高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.3直线的方程(二)【七大题型】(原卷版+解析)

这是一份高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题2.3直线的方程(二)【七大题型】(原卷版+解析)，共20页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21909" 【题型1 求直线方程】 PAGEREF _Tc21909 \h 1
\l "_Tc24182" 【题型2 直线过定点问题】 PAGEREF _Tc24182 \h 2
\l "_Tc11723" 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 PAGEREF _Tc11723 \h 3
\l "_Tc19728" 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 PAGEREF _Tc19728 \h 3
\l "_Tc9700" 【题型5 根据两直线平行求参数】 PAGEREF _Tc9700 \h 4
\l "_Tc7220" 【题型6 根据两直线垂直求参数】 PAGEREF _Tc7220 \h 4
\l "_Tc2256" 【题型7 直线方程的实际应用】 PAGEREF _Tc2256 \h 5
【知识点1 求直线方程的一般方法】
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【题型1 求直线方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过点2,1和1,2直线方程是（ ）
A．y=−x+3B．y=−x+1C．y=x−1D．y=x−3
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）经过点P(−1,0)且倾斜角为60°的直线的方程是（ ）
A．3x−y−1=0B．3x−y+3=0
C．3x−y−3=0D．x−3y+1=0
【变式1-2】（2023秋·辽宁沈阳·高二校考期末）过点A1,2在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A．y=2xB．x+y−3=0
C．x=y或x+y−3=0D．y=2x或x+y−3=0
【变式1-3】（2023秋·高一单元测试）经过点P(−5,−4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（ ）
A．8x+5y+20=0或2x−5y−10=0
B．8x−5y−20=0或2x−5y+10=0
C．8x+5y+10=0或2x+5y−10=0
D．8x−5y+20=0或2x−5y−10=0
【题型2 直线过定点问题】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线a−1x−a+1y+2=0恒过定点（ ）
A．1,1B．1,−1C．−1,1D．−1,−1
【变式2-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）不论取任何实数，直线l:m−1x−y+2m+1=0恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A．2,3B．−2,3C．−2,0D．1,−12
【变式2-3】（2023·全国·高三对口高考）以下关于直线3x−ay+1=0的说法中，不正确的是（ ）
A．直线3x−ay+1=0一定不经过原点
B．直线3x−ay+1=0一定不经过第三象限
C．直线3x−ay+1=0一定经过第二象限
D．直线3x−ay+1=0可表示经过点−13,0的所有直线
【知识点2 两条直线的位置关系】
1．两条直线的位置关系
【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】
【例3】（2023春·新疆伊犁·高二校考期中）过点P(−1,3)且垂直于直线x+2y−3=0 的直线方程为（ ）
A．x+2y+5=0B．2x−y+5=0
C．x+2y−5=0D．2x−y−5=0
【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）过点A(4,−5)，且与原点距离最远的直线方程为（ ）
A．y=−5B．4x+5y−41=0
C．4x−5y−41=0D．4x−5y+41=0
【变式3-2】（2023·高三课时练习）已知A3,1，B1,−2，C1,1，则过点C且与线段AB垂直的直线方程为（ ）．
A．3x+2y−5=0B．3x−2y−1=0
C．2x−3y+1=0D．2x+3y−5=0
【变式3-3】（2023·吉林·统考模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则AB边上的高所在的直线方程是（ ）
A．2x+y−7=0B．2x−y−1=0
C．x+2y−8=0D．x−2y+4=0
【题型4 求与已知直线平行的直线方程】
【例4】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）过点−1,3且平行于直线2x−3y+1=0的直线方程为（ ）
A．2x−3y+11=0B．3x+2y−3=0C．2x−3y−7=0D．3x+2y+3=0
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）若直线l1:2x−3y−3=0与l2互相平行，且l2过点(2,1)，则直线l2的方程为（ ）
A．3x+2y−7=0B．3x−2y+4=0
C．2x−3y+3=0D．2x−3y−1=0
【变式4-2】（2023秋·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）与直线y=−2x+3平行，且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是（ ）
A．y=−2x+4B．y=12x+4
C．y=−2x−83D．y=12x−83
【变式4-3】（2022秋·天津西青·高二校考期中）直线mx−y−m+2=0过定点A，若直线l过点A且与2x+y−2=0平行，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y−4=0B．2x+y+4=0
C．x−2y+3=0D．x−2y−3=0
【题型5 根据两直线平行求参数】
【例5】（2023春·河南·高二联考开学考试）已知直线l1:x−1+ay+a−2=0与l2:ax−6y+15=0平行，则a=（ ）
A．2B．3C．−3D．2或−3
【变式5-1】（2023秋·湖北黄冈·高二校考期末）l1:a2x−y+a2−3a=0，l2:(4a−3)x−y−2=0，若l1//l2，则a=（ ）
A．1B．1或2C．1或3D．3
【变式5-2】（2022·全国·高二专题练习）已知条件p：直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行，条件q:a=−1，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）已知直线l1过(0,0)、(1,−3)两点，直线l2的方程为ax+y−2=0，如果l1//l2，则a值为（ ）
A．-3B．13C．−13D．3
【题型6 根据两直线垂直求参数】
【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）直线4x+2y−1=0与直线ax+4y=0垂直，则a等于（ ）
A．2B．−2C．1D．−1
【变式6-1】（2022秋·湖南长沙·高二校考期中）若直线ax+1−ay=3与a−1x+2a+3y=2互相垂直，则a等于（ ）
A．−3B．1C．−3或1D．−32
【变式6-2】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线mx+4y−2=0与直线2x−5y+n=0互相垂直，垂足为1,p.则m+n−p等于（ ）
A．24B．20C．4D．0
【变式6-3】（2022·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，直线l1：x+a−4y+1=0，l2：2bx+y−2=0，且l1⊥l2，则1a+1+12b的最小值为（ ）
A．2B．4C．23D．45
【知识点3 直线方程的实际应用】
1．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从
而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
【题型7 直线方程的实际应用】
【例7】（2022·高二课时练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25minB．35minC．40minD．45min
【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为
A．x+(2−1)y−2=0B．(1−2)x−y+2=0
C．x−(2+1)y+2=0D．(2−1)x−y+2=0
【变式7-2】（2022·全国·高二专题练习）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，点Q在AB上，且PQ//CD，QR⊥CD，经测量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m．
（1）如图建立直角坐标系，求线段AB所在直线的方程；
（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到1m2）
【变式7-3】（2022秋·江苏扬州·高二校考阶段练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=−2.在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、5km.现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图．
（1）记∠CBM=θ，并设tanθ=k，试确定k的取值范围；
（2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数S=fk；
（3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
专题2.3 直线的方程（二）【七大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21909" 【题型1 求直线方程】 PAGEREF _Tc21909 \h 1
\l "_Tc24182" 【题型2 直线过定点问题】 PAGEREF _Tc24182 \h 3
\l "_Tc11723" 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 PAGEREF _Tc11723 \h 4
\l "_Tc19728" 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 PAGEREF _Tc19728 \h 6
\l "_Tc9700" 【题型5 根据两直线平行求参数】 PAGEREF _Tc9700 \h 7
\l "_Tc7220" 【题型6 根据两直线垂直求参数】 PAGEREF _Tc7220 \h 9
\l "_Tc2256" 【题型7 直线方程的实际应用】 PAGEREF _Tc2256 \h 10
【知识点1 求直线方程的一般方法】
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【题型1 求直线方程】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）过点2,1和1,2直线方程是（ ）
A．y=−x+3B．y=−x+1C．y=x−1D．y=x−3
【解题思路】先利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可得解.
【解答过程】因为直线过点2,1和1,2，
所以k=2−11−2=−1，
所以直线方程为y−2=−1×x−1，即y=−x+3.
故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）经过点P(−1,0)且倾斜角为60°的直线的方程是（ ）
A．3x−y−1=0B．3x−y+3=0
C．3x−y−3=0D．x−3y+1=0
【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；
【解答过程】由倾斜角为60°知，直线的斜率k=3，
因此，其直线方程为y−0=3(x+1)，即3x−y+3=0，
故选：B.
【变式1-2】（2023秋·辽宁沈阳·高二校考期末）过点A1,2在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A．y=2xB．x+y−3=0
C．x=y或x+y−3=0D．y=2x或x+y−3=0
【解题思路】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程
【解答过程】当截距a≠0时，设直线方程为xa+ya=1，
将x=1，y=2代入得a=3，∴方程为x+y−3=0
当截距a=0时，过原点和点A1,2的直线方程为y=2x
又y=2x且在两坐标轴上的截距相等，
∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=2x和x+y−3=0
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·高一单元测试）经过点P(−5,−4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（ ）
A．8x+5y+20=0或2x−5y−10=0
B．8x−5y−20=0或2x−5y+10=0
C．8x+5y+10=0或2x+5y−10=0
D．8x−5y+20=0或2x−5y−10=0
【解题思路】由题意设直线为kx−y+5k−4=0，根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式求参数k，即可确定直线方程.
【解答过程】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为y+4=k(x+5)(k≠0)，即kx−y+5k−4=0.
由12⋅|5k−4|⋅|4k−5|=5，得k=25或k=85.
故所求直线方程为2x−5y−10=0或8x−5y+20=0.
故选：D.
【题型2 直线过定点问题】
【例2】（2023·全国·高二专题练习）直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)
【解题思路】整理所得直线方程为kx−3−y+1=0，根据题意，即可求得结果.
【解答过程】把直线方程整理为kx−3−y+1=0，
令x−3=0−y+1=0，故x=3y=1，所以直线恒过定点为(3,1).
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）直线a−1x−a+1y+2=0恒过定点（ ）
A．1,1B．1,−1C．−1,1D．−1,−1
【解题思路】将直线变形为x−ya−x−y+2=0，由x−y=0且−x−y+2=0，即可求出定点．
【解答过程】将a−1x−a+1y+2=0变形为：x−ya−x−y+2=0，令x−y=0且−x−y+2=0，解得x=1，y=1，
所以直线恒过定点1,1.
故选：A.
【变式2-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）不论取任何实数，直线l:m−1x−y+2m+1=0恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A．2,3B．−2,3C．−2,0D．1,−12
【解题思路】整理直线方程，根据直线过定点的求法直接求解即可.
【解答过程】直线方程可整理为：x+2m−x−y+1=0，
则由x+2=0−x−y+1=0得：x=−2y=3，即直线l恒过定点−2,3.
故选：B.
【变式2-3】（2023·全国·高三对口高考）以下关于直线3x−ay+1=0的说法中，不正确的是（ ）
A．直线3x−ay+1=0一定不经过原点
B．直线3x−ay+1=0一定不经过第三象限
C．直线3x−ay+1=0一定经过第二象限
D．直线3x−ay+1=0可表示经过点−13,0的所有直线
【解题思路】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分a=0、a>0、a<0三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；
【解答过程】对于直线3x−ay+1=0，令y=0，解得x=−13，故直线恒过点−13,0，
一定不经过原点，故A正确；
当a=0时直线即为x=−13，直线过二、三象限，
当a≠0时直线即为y=3ax+1a，
若a>0，则1a>0，3a>0，直线过一、二、三象限，
若a<0，则1a<0，3a<0，直线过二、三、四象限，
所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；
因为直线恒过点−13,0，所以直线3x−ay+1=0可表示经过点−13,0的所有直线，
故选：B.
【知识点2 两条直线的位置关系】
1．两条直线的位置关系
【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】
【例3】（2023春·新疆伊犁·高二校考期中）过点P(−1,3)且垂直于直线x+2y−3=0 的直线方程为（ ）
A．x+2y+5=0B．2x−y+5=0
C．x+2y−5=0D．2x−y−5=0
【解题思路】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，−1,3代入，即可求解.
【解答过程】设所求的直线方程为2x−y+c=0，
−1,3代入方程解得c=5，
所求的直线方程为2x−y+5=0.
故选：B.
【变式3-1】（2023秋·高二课时练习）过点A(4,−5)，且与原点距离最远的直线方程为（ ）
A．y=−5B．4x+5y−41=0
C．4x−5y−41=0D．4x−5y+41=0
【解题思路】根据垂直关系可得斜率，由点斜式即可求解.
【解答过程】当直线与OA垂直时，此时原点到直线的距离最大，
kOA=−54,所以所求直线斜率为45，由点斜式可得直线方程为y=45x−4−5，即4x−5y−41=0，
故选：C.
【变式3-2】（2023·高三课时练习）已知A3,1，B1,−2，C1,1，则过点C且与线段AB垂直的直线方程为（ ）．
A．3x+2y−5=0B．3x−2y−1=0
C．2x−3y+1=0D．2x+3y−5=0
【解题思路】求出直线AB的斜率，可得其垂线的斜率，再利用点斜式可求出答案
【解答过程】解：因为kAB=−2−11−3=32，
所以与AB垂直的直线的斜率为−23，
所以过点C且与线段AB垂直的直线方程为
y−1=−23(x−1)，即2x+3y−5=0，
故选：D.
【变式3-3】（2023·吉林·统考模拟预测）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，则AB边上的高所在的直线方程是（ ）
A．2x+y−7=0B．2x−y−1=0
C．x+2y−8=0D．x−2y+4=0
【解题思路】设AB边上的高所在的直线为l，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【解答过程】设AB边上的高所在的直线为l，
由已知可得，kAB=1−21−3=12，所以直线l的斜率kl=−2.
又l过C2,3，所以l的方程为y−3=−2x−2，
整理可得，2x+y−7=0.
故选：A.
【题型4 求与已知直线平行的直线方程】
【例4】（2023春·天津北辰·高二校考阶段练习）过点−1,3且平行于直线2x−3y+1=0的直线方程为（ ）
A．2x−3y+11=0B．3x+2y−3=0C．2x−3y−7=0D．3x+2y+3=0
【解题思路】先设出平行于直线2x−3y+1=0的直线系方程，再将点−1,3代入方程，进而求得所求直线的方程.
【解答过程】平行于直线2x−3y+1=0的直线方程可设为2x−3y+ℎ=0(ℎ≠1)
又所求直线过点−1,3
则2×(−1)−3×3+ℎ=0，解之得ℎ=11，
则所求直线为2x−3y+11=0
故选：A.
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）若直线l1:2x−3y−3=0与l2互相平行，且l2过点(2,1)，则直线l2的方程为（ ）
A．3x+2y−7=0B．3x−2y+4=0
C．2x−3y+3=0D．2x−3y−1=0
【解题思路】由题意设直线l2的方程为2x−3y+m=0，然后将点(2,1)代入直线l1:2x−3y−m=0中，可求出m的值，从而可得直线l2的方程
【解答过程】因为直线l1:2x−3y−3=0与l2互相平行，所以设直线l2的方程为2x−3y+m=0，
因为直线l2过点(2,1)，
所以4−3+m=0，得m=−1，
所以直线l2的方程为2x−3y−1=0，
故选：D.
【变式4-2】（2023秋·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）与直线y=−2x+3平行，且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是（ ）
A．y=−2x+4B．y=12x+4
C．y=−2x−83D．y=12x−83
【解题思路】先求出直线y=3x+4交于x轴交点P(−43,0)，再设与直线y=−2x+3平行的直线方程y=−2x+m，代入点的坐标得解.
【解答过程】设直线y=3x+4交于x轴于P点，令y=0，则x=−43，∴P(−43,0)
所求直线与y=−2x+3平行，设y=−2x+m，把P(−43,0)
代入得−2×(−43)+m=0 ∴m=−83
所求直线方程为：y=−2x−83
故选：C.
【变式4-3】（2022秋·天津西青·高二校考期中）直线mx−y−m+2=0过定点A，若直线l过点A且与2x+y−2=0平行，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y−4=0B．2x+y+4=0
C．x−2y+3=0D．x−2y−3=0
【解题思路】根据直线方程可求得定点A1,2；根据直线平行求得直线l斜率；利用点斜式方程求得l的方程，整理可得一般式方程.
【解答过程】由mx−y−m+2=0得：y−2=mx−1 ∴直线mx−y−m+2=0过定点A1,2
又直线2x+y−2=0的斜率k=−2且与直线l平行 ∴直线l斜率为−2
∴直线l的方程为：y−2=−2x−1，即：2x+y−4=0，
故选：A.
【题型5 根据两直线平行求参数】
【例5】（2023春·河南·高二联考开学考试）已知直线l1:x−1+ay+a−2=0与l2:ax−6y+15=0平行，则a=（ ）
A．2B．3C．−3D．2或−3
【解题思路】由直线平行的条件求解即可.
【解答过程】因为l1∥l2，所以a1+a=6，解得a=2或a=−3．当a=−3时，l1与l2重合．故a=2．
故选：A.
【变式5-1】（2023秋·湖北黄冈·高二校考期末）l1:a2x−y+a2−3a=0，l2:(4a−3)x−y−2=0，若l1//l2，则a=（ ）
A．1B．1或2C．1或3D．3
【解题思路】利用直线平行的性质求解即可.
【解答过程】因为l1:a2x−y+a2−3a=0，l2:(4a−3)x−y−2=0，l1//l2，
当4a−3=0，即a=34时，a2≠0，此时l1与l2不平行；
当4a−3≠0，即a≠34时，有a24a−3=−1−1≠a2−3a−2，解得a=3，
经检验，当a=3时，l1//l2，
所以a=3.
故选：D.
【变式5-2】（2022·全国·高二专题练习）已知条件p：直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行，条件q:a=−1，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先求出两条直线平行时对应的a的值，再判断两者之间的条件关系.
【解答过程】若直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行，则1×a2=1×1，故a=±1.
当a=1时，x+a2y−1=0为x+y−1=0，
此时直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行.
当a=−1时，x+a2y−1=0为x+y−1=0，
此时直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行.
故若直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行，则a=±1，推不出a=−1，
若a=−1，则直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行.
故p是q的必要不充分条件.
故选：C.
【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）已知直线l1过(0,0)、(1,−3)两点，直线l2的方程为ax+y−2=0，如果l1//l2，则a值为（ ）
A．-3B．13C．−13D．3
【解题思路】先求直线l1斜率，再根据两直线平行列式求得a值.
【解答过程】因为直线l1过(0,0)、(1,−3)两点，所以直线l1斜率为−31=−3，
因为直线l2的方程为ax+y−2=0，所以直线l2斜率为−a，
因为l1//l2，所以−a=−3,a=3
故选：D.
【题型6 根据两直线垂直求参数】
【例6】（2023春·贵州·高二校联考期中）直线4x+2y−1=0与直线ax+4y=0垂直，则a等于（ ）
A．2B．−2C．1D．−1
【解题思路】利用平面内两直线垂直，得−42×−a4=−1，解之即可．
【解答过程】因为直线4x+2y−1=0与直线ax+4y=0垂直，
所以−42×−a4=−1，解得a=−2.
故选：B.
【变式6-1】（2022秋·湖南长沙·高二校考期中）若直线ax+1−ay=3与a−1x+2a+3y=2互相垂直，则a等于（ ）
A．−3B．1C．−3或1D．−32
【解题思路】根据两条直线互相垂直列关于a的方程求解.
【解答过程】因为直线ax+1−ay=3与a−1x+2a+3y=2互相垂直，
所以aa−1+1−a2a+3=0，化简得a2+2a−3=0，
解得a=1或a=−3.
故选：C.
【变式6-2】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线mx+4y−2=0与直线2x−5y+n=0互相垂直，垂足为1,p.则m+n−p等于（ ）
A．24B．20C．4D．0
【解题思路】由两直线垂直得m=10，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【解答过程】由两直线垂直得m⋅2+4×(−5)=0，解得m=10，
所以原直线直线mx+4y−2=0可写为10x+4y−2=0，
又因为垂足为(1,p)同时满足两直线方程，
所以代入得{10×1+4p−2=02×1−5p+n=0，
解得{p=−2n=−12，
所以m+n−p=10−12+2=0，
故选:D.
【变式6-3】（2022·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，直线l1：x+a−4y+1=0，l2：2bx+y−2=0，且l1⊥l2，则1a+1+12b的最小值为（ ）
A．2B．4C．23D．45
【解题思路】根据l1⊥l2得到a+1+2b=5，再将1a+1+12b化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【解答过程】因为l1⊥l2，所以2b+a−4=0，即a+1+2b=5，
因为a>0,b>0，所以a+1>0,2b>0，
所以1a+1+12b = 1a+1+12b ×15a+1+2b =152+2ba+1+a+12b ≥152+22ba+1⋅a+12b=45，
当且仅当a=32,b=54时，等号成立.
故选：D.
【知识点3 直线方程的实际应用】
1．直线方程的实际应用
利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从
而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.
【题型7 直线方程的实际应用】
【例7】（2022·高二课时练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）
A．25minB．35minC．40minD．45min
【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率k及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.
【解答过程】由题意知：蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过(6,17.4),(21,8.4)两点，故其斜率k=8.4−17.421−6=−35，
∴直线方程为l−8.4=−35(t−21)，
∴当蜡烛燃尽时，有t−21=14，即t=35，
故选：B.
【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2+y2=2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为
A．x+(2−1)y−2=0B．(1−2)x−y+2=0
C．x−(2+1)y+2=0D．(2−1)x−y+2=0
【解题思路】由题意求解题中所给的直线方程，对比选项，利用排除法即可求得最终结果.
【解答过程】如图所示可知A(2，0),B(1，1)，C(0,2),D−1,1，
所以直线AB，BC，CD的方程分别为：
y=1−01−2x−2,y=(1−2)x+2,y=(2−1)x+2
整理为一般式即：
x++2−1y−2=0,1−2x−y+2=0,2−1x−y+2=0,
分别对应题中的ABD选项.
故选C.
【变式7-2】（2022·全国·高二专题练习）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，点Q在AB上，且PQ//CD，QR⊥CD，经测量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m．
（1）如图建立直角坐标系，求线段AB所在直线的方程；
（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到1m2）
【解题思路】（1）根据题意可得OA=20,OB=30，根据直线的截距式方程即可求解.
（2）设Qx,20−2x3，可得S=(100−x)80−20−2x3，展开配方即可求解.
【解答过程】（1）由题意得OA=20,OB=30，
所以线段AB所在直线的方程为x30+y20=1，即y=20−23x；
（2）设Qx,20−2x3，则草坪的占地面积
S=(100−x)80−20−2x3=−23x2+203x+6000
=−23(x−5)2+6000+503(0≤x≤30)
故当x=5,y=503时，Smax≈6017，此时Q5,503．
【变式7-3】（2022秋·江苏扬州·高二校考阶段练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=−2.在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、5km.现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图．
（1）记∠CBM=θ，并设tanθ=k，试确定k的取值范围；
（2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数S=fk；
（3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
【解题思路】（1）由倾斜角的范围得出斜率范围；
（2）以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，得到直线AN的方程是y=−2x，
设点Px0，3，根据点P到直线的距离公式得到P点坐标，显然直线BC的斜率存在，
设直线BC的方程为y−3=kx−1，求出B点坐标，由直线y−3=kx−1y=−2x联立，得到C点坐标，表示出△ABC的面积为S，建立关于k的函数关系式．
（3）由（2）得1+Sk2+2S−6k+9=0.由Δ≥0.解得S的范围，得出结果．
【解答过程】（1）由题意得90°<α<θ<180°，所以tanα即−2（2）以点A为原点，AM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则由已知得AN所在直线的方程为y=−2x，即2x+y=0．
根据已知设P点坐标为x0，3，由点P到公路AN的距离为5km得2x0+35=5．
解得x0=1或x0=−4.当x0=−4时，点P不在指定区域，故舍去，所以P1，3．
所以公路BC所在直线的方程为y−3=kx−1．
令y=0，得x=1−3k，即B1−3k，0．
将y=−2x代入y−3=kx−1得x=k−3k+2，y=−2k−3k+2，
即Ck−3k+2，−2k−3k+2.
所以S=fk=12×1−3k−2k−3k+2=−k−32kk+2k∈−2，0．
（3）由（2）得1+Sk2+2S−6k+9=0．
有Δ=(2S−6)2−361+S≥0.解得S≤0(舍)或S≥15．
当S=15时，k=−34∈−2，0，满足条件．
故面积的最小值为15，此时B5，0．
综上所述，当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（当时，记为）
垂直
k1·k2=-1
（当时，记为）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（当时，记为）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（当时，记为）
斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（当时，记为）
垂直
k1·k2=-1
（当时，记为）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（当时，记为）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（当时，记为）