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青岛版初中八年级数学上册期中素养综合测试卷(一)课件
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这是一份青岛版初中八年级数学上册期中素养综合测试卷(一)课件，共41页。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (新独家原创,★☆☆)在如图所示的运动图片中,属于轴对称图形的是 ( )
解析 D 根据轴对称图形的定义知D选项符合题意.故选D.
2. (2024山东潍坊诸城期中,2,★☆☆)如图,△ABC和△DFE全等,且∠A=∠D,AC 对应DE.若AC=6,BC=5,AB=4,则EF的长为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 无法确定
解析 B 因为△ABC和△DFE全等,∠A=∠D,AC对应DE,所以CB对应EF,所以 EF=BC=5.故选B.
3. (2024山东聊城阳谷期中,7,★☆☆)在△ABC中,若AB=AC=5,∠B=60°,则BC的 长为 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析 C 因为AB=AC=5,∠B=60°,所以△ABC为等边三角形,所以BC=AB=5.故 选C.
4. (2024山东东营广饶期中,2,★☆☆)下列运算中,错误的是 ( )A. = B. =-1C. = D. =
5. (2024山东聊城东昌府期末,8,★☆☆)若 = ,则 的值是 ( )A. B. - C. D.
6. (2024山东潍坊青州期中,5,★☆☆)如图,已知AE=AC,∠C=∠E,下列条件中,无 法判定△ABC≌△ADE的是 ( ) A. ∠B=∠D B. BC=DEC. ∠1=∠2 D. AB=AD
解析 D 在△ABC与△ADE中,AE=AC,∠C=∠E,若添加条件∠B=∠D,由 “AAS”可证△ABC≌△ADE,选项A不合题意;若添加条件BC=DE,由“SAS” 可证△ABC≌△ADE,选项B不合题意;若添加条件∠1=∠2,则∠1+∠DAC=∠2+ ∠DAC,即∠BAC=∠DAE,由“ASA”可证△ABC≌△ADE,选项C不合题意;若 添加条件AB=AD,不能证明△ABC≌△ADE,选项D符合题意.故选D.
7. (★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,BD平分∠ABC交AC于点D,则∠CDB等于 ( ) A. 65° B. 70° C. 75° D. 85°
8. (2023山东德州夏津期中,7,★★☆)在△ABC中,将∠B,∠C按如图所示方式折 叠,点B,C均落在边BC上的点G处,线段MN,EF为折痕.若∠A=80°,则∠MGE的度 数为 ( ) A. 50° B. 90° C. 40° D. 80°
解析 D 因为线段MN,EF为折痕,所以△MBN≌△MGN,△ECF≌△EGF,所以 ∠B=∠MGB,∠C=∠EGC.因为∠A=80°,所以∠B+∠C=180°-80°=100°,所以∠MGB+∠EGC=∠B+∠C=100°,所以∠MGE=180°-100°=80°.故选D.
9. (新考向 尺规作图)(2022吉林长春中考,7,★★☆)如图,在△ABC中,根据尺 规作图痕迹,下列说法不一定正确的是 ( ) A. AF=BF B. AE= ACC. ∠DBF+∠DFB=90° D. ∠BAF=∠EBC
解析 B 由题图中尺规作图痕迹可知,射线BE为∠ABC的平分线,直线DF为线 段AB的垂直平分线,所以AF=BF,∠BDF=90°,所以∠DBF+∠DFB=90°,选项A,C 正确,不符合题意;因为射线BE为∠ABC的平分线,所以∠ABF=∠EBC,因为AF= BF,所以∠ABF=∠BAF,所以∠BAF=∠EBC,选项D正确,不符合题意;根据已知条 件不能得出AE= AC,选项B不一定正确,符合题意.故选B.
10. (2024湖北荆门期末,9,★★☆)已知关于x的分式方程 =1,对于该方程的解,甲、乙两人有以下说法:甲:若方程的解是负数,则a<1;乙:当a>1时,方程的解是正数.关于甲、乙两人的说法,正确的是 ( )A. 甲、乙都对 B. 只有甲对C. 只有乙对 D. 甲、乙都错
解析 C 分式方程 =1的两边都乘x+1,得a=x+1,解得x=a-1.若分式方程有增根,则增根为x=-1,此时a=0.当方程的解为负数时,a-1<0,解得a<1,若要保证分式方 程无增根,则a≠0,因此当a<1且a≠0时,方程的解是负数,所以甲的说法是错误的; 当方程的解为正数时,a-1>0,解得a>1,经检验,当a>1时方程无增根,所以当a>1时, 分式方程的解为正数,所以乙的说法是正确的.故选C.
二、填空题(共6个小题,每小题3分,共18分)
11. (2023河北石家庄二十八中期末,19,★☆☆)若从分别写有x,x+1,x-1的三张卡 片中任选一个作为分式 的分子,使得分式为最简分式,则应选择写有 的卡片.
12. (★★☆)在平面直角坐标系中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对 称,已知点A1的坐标为(1,2),则点A2的坐标为 .
答案 (-1,-2)解析 因为点A与点A1(1,2)关于x轴对称,所以点A的坐标为(1,-2),因为点A(1,-2) 与点A2关于y轴对称,所以点A2的坐标为(-1,-2).
13. (★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在BC边上,DE⊥AB于点E,且 DC=DE,连接AD,则∠ADB的度数为 .
14. (2024北京人大附中期中,15,★★☆)如图,AD是△ABC的角平分线,∠B=2 ∠C,将△ABD沿AD所在直线翻折,点B在AC边上的落点记为点E,若AC=8,AB=5, 则BD的长为 .
答案 3解析 根据折叠的性质,可得BD=DE,AE=AB=5,∠AED=∠B.因为AC=8,所以EC= AC-AE=3.因为∠B=2∠C,所以∠AED=2∠C.因为∠AED=∠C+∠EDC,所以∠C =∠EDC,所以DE=CE=3,所以BD=DE=3.
15. (2024山东聊城阳谷期末,17,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足 分别是D,E,AD、CE交于点H,已知AE=CE=5,CH=2,则BE= .
答案 3解析 因为AD⊥BC,CE⊥AB,所以∠AEH=∠CEB=∠HDC=90°,所以∠EAH+∠EHA=90°,∠ECB+∠DHC=90°,因为∠EHA=∠DHC,所以∠EAH=∠ECB.在△AEH与△CEB中, 所以△AEH≌△CEB(ASA),所以BE=EH=CE-CH=5-2=3.
16. (★★☆)如图,平面直角坐标系中,点A(6,0),以OA为边作等边△OAB,△OA'B' 与△OAB关于y轴对称,M为线段OB'上一动点,则AM+BM的最小值是 .
答案 12解析 如图,连接A'M.因为△OA'B'和△OAB都是等边三角形且关于y轴对称,A(6, 0),所以∠A'OB'=∠AOB=60°,OA'=OB=6,所以∠B'OB=60°,因为OM=OM,所以△OMA'≌△OMB(SAS),所以A'M=BM,因为MA+MB=MA+MA'≥A'A,所以当点M与O 重合时,AM+BM的值最小,最小值为12,所以BM+AM的最小值为12.
三、解答题(共8个题,共72分)
17. (2024山东烟台牟平期中,20,★★☆)(8分)解关于x的分式方程:(1) = .(2) - =40.
解析 (1)去分母,得(x-1)2=x(x+1),解整式方程,得x= . (2分)检验:当x= 时,x(x-1)≠0,所以x= 是分式方程的解. (4分)(2)去分母,得7 200-4 800=60x,解整式方程,得x=40. (6分)检验:当x=40时,(1+50%)x≠0,所以x=40是分式方程的解. (8分)
18. (2024山东菏泽成武期末,18,★★☆)(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(-4,1),C(-1,2).(1)请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1.(2)求△ABC的面积.(3)在y轴上找一点P,使得△APC的周长最小,请画出△APC.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求. (2分)(2)△ABC的面积为3×3- ×3×1×2- ×2×2=4. (5分)(3)如图,取点C关于y轴的对称点C',连接AC',交y轴于点P,连接CP,此时AP+CP最 小,所以AP+CP+AC最小,即△APC的周长最小,则△APC即为所求. (8分)
19. (2024山东潍坊寒亭期中,18,★★☆)(8分)先化简 ÷ ,然后从-3
解析 (1)证明:因为∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠BED=∠BAC,所以∠ABE=∠CAF,同理得∠BAE=∠ACF. (2分)在△ABE和△CAF中, 所以△ABE≌△CAF(ASA). (5分)(2)EF+CF=BE. (6分)理由如下:因为△ABE≌△CAF,所以AE=CF,BE=AF.因为AE+EF=AF,所以CF+EF=BE. (8分)
21. (新考向 尺规作图)(2024山东菏泽曹县期末,23,★★☆)(8分)如图,已知线段 a,∠α和∠β,求作△ABC,使∠ABC=∠α,∠ABC的平分线BD交AC于点D,BD=a,∠BDC=∠β(不写画法,保留作图痕迹).
解析 如图,△ABC为所求作. (2分) (8分)
22. (学科素养 模型观念)(2024山东聊城冠县期末,22,★★☆)(8分)分式方程应 用题:某市中考对于体育现场考试项目中的男生1 000米和女生800米的考核标 准调整为“达到良好即满分”,即男生达到4分05秒、女生达到3分55秒即可得 到满分.在一次计时跑步中,某班一名女生和一名男生的平均速度相同,且这名女 生跑完800米所用时间比这名男生跑完1 000米所用时间少56秒,按照该市中考 考核标准来看,这名女生能拿到满分吗?请说明理由.
解析 这名女生能拿到满分.理由如下:设这名女生跑完800米所用时间为x秒,则 这名男生跑完1 000米所用时间为(x+56)秒, (1分)根据题意,得 = , (4分)解分式方程,得x=224.经检验,x=224是所列方程的解,并且符合题意. (6分)因为3分55秒=235秒,且224<235,所以这名女生能拿到满分. (8分)
23. (学科素养 推理能力)(2024福建厦门期中,24,★★☆)(10分)如图,在△ABC 中,AP平分∠BAC,CP平分∠ACB,作PD⊥AB于点D,连接BP.(1)求证:BP平分∠ABC.(2)若△ABC的面积为15,AB=4,AC=4,BC=2,求PD的长.(3)当AB=7,BC=5,AC=8时,求BD的长.
解析 (1)证明:如图,过P作PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为E,F,因为AP平分∠BAC,CP平分∠ACB,PD⊥AB,所以PD=PF,PE=PF,所以PD=PE,所以BP平分∠ABC. (3分)(2)由(1)得PD=PE=PF,因为S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC= ×AB·PD+ ×BC·PE+ ×AC·PF= ×4×PD+ ×2×PD+ ×4×PD= ×PD×(4+2+4)=5PD=15,解得PD=3. (6分)(3)由(1)得BP平分∠ABC,所以∠PBC=∠PBA.在△PBE和△PBD中,
所以△PBE≌△PBD(AAS),所以BE=BD,同理可得CE=CF,AD=AF. (8分)设BD=BE=x,则AD=AF=AB-BD=7-x,CE=CF=BC-BE=5-x,所以AF+CF=7-x+5-x= AC=8,解得x=2,所以BD=2. (10分)
24. (学科素养 空间观念)(2024山东潍坊期中,23,★★☆)(14分)【数学探究】折纸是我国的传统文化,折叠的过程也是开发人类大脑智力以及逻辑思维的一 个过程.数学综合实践课上,老师组织同学们开展了一次折纸探究活动.(1)探究一:如图1,在一张长方形的纸片上任意画一条线AB,将纸片沿AB折叠,重 叠的部分△ABC一定是 三角形.(2)探究二:你能用一张长方形的纸片折出一个等边三角形吗?甲小组使用长方形纸片,操作如下:如图2,把长方形纸片ABCD的宽对折,展开,折痕记为EF,再将点D翻折到EF上的 点M处,使折痕过点A,折痕与CD的交点为G,展开,再沿GM折叠,展开,折痕与AB的 交点为H,则△AHG就是一个等边三角形.请说明这样做的道理.(提示:M是GH的
中点,说理时可直接使用)(3)探究三:你能用一张正方形的纸片折出一个等边三角形吗?乙小组使用正方形纸片,操作如下:如图3,把正方形纸片ABCD对折,展开,折痕为 EF,再将点A翻折到EF上的点H处,且使折痕过点B,展开,最后沿HC折叠,展开,得 到的△HBC就是一个等边三角形.请说明这样做的道理.【迁移应用】折纸也能为我们的数学学习提供解决问题的思路和方法.例如,如图4,在△ABC中,AB>AC,怎样说明∠C>∠B呢?小亮发现,利用折纸做一 个轴对称变换,得到一对全等的三角形,从而可将问题解决.(4)请画图并说明小亮的解题思路.
解析 (1)等腰. (2分)提示:如图,因为将纸片沿AB折叠,所以∠ABC=∠2,因为AC∥BD,所以∠1=∠2,所 以∠1=∠ABC,所以CA=CB,所以△ABC是等腰三角形. (2)易知∠AMG=∠D=90°,所以∠AMH=90°,在△AMG和△AMH中, 所以△AMG≌△AMH(SAS),所以AG=AH,∠GAH=∠MAH.由折叠得∠DAG=∠
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (新独家原创,★☆☆)在如图所示的运动图片中,属于轴对称图形的是 ( )
解析 D 根据轴对称图形的定义知D选项符合题意.故选D.
2. (2024山东潍坊诸城期中,2,★☆☆)如图,△ABC和△DFE全等,且∠A=∠D,AC 对应DE.若AC=6,BC=5,AB=4,则EF的长为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 无法确定
解析 B 因为△ABC和△DFE全等,∠A=∠D,AC对应DE,所以CB对应EF,所以 EF=BC=5.故选B.
3. (2024山东聊城阳谷期中,7,★☆☆)在△ABC中,若AB=AC=5,∠B=60°,则BC的 长为 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析 C 因为AB=AC=5,∠B=60°,所以△ABC为等边三角形,所以BC=AB=5.故 选C.
4. (2024山东东营广饶期中,2,★☆☆)下列运算中,错误的是 ( )A. = B. =-1C. = D. =
5. (2024山东聊城东昌府期末,8,★☆☆)若 = ,则 的值是 ( )A. B. - C. D.
6. (2024山东潍坊青州期中,5,★☆☆)如图,已知AE=AC,∠C=∠E,下列条件中,无 法判定△ABC≌△ADE的是 ( ) A. ∠B=∠D B. BC=DEC. ∠1=∠2 D. AB=AD
解析 D 在△ABC与△ADE中,AE=AC,∠C=∠E,若添加条件∠B=∠D,由 “AAS”可证△ABC≌△ADE,选项A不合题意;若添加条件BC=DE,由“SAS” 可证△ABC≌△ADE,选项B不合题意;若添加条件∠1=∠2,则∠1+∠DAC=∠2+ ∠DAC,即∠BAC=∠DAE,由“ASA”可证△ABC≌△ADE,选项C不合题意;若 添加条件AB=AD,不能证明△ABC≌△ADE,选项D符合题意.故选D.
7. (★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,BD平分∠ABC交AC于点D,则∠CDB等于 ( ) A. 65° B. 70° C. 75° D. 85°
8. (2023山东德州夏津期中,7,★★☆)在△ABC中,将∠B,∠C按如图所示方式折 叠,点B,C均落在边BC上的点G处,线段MN,EF为折痕.若∠A=80°,则∠MGE的度 数为 ( ) A. 50° B. 90° C. 40° D. 80°
解析 D 因为线段MN,EF为折痕,所以△MBN≌△MGN,△ECF≌△EGF,所以 ∠B=∠MGB,∠C=∠EGC.因为∠A=80°,所以∠B+∠C=180°-80°=100°,所以∠MGB+∠EGC=∠B+∠C=100°,所以∠MGE=180°-100°=80°.故选D.
9. (新考向 尺规作图)(2022吉林长春中考,7,★★☆)如图,在△ABC中,根据尺 规作图痕迹,下列说法不一定正确的是 ( ) A. AF=BF B. AE= ACC. ∠DBF+∠DFB=90° D. ∠BAF=∠EBC
解析 B 由题图中尺规作图痕迹可知,射线BE为∠ABC的平分线,直线DF为线 段AB的垂直平分线,所以AF=BF,∠BDF=90°,所以∠DBF+∠DFB=90°,选项A,C 正确,不符合题意;因为射线BE为∠ABC的平分线,所以∠ABF=∠EBC,因为AF= BF,所以∠ABF=∠BAF,所以∠BAF=∠EBC,选项D正确,不符合题意;根据已知条 件不能得出AE= AC,选项B不一定正确,符合题意.故选B.
10. (2024湖北荆门期末,9,★★☆)已知关于x的分式方程 =1,对于该方程的解,甲、乙两人有以下说法:甲:若方程的解是负数,则a<1;乙:当a>1时,方程的解是正数.关于甲、乙两人的说法,正确的是 ( )A. 甲、乙都对 B. 只有甲对C. 只有乙对 D. 甲、乙都错
解析 C 分式方程 =1的两边都乘x+1,得a=x+1,解得x=a-1.若分式方程有增根,则增根为x=-1,此时a=0.当方程的解为负数时,a-1<0,解得a<1,若要保证分式方 程无增根,则a≠0,因此当a<1且a≠0时,方程的解是负数,所以甲的说法是错误的; 当方程的解为正数时,a-1>0,解得a>1,经检验,当a>1时方程无增根,所以当a>1时, 分式方程的解为正数,所以乙的说法是正确的.故选C.
二、填空题(共6个小题,每小题3分,共18分)
11. (2023河北石家庄二十八中期末,19,★☆☆)若从分别写有x,x+1,x-1的三张卡 片中任选一个作为分式 的分子,使得分式为最简分式,则应选择写有 的卡片.
12. (★★☆)在平面直角坐标系中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对 称,已知点A1的坐标为(1,2),则点A2的坐标为 .
答案 (-1,-2)解析 因为点A与点A1(1,2)关于x轴对称,所以点A的坐标为(1,-2),因为点A(1,-2) 与点A2关于y轴对称,所以点A2的坐标为(-1,-2).
13. (★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在BC边上,DE⊥AB于点E,且 DC=DE,连接AD,则∠ADB的度数为 .
14. (2024北京人大附中期中,15,★★☆)如图,AD是△ABC的角平分线,∠B=2 ∠C,将△ABD沿AD所在直线翻折,点B在AC边上的落点记为点E,若AC=8,AB=5, 则BD的长为 .
答案 3解析 根据折叠的性质,可得BD=DE,AE=AB=5,∠AED=∠B.因为AC=8,所以EC= AC-AE=3.因为∠B=2∠C,所以∠AED=2∠C.因为∠AED=∠C+∠EDC,所以∠C =∠EDC,所以DE=CE=3,所以BD=DE=3.
15. (2024山东聊城阳谷期末,17,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足 分别是D,E,AD、CE交于点H,已知AE=CE=5,CH=2,则BE= .
答案 3解析 因为AD⊥BC,CE⊥AB,所以∠AEH=∠CEB=∠HDC=90°,所以∠EAH+∠EHA=90°,∠ECB+∠DHC=90°,因为∠EHA=∠DHC,所以∠EAH=∠ECB.在△AEH与△CEB中, 所以△AEH≌△CEB(ASA),所以BE=EH=CE-CH=5-2=3.
16. (★★☆)如图,平面直角坐标系中,点A(6,0),以OA为边作等边△OAB,△OA'B' 与△OAB关于y轴对称,M为线段OB'上一动点,则AM+BM的最小值是 .
答案 12解析 如图,连接A'M.因为△OA'B'和△OAB都是等边三角形且关于y轴对称,A(6, 0),所以∠A'OB'=∠AOB=60°,OA'=OB=6,所以∠B'OB=60°,因为OM=OM,所以△OMA'≌△OMB(SAS),所以A'M=BM,因为MA+MB=MA+MA'≥A'A,所以当点M与O 重合时,AM+BM的值最小,最小值为12,所以BM+AM的最小值为12.
三、解答题(共8个题,共72分)
17. (2024山东烟台牟平期中,20,★★☆)(8分)解关于x的分式方程:(1) = .(2) - =40.
解析 (1)去分母,得(x-1)2=x(x+1),解整式方程,得x= . (2分)检验:当x= 时,x(x-1)≠0,所以x= 是分式方程的解. (4分)(2)去分母,得7 200-4 800=60x,解整式方程,得x=40. (6分)检验:当x=40时,(1+50%)x≠0,所以x=40是分式方程的解. (8分)
18. (2024山东菏泽成武期末,18,★★☆)(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-3,4),B(-4,1),C(-1,2).(1)请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1.(2)求△ABC的面积.(3)在y轴上找一点P,使得△APC的周长最小,请画出△APC.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求. (2分)(2)△ABC的面积为3×3- ×3×1×2- ×2×2=4. (5分)(3)如图,取点C关于y轴的对称点C',连接AC',交y轴于点P,连接CP,此时AP+CP最 小,所以AP+CP+AC最小,即△APC的周长最小,则△APC即为所求. (8分)
19. (2024山东潍坊寒亭期中,18,★★☆)(8分)先化简 ÷ ,然后从-3
解析 (1)证明:因为∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠BED=∠BAC,所以∠ABE=∠CAF,同理得∠BAE=∠ACF. (2分)在△ABE和△CAF中, 所以△ABE≌△CAF(ASA). (5分)(2)EF+CF=BE. (6分)理由如下:因为△ABE≌△CAF,所以AE=CF,BE=AF.因为AE+EF=AF,所以CF+EF=BE. (8分)
21. (新考向 尺规作图)(2024山东菏泽曹县期末,23,★★☆)(8分)如图,已知线段 a,∠α和∠β,求作△ABC,使∠ABC=∠α,∠ABC的平分线BD交AC于点D,BD=a,∠BDC=∠β(不写画法,保留作图痕迹).
解析 如图,△ABC为所求作. (2分) (8分)
22. (学科素养 模型观念)(2024山东聊城冠县期末,22,★★☆)(8分)分式方程应 用题:某市中考对于体育现场考试项目中的男生1 000米和女生800米的考核标 准调整为“达到良好即满分”,即男生达到4分05秒、女生达到3分55秒即可得 到满分.在一次计时跑步中,某班一名女生和一名男生的平均速度相同,且这名女 生跑完800米所用时间比这名男生跑完1 000米所用时间少56秒,按照该市中考 考核标准来看,这名女生能拿到满分吗?请说明理由.
解析 这名女生能拿到满分.理由如下:设这名女生跑完800米所用时间为x秒,则 这名男生跑完1 000米所用时间为(x+56)秒, (1分)根据题意,得 = , (4分)解分式方程,得x=224.经检验,x=224是所列方程的解,并且符合题意. (6分)因为3分55秒=235秒,且224<235,所以这名女生能拿到满分. (8分)
23. (学科素养 推理能力)(2024福建厦门期中,24,★★☆)(10分)如图,在△ABC 中,AP平分∠BAC,CP平分∠ACB,作PD⊥AB于点D,连接BP.(1)求证:BP平分∠ABC.(2)若△ABC的面积为15,AB=4,AC=4,BC=2,求PD的长.(3)当AB=7,BC=5,AC=8时,求BD的长.
解析 (1)证明:如图,过P作PE⊥BC,PF⊥AC,垂足分别为E,F,因为AP平分∠BAC,CP平分∠ACB,PD⊥AB,所以PD=PF,PE=PF,所以PD=PE,所以BP平分∠ABC. (3分)(2)由(1)得PD=PE=PF,因为S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC= ×AB·PD+ ×BC·PE+ ×AC·PF= ×4×PD+ ×2×PD+ ×4×PD= ×PD×(4+2+4)=5PD=15,解得PD=3. (6分)(3)由(1)得BP平分∠ABC,所以∠PBC=∠PBA.在△PBE和△PBD中,
所以△PBE≌△PBD(AAS),所以BE=BD,同理可得CE=CF,AD=AF. (8分)设BD=BE=x,则AD=AF=AB-BD=7-x,CE=CF=BC-BE=5-x,所以AF+CF=7-x+5-x= AC=8,解得x=2,所以BD=2. (10分)
24. (学科素养 空间观念)(2024山东潍坊期中,23,★★☆)(14分)【数学探究】折纸是我国的传统文化,折叠的过程也是开发人类大脑智力以及逻辑思维的一 个过程.数学综合实践课上,老师组织同学们开展了一次折纸探究活动.(1)探究一:如图1,在一张长方形的纸片上任意画一条线AB,将纸片沿AB折叠,重 叠的部分△ABC一定是 三角形.(2)探究二:你能用一张长方形的纸片折出一个等边三角形吗?甲小组使用长方形纸片,操作如下:如图2,把长方形纸片ABCD的宽对折,展开,折痕记为EF,再将点D翻折到EF上的 点M处,使折痕过点A,折痕与CD的交点为G,展开,再沿GM折叠,展开,折痕与AB的 交点为H,则△AHG就是一个等边三角形.请说明这样做的道理.(提示:M是GH的
中点,说理时可直接使用)(3)探究三:你能用一张正方形的纸片折出一个等边三角形吗?乙小组使用正方形纸片,操作如下:如图3,把正方形纸片ABCD对折,展开,折痕为 EF,再将点A翻折到EF上的点H处,且使折痕过点B,展开,最后沿HC折叠,展开,得 到的△HBC就是一个等边三角形.请说明这样做的道理.【迁移应用】折纸也能为我们的数学学习提供解决问题的思路和方法.例如,如图4,在△ABC中,AB>AC,怎样说明∠C>∠B呢?小亮发现,利用折纸做一 个轴对称变换,得到一对全等的三角形,从而可将问题解决.(4)请画图并说明小亮的解题思路.
解析 (1)等腰. (2分)提示:如图,因为将纸片沿AB折叠,所以∠ABC=∠2,因为AC∥BD,所以∠1=∠2,所 以∠1=∠ABC,所以CA=CB,所以△ABC是等腰三角形. (2)易知∠AMG=∠D=90°,所以∠AMH=90°,在△AMG和△AMH中, 所以△AMG≌△AMH(SAS),所以AG=AH,∠GAH=∠MAH.由折叠得∠DAG=∠
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