数学七年级上册（2024）1 线段、射线、直线第2课时教学设计

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这是一份数学七年级上册（2024）1 线段、射线、直线第2课时教学设计，共6页。

解题大招一比较线段的长短
比较线段的长短除了直接观察法、度量法、叠合法这三种方法，有时候也会根据题目中给出的已知线段的数量关系，利用线段的和差去解决，如：已知线段ɑ，b的长，c是另一条线段，则有ɑ+c=b+c。
例1 （1）如图AB=CD，则AC与BD的大小关系是（ C ）
A.AC>BD B.AC（2）点C为线段AB的延长线上的一点，则下列各式中成立的是（ D ）
A.BC>AB B.AB>BC C.AB=BC D.AC>AB
【解析】如图，AB与BC的大小无法确定，
因为AC=AB+BC，所以AC>AB，故选D。
例2 体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ C ）
A.M B.N C.P D.Q
解题大招二线段的有关计算
1.利用和差关系直接计算线段的长
解决有关线段的长的问题时，常将其转化为其他线段的和差来求解。
例3 如图，C，D是线段AB上两点，AC∶BC=3∶2，点D是线段AB的中点，AB=30，求线段CD的长。
解：因为点D是线段AB的中点，所以因为AC∶BC=3∶2，所以12，所以CD=BD-BC=15-12=3。
2.利用分类讨论思想计算线段的长
当题目条件中没有图形，而有些条件的表述不明确时，通常要用到分类讨论思想，分类的标准就是“对不明确的地方的几种可能性进行分类”。
例4 已知两根木条分别长50cm，100cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，则两根木条的中点之间的距离是多少？
分析：
解：设较长木条为线段AB，较短木条为线段BC，AB的中点为点M，BC的中点为点N，则AB=100cm，BC=50cm。
因为AB的中点为点M，BC的中点为点N，
所以
当两根木条重合放置，即点C在线段AB上时，MN=BM-BN=25cm；
当两根木条拼接放置，即点C在线段AB的延长线上时，MN=BM+BN=75cm。
综上所述，两根木条的中点之间的距离是25cm或75cm。
教学目标
课题
第2课时比较线段的长短
授课人
素养目标
1.掌握几何事实：两点之间线段最短。能在相关情境中运用其解决实际问题，积累数学活动经验。
2.会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义，理解两点之间距离的意义，能度量和表达两点间的距离，发展学生几何直观感知能力、合情的推理能力以及探究意识。
3.能用尺规作图：作一条线段等于已知线段，培养学生动手操作的能力。
教学重点
线段的几何事实，线段的中点的概念以及线段的和、差，用尺规作线段，比较线段的长短。
教学难点
线段的和、差计算中所涉及的数学思想（如分类讨论思想）。
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：回忆旧知，新课导入
设计意图
借助具体实物的长短比较，为进入新课做铺垫。
【回顾引入】
我们在小学的时候已经会比较物体的长短了，比一比，下面两组学具中哪个更长？在对应的方框内打“√”。
（1）
（2）
比较上面两组学具的长短，我们直接观察就能轻松得出结论，你还有没有其他更严谨的比较方法呢？如果把它们抽象为线段，又该如何比较长短呢？让我们在接下来的学习中一起找寻方法吧！
【教学建议】
把现实生活中常见的物体的长短比较，转化为数学中线段的长短比较，引发学生思考。教师可通过多媒体教具展现更多生活中关于长短比较的实例，激发学生的探索热情。
活动二：交流合作，探究新知
设计意图
通过现实情境明确两点之间线段最短这一几何事实，并引入两点之间的距离这一概念，设置题目巩固学生的掌握情况。
探究点1 与线段有关的几何事实及两点之间的距离
问题1 如图1，现实生活中，为什么草地中间会被人走出一条“捷径”？
因为人们认为这是一条近路。
问题2 如图2，从A地到C地有四条道路，哪条路最近？
③最近。
概念引入：
1.与线段有关的几何事实：两点之间的所有连线中，线段最短。这一
事实可以简述为：两点之间线段最短。
2.我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。
注意：两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身。
【教学建议】
以人们在生活中每天都必须经历的活动——“走路”为背景，得到“两点之间线段最短”这一几何事实，学生更容易理解，在此基础上介绍两点之间的距离。
教学步骤
师生活动
例1 如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由。
解：为使A，B两地行程最短，应沿线段AB设计线路，如图所示。
理由：两点之间线段最短。
【对应训练】
1.把原来弯曲的河道改直，这种操作所蕴含的数学原理
是两点之间线段最短。
2.如图，直线MN表示一条河流，在河流两旁有两点A，B表示两块稻田，若要在河岸边某一位置开渠引水灌溉稻田，则在河岸哪个位置开渠可使水到两块稻田的距离之和最小？为什么？
解：如图，连接AB交直线MN于点P，在交点P处开渠可使得水到两块稻田的距离之和最小，依据的是“两点之间线段最短”。
【教学建议】
在解决有关路程、距离等最短的实际问题时，常将实物转化为点，进而利用“两点之间线段最短”来解决。教师鼓励学生仿照例题，自主完成解答，感受生活中处处有数学。
设计意图
结合实例引入线段长短比较的方法，分析叠合法比较两条线段长短的各种可能性，通过叠合法自然引入作一条线段等于已知线段的尺规作图，并辅以练习强化学生对于新知的掌握。
探究点2 比较线段的长短及尺规作图
问题1 下图中哪棵树较高？哪支铅笔较长？窗框相邻的两条边哪条较长？你是怎么比较的？
问题2 怎样比较两条线段的长短？与同伴进行交流。
（1）度量法：用刻度尺量出它们的长度，再进行比较。度量法举例如下：
注意事项：利用度量法测量时，一般采用相同的测量工具，单位要统一，精确度要一致。
（2）叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较。
叠合法示例如下：
注意事项：叠合线段时要注意两条线段的一个端点对齐（重合），另一个端点落在同一侧。
问题3 你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？
例2 （教材P115例题）如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB。
【对应训练】
教材P115随堂练习第1~3题。
【教学建议】
教学中鼓励学生先独立思考自己的方法，然后与同伴进行交流，最后归纳总结。注意提醒学生在比较不易直接观察的线段长短时，用叠合法或度量法均可，但用度量法会产生误差，不如前者精准。
【教学建议】
这是学生首次接触尺规作图，为降低难度，建议教师板书作图给学生做示范，并加以适当的引导，只要求学生能完成作图，并保留作图痕迹，不要求写作法。教师可跟学生明确尺、规各自的数学功能，学生如果对圆规使用不熟练，需引导学生正确使用圆规，并提醒学生作图后要标注字母，写出结果。
设计意图
引入线段中点的概念，并给出相关题目引导学生作图解答，加深理解。
探究点3 线段的中点
问题1 在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的两个端点重合，折痕与线段的交点是线段的什么位置？
中点位置。
问题2 将纸展平，对照图形，描述一下线段中点的概念。
概念引入：
如问题2图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点。
教师总结：
例3 （教材P115尝试·思考）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB=4cm，BC=3cm。如果点O是线段AC的中点，那么线段AC和OB的长度分别是多少？
解：作图如图所示。
由图可知，AC=AB+BC=4+3=7（cm），
因为点O是线段AC的中点，
所以OA=
所以OB=AB-OA=4-3.5=0.5（cm）。
所以线段AC和OB的长度分别是7cm，0.5cm。
【对应训练】
1.若点C是线段AB的中点，且BC=3cm，则AB的长是（ D ）
B.3cm D.6cm
2.［例3变式题］在直线l上取A，B，C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果点O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？
解：因为A，B，C三点不是在直线l上顺次取的，所以有两种情况：
第一种情况如图所示，点C在点A，B之间。
因为AB=5cm，BC=3cm，所以AC=AB-BC=5-3=2（cm）。
因为点O是线段AC的中点，所以OC=
所以OB=OC+BC=1+3=4（cm）。
第二种情况如图所示，点C在AB的延长线上。
依照例3思路可求得OB=1cm。
综上，线段OB的长度是4cm或1cm。
【教学建议】
在教学中应要求学生先根据问题中的语言描述画出相应的图形，然后根据图形中线段之间的关系进行推理和计算。教师可对规范的解题步骤进行板演，让学生感受和模仿，注意提醒学生：利用线段中点的性质可得到多条线段间的相等或倍数关系，所以对于同一条线段长度可能存在不同的求法，比如例3中也可以先计算出OC的长，再用OC-BC得到OB的长；还可以用AC-OA-BC得到OB的长。
活动三：综合演练，巩固提升
设计意图
本节课的知识点整合后在题目中呈现，有一定综合性，有利于学生对概念更好地吸收和掌握。
例如图，已知线段ɑ和射线AP。
（1）用圆规在射线AP上截取AB=3A（保留作图痕迹）；
（2）若点C为线段AB的中点，点D在射线BP上，且AD=4ɑ，请你画出图形，并求出C，D两点之间的距离（用含ɑ的代数式表示）。
解：（1）如图所示。
（2）如图所示。
因为点C为线段AB的中点，所以
所以CD=AD-AC=4ɑ-1.5ɑ=2.5ɑ。
又因为C，D两点之间的距离即为线段CD的长，
所以C，D两点之间的距离为2.5ɑ。
【教学建议】
学生分组交流合作完成解答，教师再集中讲评。题目具有一定的综合性，需要学生先自主画图，再进行推理或计算。注意求作线段的和或倍数时，是在射线上顺次同向截取已知线段（教师可向学生提问求作线段的差的步骤）。
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.你能举例说明“两点之间线段最短”这一事实吗？什么是两点之间的距离？
2.你会用几种方法比较两条线段的长短？具体怎么操作？
3.什么是尺规作图？你是否掌握了作一条线段等于已知线段的方法？
4.什么是线段的中点？线段的中点具有哪些性质？。
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P116~118习题4.1第3，4，5，8题。
板书设计
第2课时比较线段的长短
1.几何事实：两点之间线段最短。
2.两点之间的距离：两点之间线段的长度。
3.比较两条线段的长短：（1）观察法；（2）度量法；（3）叠合法。
4.尺规作图：作一条线段等于已知线段。
5.线段的中点的概念及性质。
教学反思
本节课首先通过选择最短路径的情境让学生感受和了解线段的性质，引出比较线段长短的必要性，然后在此基础上提供三组需要比较线段长短的实例，让学生充分思考和交流比较方法及策略，最后通过叠合法自然引出用尺规作线段以及线段的中点。通过本节课的学习，学生经历了识图、辨析、观察、猜测、验证等数学探究过程，锻炼了思维能力，提高了解决问题的积极主动性。