专题38 直线的方程8题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题38 直线的方程8题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共58页。试卷主要包含了直线的方向向量，直线的倾斜角，直线的斜率，直线方程的五种形式等内容，欢迎下载使用。


1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
4．直线方程的五种形式
常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．
一、单选题
1．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案.
【详解】经过两点的直线的斜率为，
因为直线的倾斜角大于等于小于，
故经过两点的直线的倾斜角是，
故选：D
2．（2024高二上·山东淄博·期中）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.
【详解】直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，
，所以.
故选：C.
3．（2024高二·全国·课堂例题）过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】D
【分析】根据题意结合斜率公式运算求解.
【详解】由斜率公式得，且直线的倾斜角是135°，
所以，即，解得．
故选：D.
4．（2024高二上·吉林白城·期中）直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两点间斜率公式得到.
【详解】，故那么直线l的斜率的取值范围为.
故选：B
5．（2024高三·全国·专题练习）函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围.
【详解】
设切线的倾斜角为，则，∵，
∴切线的斜率，则.
故选：B
6．（2024高三·全国·专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（ ）
A．1±或0B．或0
C．D．或0
【答案】A
【分析】根据三点共线的条件之斜率相等，可求得选项．
【详解】由题意知kAB＝kAC，即，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
故选：A．
【点睛】本题考查两点的斜率公式的应用，属于基础题．
7．（2024高三·全国·课后作业）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过定点，由此可得临界值，根据直线与线段相交可得的范围.
【详解】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，
，，
直线与线段相交，直线的斜率或.
故选：A.
8．（2024高二·全国·课后作业）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．
【详解】直线过定点，且，
由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，
解得，
故选：B．
9．（2024高二上·江西赣州·阶段练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：

依题意，，
要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
10．（2024高二·全国·课后作业）对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（ ）
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6）
D．斜率为的一条直线，且除去点（,6）
【答案】C
【分析】根据方程成立的条件知，故它表示的直线中要去除一点.
【详解】方程成立的条件知，
当时，方程变形为，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（,6），
故选:C
11．（2024高二上·北京海淀·期末）经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；
【详解】由倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即
故选：B
12．（2024高二上·天津滨海新·阶段练习）方程表示的直线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析直线的斜率及其在轴上的截距，由此可得出结果.
【详解】当时，直线的斜率，该直线在轴上的截距，
故选：A.
13．（2024高一下·四川德阳·阶段练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，，求出直线与两坐标轴的交点，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.
【详解】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
14．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜截式计算可得；
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为；
故选：C
15．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．120°D．150°
【答案】A
【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式k=tanθ可求得结果.
【详解】∵
∴
∴
又∵
∴
故选：A.
16．（2024高三·全国·课后作业）若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,1)B．(－1,2)
C．(－∞，0)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【答案】A
【详解】∵过点和的直线的倾斜角为钝角
∴直线的斜率小于0，即.
∴
∴
故选A.
17．（2024高三·全国·课后作业）直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论.
【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴且．
故选：A.
18．（2024高二上·湖北荆门·阶段练习）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为，得到，结合诱导公式和倾斜角的范围，即可求解.
【详解】由题意，直线方程，
设直线的倾斜角为，可得，
所以该直线的倾斜角为.
故选：B.
19．（2024·北京丰台·一模）已知A（2，3），B（﹣1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．﹣3
【答案】C
【分析】设Q（3,0），利用斜率计算公式可得：kQA，kQB．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设Q（3，0），则kAQ3，kBQ，
∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，
∴的取值范围是[﹣3，]，
故则的最大值为，
故选C．
【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．（2024高一下·湖南长沙·期末）直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可
【详解】设直线的倾斜角为，可得，
所以的取值范围为
故选：D
21．（2024高一下·四川达州·期末）已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】画出图形，由图可知，或，从而可求得答案
【详解】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，
所以由图可知，或，
因为或，
所以或，
故选：D
二、多选题
22．（2024高三·全国·专题练习）下列说法是错误的为（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示．
【答案】ABC
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合直线倾斜角的性质、直线两点式方程逐一判断即可.
【详解】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确；
当直线的斜率为，倾斜角为，故选项B不正确；
当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；
根据直线的两点式方程可知选项D正确，
故选：ABC
23．（2024高三·全国·专题练习）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）
A．k1＜k3＜k2B．k3＜k2＜k1C．α1＜α3＜α2D．α3＜α2＜α1
【答案】AD
【分析】根据直线图象的特征，结合直线斜率和倾斜角的概念，可直接得出结论．
【详解】如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，
则k2＞k3＞0，k1＜0，，α1为钝角，
所以k1＜k3＜k2，α3＜α2＜α1.
故选：AD．
24．（2024高二上·山东青岛·期中）若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，
求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；
综上知，所求的直线方程为、，或．
故选：ABC．
【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．
三、填空题
25．（2024高三上·上海宝山·阶段练习）已知直线，则与的夹角大小是 .
【答案】
【分析】先求出两直线的斜率，再利用两直线的夹角公式求解即可.
【详解】设直线与的夹角为（），
因为，
所以两直线的斜率分别为，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
26．（2004·重庆）曲线与在交点处切线的夹角是 ．（用弧度数作答）
【答案】
【分析】联立曲线方程求出交点坐标，利用导数分别求出两切线斜率，再由夹角公式求解即可.
【详解】由消元可得，，解得，
所以两曲线只有一个交点,
由可得，所以，
由可得，所以，
由直线的夹角公式可得，
由知，.
故答案为：
27．（2024高二·全国·课后作业）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ．
【答案】3
【分析】由题意设出底边所在直线的方程，再根据等腰三角形两底角相等，结合两直线的夹角公式即可得到，代入数据，解方程即可求出结果.
【详解】，，设底边为
由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，解得，
故答案为：3.
28．（2024·陕西咸阳·二模）直线恒过定点A，则A点的坐标为 ．
【答案】
【分析】将直线化简为，令，则，即可得出答案.
【详解】直线，
令，则，则直线恒过定点.
故答案为：.
29．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为 .
【答案】
【分析】
根据等差中项的性质得到，即可求出直线过定点坐标.
【详解】因为实数、、成等差数列，所以，即，
所以直线必过点.
故答案为：
30．（2008·江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程： ．
【答案】
【详解】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想．
事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．
31．（2024高二上·四川成都·期中）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，由题意可得，根据三角形的面积公式及基本不等式即可求解.
【详解】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则直线的方程为，
直线过点，，
，
，
，即，
当且仅当， 即 时取等号，
面积最小值为.
故答案为：.
32．（2024高二·江苏·专题练习）已知点P，Q的坐标分别为，，直线l：与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.
【详解】如下图所示，

由题知，
直线过点.
当时，直线化为，一定与相交，所以，
当时，，考虑直线的两个极限位置.
（1）经过，即直线，则；
（2）与直线平行，即直线，则，
因为直线与的延长线相交，
所以，即，
故答案为：
33．（2024高二上·黑龙江伊春·阶段练习）已知,，点是线段AB上的动点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据的几何意义即可求解.
【详解】如图所示：
因为,，
所以，，
，
因为点是线段AB上的动点，
所以.
故答案为：
34．（2024高二上·全国·专题练习）P(x，y)在线段上运动，已知，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可
【详解】表示线段上的点与连线的斜率，
因为
所以由图可知的取值范围是．
故答案为：
35．（2024高二上·山西晋城·期中）若某直线经过A（，），B（1，）两点，则此直线的倾斜角为 .
【答案】120°
【分析】利用斜率公式求得斜率，进而得到倾斜角.
【详解】直线的斜率,
故倾斜角，
故答案为：120°.
36．（2024高二上·山东日照·阶段练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是 ．
【答案】或.
【分析】分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法进行求解.
【详解】当截距为0时，设直线方程为，
将代入，可得，
所以直线方程为，
当截距不为0时，设直线方程为，
将代入，可得：，
所以直线方程为，
综上：直线方程为或.
故答案为：或.
37．（2024高二·全国·课后作业）设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为 条．
【答案】3
【分析】考虑坐标轴截距为0和不为0，设出直线方程，待定系数法求解直线方程.
【详解】当坐标轴截距为0时，设方程为，
将代入得：，所以方程为y=2x；
当坐标轴截距不为0时，设方程为，
则有，解得：，或，
从而方程为或
所以满足题设的直线l的条数为3条.
故答案为：3
38．（2024高一·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为 .
【答案】x＋13y＋5＝0
【解析】由中点坐标公式求得BC的中点坐标，再直线方程的两点式即可得到答案.
【详解】由B(3，－3)，C(0，2)，则BC的中点坐标为，
∴BC边上中线所在直线方程为，即x＋13y＋5＝0.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，属于基础题.
39．（2024高一下·湖南长沙·阶段练习）若点三点共线，则的值为 ．
【答案】4
【分析】由三点共线，可得共线，从而列方程求出的值.
【详解】解：因为三点共线，
所以共线，
又因为
所以，解得
故答案为：4
【点睛】此题考查三点共线，利用了向量进行了求解，属于基础题.
40．（2024·全国·模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为 ， .
【答案】
【分析】建立直角坐标系，由已知可设，根据图象结合正方形的性质可知，两条邻边所在直线的倾斜角分别为，，根据两角和与差的正切公式，以及直线的倾斜角与斜率的关系，即可得出答案.
【详解】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，
设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，
由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
故，
.
故答案为：；.
41．（2024高三·全国·专题练习）已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；
【答案】x－y－3＝0
【分析】通过直线倾斜角和斜率的关系，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【详解】由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，
故所求直线倾斜角为60°，斜率为，
故所求直线的方程为y-(－)＝，即x－y－3＝0．
故答案为：x－y－3＝0
42．（2024高三·全国·专题练习）经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为 ；
【答案】或．
【分析】根据题意，结合直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】由题意，可知所求直线的斜率为．又过点，
由点斜式得或．
故答案为：或
43．（2024高三·全国·专题练习）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 ．
【答案】
【分析】先求出两直线交点坐标，结合直线的方向向量得到直线斜率，得到直线方程.
【详解】联立，解得，
∴直线过点，
∵直线的方向向量，
∴直线的斜率，则直线的方程为，即．
故答案为：
44．（2024高三·上海·专题练习）已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】设点，，根据线段的中点在直线上可求得的值，根据线段的中点在直线上可求得的值，进而可得出点、的坐标，由此可求得直线的方程.
【详解】由题意可知，点在直线上，设点，则线段的中点为，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
点在直线上，可设点，则线段的中点为点，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线方程的求解，求出三角形的顶点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
45．（2024高二·全国·课后作业）已知直线l与直线的斜率相等，直线l与x轴的交点为，且a比直线l在y轴上的截距大1，则直线l的斜截式方程为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件求得直线的斜率和截距，从而求得正确答案.
【详解】由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为，
令，得，所以，得，
所以直线l的斜截式方程为．
故答案为：
46．（2024高三·全国·专题练习）已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ．
【答案】或.
【分析】先求出直线l所过的定点，再根据条件求解.
【详解】由直线得：，
令，解得，所以直线l过点，由题知，在x轴上的截距取值范围是，如图：
所以端点处直线的斜率分别为，

所以或；
故答案为：或.
四、解答题
47．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；
（2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）证明：直线的方程为：
提参整理可得：．
令，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令 则，
令．则，
直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
48．（2024高二上·北京怀柔·期中）已知直线经过点，为坐标原点．
(1)若直线过点，求直线的方程，并求直线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)如果直线在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程．
【答案】(1)；三角形面积
(2)
【分析】（1）由两点连线斜率公式可求得直线的斜率，由此可得直线方程；分别求得直线与两坐标轴交点坐标，进而得到所求三角形面积；
（2）设，由截距和为和直线过可构造方程组求得，由此可得直线方程.
【详解】（1）由题意得：直线斜率，直线方程为：，即；
当时，；当时，；
与两坐标轴围成的三角形面积.
（2）由题意知：直线在两坐标轴的截距不为，可设，
则，解得：，，即.
49．（2024高二上·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.
（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.
【答案】（1）( 或)；（2）最小值24；直线方程（或）.
【分析】（1）用待定系数法设出直线的截距式方程，可求出取得最小值时的方程；
（2）用待定系数法设出直线的点斜式方程，并用基本不等式可求得的最小值及此时的直线方程.
【详解】解：（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，
又知，所以时等号成立，
此时l直线的方程为，
即面积最小时直线l的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得，
此时直线的方程为，即.
故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是.
50．（2024高二上·江西吉安·阶段练习）过点的动直线交轴的正半轴于点，交轴正半轴于点.
（Ⅰ）求(为坐标原点)的面积最小值，并求取得最小值时直线的方程.
（Ⅱ）设是的面积取得最小值时的内切圆上的动点，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）已知动直线过点，可设点斜式，求出点和点的坐标，再表达出面积带斜率的表达式，再利用不等式求面积范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可将的内切圆方程求出来，由于是上的动点，可设，从而表达出关于的表达式，再利用圆的方程将代换为含有的表达式，再根据的范围求得的取值范围．
【详解】（Ⅰ）解：设斜率为，则得.
,
由，，.
（Ⅱ）面积最小时，，
直角内切圆半径，圆心为，
内切圆方程为
设，则，其中.
,当时，，当时，
的范围是
【点睛】已知直线过定点可设点斜式，根据题目条件列出表达式，再根据不等式的方法求最值问题．求表达式范围问题时通常代换成同一个自变量，再根据函数表达式的类型确定范围的求解方法，算的时候注意自变量的取值范围．
51．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）①的最小值为，；②.
【分析】（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解；
（2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算 的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程.
【详解】（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
52．（2024高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线经过定点P．
(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）将变形为，解方程组，即可证明结论；
（2）设直线l的倾斜角为，可表示出，即得的表达式，利用换元法，结合三角函数性质，求出当取最小值时参数的值，即可求得答案.
【详解】（1）证明：由可得：，
由 可得，所以l经过定点；
即直线l过定点,且定点在第二象限，
所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限．
（2）设直线l的倾斜角为，则，
可得，
所以，
令，
因为，可得，
即，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以，
故，所以，当且仅当时取等号，
此时，
可得，所以，
所以直线的方程为．
53．（2024高二上·上海杨浦·期中）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．

(1)若的面积为4，求直线l的方程；
(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）设直线l：，由直线过可得，，然后结合三角形的面积公式可得，从而可求；
（2），展开后结合基本不等式可求；
（3）由三点共线，可得|，然后结合向量数量积的坐标表示及基本不等式即可求解．
【详解】（1）设直线l：，由直线过可得，∴，
由可得.
所以直线l的方程为，即.
（2）设直线l：，则，
，
当且仅当时，即时取等号，
此时直线方程.
（3）设直线l：，∵三点共线，且，，
即，，
∴
|，
当且仅当时，即时取等号，此时直线方程．
54．（2024高三·全国·对口高考）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为、、，点在直线上运动，动点满足，求点的轨迹方程．
【答案】
【分析】设点、，求出直线的方程，可得出，利用平面向量的坐标运算可得出，代入等式化简可得点的轨迹方程.
【详解】解：设点、，直线的斜率为，
直线的方程为，即，
，，，，
由可得，
所以，，可得，
因为点在直线上，则，即，整理可得，
因此，点的轨迹方程为.
55．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线平行求出所在直线的斜率，然后代入点斜式写出所在的直线方程；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用平行四边形，推出与坐标关系，利用相关点法求点的轨迹方程即可.
【详解】（1），所在直线的斜率为：.
所在直线方程是，即；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由平行四边形的性质得点的坐标是，
是线段的中点，，，
于是有，，
点在线段上运动，
，
，即，
由得，
线段的中点的轨迹方程为.
56．（2024高二上·湖北咸宁·阶段练习）如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，或.
【分析】（1）设，，，根据向量相等得到方程组，利用整体思想消去参数，即可求出动点的轨迹方程；
（2）设，由得到，再结合（1）求出直线与圆的交点坐标，即可得解.
【详解】（1）解：设，，，
由，
，
又，
得：，
把①②代入上式得，即为点的轨迹方程.
（2）解：设，由，得，
又点满足，
联立得方程组，解得或.
故存在点满足条件，点的坐标为或.
57．（2024高二上·山东济南·期中）已知，，动点M与A，B两点连线的斜率分别为、，若，求动点M的轨迹方程
【答案】(且)或()
【分析】设，由已知条件，结合斜率的两点式可得，讨论、求轨迹方程.
【详解】设，则，，又，
∴，
当，且时，恒成立；当时，；
综上，M的轨迹方程为(且)或().
58．（2024高一下·全国·课后作业）在中，，求的平分线所在直线的方程.
【答案】
【分析】设为的平分线上的任意一点，先求出和边所在直线的方程，由点到直线的距离公式建立等式，求出直线的方程.
【详解】设为的平分线上的任意一点.
因为，
所以边所在直线的方程为，边所在直线的方程为.
由角平分线的性质得，
所以或，
即或.

由图形可知，即，
所以不合题意，故舍去.
故的平分线所在直线的方程为.
59．（2024高二·江苏·专题练习）已知动点C到两个定点的距离相等，求点C的轨迹方程．
【答案】．
【分析】利用列方程，化简求得的轨迹方程.
【详解】设C点坐标为由C到两个定点的距离相等，
则
两边平方，化简得，
所以点C的轨迹方程为．
60．（2024高三·全国·专题练习）已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.
【答案】
【分析】代入坐标，即可确定C的轨迹方程.
【详解】设，则，，
即，解得
即
【点睛】本题主要考查了由平面向量的坐标运算求参数，求动点的轨迹方程，属于中档题.
61．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为的中点，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设点，，，得到，，根据题意得的，，两式相加，即可求解；
（2）设，，得到，解得，，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】（1）设点，，，
因为点P为的中点，可得，，
又由，，
两式相加，可得，所以，即，
所以曲线C的方程为.
（2）根据题意，设，，
因为点为的中点，所以，解得，，
即，所以直线的方程为，整理得，
即直线的方程.
62．（2024高三·全国·专题练习）已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.
【答案】
【分析】设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点
求出点坐标，反解出点坐标，代入直线中即可求得的值
【详解】
则直线过定点
设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点
在中令，则，即
所以，
即，将其代入直线中可得
解之得
63．（2024高二上·江苏苏州·期中）已知直线.
(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；
(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.
【答案】(1)证明见解析，定点
(2)
【分析】（1）将直线l的方程改写为，令，且，解方程组即可.
（2）设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线，把B的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线的方程.
【详解】（1）证明：将直线l的方程改写为，
令，且，
两式联立，解得，，
所以直线过定点.
（2）如图，

设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，
设点A，B的坐标分别是，，
则有，，
又A，B两点分别在直线，上，
所以，，
由以上四个式子解得，，即，
所以直线AB的方程为.
64．（2024高三·全国·专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
【答案】
【分析】设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解.
【详解】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
65．（2024高一上·山东临沂·期末）已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
【答案】(1) 直线l恒过定点M（）;(2) 所求直线l1的方程为30x–33y+220=0．
【分析】（1）将题目所给直线方程展开，重新按来合并同类项，利用的系数为零、常数项为零，列方程组，解方程组求得定点的坐标.（2）设出直线的方程点斜式，求出横截距和纵截距，利用中点坐标公式求得中点的坐标，再代入直线方程可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.
【详解】（1）将直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0化为m（x+2y–3）+2x+y+4=0，
∴由题意，令，解得，
∴直线l恒过定点M（）．
（2）设所求直线l1的方程为y–=k（x+），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，
则A（–，0）B（0，）．
∵AB的中点为M，∴，解得k=．
∴所求直线l1的方程为y–（x+），
即30x–33y+220=0．
所求直线l1的方程为30x–33y+220=0．
【点睛】本小题主要考查中点坐标公式，考查直线恒过定点的问题，考查了运算求解能力，属于基础题.
66．（2024高二上·云南大理·期末）过点作直线，使它被两直线和所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程.
【答案】x＋4y－4＝0.
【详解】(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组xA＝，xB＝，∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即有＋＝0，解得k＝－.故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.
(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，∴设B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，
而A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)．
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
（一）
1.正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．
2.直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．
3.一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
题型1：求直线的倾斜角
1-1．（2024高二上·江苏无锡·期末）直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ．
【答案】/
【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可得出倾斜角.
【详解】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为，
则，所以.
故答案为：.
1-2．（2024高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角满足，则的取值范围是
【答案】
【分析】根据直线倾斜角的范围解不等式即可.
【详解】直线的倾斜角，
，
.
故答案为：
1-3．（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.
【详解】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.
故选：A
1-4．（2024·湖南·模拟预测）已知是直线的倾斜角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得.方法一，由可得，后利用二倍角余弦公式，两角和的正弦公式可得答案；
方法二，由可得间关系，后利用表示，即可得答案.
【详解】法一：由题意可知，（为锐角），∴，
法二：由题意可知，（为锐角）∴，
．
故选：B．
1-5．（2024高二下·上海黄浦·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么 .
【答案】1
【分析】
根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答.
【详解】
依题意，直线的斜率，又，则，解得，
所以.
故答案为：1
1-6．（陕西省渭南市白水县2023~2024学年高一上学期期末数学试题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直线恒过点，结合图象以及交点所在象限可得答案.
【详解】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为;
直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：B.
题型2：求直线的斜率
2-1．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
【答案】B
【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，点和点，可得，所以的方程为，
又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行.
故选：B．
2-2．（2024高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】B
【分析】利用斜率公式即可求解.
【详解】因为斜率为的直线经过点，
所以，解得.
故选：B.
2-3．（2024高二上·广东）如图，若直线的斜率分别为，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】解析 设直线的倾斜角分别为，
则由图知，
所以，
即．
故选：A
2-4．（2024高二下·广东广州·期末）在等差数列中，，直线过点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差数列通项的性质求出公差，即可求出通项公式，表示出，即可求出结果.
【详解】因为是等差数列，，
令数列的公差为，
所以，，
则，
所以，
则直线的斜率为.
故选：A
2-5．（2024高三·全国·专题练习）设 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造，结合上点与所成直线的斜率大小判断各式的大小关系.
【详解】构造斜率函数 ，即上点与所成直线的斜率，

由题设，构造的斜率都是正数，
由图象知：倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，
可得：，即.
故选：B
2-6．（2024·广东江门·一模）如图，的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】由题可得，
又，得，，得，
.
故选：C.
题型3：三点共线问题
3-1．（2024高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．2B．4C．8D．12
【答案】D
【分析】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可．
【详解】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得．
故答案为：D.
3-2．（2024高二上·黑龙江·期末）若三点，，共线，则实数的值是（ ）
A．6B．C．D．2
【答案】C
【分析】利用三点共线，任取两点所在的直线斜率相等即可.
【详解】因为三点，，共线，
所以，
可得：，
即，解得；
故选：C
【点睛】本题主要考查了两点所在直线的斜率公式，属于基础题.
3-3．（2024高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：因为三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，所以，即，所以=，故选C．
考点：本题主要考查三点共线的条件．
点评：综合题，首先利用三点共线的条件，得到a,b的关系，进一步求的值．
题型4：过定点的直线与线段相交问题
4-1．（2024高一下·浙江宁波·期中）已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【分析】求出直线所过定点坐标,设定点是,求出斜率,由图形可得结论.
【详解】由已知直线恒过定点,
如图所示,若与线段相交,则,

因为,
所以.
故选:D.
4-2．（2024高一下·广东惠州·期末）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
判断出直线 经过定点，分别求出，即可求解.
【详解】
由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为.
而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
要使直线与线段有公共点，只需.
故选 ：C.
4-3．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或或
【答案】C
【分析】求得直线恒过的定点，数形结合，即可求得参数的取值范围.
【详解】直线，即，其恒过定点，
根据题意，作图如下：
数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最小值，
当直线过点时，其斜率取得最大值，
故，解得.
故选：C.
（二）
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
题型5：求直线的方程
5-1．（2024高三·全国·专题练习）过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得，
所求直线的方程为，即．
故选：A
5-2．（2024高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.
【详解】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，
解得，此时直线方程为.
故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为，
则时，，时，，
由题意知，
解得或，即直线方程为或.
故选：
5-3．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.
【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.
故选：B
5-4．（2024高二上·福建漳州·期中）在中，若，，，则的角平分线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质，结合直线的两点式方程进行求解即可.
【详解】如图所示：
的角平分线所在直线与横轴的交点为，
由角平分线的性质可知：，
所以的角平分线所在直线的方程是，
故选：B

5-5．（2024高二·全国·课后作业）若直线l的方程中，，，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线的斜率及截距即可求解.
【详解】由，，，
知直线斜率，在轴上截距为，
所以此直线必不经过第三象限.
故选：C
（三）
1.（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说.
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式.在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏.
2.直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
题型6：直线与坐标轴围成的三角形问题
6-1．（2024高三·河北衡水·周测）若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为 ．
【答案】或
【分析】根据三角形的面积，结合直线的截距式方程进行求解即可.
【详解】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，
所以设直线方程为，因为该直线过点，
所以有，
因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，
所以有，或，
当时，，或，
当时，，此时方程为：，
当时，，此时方程为：，
当时，，
故答案为：或
6-2．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 .
【答案】x＋2y－4＝0
【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然存在，设(其中)求出坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程.
【详解】法一 设直线l：，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以，则≥，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，
当且仅当＝时取等号，此时a＝4，b＝2，
故直线l：，即x＋2y－4＝0.
法二 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)， ，B(0,1－2k)，
S△AOB＝ (1－2k) ＝≥ (4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－ ，即k＝－时，等号成立，
故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是求解与直线方程有关的最值问题，求解时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值，是中档题.
6-3．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)求的最小值及此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设直线，利用基本不等式可得，再结合三角形面积公式即得；
（2）由题可得，再利用基本不等式即求.
【详解】（1）设直线，且
∵直线过点
则
当且仅当即时取等号
所以的最小值为，
直线1即.
（2）由
∴，
当且仅当即时取等号，
∴此时直线,
故的最小值为9，此时直线l的方程.
6-4．（2024高三上·江苏无锡·开学考试）在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.
（1）当取得最小值时，求直线的方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）（2）12
【分析】（1）根据题意分别表示出PM，PN的长度，然后利用三角函数求出最值即可；
（2）列式表示出△MON的面积，利用基本不等式求出最小值．
【详解】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），

由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，
则，
所以当时，取得最小值，
此时直线的方程为；
（2）矩形OFPE面积为3×2=6，，
，
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为12.
【点睛】本题考查三角函数最值的应用及基本不等式的应用，用到基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件，属于中等题.
（四）
若直线与直线的夹角为，则.
题型7：两直线的夹角问题
7-1．（2024高三上·上海浦东新·期末）直线与直线所成夹角的余弦值等于
【答案】
【分析】先根据题意得到两直线的斜率，进而得到直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，则两直线的夹角为，再由同角三角函数的基本关系及两角和差公式计算可得.
【详解】直线，即，则其斜率为，倾斜角为；
直线，即，则其斜率，
设直线的倾斜角为，则，
又，所以，
所以，，而，
所以两直线的夹角为，
又因为，
则
所以，
故所求夹角的余弦值为.
故答案为：.
7-2．（2024高三·全国·课后作业）直线与直线相交，则这两条直线的夹角大小为 .
【答案】
【分析】根据两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】直线的斜率为，其倾斜角为钝角；
直线的斜率为，其倾斜角为锐角.
设这两条直线的夹角大小为，
则
，
由于，所以.
故答案为：
7-3．（2024高三·上海·专题练习）两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是 ．
【答案】
【分析】设出两直线夹角平分线所在直线的方程，根据到角公式即可求出．
【详解】因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且
由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．
∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查到角公式的应用，属于基础题．
（五）
解含有参数的直线恒过定点问题的方法
方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
题型8：直线过定点问题
8-1．（2024高二上·上海徐汇·期中）已知实数满足，则直线过定点 .
【答案】
【分析】根据题意化简直线方程为，联立方程组，即可求解.
【详解】由实数满足，可得,
代入直线方程，可得，
联立方程组，解得，
所以直线过定点.
故答案为：.
8-2．（2024高三上·福建南平·阶段练习）直的方程为，则该直线过定点 ．
【答案】
【分析】
转化等式对于参数恒成立，列式求解
【详解】即，令得，
直线过定点，
故答案为：
8-3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ．
【答案】13
【分析】
根据题意求点的坐标，再结合垂直关系运算求解.
【详解】对于直线，即，
令，则，则，可得直线过定点，
对于直线，即，
令，则，则，可得直线过定点，
因为，则，即，
所以.
故答案为：13.