高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.10直线和圆的方程全章十类必考压轴题(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.10直线和圆的方程全章十类必考压轴题(原卷版+解析)，共35页。

【考点1 直线与线段的相交关系求斜率范围】
1．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点P0,−1作直线l，且直线l与连接点A1,−2，B2,1的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．[π4,3π4]B．[0,π4]∪[3π4,π)
C．[0,π2)∪[3π4,π)D．[0,3π4]
2．（2023·全国·高三专题练习）设点A(−2,3)，B(3,2)，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−52∪43,+∞B．−43,52C．−52,43D．−∞,−43∪52,+∞
3．（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知直线kx−y−k−1=0和以M−3,1,N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 .
4．（2023秋·高二课时练习）如图，已知两点A−2,−3,B3,0，过点P−1,2的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

5．（2023·江苏·高二假期作业）已知A3,3,B−4,2,C0,−2．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
【考点2 两直线平行、垂直的判定及应用】
1．（2023春·浙江·高二校联考期中）如果直线l1：x+ty+1=0与直线l2：tx+16y−4=0平行，那么实数t的值为（ ）
A．4B．−4
C．4或−4D．1或−4
2．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知直线l1:2mx−m+1y+5=0,l2:m+1x+m+4y−2=0，则“l1⊥l2”是“m=4”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·上海青浦·统考二模）过点P1,−3与直线x+3y+1=0垂直的直线方程为 .
4．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知直线l1：m−1x+2y−m=0与直线l2：x+my+m−2=0.
(1)若l1与l2垂直，求实数m的值；
(2)若l1与l2平行，求实数m的值.
5．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线l:3x+4y+5=0，求：
(1)过点A1,1且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点A1,1且与直线l垂直的直线的方程．
【考点3 三线能围成三角形的问题】
1．（2022·高二课时练习）若三条直线l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,l3:x−my=2不能围成三角形，则实数m的取值最多有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．6个
2．（2022秋·高二课时练习）若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形，则a应满足的条件是（ ）
A．a=1或a=−2B．a≠±1
C．a≠1且a≠−2D．a≠±1且a≠−2
3．（2023秋·浙江宁波·高二期末）若三条直线3x−y+1=0,x+y+3=0与kx−y+2=0能围成一个直角三角形，则k= ．
4．（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线l1:ax+y+1=0，l2:x+ay+1=0，l3:x+y+a=0能构成三角形，求a应满足的条件．

5．（2022·高二课时练习）已知直线l1:3x+my−1=0，l2:3x−2y−5=0，l3:6x+y−5=0.
(1)若这三条直线交于一点，求实数m的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件.
【考点4 与距离有关的最值问题】
1．（2023·全国·高一专题练习）已知两点A（−2，3），B（3，2），点C在x轴上，则CA+CB的最小值为（ ）
A．26B．52C．25D．13
2．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线l1:λ+2x+1−λy+2λ−5=0，l2:k+1x+1−2ky+k−5=0，且l1//l2，当两平行线距离最大时，λ+k=（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点Ma,b在直线3x+4y+10=0上，则a2+b2的最小值为 .
4．（2023·全国·高一专题练习）已知直线l：x+2y=2，点A−2,0，B0,−1
(1)求线段AB的中垂线与直线l的交点坐标；
(2)若点P在直线l上运动求PA+PB的最小值．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知点P(2,−1)，求：
（1）过点P与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过点P与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过点P与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【考点5 点、线间的对称关系】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（ ）
A．(1,−2)B．(2,1)
C．(2,−1)D．(−1,2)
2．（2023秋·上海奉贤·高二校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B−1,0，若将军从山脚下的点O0,0处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·高二单元测试）直线2x−y+3=0关于点A5,3的对称直线方程是 ．
4．（2023·高二课时练习）已知点A的坐标为−4,4，直线l的方程为3x+y−2=0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直角坐标平面xOy内的两点A5,−3，B1,1.
(1)求线段AB的中垂线所在直线的方程；
(2)一束光线从点A射向y轴，反射后的光线过点B，求反射光线所在的直线方程.
【考点6 圆的切线长及切线方程的求解】
1．（2023春·重庆永川·高二校考开学考试）已知直线l：x+ay−1=0a∈R是圆C：x 2+y 2−4x−2y+1=0的对称轴，过点A(−4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB=（ ）
A．2B．42C．6D．7
2．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）过点P1,1作圆E:x2+y2−4x+2y=0的切线，则切线方程为（ ）
A．x+y−2=0B．2x−y−1=0
C．x−2y+1=0D．x−2y+1=0或2x−y−1=0
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：x2+y2=3，l为过M1,2的圆的切线，A为l上任一点，过A作圆N：x+22+y2=4的切线，则切线长的最小值是 .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1），圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
（1）求过点P的圆C的切线方程；
（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
5．（2023秋·吉林·高二校考期末）已知圆C的圆心在第一象限且在直线3x−y=0上，点A1，6、点B1，0均在圆C上.
(1)求圆C的方程；
(2)由直线x+y+4=0上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值.
【考点7 圆的弦长与中点弦问题】
1．（2023·云南·统考二模）若直线3x−4y−13=0与圆x−22+y+32=36交于A、B两点，则AB=（ ）
A．237B．12C．235D．233
2．（2023·全国·高三专题练习）若直线y=kx+2−3k与圆x2+y2+4y−57=0相交于不同两点A，B，则弦AB长的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
3．（2023·天津·三模）已知直线ax+y−1=0平分圆C:(x−1)2+(y+2)2=4，则圆C中以点a3,−a3为中点的弦弦长为 .
4．（2023春·河南安阳·高二校联考开学考试）已知圆C过A1,0,B0,1两点且圆心C在直线x+y−4=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l:y=kx−1被圆C截得的弦长为4305，求实数k的值.
5．（2023春·广东·高二统考阶段练习）已知圆x2+y2=9，AB为过点P(2,3)且倾斜角为α的弦．
(1)当α=120°时，求弦AB的长；
(2)若弦AB被点P平分，求直线AB的方程．
【考点8 直线与圆有关的最值问题】
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线l:mx−y+m+1=0(m≠0)与圆C: x2+y2−4x+2y+4=0，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为A,B，若线段AB长度的最小值为3，则实数m的值是（ ）
A．−125B．125C．75D．−75
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线l:x+y−3=0上的两点A,B，且AB=1，点P为圆D:x2+y2+2x−3=0上任一点，则△PAB的面积的最大值为（ ）
A．2+1B．22+2C．2−1D．22−2
3．（2023·宁夏石嘴山·校考模拟预测）直线l:mx−y+2−3m=0m∈R与圆C:x2+y2−2y−15=0交于两点P､Q，则弦长PQ的最小值是 .
4．（2023春·福建福州·高二校考开学考试）已知点A(0,5)，圆C：x2+y2+4x−12y+24=0.
（1）若直线l过A(0,5)且被圆C截得的弦长为43，求直线l的方程；
（2）点M(−1,0)，N(0,1)，点Q是圆C上的任一点，求Q点到直线MN的距离的最小值．
5．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知点A(1,2)，圆C：x2+y2+2mx+2y+2=0.
(1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
(2)当m=−2时，过直线2x−y+3=0上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.
【考点9 两圆的公切线问题】
1．（2023·全国·高三专题练习）下列方程中，圆C1:x2−2x+y2=0与圆C2:4x2+4y2=9的公切线方程是（ ）
A．x+3y+3=0B．x+3y−3=0
C．3x+y+3=0D．3x−y−3=0
2．（2022·全国·高二专题练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2:x−12+y2=4都相切，切点分别为A、B，则AB=（ ）
A．1B．2C．3D．22
3．（2023秋·辽宁沈阳·高二校考期末）已知圆C1:x2+y2−4x−2y+3=0与圆C2:x2+y2−8x−6y+7=0，则圆C1与圆C2的公切线方程是 .
4．（2022·高二课时练习）求圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+20x+84=0的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
5．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知圆O1:x2+y2=r12与圆O2:(x−3)2+y2=r22r1,r2>0相交于M,N两点，点M位于x轴上方，且两圆在点M处的切线相互垂直.
(1)求r12+r22的值；
(2)若直线l与圆O1､圆O2分别切于P,Q两点，求|PQ|的最大值.
【考点10 两圆的公共弦问题】
1．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知两圆x2+y2=10和x−12+y−32=20相交于A，B两点，则AB=（ ）
A．25B．410C．10D．210
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1:x2+y2−kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky−2=0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．1,−1B．−1,−1C．−1,1D．1,1
3．（2023春·全国·高二校联考阶段练习）已知圆C1：(x+1)2+y2=r2过圆C2：(x−4)2+(y−1)2=4的圆心，则两圆相交弦的方程为 .
4．（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆C1:x2+y2−4y=0，C2:(x−2)2+y2=m2(m>0)．
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m=2时，求两圆的公共弦所在直线l的方程和公共弦的长．
5．（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知圆C1：x2+y2−2x=0和圆C2:x2+y2−6x−4y+4=0相交于A,B两点.
(1)求公共弦AB所在直线的方程.
(2)求△ABC2的面积.
专题2.10 直线和圆的方程全章十类必考压轴题
【人教A版（2019）】
【考点1 直线与线段的相交关系求斜率范围】
1．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点P0,−1作直线l，且直线l与连接点A1,−2，B2,1的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A．[π4,3π4]B．[0,π4]∪[3π4,π)
C．[0,π2)∪[3π4,π)D．[0,3π4]
【解题思路】画出坐标系，连接PA，PB，AB，结合斜率变化可知，kPA≤tanα≤kPB，联立斜率与倾斜角关系即可求解.
【解答过程】由题知，直线l的倾斜角为α，则α∈0,π，
∵kPA=−1+20−1=−1，kPB=−1−10−2=1，
且直线l与连接点A1,−2，B2,1的线段总有公共点，
如下图所示，
则kPA≤tanα≤kPB，即−1≤tanα≤1，
∴α∈ [0,π4]∪[3π4,π).
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）设点A(−2,3)，B(3,2)，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−52∪43,+∞B．−43,52C．−52,43D．−∞,−43∪52,+∞
【解题思路】求出直线ax+y+2=0经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．
【解答过程】∵直线ax+y+2=0过定点C(0,−2)，且kAC=−52，kBC=43，
由图可知直线与线段AB有交点时，斜率−a满足43≤−a或−a≤−52，
解得a∈−∞,−43∪52,+∞，
故选：D.
3．（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知直线kx−y−k−1=0和以M−3,1,N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 −∞,−12∪32,+∞ .
【解题思路】求出kx−y−k−1=0所过定点A1,−1，然后画出图形，求出kAN,kAM，数形结合实数k的取值范围.
【解答过程】kx−y−k−1=0变形为y+1=kx−1，恒过点A1,−1，
画图如下：
则kAN=2+13−1=32，kAM=1+1−3−1=−12，
则要想直线kx−y−k−1=0和以M−3,1,N3,2为端点的线段相交，
则k≥kAN或k≤kAM，
即k≥32或k≤−12.
故答案为：−∞,−12∪32,+∞.
4．（2023秋·高二课时练习）如图，已知两点A−2,−3,B3,0，过点P−1,2的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

【解题思路】根据题意结合图形求出直线AP的斜率kAP，直线BP的斜率kBP，即得直线l斜率的取值范围．
【解答过程】根据图形，∵直线AP的斜率是kAP=2−−3−1−−2=5，
直线BP的斜率是kBP=2−0−1−3=−12，
∴过点P的直线l与线段AB有公共点时，
直线l的斜率的取值范围是−∞,−12∪5,+∞ ．
5．（2023·江苏·高二假期作业）已知A3,3,B−4,2,C0,−2．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
【解题思路】（1）根据斜率公式运算求解；
（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.
【解答过程】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2−3−4−3=17，
直线AC的斜率kAC=3−−23−0=53，
故直线AB的斜率为17，直线AC的斜率为53.
（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
所以直线AD的斜率的变化范围是17,53．
【考点2 两直线平行、垂直的判定及应用】
1．（2023春·浙江·高二校联考期中）如果直线l1：x+ty+1=0与直线l2：tx+16y−4=0平行，那么实数t的值为（ ）
A．4B．−4
C．4或−4D．1或−4
【解题思路】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可.
【解答过程】因为直线l1：x+ty+1=0与直线l2：tx+16y−4=0平行，
所以1×16=t21×−4≠1×t，解得t=4.
故选：A.
2．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知直线l1:2mx−m+1y+5=0,l2:m+1x+m+4y−2=0，则“l1⊥l2”是“m=4”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用必要不充分条件判断.
【解答过程】由l1⊥l2，所以2mm+1−m+1m+4=0，
即m2−3m−4=0，解得m=4或m=−1，
所以充分性不成立，
当m=4时，l1:8x−5y+5=0,l2:5x+8y−2=0，
所以l1⊥l2，故必要性成立，
所以“l1⊥l2”是“m=4”必要不充分条件，
故选：B.
3．（2023·上海青浦·统考二模）过点P1,−3与直线x+3y+1=0垂直的直线方程为 3x−y−3−3=0 .
【解题思路】设所求直线方程为3x−y+c=0，将点P的坐标代入所求直线方程，求出c的值，即可得出所求直线的方程.
【解答过程】设所求直线方程为3x−y+c=0，将点P的坐标代入所求直线方程可得3+3+c=0，
解得c=−3−3，
故所求直线方程为3x−y−3−3=0.
故答案为：3x−y−3−3=0.
4．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知直线l1：m−1x+2y−m=0与直线l2：x+my+m−2=0.
(1)若l1与l2垂直，求实数m的值；
(2)若l1与l2平行，求实数m的值.
【解题思路】（1）利用直线垂直的充要条件计算即可；
（2）利用直线平行的充要条件计算即可.
【解答过程】（1）由两直线垂直的充要条件可知：m−1×1+2m=0⇒m=13；
（2）由两直线平行的充要条件可知：m−1×m=2且m−1m−2≠−m，
解方程得m=−1或m=2.
5．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线l:3x+4y+5=0，求：
(1)过点A1,1且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点A1,1且与直线l垂直的直线的方程．
【解题思路】（1）根据两直线平行得到斜率，再利用点斜式写出方程；
（2）根据两直线垂直得到斜率，再利用点斜式写出方程.
【解答过程】（1）因为直线l:3x+4y+5=0的斜率为−34，
所以与直线l平行的直线的斜率为−34，
又所求直线过A1,1，
所以所求直线方程为y−1=−34x−1，即3x+4y−7=0．
（2）因为直线l:3x+4y+5=0的斜率为−34，
所以与直线l垂直的直线的斜率为43，
又所求直线过A1,1，
所以所求直线方程为y−1=43x−1，即4x−3y−1=0．
【考点3 三线能围成三角形的问题】
1．（2022·高二课时练习）若三条直线l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,l3:x−my=2不能围成三角形，则实数m的取值最多有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．6个
【解题思路】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.
【解答过程】∵三条直线不能构成三角形 ∴至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若l1∥l2，则m=4；若l1∥l3，则−4m=1 ∴m=−14；
若l2∥l3，则−m2=1 ∴m的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线l1和l2联立：4x+y=3mx+y=0 ∴x=34−my=3mm−4，∴直线l1和l2交点为P34−m,3mm−4;
直线l1和l3联立：4x+y=3x−my=2 ∴x=3m+21+4my=−51+4m，∴直线l1和l3交点为Q3m+21+4m,−51+4m;
∵三条直线相交于同一点∴P、Q两点重合∴34−m=3m+21+4m3mm−4=−51+4m ∴m=1或−53.
故实数m的取值最多有4个.
故选:C.
2．（2022秋·高二课时练习）若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形，则a应满足的条件是（ ）
A．a=1或a=−2B．a≠±1
C．a≠1且a≠−2D．a≠±1且a≠−2
【解题思路】先排除平行与重合情况a≠±1，再排除交于一点的情况a=−2，最后给出答案.
【解答过程】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.
①若l1//l2，则由a×a−1×1=0，得a=±1.
②若l2//l3，则由1×1−a×1=0，得a=1.
③若l1//l3，则由a×1−1×1=0，得a=1.
当a=1时，l1,l2与l3三线重合，当a=−1时，l1,l2平行.
④若三条直线交于一点，由x+ay+1=0,x+y+a=0,解得x=−a−1,y=1,
将l2,l3的交点(−a−1,1)的坐标代入l1的方程，
解得a=1（舍去）或a=−2.
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠−2.
故选：D.
3．（2023秋·浙江宁波·高二期末）若三条直线3x−y+1=0,x+y+3=0与kx−y+2=0能围成一个直角三角形，则k= −13或1 ．
【解题思路】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为−1，求解即可.
【解答过程】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点，
若3x−y+1=0与kx−y+2=0垂直，则3k=−1⇒k=−13；
若x+y+3=0与kx−y+2=0垂直，则−k=−1⇒k=1．所以k=−13或1．
故答案为：−13或1.
4．（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线l1:ax+y+1=0，l2:x+ay+1=0，l3:x+y+a=0能构成三角形，求a应满足的条件．

【解题思路】由题意可分直线l1//l2、l2//l3、l1//l3、直线l1,l2,l3经过同一点讨论，不能构成三角形从而可求出a的值再求其补集可得答案.
【解答过程】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若l1//l2，则由a×a−1×1=0，得a=±1；
②若l2//l3，则由1×1−a×1=0，得a=1；
③若l1//l3，则由a×1−1×1=0，得a=1，
当a=1时，l1,l2与l3三线重合，当a=−1时，l1,l2平行．
④若三条直线交于一点，由x+ay+1=0x+y+a=0，解得x=−a−1y=1，
将l2,l3的交点−a−1,1的坐标代入l1的方程，
解得a=1 (舍去)，或a=−2，
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠−2．
5．（2022·高二课时练习）已知直线l1:3x+my−1=0，l2:3x−2y−5=0，l3:6x+y−5=0.
(1)若这三条直线交于一点，求实数m的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件.
【解题思路】(1)联立l2和l3的方程求得交点坐标，将此交点坐标代入l1的方程即可求出m的值；
(2)由题意得到三条直线不能构成三角形的情况，求出每一种情况下的m值，则答案可求．
【解答过程】（1）由3x−2y−5=06x+y−5=0解得x=1y=−1，代入l1的方程，得m＝2.
（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形．
①联立3x−2y−5=06x+y−5=0，解得x=1y=−1，代入3x+my−1=0，得m=2；
②当l1:3x+my−1=0与l2:3x−2y−5=0平行时，m=−2，
当l1:3x+my−1=0与l3:6x+y−5=0平行时，m=12．
综上所述，当m≠±2且m≠12时，三条直线能构成三角形．
【考点4 与距离有关的最值问题】
1．（2023·全国·高一专题练习）已知两点A（−2，3），B（3，2），点C在x轴上，则CA+CB的最小值为（ ）
A．26B．52C．25D．13
【解题思路】点B3,2关于x轴的对称点为B′3,−2，则CA+CB=CA+CB′≥AB′求出最小值AB′即可得出答案.
【解答过程】点B3,2关于x轴的对称点为B′3,−2，则CB=CB′，
所以CA+CB=CA+CB′≥AB′=−2−32+3+22=52，
CA+CB的最小值为52.
故选：B.
2．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线l1:λ+2x+1−λy+2λ−5=0，l2:k+1x+1−2ky+k−5=0，且l1//l2，当两平行线距离最大时，λ+k=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】求出l1,l2恒过的定点A,B，故l1，l2距离的最大值为AB=5，所以−λ+21−λ=−k+11−2k=−1kAB=2，求解即得出答案.
【解答过程】l1:λx−y+2+2x+y−5=0，由x−y+2=02x+y−5=0，
解得x=1y=3，故l1过定点A1,3．
l2:kx−2y+1+x+y−5=0，由x−2y+1=0x+y−5=0，
解得x=3y=2，故l2过定点B3,2，
故l1，l2距离的最大值为AB=5．
此时，−λ+21−λ=−1kAB=2，则λ=4，−k+11−2k=2，
解得k=1，故λ+k=5．
故选：C．
3．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点Ma,b在直线3x+4y+10=0上，则a2+b2的最小值为 2 .
【解题思路】根据题意可知a2+b2表示动点Ma,b到坐标原点O0,0，利用点到直线的距离求最小值.
【解答过程】因为a2+b2表示动点Ma,b到坐标原点O0,0，
所以a2+b2的最小值为O0,0到线3x+4y+10=0的距离d=1032+42=2.
故答案为：2.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知直线l：x+2y=2，点A−2,0，B0,−1
(1)求线段AB的中垂线与直线l的交点坐标；
(2)若点P在直线l上运动求PA+PB的最小值．
【解题思路】(1)先由点斜式求线段AB的中垂线方程，联立方程组求其与直线l的交点坐标；
(2)求点A关于直线l的对称点A′的坐标，再求A′B的长度即可.
【解答过程】（1）因为A−2,0，B0,−1，所以AB的中点坐标为−1,−12，
直线AB的方程为y=−12x−1，所以线段AB的中垂线的斜率为2，
则线段AB的中垂线方程为y+12=2x+1，化简得y=2x+32，
联立y=2x+32x+2y=2，解得x=−15y=1110，
所以线段AB的中垂线与直线l的交点坐标为−15,1110；
（2）设A点关于直线l：x+2y=2对称的点为A′x,y，
则AA′的中点坐标为x−22,y2，因为点在直线l：x+2y=2上，故：
x−22+y=2①，又直线AA′的斜率为2，故：yx+2=2②，
联立①②解得：A′−25,165，因为PA+PB=PA′+PB≥A′B，
所以PA+PB的最小值为A′B=4455．

5．（2023·全国·高三专题练习）已知点P(2,−1)，求：
（1）过点P与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过点P与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过点P与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设直线l:a(x−2)+b(y+1)=0，根据点到直线的距离公式可得参数的值，进而可得结果；
（2）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可；
（3）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在.
【解答过程】（1）设直线l:a(x−2)+b(y+1)=0，则|−2a+b|a2+b2=2．化简，得b=0或b=−43a，故直线l的方程为x=2或3x−4y−10=0
（2）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得kl⋅kOP=−1，所以kl=−1kOP=2，
由直线方程的点斜式得y+1=2x−2，即2x−y−5=0，
即直线2x−y−5=0是过P点与原点O距离最大的直线，最大距离为|−5|5=5.
（3）由（2）知，过点P不存在到原点距离超过5的直线，
所以不存在过点P且到原点距离为6的直线.
【考点5 点、线间的对称关系】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点A(−2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B，则点B的坐标为（ ）
A．(1,−2)B．(2,1)
C．(2,−1)D．(−1,2)
【解题思路】根据题意设对称点坐标为a,b，从而可得b−1a+2=1a−22+b+12=0，解方程组即可.
【解答过程】设点A(−2,1)关于直线x+y=0对称的点为a,b，
则b−1a+2=1a−22+b+12=0，解得a=−1b=2，故对称的点为(−1,2).
故选：D.
2．（2023秋·上海奉贤·高二校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B−1,0，若将军从山脚下的点O0,0处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解．
【解答过程】如图所示，作点O关于直线x+y=3的对称点Ax0,y0，连接AB交直线于点C，此时路程和最小，
由题知，点Ax0,y0满足：
x02+y02=3y0−0x0−0=1，解得：x0=3，y0=3，即点A3,3，
因为OC+BC=AC+BC=AB，
所以“将军饮马”的最短总路程为AB=−1−32+0−32=5，
故选：D.
3．（2023·高二单元测试）直线2x−y+3=0关于点A5,3的对称直线方程是 2x−y−17=0 ．
【解题思路】由直线2x−y+3=0关于点A5,3对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点A5,3到两条直线的距离相等可解出答案.
【解答过程】设对称直线为l′:2x−y+C0=0，
则有2×5−3+C022+−12=5×2−3+322+−12，即7+C0=10
解这个方程得C0=3（舍）或C0=−17.
所以对称直线l′的方程中2x−y−17=0.
故答案为：2x−y−17=0.
4．（2023·高二课时练习）已知点A的坐标为−4,4，直线l的方程为3x+y−2=0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
【解题思路】（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可.
【解答过程】（1）设A′m,n，由题意可得n−4m+4×−3=−13×m−42+n+42−2=0，解得m=2n=6，
所以点A′的坐标为2,6.
（2）在直线l上任取一点Px,y，设Px,y关于点A的对称点为P′x0,y0，
则x0+x2=−4y0+y2=4，解得x0=−8−xy0=8−y，
由于P′−8−x,8−y在直线3x+y−2=0上，则3−8−x+8−y−2=0，即3x+y+18=0，
故直线l关于点A的对称直线l′的方程为3x+y+18=0.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直角坐标平面xOy内的两点A5,−3，B1,1.
(1)求线段AB的中垂线所在直线的方程；
(2)一束光线从点A射向y轴，反射后的光线过点B，求反射光线所在的直线方程.
【解题思路】（1）求出AB的中点坐标及AB中垂线的斜率，进而求出方程；
（2）求出A关于y轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程．
【解答过程】（1）∵A5,−3，B1,1
∴中点为3,−1.且kAB=−3−15−1=−1.
∴线段AB的中垂线的斜率为1，
∴由直线方程的点斜式可得线段AB的中垂线所在直线方程为y−−1=x−3即x−y−4=0.
（2）∵A5,−3关于y轴的对称点A′−5,−3，
∴kA′B=−3−1−5−1=23
所以直线A′B的方程为：y−1=23x−1，
即反射光线所在的直线方程为2x−3y+1=0.
【考点6 圆的切线长及切线方程的求解】
1．（2023春·重庆永川·高二校考开学考试）已知直线l：x+ay−1=0a∈R是圆C：x 2+y 2−4x−2y+1=0的对称轴，过点A(−4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB=（ ）
A．2B．42C．6D．7
【解题思路】先计算得圆心2，1，r=2，再利用AB=OA2−r2计算即可.
【解答过程】圆C：x 2+y 2−4x−2y+1=0，即x−22+y−12=4，
则圆心2，1，r=2，
由题知直线x+ay−1=0过圆心2，1，
则2+a−1=0，a=−1，则A−4,−1，CA2=40，
AB=CA2−r2=40−4=6，
故选：C．
2．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）过点P1,1作圆E:x2+y2−4x+2y=0的切线，则切线方程为（ ）
A．x+y−2=0B．2x−y−1=0
C．x−2y+1=0D．x−2y+1=0或2x−y−1=0
【解题思路】由题意可得点P在圆E上，根据切线的性质求切线斜率，进而求切线方程.
【解答过程】由题意可知：圆E:x2+y2−4x+2y=0的圆心E2,−1，半径r=5，
∵12+12−4×1+2×1=0，
∴点P在圆E上，
又∵kPE=−1−12−1=−2，则切线的斜率k=12，
∴切线方程为y−1=12x−1，即x−2y+1=0.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆O：x2+y2=3，l为过M1,2的圆的切线，A为l上任一点，过A作圆N：x+22+y2=4的切线，则切线长的最小值是 393 .
【解题思路】先求得l的方程，再根据圆心到切线的距离，半径和切线长的勾股定理求最小值即可
【解答过程】由题，直线OM的斜率为2，故直线l的斜率为−22，故l的方程为y−2=−22x−1，即x+2y−3=0.又N到l的距离d=−2+0−312+22=53，故切线长的最小值是532−4=133=393
故答案为：393.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1），圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
（1）求过点P的圆C的切线方程；
（2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解题思路】（1）确定点P在圆上，P为切点，由切线与过切点的半径垂直求出切线斜率，得切线方程；
（2）确定点M在圆外，先考虑斜率不存在的直线是切线，在斜率存在时，设斜率为k，写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径求得k值，得切线方程．切线长用勾股定理求解．
【解答过程】由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
（1）∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．
又kPC＝2−2−22+1−1＝－1，
∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－2)＝x－(2＋1)，
即x－y＋1－22＝0.
（2）∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝k−2+1−3kk2+1＝r＝2，解得k＝34.
∴切线方程为y－1＝34(x－3），即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝(3−1)2+(1−2)2=5，
∴过点M的圆C的切线长为MC2−r2=5−4=1.
5．（2023秋·吉林·高二校考期末）已知圆C的圆心在第一象限且在直线3x−y=0上，点A1，6、点B1，0均在圆C上.
(1)求圆C的方程；
(2)由直线x+y+4=0上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值.
【解题思路】（1）由题可得AB的垂直平分线方程，进而可得圆心坐标，即得；
（2）先求得SPACB=PA⋅r=PC2−r2⋅r，通过求PC的最小值可得得SPACB的最小值.
【解答过程】（1）由A1，6，B1，0，可得AB的垂直平分线为y=3，
又点A1，6、点B1，0均在圆C上，圆C的圆心在直线3x−y=0上，
由y=33x−y=0，可得x=1,y=3，即圆心C1,3，
又AC=3，
所以圆C的方程为x−12+y−32=9；
（2）由（1）得，圆C的圆心为C1,3，半径r=3，
所以四边形PACB的面积为SPACB=PA⋅r=PC2−r2⋅r，
所以当PC最小时，SPACB最小，
又C1,3到直线x+y+4=0的距离为1+3+42=42，
即PC的最小值为42，
所以四边形PACB面积的最小值为422−32×3=323.
【考点7 圆的弦长与中点弦问题】
1．（2023·云南·统考二模）若直线3x−4y−13=0与圆x−22+y+32=36交于A、B两点，则AB=（ ）
A．237B．12C．235D．233
【解题思路】由圆的方程可得圆心为2,−3，半径r=6，可求得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可得AB=235.
【解答过程】由圆的方程为x−22+y+32=36可知圆心为2,−3，半径r=6；
则圆心到直线3x−4y−13=0的距离d=6+12−1332+42=1，
根据圆的弦长公式可得AB=2r2−d2=235.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）若直线y=kx+2−3k与圆x2+y2+4y−57=0相交于不同两点A，B，则弦AB长的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【解题思路】先求出直线过的定点M(3,2)，且M在圆内，然后求出圆心C和半径，根据圆的性质得，弦AB过M且AB⊥CM时弦长最短，从而可以求解．
【解答过程】由直线y=kx+2−3k=k(x−3)+2，
令x=3，解得y=2，所以直线过定点M(3,2)，
又32+22+4×2−57<0，故M(3,2)在圆内．
由x2+y2+4y−57=0⇒x2+(y+2)2=61，记圆心为C(0,−2)，半径r=61，
所以CM=(3−0)2+(2+2)2=5，
根据圆的性质，当弦AB过M且AB⊥CM时弦长最短，此时弦长AB=2r2−|CM|2=261−25=12.
故选：B.
3．（2023·天津·三模）已知直线ax+y−1=0平分圆C:(x−1)2+(y+2)2=4，则圆C中以点a3,−a3为中点的弦弦长为 23 .
【解题思路】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，由题意可知该直线经过圆心，求出a，利用几何法求弦长即可求解.
【解答过程】由(x−1)2+(y+2)2=4，得C(1,−2),r=2，
因为直线ax+y−1=0平分圆C，
所以该直线经过圆心C，得a−2−1=0，解得a=3.
则(a3,−a3)=(1,−1)，
当圆心C与该点(1,−1)的连线与弦垂直时，满足题意，
所以圆C以点(1,−1)为中点的弦弦长为222−12=23.
故答案为：23.
4．（2023春·河南安阳·高二校联考开学考试）已知圆C过A1,0,B0,1两点且圆心C在直线x+y−4=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l:y=kx−1被圆C截得的弦长为4305，求实数k的值.
【解题思路】(1)先设圆的标准方程，带入点A1,0,B0,1的坐标求出参数即可；
(2)先求点到直线距离公式求距离，再根据垂径定理列式求k即可.
【解答过程】（1）设Ca,4−a，半径为rr>0，
所以圆C的方程为x−a2+y−4+a2=r2，
所以0−a2+1−4+a2=r21−a2+0−4+a2=r2
解得a=2r=5
所以圆C的方程为x−22+y−22=5.
（2）圆心C2,2到直线l:y=kx−1的距离d=2k−2−1k2+−12=2k−3k2+1,
由垂径定理得2k−3k2+12+23052=5，
解得k=2或k=2219.
5．（2023春·广东·高二统考阶段练习）已知圆x2+y2=9，AB为过点P(2,3)且倾斜角为α的弦．
(1)当α=120°时，求弦AB的长；
(2)若弦AB被点P平分，求直线AB的方程．
【解题思路】（1）本小题先根据倾斜角求直线斜率，再求直线方程，求圆心到直线AB的距离，结合弦长公式求弦AB的长；；
（2）本小题借圆的弦的几何意义先求直线的斜率，再根据点斜式求直线方程.
【解答过程】（1）当α=120∘时，直线AB的斜率为k=tanα=tan120∘=−3，
因为直线AB过点P(2,3)，
所以直线AB的方程为：y−3=−3×(x−2)即3x+y−33=0，
圆x2+y2=9的圆心为O0,0，半径r=3，
圆心O0,0到直线3x+y−33=0的距离d=3×0+0−333+1=332，
所以AB=2r2−d2=29−274=3，
所以弦AB的长为3；
（2）因为P(2,3)，O0,0，
所以 kOP=3−02−0=32，
因为弦AB被点P平分，所以 kAB⋅kOP=−1，
所以kAB=−233，
所以直线AB的方程：y−3=−233×(x−2)，
所以直线AB的方程：2x+3y−7=0.
【考点8 直线与圆有关的最值问题】
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线l:mx−y+m+1=0(m≠0)与圆C: x2+y2−4x+2y+4=0，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为A,B，若线段AB长度的最小值为3，则实数m的值是（ ）
A．−125B．125C．75D．−75
【解题思路】设∠ACP=θ0<θ<π2，则|AB|=2sinθ，可得|PC|min=2，而CP的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【解答过程】圆C: (x−2)2+(y+1)2=1，设∠ACP=θ0<θ<π2，
则AB=2sinθ≥3，则sinθ≥32，∴θ∈[π3,π2)，
则PC=1csθ≥2，所以圆心C到直线l的距离是2，
∴2m+1+m+1m2+1=2，得5m2+12m=0，∵m≠0 ∴m=−125．
故选：A．
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知直线l:x+y−3=0上的两点A,B，且AB=1，点P为圆D:x2+y2+2x−3=0上任一点，则△PAB的面积的最大值为（ ）
A．2+1B．22+2C．2−1D．22−2
【解题思路】找到圆上的点到直线距离的最大值作为△PAB的高，再由面积公式求解即可.
【解答过程】把圆D:x2+y2+2x−3=0变形为(x+1)2+y2=4，
则圆心D−1,0，半径r=2，
圆心D到直线l:x+y−3=0的距离d=1+312+12=22，
则圆D上的点到直线AB的距离的最大值为d+r=22+2，又AB=1，
∴△PAB的面积的最大值为12×22+2×1=2+1．
故选：A．
3．（2023·宁夏石嘴山·校考模拟预测）直线l:mx−y+2−3m=0m∈R与圆C:x2+y2−2y−15=0交于两点P､Q，则弦长PQ的最小值是 26 .
【解题思路】先把圆C的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.
【解答过程】圆C:x2+y2−2y−15=0化成标准形式为圆C:x2+(y−1)2=16，
圆心C0,1，半径r=4，
直线l:mx−y+2−3m=0⇒mx−3−y+2=0过定点M3,2，并在圆C内，
∴PQ最短时，点M3,2为弦PQ的中点，即CM⊥PQ时，
所以PQ=2r2−CM2=26.
故答案为：26.
4．（2023春·福建福州·高二校考开学考试）已知点A(0,5)，圆C：x2+y2+4x−12y+24=0.
（1）若直线l过A(0,5)且被圆C截得的弦长为43，求直线l的方程；
（2）点M(−1,0)，N(0,1)，点Q是圆C上的任一点，求Q点到直线MN的距离的最小值．
【解题思路】（1）求出圆的圆心坐标及半径，直线斜率不存在时直线方程为：x=0，利用勾股定理验证是否符合题意；当直线斜率存在时，设出直线方程并利用弦长及勾股定理求出斜率即可得解；（2）求出直线MN的方程，求出圆心到直线的距离d，圆上点距直线的距离的最大值为d+r，最小值为d−r.
【解答过程】（1）圆C：x2+y2+4x−12y+24=0，即x+22+y−62=16，
其圆心坐标为−2，6，半径为r=4，点A0，5，
①当直线斜率不存在时，直线方程为：x=0，
此时圆心−2，6到y轴的距离d=2，
由勾股定理可得，弦长为43 ，符合题意
②当直线斜率存在时，设过A的直线方程为：y=kx+5，
化为一般方程：kx−y+5=0，
圆心到直线的距离d=−2k−6+51+k2=2k+11+k2．
又(23)2+d2=r2=16，整理得4k+1=4，解得：k=34，
所以3x−4y+20=0，
综上可得直线l：x=0或3x−4y+20=0；
（2）直线MN的方程为−x+y=1，即x−y+1=0．
圆C：x2+y2+4x−12y+24=0，其圆心坐标为−2，6，半径为r=4，
可得圆心−2，6到直线MN的距离为d=−2−6+12=722，
圆上的点到直线距离的最小值为722−4．
5．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知点A(1,2)，圆C：x2+y2+2mx+2y+2=0.
(1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
(2)当m=−2时，过直线2x−y+3=0上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值.
【解题思路】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答；
（2）首先得到S四边形PMCN=3⋅|PC|2−3，再根据点到直线的距离公式求出CP的最小值，最后得到四边形面积的最小值.
【解答过程】（1）由题意得A1,2在圆外，则1+4+2m+6>0，即m>−112
又4m2+4−8>0，即m>1或m<−1
所以−1121.
（2）m=−2时，圆方程为(x−2)2+(y+1)2=3，则圆的半径r=3，圆心C2,−1，
S四边形PMCN=PM⋅r=3PM=3·|PC|2−r2=3·|PC|2−3.
直线方程为2x−y+3=0，设圆心2,−1到直线2x−y+3=0的距离为d，
|PC|min=d=2×2−−1+35=85，
∴S四边形PMCNmin=3645−3=3495=7515.
【考点9 两圆的公切线问题】
1．（2023·全国·高三专题练习）下列方程中，圆C1:x2−2x+y2=0与圆C2:4x2+4y2=9的公切线方程是（ ）
A．x+3y+3=0B．x+3y−3=0
C．3x+y+3=0D．3x−y−3=0
【解题思路】设公切线l与圆C1，圆C2分别相切于第一象限的A，B两点，由几何关系求出P3,0，∠OPB=π6即可得出.
【解答过程】根据题意可知C1:x−12+y2=1，C2:x2+y2=322，
如图，设公切线l与圆C1，圆C2分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P，
由几何关系可知C1A=1，OB=32，OP=OC1+C1P，C1PC1A=OPOB，
所以OP=3，P3,0，sin∠OPB=12，∠OPB=π6，l的斜率为−33，
则l的方程为y=−33x−3，即x+3y−3=0，
根据对称可得出另一条公切线方程为x−3y−3=0.
故选：B．
2．（2022·全国·高二专题练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2:x−12+y2=4都相切，切点分别为A、B，则AB=（ ）
A．1B．2C．3D．22
【解题思路】设直线l交x轴于点M，推导出C1为MC2的中点，A为BM的中点，利用勾股定理可求得AB.
【解答过程】如下图所示，设直线l交x轴于点M，
由于直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2:x−12+y2=4都相切，切点分别为A、B，
则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1//BC2，
∵BC2=2=2AC1，∴C1为MC2的中点，∴A为BM的中点，∴MC1=C1C2=2，
由勾股定理可得AB=MA=MC12−AC12=3.
故选：C.
3．（2023秋·辽宁沈阳·高二校考期末）已知圆C1:x2+y2−4x−2y+3=0与圆C2:x2+y2−8x−6y+7=0，则圆C1与圆C2的公切线方程是 x+y−1=0 .
【解题思路】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程.
【解答过程】圆C1:x2+y2−4x−2y+3=0，即x−22+y−12=2，圆心为C12,1，半径r1=2.
圆C2:x2+y2−8x−6y+7=0，即x−42+y−32=16，圆心为C24,3，半径r2=32.
圆心角C1C2=4+4=42=r1+r2，所以两圆外切，
由x2+y2−4x−2y+3=0x2+y2−8x−6y+7=0解得x=1y=0，
所以两圆切点的坐标为1,0，
kC1C2=3−14−2=1，所以公切线的斜率为−1，
所以公切线的方程为y=−1x−1，即x+y−1=0
故答案为：x+y−1=0.
4．（2022·高二课时练习）求圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+20x+84=0的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
【解题思路】利用两圆的圆心在x轴得到内公切线的交点P也在x轴上，再利用几何性质可求P的坐标，最后利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程.
【解答过程】C10,0，C2−10,0，r1=2，r2=4．
设内公切线与连心线C1C2交于点P，则P在x轴上且C1P=12PC2．
设Px0,0，可得x0=−103，P−103,0．
设内公切线所在直线方程为y=kx+103，即kx−y+103k=0．
由103k1+k2=2，得k=±34．
所以内公切线所在直线方程为3x+4y+10=0或3x−4y+10=0．
内公切线的长为C1C22−r1+r22=102−62=8．
5．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知圆O1:x2+y2=r12与圆O2:(x−3)2+y2=r22r1,r2>0相交于M,N两点，点M位于x轴上方，且两圆在点M处的切线相互垂直.
(1)求r12+r22的值；
(2)若直线l与圆O1､圆O2分别切于P,Q两点，求|PQ|的最大值.
【解题思路】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解；
（2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解|PQ|的最大值.
【解答过程】（1）
如图，由题意可知O1M与圆O2相切，O2M与圆O1相切，
且MO1⊥MO2，
故MO12+MO22=9，
即r12+r22=9.
（2）
作O2H⊥O1P于点H，连接PQ，
在△O1O2H中，O2H2=O1O22−O1H2，
其中O2H=|PQ|,O1H=r1−r2，
故PQ2=9−r1−r22=9−r12−2r1r2+r22=2r1r2，
又2r1r2≤r12+r22=9，当且仅当r1=r2时取等号，
故|PQ|≤3，
即|PQ|的最大值为3.
【考点10 两圆的公共弦问题】
1．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知两圆x2+y2=10和x−12+y−32=20相交于A，B两点，则AB=（ ）
A．25B．410C．10D．210
【解题思路】先求出两圆的公共弦方程，再利用公共弦过圆心可求解弦长.
【解答过程】因为两圆的方程为x2+y2=10和x−12+y−32=20，所以两圆的公共弦方程为x+3y=0，又因为该弦过圆x2+y2=10的圆心，故AB=210．
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1:x2+y2−kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky−2=0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．1,−1B．−1,−1C．−1,1D．1,1
【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，然后k取特值解方程组可得交点.
【解答过程】由x2+y2−kx+2y=0，x2+y2+ky−2=0
两式相减得公共弦所在直线方程为：kx+(k−2)y−2=0，
分别取k=0,k=2，得−2y−2=02x−2=0，解得y=−1x=1，即P(1,−1)
故选：A.
3．（2023春·全国·高二校联考阶段练习）已知圆C1：(x+1)2+y2=r2过圆C2：(x−4)2+(y−1)2=4的圆心，则两圆相交弦的方程为 5x+y−19=0 .
【解题思路】求出r2，得到圆C1，两圆相减得到相交弦方程.
【解答过程】圆C2：(x−4)2+(y−1)2=4的圆心坐标为4,1，
因为圆C1过圆C2的圆心，所以(4+1)2+12=r2，
所以r2=26，所以C1：(x+1)2+y2=26，
两圆的方程相减可得相交弦方程为5x+y−19=0.
故答案为：5x+y−19=0.
4．（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆C1:x2+y2−4y=0，C2:(x−2)2+y2=m2(m>0)．
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m=2时，求两圆的公共弦所在直线l的方程和公共弦的长．
【解题思路】（1）两圆相外切，则两圆圆心距为两圆半径之和，据此可得答案；
（2）将两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，后可得弦长所在直线与圆C1圆心距离，后可得弦长.
【解答过程】（1）因为圆C1的标准方程为x2+(y−2)2=4，
所以两圆的圆心分别为0,2，2,0，半径分别为2，m.
当两圆外切时，圆心距为半径之和，则(0−2)2+(2−0)2=2+m，结合m>0，
解得m=22−2；
（2）当m=2时，圆C2的一般方程为x2+y2−4x=0
两圆一般方程相减得：4x−4y=0，
所以两圆的公共弦所在直线l的方程为x−y=0
圆C1圆心0,2到l的距离为0−212+(−1)2=2
故两圆的公共弦的长为222−2=22．
5．（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知圆C1：x2+y2−2x=0和圆C2:x2+y2−6x−4y+4=0相交于A,B两点.
(1)求公共弦AB所在直线的方程.
(2)求△ABC2的面积.
【解题思路】（1）将两圆的方程相减即可得到公共弦AB所在直线的方程；
（2）利用垂径定理构造直角三角形，再利用点到直线的距离公式求出C2O，勾股定理求出AO，然后求面积即可.
【解答过程】（1）因为C1：x2+y2−2x=0，C2：x2+y2−6x−4y+4=0，所以C1−C2得：4x+4y−4=0，即x+y−1=0，所以公共弦所在的直线方程为：x+y−1=0.
（2）
如图，取AB中点O，连接AB，AC2，BC2，C2O，根据圆的性质可得C2O⊥AB，
圆C2 x2+y2−6x−4y+4=0可整理为x−32+y−22=9，所以C23,2，AC2=3，
点C2到直线AB的距离d=3+2−112+12=22，所以AO=32−222=1，AB=2 S△ABC2=12×2×22=22.