知识必备13 锐角三角函数及其应用（知识清单+2种易错清单+5个考试清单真题专练）-2024年中考数学考点必备

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易错点1. 涉及锐角三角函数的概念时,是否明确“对边”“邻边”“斜边”都是在“直角三角形”中.
一．选择题（共3小题）
1．（2023•青岛三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的顶点均在小正方形的顶点上，则的值为
A．B．C．D．
【分析】过点作，垂足为，用勾股定理得，，再根据三角函数定义求出的值．
【解答】解：过点作，垂足为，
在中，根据勾股定理得，，
，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理、三角函数定义的应用是解题关键．
2．（2023•泉港区模拟）已知是锐角的内角，，则的值是
A．B．C．D．
【分析】根据，进行计算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
或（舍去），
故选：．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握是解题的关键．
3．（2023•宿城区校级模拟）如图，点、、均在的正方形网格的格点上，则
A．B．C．D．
【分析】过点作，垂足为．根据格点和勾股定理先求出、，利用三角形的面积求出、，最后求出的正切．
【解答】解：如图，过点作，垂足为．
由格点三角形可知：，
．
，
．
，
．
．
．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
4．（2023•茂南区校级模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是 ．
【分析】过点作的延长线于点，构建直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长，即可解答．
【解答】解：如图，过点作的延长线于点，
则，，
在中，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
5．（2023•西城区校级模拟）在正方形网格中，的位置如图所示，则为 ．
【分析】在中，先利用勾股定理求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2023•广陵区校级一模）如图，在中，，，，则的长为 ．
【分析】过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据勾股定理求出的长即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
在中，，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2023•鼓楼区校级二模）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ．
【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点作，交的延长线于点，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，
，
设，，
，互为半余角，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2023•富锦市校级一模）等边中，点在射线上，且，则的值为 或 ．
【分析】分两种情况讨论，并画出图形，①当在之间，根据等边三角形的性质，求出，，
再根据，得出，从而求出的值；②当在延长线上时，过点作于，设，则，在中用三角函数表示两条直角边，从而求出的值．
【解答】解：如图①，当在之间
在等边中，
，，
，
，
，
，
，
；
如图②，当在延长线上时，过点作于，
在等边中，
，，
，
设，则，
，
，
，
，，，
，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质的应用，分情况讨论，作出相应的图形是解题关键．
易错点2. 实际问题中对坡角、俯角、仰角与方位角等找不准无法准确理解题意易出错.
一．选择题（共3小题）
1．（2023•石狮市模拟）如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高约为 （参考数据：，，
A．B．C．D．
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2023•龙岗区二模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走160米米），到达处，此时看塔顶，仰角为，则该主塔的高度是
A．80米B．米C．160米D．米
【分析】过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
是的一个外角，，，
，
，
米，
在中，（米，
该主塔的高度是米，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2023•任丘市模拟）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔2海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离的长是
A．海里B．海里C．海里D．海里
【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，，，
，
在中，海里，
（海里），
海轮航行的距离的长是海里，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
4．（2023•香洲区校级三模）如图，无人机的探测器显示，从无人机看树顶的仰角为，看树底部的俯角为，无人机与树的水平距离为，则树高为 （结果保留根号）．
【分析】过点作，垂足为，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
在中，，，
，
在中，，
，
，
树高为，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2023•江汉区校级模拟）如图载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．点，，在同一直线上，已知，两处相距460米，则飞船从到处的平均速度为 335 米秒．（结果精确到1米；参考数据：，
【分析】根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，
在中，米，，
（米，（米，
米，
米，
在中，，
米，
（米，
飞船从到处的平均速度（米秒），
故答案为：335．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（2023•石峰区二模）如图，为了测量河宽，先在处测得对岸点在其北偏东方向，然后沿河岸直行到点，在点测得对岸点在其北偏西方向，经过计算河宽是30米，则从点到点的距离为 米．（结果保留根号）
【分析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，
在中，，米，
（米，
在中，，
（米，
米，
从点到点的距离为米，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（2023•肇东市模拟）如图，轮船在码头的正东方向，与码头的距离为100海里，轮船向北航行40海里到达处时，接到处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西方向航行到处，解救渔船后轮船沿南偏西返回到码头，那么码头与的距离为 105 海里．（结果保留整数，参考数据：，，．
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据垂直定义可得：，再根据题意可得：，海里，然后设海里，则海里，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
由题意得：，海里，
设海里，
海里，
在中，，
（海里），
海里，
海里，
海里，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
（海里），
在中，（海里），
码头与的距离约为105海里，
故答案为：105．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
8．（2023•扶余市二模）如图，利用板子往卡车里装货，板子与地面成，车高米．在装货时，突然板子的处折了，板子的端点落在地面上的处，与地面成．
（1）求的长度；
（2）求被折断的板子的长度．（精确到0.1米，参考数据：，，，，，
【分析】（1）根据题意可得：，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，根据题意可得：米，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：，
在△中，，米，
（米，
的长度约为2.83米；
（2）在中，，米，
（米，
由题意得：米，
（米，
被折断的板子的长度约为1.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（2023•仁寿县模拟）为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚处出发，小强同学同时从南坡山脚处出发，如图所示．已知小山北坡长为240米，坡度，南坡的坡脚是．（出发点和在同一水平高度，将山路、看成线段）
（1）求小山南坡的长；
（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶，求小强攀登的速度．（结果保留根号）
【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可得在中，，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论，再根据路程、速度、时间之间的关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，
山坡的坡度，
，
在中，，
，
米，
（米，
在中，，
（米，
小山南坡的长为米；
（2）米，
小明到达山顶需要的时间（分，
米，
小强攀登的速度（米分），
小强若要和小明同时到达山顶，小强攀登的速度为米分．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2023•武陟县三模）金水区开展了“安全行车，方便大家”的活动，某大型连锁超市为了购物者行车安全，对地下车库进行改造．如图，，测得米，米，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上），求斜坡改进后的起点与原起点的距离．（参考数据：，，，结果精确到
【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
在中，，米，
（米，
米，
（米，
斜坡改进后的起点与原起点的距离约为6.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．（2023•许昌二模）如图所示，一梯子斜靠着墙，梯子与地面夹角为．若梯子底端向右水平移动至点，梯子顶端随之向上移动至点，此时，，求的长度．（用含的式子表示）
【分析】根据题意可得：，，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，，
，
，
在中，，
，
在中，，
（米，
，
长度为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平移的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2023•东阿县一模）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在处接到海上搜救中心从处发来的救援任务，此时事故船位于处的南偏东方向上的处，巡逻艇位于处的南偏西方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东方向上，巡逻艇立刻前往处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船处．（结果保留整数．参考数据：，，，．
【分析】过点作，垂足为，由题意得：米，，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而根据，列出关于的方程，进行计算可求出的长，进而求出的长，最后根据时间路程速度，进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：
米，，，
设米，
在中，（米，
在中，（米，
，
，
解得：，
米，
在中，，
（米，
（分钟），
估计8分钟可以到达事故船处．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
一．解直角三角形（共7小题）
1．（2023•陕西）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为
A．B．C．D．
【分析】连接，得到，由勾股定理求出，，即可求出．
【解答】解：连接，则，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是由勾股定理求出，的长．
2．（2023•常州）如图，在中，，点在边上，连接．若，，则 ．
【分析】设，根据已知表示出，，即可得．
【解答】解：设，
，，
，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是用放的式子表示相关线段的长度．
3．（2023•攀枝花）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：在中，
，，，，．
．
是直角三角形．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
4．（2023•武汉）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是 2.7 （结果精确到，参考数据，，．
【分析】过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质可得，再通过解直角三角形可求得的长，进而可求解．
【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即与尺上沿的交点在尺上的读数是．
故答案为：2.7．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
5．（2023•牡丹江）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数为 ．
【分析】由等腰直角三角形的性质得到，由平行线的性质推出，即可求出长，得到与尺上沿的交点在尺上的读数．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
与尺上沿的交点在尺上的读数为．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质，推出，即可解决问题
6．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，点在轴负半轴上，连接，，若，以为边作等边三角形，则点的坐标为 ；点的坐标为 ．
【分析】过点作于，先求处，再设，由得，进而得，由三角形的面积公式得，即，则，然后在中由勾股定理得，由此解出，（不合题意，舍去），此时，故此可得点的坐标；设点的坐标为，由两点间的距离公式得：，，，由为等边三角形得，整理：，②①整理得，将代入①整理得，解得，进而再求出即可得点的坐标．
【解答】解：过点作于，如图：
点，，
由两点间的距离公式得：，
设，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
即：，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，此时，
点的坐标为，
设点的坐标为，
由两点间的距离公式得：，，，
为等边三角形，
，
，
整理得：，
②①得：，
，
将代入①得：，
整理得：，
解得：，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
故答案为：；或．
【点评】此题主要考查了点的坐标，锐角三角函数，等边三角形的性质，三角形的面积公式，理解题意，熟练掌握正切函数的定义，灵活运用勾股定理及两点间的距离公式构造方程组是解答此题的关键
7．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ， ．
【分析】设，结合，两点的坐标利用两点间的距离可得，，，，通过解直角三角形可得，过点作轴交的延长线于点，利用平行线的性质可得，，列比例式再代入计算可求解值，进而可求解．
【解答】解：设，
，
点，点，
，，，，
在中，，，
，
过点作轴交的延长线于点，
，，
，，
，，
，
，
解得（舍去）或，
，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，两点间的距离等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
二．解直角三角形的应用（共16小题）
8．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为
A．B．C．D．
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，再利用勾股定理得到关于的方程，解方程可求出直角三角形的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出的值．
【解答】解：小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较短的直角边为，则较长的直角边是，其中，
由勾股定理得：，
整理得：
解得：，（不合题意，舍去）．
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边．
9．（2023•南充）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距
A．米B．米C．米D．米
【分析】根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【解答】解：由题意得：，
在中，，米，
（米，
，两处相距米，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2023•达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，
【分析】过作于，过作于，在中，求出，可得，在中，得，故，从而可知座板距地面的最大高度为．
【解答】解：过作于，过作于，如图：
在中，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，
，
，
座板距地面的最大高度为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
11．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从处逆时针旋转到处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据，
【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；
（2）根据直角三角形的边角关系分别求出、即可．
【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过，
；
（2）如图，过点、点分别作的垂线，垂足分别为点、，
在中，，米，
（米．
在中，，米，
（米，
（米，
即该盛水筒旋转至处时到水面的距离约为0.3米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
12．（2023•成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，
【分析】过作于，于，在中，（米，（米，可得米，（米，而，知米，故米．
【解答】解：过作于，于，如图：
在中，
（米，（米，
，
四边形是矩形，
米，（米，
在中，
，
米，
（米，
阴影的长约为2.2米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
13．（2023•呼和浩特）如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，请帮小明求出两地间距离的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【分析】过作于，求出，，在中可得，即克知两地间距离的长为．
【解答】解：过作于，如图：
在中，，，
，，
在中，，，
，
；
两地间距离的长为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
14．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到．
【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解．
【解答】解：由题意可知，，，
则，
，
，，
则，
，
，
则，
，
．
答：树的高度约为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键．
15．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．．
（1）求的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长，交于点，根据垂直定义可得，从而利用平行线的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，比较即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
的度数为；
（2）该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米，
（米，
米米，
该运动员能挂上篮网．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点、、在同一水平线上）
（1）求索道的长（结果精确到；
（2）求水平距离的长（结果精确到．
（参考数据：，，，
【分析】（1）通过解可求得的长；
（2）延长交于，证明四边形是矩形，可得，，再解可求解的长，进而可求解．
【解答】解：（1）在中，，，，
，
即的长约为；
（2）延长交于，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
即的长为．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
17．（2023•大连）图1是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图2所示的示意图．已知，，垂足分别为，，，测得，，．求云梯顶端到地面的距离的长．（结果取整数．参考数据：，，
【分析】延长交于，解直角三角形求出，根据矩形的性质求出的长，然后求和即可．
【解答】解：延长交于，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
即云梯顶端到地面的距离的长大约11米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．
18．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接垂直于，垂足为，在，处与篮板连接所在直线垂直于，是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，
【分析】当时，过点作，交的延长线于点，根据已知易得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再根据已知可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长；当，过点作，交的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后进行计算，即可解答．
【解答】解：点离地面的高度升高了，
理由：如图，当时，过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点离地面的高度为，，
，
在中，，
如图，当，过点作，交的延长线于点，
在中，，
，
，
点离地面的高度升高约．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（2023•鞍山）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示，在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为（若经过点的光线恰好照射在地面点处，则，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．（结果精确到，参考数据：
【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（2023•锦州）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，
【分析】过点作于点，与直线交于点，过点作于点，过点作于点，分别解作出的直角三角形即可解答．
【解答】解：如图，过点作于点，与直线交于点，过点作于点，过点作于点
四边形，四边形均为矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
答：展板最高点到地面的距离为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键．
21．（2023•威海）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离．
参考数据：，，，，，．
【分析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出，再由直角三角形的边角关系求出即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
设，则，
在中，
，
，
同理，
，
，
解得，
即遮阳蓬到地面的高度约为，
，，
，
，
即遮阳蓬的宽约为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
22．（2023•兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”，“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑高度的实践活动，具体过程如下．如图2，“龙”字雕塑位于垂直地面的基座上，在平行于水平地面的处测得，，，求“龙”字雕塑的高度．，，三点共线，，结果精确到（参考数据：，，，，，
【分析】先在中由，得，再在中由，得，然后由即可得出答案．
【解答】解：在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
．
答：“龙”字雕塑的高度约为．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义．
23．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，
【分析】过点作于点，过作于点，求出、的值解答即可
【解答】解：过点作于点，
四边形是平行四边形，，
，，
过点作于点，
由题意知，，
则，又，
，
过作于点，
，，
，
，
靠背顶端点距地面高度为
．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握平行四边形是解题的关键．
三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）
24．（2023•威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出，进而确定按键顺序．
【解答】解：在中，，米，
，
，
因此按键顺序为：
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
25．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能 （参考数据：，
A．B．C．D．
【分析】根据题意可得：他耗能，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
某人爬了，该坡角为，则他耗能，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【解答】解：（1）如图，作，垂足为点，
在△中，
，，
，
，
平行线间的距离处处相等，
，
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
如图，过作，垂足为点，
，，
，
，
，
在△中，，
．
平行线间的距离处处相等，
到地面的距离为．
，
没有危险．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
27．（2023•宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）
【分析】设传送带上点处的粮袋上升到点，构建，则，由弧长公式求出的长，再由含角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，设传送带上点处的粮袋上升到点，构建，
则，
由弧长公式得：，
，
，
在中，，，
，
答：传送带上点处的粮袋上升的高度是．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，弧长公式以及含角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共20小题）
28．（2023•湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升30米到达处，测得博雅楼顶部的俯角为，尚美楼顶部的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
【分析】过点作过点的水平线于，过点作过点的水平线于，先求出的长，在中求出的长，然后求出的长，在中求出的长，即可求出的长．
【解答】解：如图，过点作过点的水平线于，过点作过点的水平线于，
由题意可知米，
又米，
米，
在中，，
米，
又是的中点，
米，
在中，，
，米，
，
米，
米．
故答案为：．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
29．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是 9.5 米（结果精确到0.1米，，，．
【分析】由题意得，四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，四边形是矩形，
，，
在中，
，，
，
，
答：气球顶部离地面的高度是．
故答案为：9.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，正确地理解仰角的定义是解题的关键．
30．（2023•宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上，两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点，分别测得气球的仰角为，为，地面上点，，在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，，
【分析】（1）由已知直接可得答案；
（2）设，可得，，而，有，即可解得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：；
（2）设，
，，
，
，
，
在中，，
，即，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
，
答：气球离地面的高度是．
【点评】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
31．（2023•新疆）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的处，测得烽燧的顶部处的俯角为，测得烽燧的底部处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．
（参考数据：，，，，，
【分析】过点作于交的延长线于点，则米，在中可求出，在中可求出，再利用即可得到答案．
【解答】解：如图，过点作于交的延长线于点，则米，
在中，米，，，，
（米，
在中，，，
（米，
（米，
答：烽燧的高度约为13.5米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，构造直角三角形，合理利用三角函数关系是解题的关键．
32．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．
（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．（结果精确到，参考数据：
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【解答】解：（1）在中，，，，
，
（2）在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
【点评】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键．
33．（2023•菏泽）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点80米，点处的俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为70米（点，，，在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）．
【分析】过作于，过作于，而，则四边形是矩形，先解，求出，，得到的长度，再解，得到的长
即可解决问题．
【解答】解：如图所示：
过作于，过作于，而，
则四边形是矩形，
，，
由题意可得：，，，，
， ，
，
，
，
大楼的高度为．
【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键．
34．（2023•德州）如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面处放置一个测角仪，经测量，，，已知米，米．求两栋楼楼顶，之间的距离（参考数据：，，，测角仪的高度忽略不计）．
【分析】过点作，交于点，根据正切的定义求出，然后利用勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，过点作，交于点．
在中，，
是等腰直角三角形，
米，
在中，，
，
，
米．
由题意，得米，米，
（米，
在中，（米．
，之间的距离为100米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
35．（2023•襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，．
【分析】根据题意，找准直角三角形及三角函数即可．
【解答】解：矩形中有，，
，
，
，即，
，
，
，
．
答：铜像的高度为．
【点评】本题主要考查了三角函数的应用，关键是找准三角函数．
36．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得奇楼顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得奇楼底端的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，
【分析】延长交的延长线于，则，根据题意得到，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长交的延长线于，
则，
由题意得，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
答：奇楼的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
37．（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点处恰好可经过楼的顶端看到楼的底端，即点，，在同一直线上．此时，测得点的俯角，点的仰角，并测得，．已知，，，，点，，在同一水平直线上．求楼与的高度差．（参考数据：，，，，，
【分析】过点作于，过点作于，根据正切的定义分别求出、、，计算即可．
【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
，，，
得矩形，矩形，
，，
在中，，，
则，
，
在中，，，
则，
，
，
在中，，，
则，
，
，
答：楼与的高度差约为．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
38．（2023•青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点是的中点，是灯杆．地面上三点，与在一条直线上，，．该校学生在处测得电池板边缘点的仰角为，在处测得电池板边缘点的仰角为．此时点、与在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，
【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长．
【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图，
依题意得：，，，
又
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
即：，
，
解得：，
检验后知道是原方程得根．
，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
39．（2023•内蒙古）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：．
【分析】过点作于点，分别解、即可．
【解答】解：过点作于点．则四边形是矩形．
，米，
，
．
在中，，
，
，
米，
在中，，，
，
，
（米，
（米．
答：河流的宽度约为64米．
【点评】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题，作垂线构造直角三角形是解答本题的关键．
40．（2023•盘锦）如图，一人在道路上骑行，段是坡路，其余为平路，当他路过，两点时，一架无人机从空中的点处测得，两点的俯角分别为和，，，，点，，，，，在同一平面内，是无人机到平路的距离，求的长．（结果精确到整数，参考数据：，，，
【分析】延长交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长交于点，过点作，垂足为，
由题意得：，，
，，
设，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的长约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
41．（2023•南京）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点，．无人机悬停在处，此时在处测得的仰角为；无人机垂直上升悬停在处，此时在处测得的仰角为．，点，，，在同一平面内，，两点在的同侧．求无人机在处时离地面的高度．
（参考数据：，．
【分析】延长交于点，根据题意可得：，，然后设 ，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据，列出关于的方程进行计算，即可解答．
【解答】解：延长交于点，
由题意得：，，
设 ，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
无人机在处时离地面的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
42．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上处为陈树湘雕像拍照，相机支架高0.9米，在相机处观测雕像顶端的仰角为，然后将相机支架移到处拍照，在相机处观测雕像顶端的仰角为，求、两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：．
【分析】根据题意可得：，，米，米，，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，，米，米，，
（米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
（米，
米，
、两点间的距离约为1.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
43．（2023•阜新）如图，小颖家所在居民楼高为．从楼顶处测得另一座大厦顶部的仰角是，而大厦底部的俯角是．
（1）求两楼之间的距离．
（2）求大厦的高度．
（结果精确到，参考数据：，，
【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，即可解答．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
，
，
两楼之间的距离约为；
（2）在中，，
，
，
大厦的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
44．（2023•恩施州）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为．，，，，在同一平面内．
你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【分析】过作于，于是得到，，根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，于是得到，，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：能，过作于，
则，，
在中，，，
，
在中，，
，
设，
，，
在中，，
解得，
，
答：信号塔的高为．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
45．（2023•鄂州）鄂州市莲花山是国家级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点处挂一条大型竖直条幅到点处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端点，在点用仪器测得条幅下端的仰角为；接着他沿自动扶梯到达扶梯顶端点，测得点和点的水平距离为15米，且；然后他从点又沿水平方向行走了45米到达点，在点测得条幅上端的仰角为．（图上各点均在同一个平面内，且，，共线，，，共线，、、共线，，．
（1）求自动扶梯的长度；
（2）求大型条幅的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）过点作，垂足为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，再利用平行线的性质可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，
在中，米，，
（米，
（米，
自动扶梯的长度为25米；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：米，米，
，
，
在中，（米，
米，米，
（米，
在中，，
（米，
在中，（米，
米，
大型条幅的长度为米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
46．（2023•吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可得到的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得，于是得到结论．
【解答】解：测角仪显示的度数为，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
．
答：古树高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．
47．（2023•徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：，，，，，
【分析】根据题意可得：，，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
电视塔的高度约为．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
五．解直角三角形的应用-方向角问题（共6小题）
48．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，2小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到．
【分析】由题意得，，，，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：由题意得，，，，
过作于，
，
，
，
，
解得，
答：该船在航行过程中与小岛的最近距离为．
【点评】本题考查解直角三角形应用方向角问题、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
49．（2023•西藏）如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港，轮船甲沿北偏东的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达处，轮船乙到达处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．（结果保留根号）
【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过作于，
在中，，（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
轮船乙的速度为（海里小时）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，周期地作出辅助线是解题的关键．
50．（2023•海南）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．
（1）填空： 30 度， 度；
（2）求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；
（3）求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．
【分析】（1）先说明，再利用外角与内角的关系、平行线的性质得结论；
（2）先利用等腰三角形的性质先说明与的关系，再在中利用直角三角形的边角间关系得结论；
（3）先说明四边形是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：分别过点、，作，，垂足分别为、．
（1），，
．
、都是正北方向，
．
，
．
故答案为：30，45．
（2）由（1）知，
海里．
在中，
，
（海里）．
答：灯塔到轮船航线的距离为海里．
（3），，、都是正北方向，
四边形是矩形．
海里，．
在中，
，
．
海里．
在中，
，
（海里）．
海里．
答：港口与灯塔的距离为海里．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键．
51．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面，养殖场捕捞海产品．经测量，在灯塔的南偏西方向，在灯塔的南偏东方向，且在的正东方向，米．
（1）求养殖场与灯塔的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达处？
（参考数据：，
【分析】（1）过点作于点，在中，解直角三角形求出，．在中，解直角三角形即可求出；
（2）求出，，进而求出，根据速度公式即可得到结论．
【解答】解：（1）过点作于点，
在中，，米，，，
（米，（米．
在中，，
，
（米，
（米．
答：养殖场与灯塔的距离约为2545米；
（2）（米，
（米，
米米，
能在9分钟内到达处．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出与的长度，难度一般．
52．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点处等候“绿灯”，一辆轿车从被山峰遮挡的道路②的点处由南向北行驶．已知，，，，线段的延长线交直线于点．
（1）求的大小；
（2）若在点处测得点在北偏西方向上，其中，米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点处的货车？（当该轿车行驶至点处时，正好发现点处的货车）
【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，根据垂直的定义得到，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
即的大小为；
（2），
，
在中，，米，
（米，
（米，
，
（米，
（米，
即轿车至少行驶24米才能发现点处的货车．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，正确地求出结果是解题关键．
53．（2023•朝阳）如图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500米后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300米，求桥头到公路的距离．（结果保留根号）
【分析】延长交直线于，设米，根据题意得，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图．延长交直线于，
设米，根据题意得，，
在中，，，
米，
米，
米，
在中，，
，
米，
，
解得米，
答：桥头到公路的距离为米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具
自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据
如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离．
．
．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到
（参考数据：，，