高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.8圆与圆的位置关系【七大题型】(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.8圆与圆的位置关系【七大题型】(原卷版+解析)，共26页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9599" 【题型1 圆与圆的位置关系的判定】 PAGEREF _Tc9599 \h 2
\l "_Tc6695" 【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】 PAGEREF _Tc6695 \h 3
\l "_Tc9094" 【题型3 两圆的公切线长】 PAGEREF _Tc9094 \h 5
\l "_Tc28689" 【题型4 两圆的公切线方程或条数】 PAGEREF _Tc28689 \h 8
\l "_Tc13416" 【题型5 相交圆的公共弦方程】 PAGEREF _Tc13416 \h 11
\l "_Tc32172" 【题型6 两圆的公共弦长】 PAGEREF _Tc32172 \h 12
\l "_Tc25203" 【题型7 圆系方程及其应用】 PAGEREF _Tc25203 \h 15
【知识点1 圆与圆的位置关系及判定】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则
d=，两圆的位置关系表示如下：
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
【题型1 圆与圆的位置关系的判定】
【例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：x2+y2=1与圆C: x2+y2+6y+5=0的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）圆O1:x−22+y2=4与圆O2:x−42+y2=16的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆O1，与圆O2的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【变式1-3】（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）圆C1:x2+y2−6x−7=0与圆C2:x2+y2+27y+6=0的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】
【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知圆x2+y2=4与圆x2+y2−6x−8y+m+6=0相外切，则m的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）“a＝3”是“圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知圆M:x2+y2=1和N:x−222+y−222=m2m>0存在公共点，则m的值不可能为（ ）
A．3B．32C．5D．42
【变式2-3】（2023秋·贵州黔东南·高二校考期末）已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x−22+y−22=r2r>1有两个交点，则r的取值范围是（ ）
A．1,2+1B．22−1,22+1
C．1,2+1D．22−1,22+1
【知识点2 两圆的公切线】
1．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【题型3 两圆的公切线长】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2:x−12+y2=4都相切，切点分别为A、B，则AB=（ ）
A．1B．2C．3D．22
【变式3-1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为x2+y2−2x−2y−7=0，圆B的方程为x2+y2+2x+2y−2=0.
(1)判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【变式3-2】（2023·高二单元测试）已知圆C1:(x−1)2+(y−2)2=9，C2:(x−2)2+(y−3)2=4
(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；
(2)若动直线l与圆C1交于P，Q，且线段PQ的长度为26，求证：存在一个定圆C，直线l总与之相切.
【变式3-3】（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2−4x=0，C2：x2+y2+4x+3=0，及点A−1,0和B1,2.
(1)求圆C1和圆C2公切线段的长度；
(2)在圆C1上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
【题型4 两圆的公切线方程或条数】
【例4】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线方程为（ ）
A．3x−4y−5=0B．3x−4y+5=0
C．4x−3y−5=0D．4x−3y+5=0
【变式4-1】（2022秋·贵州遵义·高二校联考期末）圆C1:(x+2)2+(y+4)2=25与圆C2:(x+1)2+y2=9的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知圆M:x−22+y−12=1，圆N:x+22+y+12=1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y=0B．4x−3y=0
C．x−2y+5=0D．x+2y−5=0
【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆C1：x2+y−a2=a2a>0的圆心到直线x−y−2=0的距离为22，则圆C1与圆C2：x2+y2−2x−4y+4=0的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【知识点3 两圆的公共弦】
1．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
【题型5 相交圆的公共弦方程】
【例5】（2022秋·高二课时练习）已知圆C1：x2+y2+2x−6y+1=0与圆C2：x2+y2−4x+2y−11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A．3x+4y+6=0B．3x+4y−6=0
C．3x−4y−6=0D．3x−4y+6=0
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知圆 C1:x2+y2−kx+2y=0与圆C2:x2+y2+2ky−1=0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．1,−12B．1,12
C．−1,−12D．−1,12
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过点P(3,0)作圆O:(x−1)2+(y−23)2=4的两条切线，切点分别为A,B．则直线AB的方程为（ ）
A．x−3y+3=0B．x+3y+3=0
C．3x−y+3=0D．3x+y+3=0
【变式5-3】（2023·河南·统考二模）若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x−a)2+(y−b)2=1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A．2ax+by−1=0B．2ax+by−3=0
C．2ax+2by−1=0D．2ax+2by−3=0
【题型6 两圆的公共弦长】
【例6】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆O1:x2+y2−4y−6=0与圆O2:x2+y2−6x+8y=0公共弦长为（ ）
A．5B．10
C．25D．35
【变式6-1】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）圆C1：x2+y2−4=0与圆C2：x2+y2−4x+4y+4=0的公共弦的弦长等于（ ）
A．2B．4C．2D．22
【变式6-2】（2021秋·高二课时练习）圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2−1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2−2=0的公共弦长的最大值是（ ）
A．12B．1C．32D．2
【变式6-3】（2022秋·河南·高二校联考期中）已知圆O:x2+y2=r2r>0与圆C:x2+y2+8x+6y+16=0交于A、B两点，且四边形OACB的面积为3r，则AB=（ ）
A．95B．165C．245D．365
【知识点4 圆系方程及其应用】
1．圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：
(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.
(2)与圆同心的圆系方程是.
(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.
(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是
.
(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是
().(其中不含有:
,注意检验是否满足题意,以防漏解).
①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程.
②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.
【题型7 圆系方程及其应用】
【例7】（2022·高二课时练习）求过两圆x2+y2−2y−4=0和x2+y2−4x+2y=0的交点，且圆心在直线2x+4y−1=0上的圆的方程（ ）
A．x2+y2+3x+y−1=0B．x2+y2−4x−y−1=0
C．x2+y2+3x+y−4=0D．x2+y2−3x+y−1=0
【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）过点M(2,−2)以及圆x2+y2−5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是（ ）
A．x2+y2−154x−12=0B．x2+y2−154x+12=0
C．x2+y2+154x−12=0D．x2+y2+154x+12=0
【变式7-2】（2022秋·重庆·高二校联考阶段练习）求过两圆x2+y2+2x−4y−4=0和x2+y2−4x+2y+2=0的交点，且圆心在直线x+2y+2=0上的圆的方程（ ）
A．x2+y2−8x+6y+6=0B．x2+y2−4x+4y+6=0
C．x2+y2−8x+6y−6=0D．x2+y2−4x+4y−6=0
【变式7-3】（2022·全国·高二专题练习）若圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且经过两圆x2+y2−4x−6=0和x2+y2−4y−6=0的交点，则圆C的圆心到直线3x+4y+5=0的距离为（ ）
A．0B．85C．2D．185
专题2.8 圆与圆的位置关系【七大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9599" 【题型1 圆与圆的位置关系的判定】 PAGEREF _Tc9599 \h 2
\l "_Tc6695" 【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】 PAGEREF _Tc6695 \h 3
\l "_Tc9094" 【题型3 两圆的公切线长】 PAGEREF _Tc9094 \h 5
\l "_Tc28689" 【题型4 两圆的公切线方程或条数】 PAGEREF _Tc28689 \h 8
\l "_Tc13416" 【题型5 相交圆的公共弦方程】 PAGEREF _Tc13416 \h 11
\l "_Tc32172" 【题型6 两圆的公共弦长】 PAGEREF _Tc32172 \h 12
\l "_Tc25203" 【题型7 圆系方程及其应用】 PAGEREF _Tc25203 \h 15
【知识点1 圆与圆的位置关系及判定】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则
d=，两圆的位置关系表示如下：
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
【题型1 圆与圆的位置关系的判定】
【例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：x2+y2=1与圆C: x2+y2+6y+5=0的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
【解题思路】利用两圆外切的定义判断即可.
【解答过程】圆O是以O(0,0)为圆心，半径r1=1的圆，
圆C:x2+y2+6y+5=0改写成标准方程为x2+y+32=4，则圆C是以C(0,−3)为圆心，半径r2=2的圆，
则OC=3，r1+r2=3，所以两圆外切，
故选：C.
【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）圆O1:x−22+y2=4与圆O2:x−42+y2=16的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【解题思路】计算两圆圆心距离，利用几何法可判断两圆的位置关系.
【解答过程】圆O1圆心为O12,0，半径为r1=2，圆O2的圆心O24,0，半径为r2=4，
则两圆的圆心距为O1O2=2−42+02=2，而r1−r2=2，
则圆O1与圆O2的位置关系为内切．
故选：D.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆O1，与圆O2的半径分别为2和6，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【解题思路】根据给定条件，利用圆心距与两圆半径和差大小关系判断作答.
【解答过程】依题意，圆O1与圆O2的圆心距4等于圆O2的半径6减去圆O1的半径2,
所以圆O1内切于圆O2.
故选：D.
【变式1-3】（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）圆C1:x2+y2−6x−7=0与圆C2:x2+y2+27y+6=0的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【解题思路】先将两圆化为标准方程，再根据两圆的位置关系判定即可.
【解答过程】两圆化为标准形式，可得C1:(x−3)2+y2=16与圆C2:x2+(y+7)2=1，
可知半径r1=4，r2=1，于是C1C2=(3−0)2+(0+7)2=4，
而3=r1−r2<4故选：C.
【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】
【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知圆x2+y2=4与圆x2+y2−6x−8y+m+6=0相外切，则m的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解题思路】由两圆外切,则两圆心间的距离等于两半径之和可得答案.
【解答过程】由圆x2+y2=4可得圆心M0,0,半径r1=2；
由圆x2+y2−6x−8y+m+6=0即x−32+y−42=19−m可得圆心N3,4,半径r2=19−m；
因为两圆外切，所以MN=r1+r2，即5=2+19−m，解得m=10.
故选：D.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）“a＝3”是“圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.
【解答过程】解：若圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切，
当两圆外切时，(−a−0)2+02=2+1，所以a＝－3或a＝3；
当两圆内切时，(−a−0)2+02=2−1，所以a＝1或a＝－1．
当a=3时，圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切，
所以“a＝3”是“圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切”的充分条件．
当圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切时，a=3不一定成立，
所以“a＝3”是“圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切”的不必要条件．
所以“a＝3”是“圆x2+y2=1与圆x+a2+y2=4相切”的充分不必要条件．
故选：A.
【变式2-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知圆M:x2+y2=1和N:x−222+y−222=m2m>0存在公共点，则m的值不可能为（ ）
A．3B．32C．5D．42
【解题思路】根据圆与圆的位置关系进行求解即可.
【解答过程】因为圆M:x2+y2=1和N:x−222+y−222=m2m>0存在公共点，
所以两圆相交或者相内切或者相外切，
即m−1≤MN≤m+1⇒m−1≤8+8≤m+1⇒m−1≤4≤m+1，
解得3≤m≤5，选项ABC满足，m的值不能为D.
故选：D.
【变式2-3】（2023秋·贵州黔东南·高二校考期末）已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x−22+y−22=r2r>1有两个交点，则r的取值范围是（ ）
A．1,2+1B．22−1,22+1
C．1,2+1D．22−1,22+1
【解题思路】根据两圆相交的性质直接得出.
【解答过程】由题意知，圆心C10,0与圆心C22,2，
则圆心距C1C2=22，
因为圆C1与圆C2有两个交点，
则圆C1与圆C2相交，
则r−1解得22−1故选：B.
【知识点2 两圆的公切线】
1．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【题型3 两圆的公切线长】
【例3】（2022·全国·高二专题练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2:x−12+y2=4都相切，切点分别为A、B，则AB=（ ）
A．1B．2C．3D．22
【解题思路】设直线l交x轴于点M，推导出C1为MC2的中点，A为BM的中点，利用勾股定理可求得AB.
【解答过程】如下图所示，设直线l交x轴于点M，
由于直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2:x−12+y2=4都相切，切点分别为A、B，
则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1//BC2，
∵BC2=2=2AC1，∴C1为MC2的中点，∴A为BM的中点，∴MC1=C1C2=2，
由勾股定理可得AB=MA=MC12−AC12=3.
故选：C.
【变式3-1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为x2+y2−2x−2y−7=0，圆B的方程为x2+y2+2x+2y−2=0.
(1)判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【解题思路】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长；
（2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解.
【解答过程】（1）圆A：x−12+y−12=9，圆B：x+12+y+12=4，
两圆心距AB=(1+1)2+(1+1)2=22，
∵3−2∴两圆相交，
将两圆方程左、右两边分别对应相减得：4x+4y+5=0，
此即为过两圆交点的直线方程.
设两交点分别为C、D，则AB垂直平分线段CD，
∵A到CD的距离d=4×1+4×1+542+42=1382，
∴CD=2rA2−d2=2384.
（2）设公切线l切圆A、圆B的切点分别为E，F，则四边形AEFB是直角梯形.
∴EF2=AB2−rA−rB2=7，
∴EF=7.
【变式3-2】（2023·高二单元测试）已知圆C1:(x−1)2+(y−2)2=9，C2:(x−2)2+(y−3)2=4
(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；
(2)若动直线l与圆C1交于P，Q，且线段PQ的长度为26，求证：存在一个定圆C，直线l总与之相切.
【解题思路】（1）求出两圆的圆心和半径，判断圆心距与半径之差、半径之和的关系即可判断两圆的位置关系，设直线RS分别与圆C1,C2切于R，S，在直角梯形C1C2SR中即可得公切线长；
（2）利用几何法求得点C11,2到直线l的距离为定值，即可得定圆C的方程即可求解.
【解答过程】（1）
由圆C1:(x−1)2+(y−2)2=9可得C11,2，半径r1=3，
由圆C2:(x−2)2+(y−3)2=4可得C22,3，半径r2=2，
C1C2=(1−2)2+(2−3)2=2，
所以1=r1−r2设直线RS分别与圆C1,C2切于R，S，连接C1R,C2S，
在直角梯形C1C2SR中，C1R=3,C2S=2,C1C2=2，
所以|RS|=C1C22−r1−r22=1，即它们的公切线之长为1；
（2）
设线段PQ的中点为D，则C1D⊥PQ，
因为动直线l与圆C1交于P，Q，且线段PQ的长度为26，
所以C1D=r12−|PQ|22=32−2622=3，
又因为C1D⊥PQ，所以点C11,2到直线l的距离为3，
所以直线l总与圆(x−1)2+(y−2)2=3相切，
所以存在一个定圆C:(x−1)2+(y−2)2=3，直线l总与之相切.
【变式3-3】（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2−4x=0，C2：x2+y2+4x+3=0，及点A−1,0和B1,2.
(1)求圆C1和圆C2公切线段的长度；
(2)在圆C1上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案.
（2）存在Px,y满足条件，根据题意化解得到x2+y−12=4，根据两圆的位置关系得到答案.
【解答过程】（1）圆C1：x2+y2−4x=0，即x−22+y2=4，C1 2,0，r1=2
圆C2：x2+y2+4x+3=0，即x+22+y2=1，C2 −2,0，r2=1，
圆心距为4>r1+r2，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同，
当两圆在公切线同侧时：l1=C1C22−r2−r12=16−1=15.
当两圆在公切线异侧时：l2=C1C22−r2+r12=16−9=7.
综上所述，公切线段长为15或7.
（2）假设存在Px,y满足条件，即x+12+y2+x−12+y−22=12，
化简得到：x2+y−12=4，圆心为C30,1，半径r3=2.
r1−r3故点P的个数为2.
【题型4 两圆的公切线方程或条数】
【例4】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线方程为（ ）
A．3x−4y−5=0B．3x−4y+5=0
C．4x−3y−5=0D．4x−3y+5=0
【解题思路】由两圆的位置关系得出m，进而联立两圆方程得出公切线方程.
【解答过程】圆C1：x2+y2=1的圆心O1(0,0),r1=1，圆C2：x2+y2−8x+6y+m=0可化为
(x−4)2+(y+3)2=25−m，m<25，则其圆心为O2(4,−3)，半径为r2=25−m，
因为圆C1与圆C2相内切，所以r2−1=O1O2，即r2=42+32+1=6，故m=−11.
由x2+y2=1x2+y2−8x+6y−11=0，可得4x−3y+5=0，
即C1与C2的公切线方程为4x−3y+5=0.
故选：D.
【变式4-1】（2022秋·贵州遵义·高二校联考期末）圆C1:(x+2)2+(y+4)2=25与圆C2:(x+1)2+y2=9的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数.
【解答过程】圆C1:(x+2)2+(y+4)2=25的圆心坐标为(−2,−4)，半径为5；
圆C2:(x+1)2+y2=9的圆心坐标为(−1,0)，半径为3，
所以两圆的圆心距为d=1+16=17，
因为5−3<17<5+3，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
【变式4-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知圆M:x−22+y−12=1，圆N:x+22+y+12=1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y=0B．4x−3y=0
C．x−2y+5=0D．x+2y−5=0
【解题思路】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，另两条切线与直线MN平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解
【解答过程】由题意，圆M:x−22+y−12=1的圆心坐标为M2,1，半径为r1=1
圆N:x+22+y+12=1的圆心坐标为N−2,−1，半径为r2=1
如图所示，两圆相离，有四条公切线.
两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，
设切线l:y=kx，则圆心到直线的距离2k−11+k2=1，解得k=0或k=43，
另两条切线与直线MN平行且相距为1，又由lMN:y=12x，
设切线l:y=12x+b，则b1+14=1，解得b=±52，
结合选项，可得D不正确.
故选：D.
【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆C1：x2+y−a2=a2a>0的圆心到直线x−y−2=0的距离为22，则圆C1与圆C2：x2+y2−2x−4y+4=0的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【解题思路】先根据题意求得a=2，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.
【解答过程】圆C1：x2+y−a2=a2的圆心为0,a，半径为a，
所以圆心到直线x−y−2=0的距离为d=0−a−212+12=22，解得a=2或a=−6．
因为a>0，所以a=2.
所以圆C1：x2+y−22=4的圆心为C10,2，半径为r1=2．
圆C2：x2+y2−2x−4y+4=0的标准方程为x−12+y−22=1，
圆心坐标为C21,2，半径r2=1，
圆心距d=0−12+2−22=1=r1−r2，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
【知识点3 两圆的公共弦】
1．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
【题型5 相交圆的公共弦方程】
【例5】（2022秋·高二课时练习）已知圆C1：x2+y2+2x−6y+1=0与圆C2：x2+y2−4x+2y−11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A．3x+4y+6=0B．3x+4y−6=0
C．3x−4y−6=0D．3x−4y+6=0
【解题思路】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.
【解答过程】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.
故选：D.
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知圆 C1:x2+y2−kx+2y=0与圆C2:x2+y2+2ky−1=0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．1,−12B．1,12
C．−1,−12D．−1,12
【解题思路】计算公共弦所在直线为−kx+2y−2ky+1=0，得到x+2y=0−2y−1=0，解得答案.
【解答过程】圆 C1:x2+y2−kx+2y=0与圆C2:x2+y2+2ky−1=0的公共弦所在直线为
−kx+2y−2ky+1=0，即kx+2y−2y−1=0，故x+2y=0−2y−1=0，解得x=1y=−12，
故直线过定点1,−12.
故选：A.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过点P(3,0)作圆O:(x−1)2+(y−23)2=4的两条切线，切点分别为A,B．则直线AB的方程为（ ）
A．x−3y+3=0B．x+3y+3=0
C．3x−y+3=0D．3x+y+3=0
【解题思路】求出以P(3,0)、O(1,23)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程．
【解答过程】圆O:(x−1)2+(y−23)2=4的圆心为O(1,23)，半径为2，
以P(3,0)、O(1,23)为直径,则PO的中点坐标为N(2,3)，|PO|=(3−1)2+(23−0)2=4，
∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=4，
因为过点P(3,0)圆O:(x−1)2+(y−23)2=4的两条切线切点分别为A，B，
所以AB是两圆的公共弦，
将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为：x−3y+3=0.
故选：A．
【变式5-3】（2023·河南·统考二模）若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x−a)2+(y−b)2=1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A．2ax+by−1=0B．2ax+by−3=0
C．2ax+2by−1=0D．2ax+2by−3=0
【解题思路】将两圆方程相减得到直线AB的方程为a2+b2−2ax−2by=0，然后再根据公共弦AB的长为1即可求解.
【解答过程】将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2−2ax−2by=0，
即2ax+2by−a2−b2=0，
因为圆C1的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，
则C1(0,0)到直线2ax+2by−a2−b2=0的距离为32，
所以a2+b24(a2+b2)=32，解得a2+b2=3，
所以直线AB的方程为2ax+2by−3=0，
故选：D.
【题型6 两圆的公共弦长】
【例6】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆O1:x2+y2−4y−6=0与圆O2:x2+y2−6x+8y=0公共弦长为（ ）
A．5B．10
C．25D．35
【解题思路】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆O1的圆心到公共弦的距离，再由
公共弦长公式d=2r2−d12求出答案即可.
【解答过程】联立两个圆的方程x2+y2−4y−6=0x2+y2−6x+8y=0，
两式相减可得公共弦方程x−2y−1=0，
圆O1:x2+y−22=10的圆心坐标为O10,2，半径为r=10，
圆心O10,2到公共弦的距离为d1=0−4−11+4=5，
公共弦长为d=2r2−d12=210−5=25.
故选:C.
【变式6-1】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）圆C1：x2+y2−4=0与圆C2：x2+y2−4x+4y+4=0的公共弦的弦长等于（ ）
A．2B．4C．2D．22
【解题思路】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为x−y−2=0，根据弦长公式即得.
【解答过程】圆C1：x2+y2=4，圆心为0,0，半径为r=2；
圆C2：x−22+y+22=4，圆心为2,−2，半径为R=2；
圆心距d=22+22=22，R−r联立两圆方程x2+y2−4=0x2+y2−4x+4y+4=0，得x−y−2=0，
即公共弦所在直线的方程为x−y−2=0，
故圆心0,0到公共弦的距离为2，
公共弦长为：2r2−2=22.
故选：D.
【变式6-2】（2021秋·高二课时练习）圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2−1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2−2=0的公共弦长的最大值是（ ）
A．12B．1C．32D．2
【解题思路】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线y=x上，再利用几何关系即可求出结果.
【解答过程】由x2+y2+2ax+2ay+2a2−1=0，得(x+a)2+(y+a)2=1，圆心C1(−a,−a)，半径r1=1；
由C2:x2+y2+2bx+2by+2b2−2=0，得(x+b)2+(y+b)2=2，圆心C2(−b,−b)，半径r2=2，
所以两圆圆心均在直线y=x上，半径分别为1和2，

如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.
故选：D.
【变式6-3】（2022秋·河南·高二校联考期中）已知圆O:x2+y2=r2r>0与圆C:x2+y2+8x+6y+16=0交于A、B两点，且四边形OACB的面积为3r，则AB=（ ）
A．95B．165C．245D．365
【解题思路】设OC∩AB=M，分析可知点M为AB的中点，由四边形OACB的面积为3r，可得出AB的长，利用勾股定理可得出关于r的等式，解出r的值，即可求得AB.
【解答过程】如下图所示：
圆C的标准方程为x+42+y+32=9，圆心为C−4,−3，半径为3，
由题意可知，OA=OB，CA=CB，OC=OC，∴△OAC≌△OBC，
所以，∠AOC=∠BOC，所以，OC⊥AB，
设OC∩AB=M，则M为AB的中点，
故四边形OACB的面积为S=12OC⋅AM+BM=12×5×AB=3r，则AB=6r5，
故AM=12AB=35r，所以，OM=OA2−AM2=45r，
∴CM=AC2−AM2=9−9r225，又因为CM=OC−OM=5−4r5，
所以，9−9r225=5−4r5，解得r=4，因此，AB=2AM=6r5=245.
故选：C.
【知识点4 圆系方程及其应用】
1．圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：
(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.
(2)与圆同心的圆系方程是.
(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.
(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是
.
(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是
().(其中不含有:
,注意检验是否满足题意,以防漏解).
①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程.
②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.
【题型7 圆系方程及其应用】
【例7】（2022·高二课时练习）求过两圆x2+y2−2y−4=0和x2+y2−4x+2y=0的交点，且圆心在直线2x+4y−1=0上的圆的方程（ ）
A．x2+y2+3x+y−1=0B．x2+y2−4x−y−1=0
C．x2+y2+3x+y−4=0D．x2+y2−3x+y−1=0
【解题思路】先计算出两圆的交点A,B所在直线，进而求出线段AB的垂直平分线，与2x+4y−1=0联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.
【解答过程】x2+y2−2y−4=0与x2+y2−4x+2y=0相减得：y=x−1，
将y=x−1代入x2+y2−4x+2y=0得：x2+x−12−4x+2x−1=0，
即2x2−4x−1=0，
设两圆x2+y2−2y−4=0和x2+y2−4x+2y=0的交点为Ax1,y1,Bx2,y2，
则x=1±62，x1+x2=−−42=2，则y1+y2=x1−1+x2−1=2−2=0，
不妨设A1+62,62，
所以线段AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22=1,0，
因为直线AB的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1，
所以线段AB的垂直平分线为y=−x−1=−x+1，
y=−x+1与2x+4y−1=0联立得：x=32,y=−12，
故圆心坐标为32,−12，半径r=1+62−322+62+122=142，
所以圆的方程为x−322+y+122=72，
整理得：x2+y2−3x+y−1=0
故选：D.
【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）过点M(2,−2)以及圆x2+y2−5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是（ ）
A．x2+y2−154x−12=0B．x2+y2−154x+12=0
C．x2+y2+154x−12=0D．x2+y2+154x+12=0
【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为x2+y2−5x+λx2+y2−2=0,把点M(2,−2)代入方程,求出λ即可.
【解答过程】设所求的圆的方程为x2+y2−5x+λx2+y2−2=0,
把点M(2,−2)代入可得,4+4−5×2+λ4+4−2=0,
解得λ=13,所以所求圆的方程为x2+y2−154x−12=0,
故选:A.
【变式7-2】（2022秋·重庆·高二校联考阶段练习）求过两圆x2+y2+2x−4y−4=0和x2+y2−4x+2y+2=0的交点，且圆心在直线x+2y+2=0上的圆的方程（ ）
A．x2+y2−8x+6y+6=0B．x2+y2−4x+4y+6=0
C．x2+y2−8x+6y−6=0D．x2+y2−4x+4y−6=0
【解题思路】由两圆方程设出所求圆方程，求出圆心，代入直线即可解出参数，即可确定圆的方程.
【解答过程】设所求圆的方程为x2+y2+2x−4y−4+λx2+y2−4x+2y+2=0，则1+λx2+1+λy2+2−4λx−4−2λy−4+2λ=0，
则圆心坐标为2λ−11+λ,2−λ1+λ，代入直线x+2y+2=0，可解得λ=−52.
故所求圆的方程为−32x2−32y2+12x−9y−9=0，即x2+y2−8x+6y+6=0.
故选：A.
【变式7-3】（2022·全国·高二专题练习）若圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且经过两圆x2+y2−4x−6=0和x2+y2−4y−6=0的交点，则圆C的圆心到直线3x+4y+5=0的距离为（ ）
A．0B．85C．2D．185
【解题思路】求出过AB两点的垂直平分线方程，再联立直线x−y−4=0，求得圆心，结合点到直线距离公式即可求解
【解答过程】设两圆交点为A,B，联立x2+y2−4x−6=0x2+y2−4y−6=0得x1=−1y1=−1或x2=3y2=3，kAB=1，
则AB中点为1,1，过AB两点的垂直平分线方程为y=−x−1+1=−x+2，
联立y=−x+2x−y−4=0得x=3y=−1，故圆心为3,−1，
由点到直线距离公式得d=3×3−4+55=2
故选：C.位置关系
关系式
图示
公切线条数
外离
d>r1+r2
四条
外切
d=r1+r2
三条
相交
|r1-r2|两条
内切
d=|r1-r2|
一条
内含
0≤d<|r1-r2|
无
位置关系
关系式
图示
公切线条数
外离
d>r1+r2
四条
外切
d=r1+r2
三条
相交
|r1-r2|两条
内切
d=|r1-r2|
一条
内含
0≤d<|r1-r2|
无