
【解答过程】根据题意，在△DOC中， OD=CD=32,OC=1，
所以cs∠DOE=1+34−342×1×32=33
所以DE2=OE−OD2=OE2−2OE⋅OD+OD2=λ2−2×λ×32×33+34=(λ−12)2+12
则λ=12时，DE2取得最小值12，
则DE的最小值为22.
故选：B.
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2e1+3e2，a=ke1−4e2，a⊥b，则实数k的值为（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
【解题思路】由a和b的数量积为0，解出k的值.
【解答过程】由题意可得a⋅b=0，e1⋅e2=0，e1=e2=1，
所以(2e1+3e2)⋅(ke1−4e2)=0，即2k－12＝0，得k＝6.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD−A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A．AD1⋅B1CB．BD1⋅ACC．AB⋅AD1D．BD1⋅BC
【解题思路】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.
【解答过程】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有AD1⋅B1C=0，故正确；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1=B，
BD,BB1⊂平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有BD1⋅AC=0，故正确；
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有AB⋅AD1=0，故正确；
选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即BD1⋅BC≠0，故错误.
故选：D.
【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD⋅AC=0，AB⋅AD=0，点M为BC的中点，则△AMD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定
【解题思路】由题，可得AD⊥平面ABC，后由MA⊂平面ABC，可得答案.
【解答过程】由AD⋅AC=0，AB⋅AD=0，可知AD⊥AC，AD⊥AB.
又AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，AC∩AB=A，则AD⊥平面ABC.
因M∈BC，BC⊂平面ABC，则MA⊂平面ABC.
故AD⊥MA，即△AMD是直角三角形.
故选：C.
【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=AA′=AD，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60∘，BM=15BC，N为C′D′上一点，且D′N=λD′C′，若DM⊥AN，则λ=（ ）
A．12B．13C．14D．15
【解题思路】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解即可.
【解答过程】设AB=a,AD=b,AA′=c，
则AN=AA′+A′D′+D′N=AA′+AD+λD′C′=AA′+AD+λAB=λa+b+c，
DM=DC+CM=AB+45CB=AB−45AD=a−45b，
AN⋅DM=λa+b+c⋅a−45b=0，
λ⋅a2−45λ⋅a⋅b+a⋅b−45⋅b2+c⋅a−45⋅c⋅b=0，
设AB=AA′=AD=m，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60∘，
所以λ⋅m2−45⋅λm2⋅12+m2⋅12−45⋅m2+m2⋅12−45⋅m2⋅12=0，
解得λ=13，
故选：B.
【知识点2 向量的投影】
1．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型5 投影向量的求解】
【例5】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．试确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【解题思路】由题意可知PC=PA+AB+BC，PC⋅AB即可转化为PA+AB+BC⋅AB，并化简利用数量积公式运算即可求得PC⋅AB的值；由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量为PC⋅cs
【解答过程】∵ PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
因为PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB =0+a2+0=a2．
又|AB|=a，
所以PC在AB上的投影向量为：
PC⋅cs
由数量积的几何意义可得：PC⋅AB=AB⋅AB=a2．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=1，AD=2，AA′=3，分别求向量AC′在AB、AD、AA′方向上的投影数量．
【解题思路】分析可得AC′=AB+AD+AA′，利用投影数量公式可求得向量AC′在AB、AD、AA′方向上的投影数量.
【解答过程】解：非零向量a在非零向量b方向上的投影数量为acs
由空间向量的平行六面体法则可得AC′=AB+AD+AA′，
在长方体ABCD−A′B′C′D′中，AB⋅AD=AB⋅AA′=AD⋅AA′=0，
因此，向量AC′在AB方向上的投影数量为AC′⋅ABAB=AB+AD+AA′⋅ABAB=AB=1，
向量AC′在AD方向上的投影数量为AC′⋅ADAD=AB+AD+AA′⋅ADAD=AD=2，
向量AC′在AA′方向上的投影数量为AC′⋅AA′AA′=AB+AD+AA′⋅AA′AA′=AA′=3.
【变式5-2】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定PC在直线AB上的投影向量，并求PC⋅AB.
【解题思路】由图形特征，用PA，AB，BC为基底表示PC，计算数量积和投影向量.
【解答过程】因为PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB =0+a2+0=a2．
又|AB|=a，
所以PC在AB上的投影向量为：PC⋅csPC,AB⋅ABAB=PC⋅PC⋅ABPC⋅AB⋅ABAB=PC⋅ABAB⋅ABAB=a2a⋅ABa=AB.
【变式5-3】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．
(1)确定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC⋅AB；
(2)确定PC在AB上的投影向量，并求PC⋅AB．
【解题思路】（1）根据PA⊥平面ABC可得PC在平面ABC上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得PC在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得PC⋅AB的值.
【解答过程】（1）因为PA⊥平面ABC，所以PC在平面ABC上的投影向量为AC，
因为PA⊥平面ABC，AB⊂面ABC，可得PA⊥AB，所以PA⋅AB=0，
因为CB⊥AB，所以BC⋅AB=0，
所以PC⋅AB=PA+AB+BC⋅AB=PA⋅AB+AB⋅AB+BC⋅AB
=0+a2+0=a2.
（2）由（1）知：PC⋅AB=a2，AB=a，
所以PC在AB上的投影向量为：
PC⋅csPC,AB⋅ABAB=PC⋅PC⋅ABPC⋅AB⋅ABAB=PC⋅ABAB⋅ABAB=a2a⋅ABa=AB，
由数量积的几何意义可得：PC⋅AB=AB⋅AB=a2.定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
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