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浙教版八年级数学上册期末素养综合测试卷(一)课件
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这是一份浙教版八年级数学上册期末素养综合测试卷(一)课件，共60页。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. (2023湖南长沙中考)下列长度的三条线段,能组成三角形 的是 ( )A.1,3,4 B.2,2,7C.4,5,7 D.3,3,6
解析 ∵1+3=4,∴1,3,4不能组成三角形,故A选项不符合题意;∵2+2<7,∴2,2,7不能组成三角形,故B不符合题意;∵4+5>7,∴4,5,7能组成三角形,故C符合题意;∵3+3=6,∴3,3,6不能组成三角形,故D不符合题意.故选C.
2. (2023天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形. 下面4个汉字中,可以看做是轴对称图形的是 ( )A.全 B.面 C.发 D.展
解析 B、C、D选项中的汉字都不能找到一条直线,使图形 沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴 对称图形;A选项中的汉字能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直 线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形.故选A.
3. (2023四川自贡中考)如图①,小亮家、报亭、羽毛球馆在 一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看 报,最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图② 所示.下列结论错误的是 ( )
A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米C.报亭到小亮家的距离是400米D.小亮打羽毛球的时间是37分钟
解析 A.由图象知,小亮从家到羽毛球馆用了7分钟,故A选 项不符合题意;B.由图象可知,小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为(1.0-0.4)÷(45-37)=0.075(千米/分)=75(米/分),故B选项不符合题意;C.由图象知,报亭到小亮家的距离是0.4千米,即400米,故C选 项不符合题意;D.由图象知,小亮打羽毛球的时间是37-7=30(分钟),故D选项 符合题意.故选D.
4. (2023浙江杭州西湖弘益中学二模)若a>b,则下列不等式不 一定成立的是 ( )A.a-5>b-5 B.-3a<-3bC.ac2>bc2 D. <
解析 A.两边同时减5,可得a-5>b-5,故A不符合题意;B.两边同时乘-3,得-3a<-3b,故B不符合题意;C.两边同时乘c2,当c≠0时,ac2>bc2,当c=0时,ac2=bc2,故C符合 题意;D.∵a>b,∴b-a<0,两边同时除以b-a,可得 < ,故D不符合题意.故选C.
5. (一题多解)(2023新疆中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以 点A为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点F,交AC于点E,分别 以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=3,BC=4,则CD的 长为 ( ) A. B.1 C. D.2
解析 解法一:∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB= =5,过D作DH⊥AB于H,如图,由作图可知AD平分∠CAB,∴CD=DH,∠CAD=∠HAD,在Rt△ACD与Rt△AHD中, ∴Rt△ACD≌Rt△AHD(HL),∴AH=AC=3,∴BH=AB-AH=2,
∵BH2+DH2=BD2,∴22+CD2=(4-CD)2,∴CD= .解法二:∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB= =5,过D作DH⊥AB于H,如图,由作图可知AD平分∠CAB,∴CD=DH,S△ABC= AC·BC=S△ACD+S△ABD= AC·CD+ AB·DH,∴AC·BC=AC·CD+AB·DH,设CD=DH=x,∴3×4=3x+5x,∴x= .故选C.
6. (2023浙江金衢山五校联考模拟)如图,点A的坐标为(-1,0), 直线y=x-2与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B在直线y=x-2上 运动.当线段AB最短时,点B的坐标为 ( ) A. B.(1,-1) C. D.(0,-2)
解析 易求得C(2,0),D(0,-2),∴OC=OD,∴△OCD是等腰直角三角形,∴∠OCD=45°,当线段AB最短时,AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠CAB=45°,∴设直线AB的解析式为y=-x+b,∵点A的坐标为(-1,0),∴0=1+b,∴b=-1,∴直线AB的解析式为 y=-x-1,
联立 解得 ∴B .故选A.
7. (2023浙江杭州拱墅期中)如图,在△ABC中,点P在边BC上 (不与点B,点C重合),下列说法正确的是 ( )若∠BAC=90°,∠BAP=∠B,则AC=PCB. 若∠BAC=90°,∠BAP=∠C,则AP⊥BCC. 若AP⊥BC,PB=PC,则∠BAC=90°D. 若PB=PC,∠BAP=∠CAP,则∠BAC=90°
解析 ∵∠BAC=90°,∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°,∵∠BAP=∠B,∴∠CAP=∠C,∴AP=PC,只有当∠B=30°时,AC=PC,故A错误;∵∠BAC=90°,∴∠BAP+∠CAP=90°,∵∠BAP=∠C,∴∠C+∠CAP=90°,∴∠APC=180°-(∠C+∠CAP)=90°, 即AP⊥BC,故B正确;∵AP⊥BC,PB=PC,∴AP垂直平分BC,而 ∠BAC不一定等于90°,故C错误;根据PB=PC,∠BAP=∠CAP, 无法证明∠BAC=90°,故D错误.故选B.
8. (2023浙江金华模拟)清明期间,甲、乙两人同时登云雾山, 甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数 图象如图所示,且乙提速后乙的速度是甲的3倍,则下列说法 错误的是 ( )A.乙提速后每分钟攀登30米B.乙攀登到300米时共用时11分钟C.从甲、乙相距100米到乙追上甲时,乙用时6.5分钟D.从甲、乙相距100米到乙追上甲时,甲、乙两人共攀登了330米
解析 甲的速度为(300-100)÷20=10(米/分),10×3=30(米/分),即乙提速后每分钟攀登30米,故选项A不符合题意;乙攀登到300米时共用时2+(300-30)÷30=11(分),故选项B不 符合题意;设y甲=k1x+b1(k1≠0,0≤x≤20),y乙=k2x+b2(k2≠0,2≤x≤11),由函数图象得 解得
∴y甲=10x+100(0≤x≤20),y乙=30x-30(2≤x≤11).当y甲=y乙时,10x+100=30x-30,解得x=6.5,∴从甲、乙相距100米到乙追上甲时,乙用时6.5分钟,故选项 C不符合题意;从甲、乙相距100米到乙追上甲时,甲、乙两人共攀登了6.5× 10+30+30×(6.5-2)=65+30+135=230(米),故选项D符合题意.故 选D.
9. (2024浙江宁波海曙期中改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90 °,以△ABC的各边为边作三个正方形,点G落在HI上,若AC+ BC=6,空白部分面积为12,则AB的长为 ( ) A. B. C. D.
解析 ∵四边形ABGF是正方形,∴∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°,∴∠FAC+∠BAC=∠BAC+∠ABC=90°,∴∠FAC=∠ABC,在△FAM与△ABN中, ∴△FAM≌△ABN(ASA),∴S△FAM=S△ABN,∴S△ABC=S四边形FNCM,
在△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,∵AC+BC=6,∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC·BC=36,∴AB2+2AC·BC=36,∵AB2-2S△ABC=12,∴AB2-AC·BC=12,∴3AB2=60,解得AB= (负值舍去).故选C.
10. (2023北京通州一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边 形OCDE是一个长方形,小球P从点A(2,6)出发沿直线向点B 运动,到达点B时被第一次反弹,每当小球P沿直线运动碰到 长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球P第100 次碰到长方形的边时,小球P所在位置的坐标为 ( )
A.(4,0) B.(8,6)C.(5,12) D.(12,4)
解析 如图,小球第1次碰到长方形边时的坐标为(8,0),小球第2次碰到长方形边时的坐标为(12,4),小球第3次碰到长方形边时的坐标为(10,6),小球第4次碰到长方形边时的坐标为(4,0),小球第5次碰到长方形边时的坐标为(0,4),小球第6次碰到长方形边时的坐标为(2,6),小球第7次碰到长方形边时的坐标为(8,0),……
∴小球位置坐标的变化是6次一循环,100÷6=16……4,∴当小球P第100次碰到长方形的边时,小球P所在位置的坐 标为(4,0).故选A.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11. (2023四川泸州中考)在平面直角坐标系中,若点P(2,-1)与 点Q(-2,m)关于原点对称,则m的值是 .
解析 在平面直角坐标系中,若点P(2,-1)与点Q(-2,m)关于原 点对称,则-1+m=0,所以m=1,所以m的值是1.
12. (2023四川攀枝花中考)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= .
解析 ∵∠C=90°,∠A=40°,∴∠ABC=90°-∠A=50°,∵直线DE是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠EBA=∠A=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=50°-40°=10°,故答案为10°.
13. (新独家原创)下列命题:(1)内错角相等,两直线平行;(2)若 -3x>-3y,则x>y;(3)三角形的一个外角大于任何一个与之不相 邻的内角;(4)若a<-1,则a2>1;(5)全等三角形的对应边相等;(6) 全等三角形的对应角相等;(7)三条边对应相等的两个三角形 全等;(8)三个角对应相等的两个三角形全等.其中假命题有 个.
解析 (1)内错角相等,两直线平行,是真命题,不符合题意;(2) 若-3x>-3y,则x1,是真命题,不符合题意;(5)全等三角形
的对应边相等,是真命题,不符合题意;(6)全等三角形的对应
角相等,是真命题,不符合题意;(7)三条边对应相等的两个三
角形全等,是真命题,不符合题意;(8)三个角对应相等的两个
三角形不一定全等,故原命题是假命题,符合题意.故假命题
有2个.
14. (2023四川宜宾中考)若关于x的不等式组 的所有整数解的和为14,则整数a的值为 .
解析 解不等式①,得x>a-1,解不等式②,得x≤5,∴a-1
15. (2023浙江宁波蛟川书院期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,AC=5,D为AB的中点,BE⊥CD交CD的延长线于E,若BE =4,则AB= .
过点C作CF⊥AB于F,∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD= AB=BD,在△CDF和△BDE中,
∴△CDF≌△BDE(AAS),∴CF=BE=4,在Rt△ACF中,AF2=AC2-CF2,∴AF=3,设BF=x,则AB=x+3,由勾股定理得,BC2=BF2+CF2,BC2=AB2-AC2,∴BF2+CF2=AB2- AC2,即x2+42=(x+3)2-52,解得x= ,∴AB=x+3= .
16. (2023吉林长春模拟)两个大小不同的等边三角形三角板 按如图①所示方式摆放.将两个三角板抽象成如图②所示的 △ABC和△ADE,点B、C、D依次在同一条直线上,连结CE. 若CD=1,CE=3,则点A到直线BC的距离为 .
解析 ∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∠DAE=60°,AD=AE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,
∵BC+CD=BD,CD=1,CE=3,∴BC+1=3,∴BC=2.如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H, ∵△ABC是等边三角形,∴BH=CH= BC= ×2=1,AC=BC=2，
在Rt△AHC中,AC=2,CH=1,由勾股定理得AH= = = .∴点A到直线BC的距离为 .故答案为 .
三、解答题(共66分)
17. [答案含评分细则](6分)(1)(2023浙江金华浦江模拟)解不 等式:3(x+2)-2(2x-3)<12.(2)(2023江苏扬州中考)解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来.
解析 (1)3(x+2)-2(2x-3)<12,去括号,得3x+6-4x+6<12, 1分移项,得3x-4x<12-6-6,合并同类项,得-x<0, 2分系数化为1,得x>0. 3分(2) 解不等式①,得x>-1, 4分
解不等式②,得x≤2, 5分∴原不等式组的解集为-1
解析 (1)如图,△ABC和△A'B'C'即为所求. 3分(2)△ABC的面积=3×6- ×2×2- ×4×3- ×1×6=18-2-6-3=7. 6分
19. [答案含评分细则](2023浙江宁波海曙雅戈尔中学期中) (6分)如图,为了测量凹槽的宽度,把一块等腰直角三角板(AB =CB,∠ABC=90°)放置在凹槽内,三个顶点A,B,C分别落在凹 槽内壁上,若∠AMN=∠CNM=90°,测得AM=20 cm,CN=32 cm, 求该凹槽的宽度MN.
解析 ∵∠ABC=90°,∴∠ABM+∠CBN=90°,∵∠AMB=90°,∴∠ABM+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CBN, 2分在△AMB和△BNC中, ∴△AMB≌△BNC(AAS), 4分∴MB=CN=32 cm,BN=AM=20 cm,∴MN=52 cm,即该凹槽的宽度MN为52 cm. 6分
20. [答案含评分细则](2023湖北宜昌中考改编)(8分)某食用 油的沸点温度远高于水的沸点温度.小聪想用刻度不超过10 0 ℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度.在老师的指导 下,他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热,并每隔10 s测量 一次锅中油温,得到的数据记录如下:
(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经老师介 绍,在这种食用油达到沸点前,锅中油温y(单位:℃)与加热的 时间t(单位:s)符合初中学习过的某种函数关系,填空:可能是 函数关系(填“正比例”或“一次”).(2)根据以上判断,求y关于t的函数解析式.(3)当加热110 s时,油沸腾了,请推算沸点的温度.
解析 (1)根据表格中两个变量对应值变化的规律可知,时间 每增加10 s,油的温度就升高20 ℃,故锅中油温y与加热的时间t可能是一次函数关系.故答案为一次. 2分(2)设锅中油温y与加热的时间t的函数解析式为y=kt+b(k≠0),将点(0,10),(10,30)代入,得 3分解得 4分
∴y=2t+10. 5分(3)当t=110时,y=2×110+10=230, 7分∴推测这种食用油的沸点温度是230 ℃. 8分
21. [答案含评分细则](2023浙江宁波慈溪十校联考)(8分)如 图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.(1)求AB的长.(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向 终点B运动,连结CP.设点P运动的时间为t秒,当t为何值时,△ACP为等腰三角形?
解析 (1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB= =5. 2分(2)由题意得AP=t,当AP=AC时,t=3; 4分当AP=PC时,∠A=∠ACP,∵∠A+∠B=∠ACP+∠BCP=90°, ∴∠PCB=∠B,∴PC=PB,∴AP=PB,∴t=5-t,∴t=2.5; 6分当PC=AC=3时,过点C作CD⊥AB,垂足为D,如图,
在△ABC中, ×3×4= ×5CD,∴CD=2.4,在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2,∴AD= ,∴AP= ,∴t=3.6.∴当t=3或t=2.5或t=3.6时,△ACP为等腰三角形. 8分
22. [答案含评分细则](2023黑龙江绥化中考)(10分)某校组织 师生参加夏令营活动,现准备租用A、B两种型号客车(每种 型号的客车至少租用一辆).A型车每辆租金500元,B型车每辆 租金600元.若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人;3辆A 型和4辆B型车坐满后共载客340人.(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人?(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆,总租金不高 于5 500元,并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方 案?哪种租车方案最省钱?
(3)在这次活动中,学校除租用A、B两种型号客车外,又派出 甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程 为300千米,甲车从学校出发0.5小时后,乙车才从学校出发,却 比甲车早0.5小时到达目的地.如图所示的是两车离开学校的 路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象.根据 图象信息,求甲、乙两车第一次相遇后,t为何值时两车相距25千米.
解析 (1)设每辆A型车坐满后载客x人,每辆B型车坐满后载 客y人,根据题意得 1分解得 2分∴每辆A型车坐满后载客40人,每辆B型车坐满后载客55人. 3分(2)设租用A型车m辆,则租用B型车(10-m)辆,
由题意得 4分解得5≤m≤8 , 5分∵m是整数,∴m可取5,6,7,8,∴共有4种方案, 6分设总租金为w元,根据题意得w=500m+600(10-m)=-100m+6 000,∵-100<0,
∴w随m的增大而减小,∴当m=8时,w有最小值,为-100×8+6 000=5 200(元).∴租用A型车8辆,租用B型车2辆最省钱. 7分(3)设s甲=k1t(k1≠0),把(4,300)代入,得300=4k1,解得k1=75,∴s甲=75t,设s乙=k2t+b(k2≠0),把(0.5,0),(3.5,300)代入,得
解得 ∴s乙=100t-50, 8分若两车第一次相遇后,相距25千米,则100t-50-75t=25或300-75t=25,解得t=3或t= , 9分∴在甲、乙两车第一次相遇后,当t=3或 时,两车相距25千米. 10分
23. [答案含评分细则](2023浙江金华武义实验中学月考改编) (10分)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+4交y轴于点 A,直线l2:y=-x与l1交于点B.(1)求点B的坐标.(2)在y轴左侧,有一条平行于y轴的动直线,分别与l1,l2交于点 M,N.①若点M在点N的上方,MN=2,求△BMN的面积;②点Q为y轴上一动点,若△MNQ是以∠MNQ为直角的直角
三角形,且两直角边的边长之比为3∶4,求出满足条件的所有 点Q的坐标.
解析 (1)由题意可得 解得 ∴点B的坐标为(-2,2). 3分(2)①如图,设平行于y轴的动直线为x=m,
过点B作BD⊥MN,交直线x=m于点D,∴M点的坐标为(m,m+4),N点的坐标为(m,-m),
∵MN=2,∴m+4-(-m)=2,解得m=-1, 5分∵点B的坐标为(-2,2),∴BD=-1-(-2)=1,∴S△BMN= MN·BD= ×2×1=1. 6分②在Rt△MNQ中,当MN∶QN=3∶4时,设MN=3a,则QN=4a,∴N点的坐标为(-4a,4a),M点的坐标为(-4a,-4a+4),Q点的坐标 为(0,4a),∴MN=-4a+4-4a=3a,解得a= ,
∴Q点的坐标为 . 8分在Rt△MNQ中,当QN∶MN=3∶4时,设MN=4a,则QN=3a,∴N点的坐标为(-3a,3a),M点的坐标为(-3a,-3a+4),Q点的坐标 为(0,3a),∴MN=-3a+4-3a=4a,解得a= ,∴Q点的坐标为 .
综上所述,点Q的坐标为 或 . 10分
24. [答案含评分细则](2022浙江宁波慈溪期末)(12分)(1)探索发现:如图①,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直 线l过点C,过点A作AD⊥l,过点B作BE⊥l,垂足分别为D、E. 求证:AD=CE,CD=BE.(2)迁移应用:如图②,将一块等腰直角三角板MON放在平面直角坐标系内,三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合,另两个顶点均落在第一象限内,已知点M的坐标为(1,3),求点N的坐标.(3)拓展应用:如图③,在平面直角坐标系内,已知直线PQ与x
轴交于点Q(1,0),与y轴交于点P(0,3),以线段PQ为一边作等腰 直角三角形PQR,请直接写出点R的坐标. 图① 图② 图③
解析 (1)证明:∵AD⊥l,BE⊥l,∴∠ADC=∠BEC=90°,∵∠ACE=∠ADC+∠CAD,∠ACE=∠ACB+∠BCE,∠ADC= ∠ACB=90°,∴∠CAD=∠BCE,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE(AAS),∴AD=CE,CD=BE. 3分(2)如图①,过点M作MF⊥y轴,垂足为F,过点N作NG⊥直线MF 于G,
由已知得OM=MN,且∠OMN=90°,由(1)易知MF=NG,OF=MG,∵M(1,3),∴MF=1,OF=3,∴MG=3,NG=1,∴FG=MF+MG=1+3=4,OF-NG=3-1=2,∴点N的坐标为(4,2). 6分 图① 图② 图③
图④ (3)点R的坐标为(3,4)或(-3,2)或(4,1)或(-2,-1)或(2,2)或(-1,1).详解:当点P为直角顶点时,如图②,过点R1作R1E⊥y轴于点E,由(1)易知ER1=OP,EP=OQ,
∵Q(1,0),P(0,3),∴PE=OQ=1,ER1=OP=3,∴OE=3+1=4,∴R1(3,4), 7分同理可得R2(-3,2). 8分当点Q为直角顶点时,如图③,过点R3作R3D⊥x轴于点D,由(1) 易知DR3=OQ,OP=DQ,∵Q(1,0),P(0,3),∴DR3=OQ=1,DQ=OP=3,∴OD=3+1=4,∴R3(4,1), 9分同理可得R4(-2,-1). 10分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. (2023湖南长沙中考)下列长度的三条线段,能组成三角形 的是 ( )A.1,3,4 B.2,2,7C.4,5,7 D.3,3,6
解析 ∵1+3=4,∴1,3,4不能组成三角形,故A选项不符合题意;∵2+2<7,∴2,2,7不能组成三角形,故B不符合题意;∵4+5>7,∴4,5,7能组成三角形,故C符合题意;∵3+3=6,∴3,3,6不能组成三角形,故D不符合题意.故选C.
2. (2023天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形. 下面4个汉字中,可以看做是轴对称图形的是 ( )A.全 B.面 C.发 D.展
解析 B、C、D选项中的汉字都不能找到一条直线,使图形 沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴 对称图形;A选项中的汉字能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直 线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形.故选A.
3. (2023四川自贡中考)如图①,小亮家、报亭、羽毛球馆在 一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看 报,最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图② 所示.下列结论错误的是 ( )
A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米C.报亭到小亮家的距离是400米D.小亮打羽毛球的时间是37分钟
解析 A.由图象知,小亮从家到羽毛球馆用了7分钟,故A选 项不符合题意;B.由图象可知,小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为(1.0-0.4)÷(45-37)=0.075(千米/分)=75(米/分),故B选项不符合题意;C.由图象知,报亭到小亮家的距离是0.4千米,即400米,故C选 项不符合题意;D.由图象知,小亮打羽毛球的时间是37-7=30(分钟),故D选项 符合题意.故选D.
4. (2023浙江杭州西湖弘益中学二模)若a>b,则下列不等式不 一定成立的是 ( )A.a-5>b-5 B.-3a<-3bC.ac2>bc2 D. <
解析 A.两边同时减5,可得a-5>b-5,故A不符合题意;B.两边同时乘-3,得-3a<-3b,故B不符合题意;C.两边同时乘c2,当c≠0时,ac2>bc2,当c=0时,ac2=bc2,故C符合 题意;D.∵a>b,∴b-a<0,两边同时除以b-a,可得 < ,故D不符合题意.故选C.
5. (一题多解)(2023新疆中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以 点A为圆心,适当长为半径作弧,交AB于点F,交AC于点E,分别 以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=3,BC=4,则CD的 长为 ( ) A. B.1 C. D.2
解析 解法一:∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB= =5,过D作DH⊥AB于H,如图,由作图可知AD平分∠CAB,∴CD=DH,∠CAD=∠HAD,在Rt△ACD与Rt△AHD中, ∴Rt△ACD≌Rt△AHD(HL),∴AH=AC=3,∴BH=AB-AH=2,
∵BH2+DH2=BD2,∴22+CD2=(4-CD)2,∴CD= .解法二:∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB= =5,过D作DH⊥AB于H,如图,由作图可知AD平分∠CAB,∴CD=DH,S△ABC= AC·BC=S△ACD+S△ABD= AC·CD+ AB·DH,∴AC·BC=AC·CD+AB·DH,设CD=DH=x,∴3×4=3x+5x,∴x= .故选C.
6. (2023浙江金衢山五校联考模拟)如图,点A的坐标为(-1,0), 直线y=x-2与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B在直线y=x-2上 运动.当线段AB最短时,点B的坐标为 ( ) A. B.(1,-1) C. D.(0,-2)
解析 易求得C(2,0),D(0,-2),∴OC=OD,∴△OCD是等腰直角三角形,∴∠OCD=45°,当线段AB最短时,AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠CAB=45°,∴设直线AB的解析式为y=-x+b,∵点A的坐标为(-1,0),∴0=1+b,∴b=-1,∴直线AB的解析式为 y=-x-1,
联立 解得 ∴B .故选A.
7. (2023浙江杭州拱墅期中)如图,在△ABC中,点P在边BC上 (不与点B,点C重合),下列说法正确的是 ( )若∠BAC=90°,∠BAP=∠B,则AC=PCB. 若∠BAC=90°,∠BAP=∠C,则AP⊥BCC. 若AP⊥BC,PB=PC,则∠BAC=90°D. 若PB=PC,∠BAP=∠CAP,则∠BAC=90°
解析 ∵∠BAC=90°,∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°,∵∠BAP=∠B,∴∠CAP=∠C,∴AP=PC,只有当∠B=30°时,AC=PC,故A错误;∵∠BAC=90°,∴∠BAP+∠CAP=90°,∵∠BAP=∠C,∴∠C+∠CAP=90°,∴∠APC=180°-(∠C+∠CAP)=90°, 即AP⊥BC,故B正确;∵AP⊥BC,PB=PC,∴AP垂直平分BC,而 ∠BAC不一定等于90°,故C错误;根据PB=PC,∠BAP=∠CAP, 无法证明∠BAC=90°,故D错误.故选B.
8. (2023浙江金华模拟)清明期间,甲、乙两人同时登云雾山, 甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数 图象如图所示,且乙提速后乙的速度是甲的3倍,则下列说法 错误的是 ( )A.乙提速后每分钟攀登30米B.乙攀登到300米时共用时11分钟C.从甲、乙相距100米到乙追上甲时,乙用时6.5分钟D.从甲、乙相距100米到乙追上甲时,甲、乙两人共攀登了330米
解析 甲的速度为(300-100)÷20=10(米/分),10×3=30(米/分),即乙提速后每分钟攀登30米,故选项A不符合题意;乙攀登到300米时共用时2+(300-30)÷30=11(分),故选项B不 符合题意;设y甲=k1x+b1(k1≠0,0≤x≤20),y乙=k2x+b2(k2≠0,2≤x≤11),由函数图象得 解得
∴y甲=10x+100(0≤x≤20),y乙=30x-30(2≤x≤11).当y甲=y乙时,10x+100=30x-30,解得x=6.5,∴从甲、乙相距100米到乙追上甲时,乙用时6.5分钟,故选项 C不符合题意;从甲、乙相距100米到乙追上甲时,甲、乙两人共攀登了6.5× 10+30+30×(6.5-2)=65+30+135=230(米),故选项D符合题意.故 选D.
9. (2024浙江宁波海曙期中改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90 °,以△ABC的各边为边作三个正方形,点G落在HI上,若AC+ BC=6,空白部分面积为12,则AB的长为 ( ) A. B. C. D.
解析 ∵四边形ABGF是正方形,∴∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°,∴∠FAC+∠BAC=∠BAC+∠ABC=90°,∴∠FAC=∠ABC,在△FAM与△ABN中, ∴△FAM≌△ABN(ASA),∴S△FAM=S△ABN,∴S△ABC=S四边形FNCM,
在△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,∵AC+BC=6,∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC·BC=36,∴AB2+2AC·BC=36,∵AB2-2S△ABC=12,∴AB2-AC·BC=12,∴3AB2=60,解得AB= (负值舍去).故选C.
10. (2023北京通州一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边 形OCDE是一个长方形,小球P从点A(2,6)出发沿直线向点B 运动,到达点B时被第一次反弹,每当小球P沿直线运动碰到 长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球P第100 次碰到长方形的边时,小球P所在位置的坐标为 ( )
A.(4,0) B.(8,6)C.(5,12) D.(12,4)
解析 如图,小球第1次碰到长方形边时的坐标为(8,0),小球第2次碰到长方形边时的坐标为(12,4),小球第3次碰到长方形边时的坐标为(10,6),小球第4次碰到长方形边时的坐标为(4,0),小球第5次碰到长方形边时的坐标为(0,4),小球第6次碰到长方形边时的坐标为(2,6),小球第7次碰到长方形边时的坐标为(8,0),……
∴小球位置坐标的变化是6次一循环,100÷6=16……4,∴当小球P第100次碰到长方形的边时,小球P所在位置的坐 标为(4,0).故选A.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11. (2023四川泸州中考)在平面直角坐标系中,若点P(2,-1)与 点Q(-2,m)关于原点对称,则m的值是 .
解析 在平面直角坐标系中,若点P(2,-1)与点Q(-2,m)关于原 点对称,则-1+m=0,所以m=1,所以m的值是1.
12. (2023四川攀枝花中考)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= .
解析 ∵∠C=90°,∠A=40°,∴∠ABC=90°-∠A=50°,∵直线DE是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠EBA=∠A=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠EBA=50°-40°=10°,故答案为10°.
13. (新独家原创)下列命题:(1)内错角相等,两直线平行;(2)若 -3x>-3y,则x>y;(3)三角形的一个外角大于任何一个与之不相 邻的内角;(4)若a<-1,则a2>1;(5)全等三角形的对应边相等;(6) 全等三角形的对应角相等;(7)三条边对应相等的两个三角形 全等;(8)三个角对应相等的两个三角形全等.其中假命题有 个.
解析 (1)内错角相等,两直线平行,是真命题,不符合题意;(2) 若-3x>-3y,则x
14. (2023四川宜宾中考)若关于x的不等式组 的所有整数解的和为14,则整数a的值为 .
解析 解不等式①,得x>a-1,解不等式②,得x≤5,∴a-1
15. (2023浙江宁波蛟川书院期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,AC=5,D为AB的中点,BE⊥CD交CD的延长线于E,若BE =4,则AB= .
过点C作CF⊥AB于F,∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD= AB=BD,在△CDF和△BDE中,
∴△CDF≌△BDE(AAS),∴CF=BE=4,在Rt△ACF中,AF2=AC2-CF2,∴AF=3,设BF=x,则AB=x+3,由勾股定理得,BC2=BF2+CF2,BC2=AB2-AC2,∴BF2+CF2=AB2- AC2,即x2+42=(x+3)2-52,解得x= ,∴AB=x+3= .
16. (2023吉林长春模拟)两个大小不同的等边三角形三角板 按如图①所示方式摆放.将两个三角板抽象成如图②所示的 △ABC和△ADE,点B、C、D依次在同一条直线上,连结CE. 若CD=1,CE=3,则点A到直线BC的距离为 .
解析 ∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∠DAE=60°,AD=AE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,
∵BC+CD=BD,CD=1,CE=3,∴BC+1=3,∴BC=2.如图,过点A作AH⊥BC,垂足为H, ∵△ABC是等边三角形,∴BH=CH= BC= ×2=1,AC=BC=2，
在Rt△AHC中,AC=2,CH=1,由勾股定理得AH= = = .∴点A到直线BC的距离为 .故答案为 .
三、解答题(共66分)
17. [答案含评分细则](6分)(1)(2023浙江金华浦江模拟)解不 等式:3(x+2)-2(2x-3)<12.(2)(2023江苏扬州中考)解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来.
解析 (1)3(x+2)-2(2x-3)<12,去括号,得3x+6-4x+6<12, 1分移项,得3x-4x<12-6-6,合并同类项,得-x<0, 2分系数化为1,得x>0. 3分(2) 解不等式①,得x>-1, 4分
解不等式②,得x≤2, 5分∴原不等式组的解集为-1
解析 (1)如图,△ABC和△A'B'C'即为所求. 3分(2)△ABC的面积=3×6- ×2×2- ×4×3- ×1×6=18-2-6-3=7. 6分
19. [答案含评分细则](2023浙江宁波海曙雅戈尔中学期中) (6分)如图,为了测量凹槽的宽度,把一块等腰直角三角板(AB =CB,∠ABC=90°)放置在凹槽内,三个顶点A,B,C分别落在凹 槽内壁上,若∠AMN=∠CNM=90°,测得AM=20 cm,CN=32 cm, 求该凹槽的宽度MN.
解析 ∵∠ABC=90°,∴∠ABM+∠CBN=90°,∵∠AMB=90°,∴∠ABM+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CBN, 2分在△AMB和△BNC中, ∴△AMB≌△BNC(AAS), 4分∴MB=CN=32 cm,BN=AM=20 cm,∴MN=52 cm,即该凹槽的宽度MN为52 cm. 6分
20. [答案含评分细则](2023湖北宜昌中考改编)(8分)某食用 油的沸点温度远高于水的沸点温度.小聪想用刻度不超过10 0 ℃的温度计测算出这种食用油沸点的温度.在老师的指导 下,他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热,并每隔10 s测量 一次锅中油温,得到的数据记录如下:
(1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经老师介 绍,在这种食用油达到沸点前,锅中油温y(单位:℃)与加热的 时间t(单位:s)符合初中学习过的某种函数关系,填空:可能是 函数关系(填“正比例”或“一次”).(2)根据以上判断,求y关于t的函数解析式.(3)当加热110 s时,油沸腾了,请推算沸点的温度.
解析 (1)根据表格中两个变量对应值变化的规律可知,时间 每增加10 s,油的温度就升高20 ℃,故锅中油温y与加热的时间t可能是一次函数关系.故答案为一次. 2分(2)设锅中油温y与加热的时间t的函数解析式为y=kt+b(k≠0),将点(0,10),(10,30)代入,得 3分解得 4分
∴y=2t+10. 5分(3)当t=110时,y=2×110+10=230, 7分∴推测这种食用油的沸点温度是230 ℃. 8分
21. [答案含评分细则](2023浙江宁波慈溪十校联考)(8分)如 图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.(1)求AB的长.(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向 终点B运动,连结CP.设点P运动的时间为t秒,当t为何值时,△ACP为等腰三角形?
解析 (1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB= =5. 2分(2)由题意得AP=t,当AP=AC时,t=3; 4分当AP=PC时,∠A=∠ACP,∵∠A+∠B=∠ACP+∠BCP=90°, ∴∠PCB=∠B,∴PC=PB,∴AP=PB,∴t=5-t,∴t=2.5; 6分当PC=AC=3时,过点C作CD⊥AB,垂足为D,如图,
在△ABC中, ×3×4= ×5CD,∴CD=2.4,在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2,∴AD= ,∴AP= ,∴t=3.6.∴当t=3或t=2.5或t=3.6时,△ACP为等腰三角形. 8分
22. [答案含评分细则](2023黑龙江绥化中考)(10分)某校组织 师生参加夏令营活动,现准备租用A、B两种型号客车(每种 型号的客车至少租用一辆).A型车每辆租金500元,B型车每辆 租金600元.若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人;3辆A 型和4辆B型车坐满后共载客340人.(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人?(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆,总租金不高 于5 500元,并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方 案?哪种租车方案最省钱?
(3)在这次活动中,学校除租用A、B两种型号客车外,又派出 甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程 为300千米,甲车从学校出发0.5小时后,乙车才从学校出发,却 比甲车早0.5小时到达目的地.如图所示的是两车离开学校的 路程s(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数图象.根据 图象信息,求甲、乙两车第一次相遇后,t为何值时两车相距25千米.
解析 (1)设每辆A型车坐满后载客x人,每辆B型车坐满后载 客y人,根据题意得 1分解得 2分∴每辆A型车坐满后载客40人,每辆B型车坐满后载客55人. 3分(2)设租用A型车m辆,则租用B型车(10-m)辆,
由题意得 4分解得5≤m≤8 , 5分∵m是整数,∴m可取5,6,7,8,∴共有4种方案, 6分设总租金为w元,根据题意得w=500m+600(10-m)=-100m+6 000,∵-100<0,
∴w随m的增大而减小,∴当m=8时,w有最小值,为-100×8+6 000=5 200(元).∴租用A型车8辆,租用B型车2辆最省钱. 7分(3)设s甲=k1t(k1≠0),把(4,300)代入,得300=4k1,解得k1=75,∴s甲=75t,设s乙=k2t+b(k2≠0),把(0.5,0),(3.5,300)代入,得
解得 ∴s乙=100t-50, 8分若两车第一次相遇后,相距25千米,则100t-50-75t=25或300-75t=25,解得t=3或t= , 9分∴在甲、乙两车第一次相遇后,当t=3或 时,两车相距25千米. 10分
23. [答案含评分细则](2023浙江金华武义实验中学月考改编) (10分)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+4交y轴于点 A,直线l2:y=-x与l1交于点B.(1)求点B的坐标.(2)在y轴左侧,有一条平行于y轴的动直线,分别与l1,l2交于点 M,N.①若点M在点N的上方,MN=2,求△BMN的面积;②点Q为y轴上一动点,若△MNQ是以∠MNQ为直角的直角
三角形,且两直角边的边长之比为3∶4,求出满足条件的所有 点Q的坐标.
解析 (1)由题意可得 解得 ∴点B的坐标为(-2,2). 3分(2)①如图,设平行于y轴的动直线为x=m,
过点B作BD⊥MN,交直线x=m于点D,∴M点的坐标为(m,m+4),N点的坐标为(m,-m),
∵MN=2,∴m+4-(-m)=2,解得m=-1, 5分∵点B的坐标为(-2,2),∴BD=-1-(-2)=1,∴S△BMN= MN·BD= ×2×1=1. 6分②在Rt△MNQ中,当MN∶QN=3∶4时,设MN=3a,则QN=4a,∴N点的坐标为(-4a,4a),M点的坐标为(-4a,-4a+4),Q点的坐标 为(0,4a),∴MN=-4a+4-4a=3a,解得a= ,
∴Q点的坐标为 . 8分在Rt△MNQ中,当QN∶MN=3∶4时,设MN=4a,则QN=3a,∴N点的坐标为(-3a,3a),M点的坐标为(-3a,-3a+4),Q点的坐标 为(0,3a),∴MN=-3a+4-3a=4a,解得a= ,∴Q点的坐标为 .
综上所述,点Q的坐标为 或 . 10分
24. [答案含评分细则](2022浙江宁波慈溪期末)(12分)(1)探索发现:如图①,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直 线l过点C,过点A作AD⊥l,过点B作BE⊥l,垂足分别为D、E. 求证:AD=CE,CD=BE.(2)迁移应用:如图②,将一块等腰直角三角板MON放在平面直角坐标系内,三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合,另两个顶点均落在第一象限内,已知点M的坐标为(1,3),求点N的坐标.(3)拓展应用:如图③,在平面直角坐标系内,已知直线PQ与x
轴交于点Q(1,0),与y轴交于点P(0,3),以线段PQ为一边作等腰 直角三角形PQR,请直接写出点R的坐标. 图① 图② 图③
解析 (1)证明:∵AD⊥l,BE⊥l,∴∠ADC=∠BEC=90°,∵∠ACE=∠ADC+∠CAD,∠ACE=∠ACB+∠BCE,∠ADC= ∠ACB=90°,∴∠CAD=∠BCE,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE(AAS),∴AD=CE,CD=BE. 3分(2)如图①,过点M作MF⊥y轴,垂足为F,过点N作NG⊥直线MF 于G,
由已知得OM=MN,且∠OMN=90°,由(1)易知MF=NG,OF=MG,∵M(1,3),∴MF=1,OF=3,∴MG=3,NG=1,∴FG=MF+MG=1+3=4,OF-NG=3-1=2,∴点N的坐标为(4,2). 6分 图① 图② 图③
图④ (3)点R的坐标为(3,4)或(-3,2)或(4,1)或(-2,-1)或(2,2)或(-1,1).详解:当点P为直角顶点时,如图②,过点R1作R1E⊥y轴于点E,由(1)易知ER1=OP,EP=OQ,
∵Q(1,0),P(0,3),∴PE=OQ=1,ER1=OP=3,∴OE=3+1=4,∴R1(3,4), 7分同理可得R2(-3,2). 8分当点Q为直角顶点时,如图③,过点R3作R3D⊥x轴于点D,由(1) 易知DR3=OQ,OP=DQ,∵Q(1,0),P(0,3),∴DR3=OQ=1,DQ=OP=3,∴OD=3+1=4,∴R3(4,1), 9分同理可得R4(-2,-1). 10分
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