专题30 数列求和5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题30 数列求和5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共94页。试卷主要包含了公式法，分组求和法与并项求和法，错位相减法，裂项相消法等内容，欢迎下载使用。


数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
(1)eq \f(1,nn＋1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
(3)eq \f(1,2n－12n＋1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(4)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
(5)eq \f(1,nn＋1n＋2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).
常用结论
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(nn＋12n＋1,6).
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(nn＋1,2)))2.
一、单选题
1．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）数列9,99,999，…的前n项和为
A．（10n－1）＋nB．10n－1
C．（10n－1）D．（10n－1）－n
【答案】D
【详解】试题分析：数列各项加1后得到的数列为10,100,1000，…，构成首项为10，公比为10的等比数列，所以通项公式为，故选：D
2．（2024高二下·湖北·阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【答案】B
【分析】
根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】根据等比数列的下标性质由，
∵函数，∴，
令，则，
∴，∴．
故选：B
3．（2024高三下·江西·开学考试）已知数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用裂项相消法求得，再由对任意的，不等式恒成立求解.
【详解】解：由，
则，
，
，
因为对任意的，不等式恒成立，
所以，
解得或，
故选：A
4．（2024·浙江）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当时，
则，当且仅当时等号成立，
，
由累乘法可得，且，
则，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
二、填空题
5．（2024高二下·江苏南京·期中）已知数列的项数为，且，则的前n项和为 ．
【答案】
【分析】根据倒序相加法求得，再根据二项式系数和公式即可求解.
【详解】因为，又，
所以
又因为，
所以，即.
故答案为：.
6．（2024高二上·湖北黄冈·期末）年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得数列是周期为的数列，结合周期性分析运算.
【详解】由数列，，，，，，，，，，各项除以的余数，
可得数列为，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以数列是周期为的数列，
一个周期中八项和为，
又因为，
所以数列的前项的和.
故答案为：.
7．（2024高二上·上海黄浦·期中）数列的前n项和为 .
【答案】
【分析】先利用等比数列前n项和公式得到，然后可直接求出前n项和.
【详解】观察数列得到，
所以前n项和
.
故答案为：.
8．（2024高三下·全国·开学考试）现取长度为2的线段的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆．所得半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，所得半圆的面积之和为，以此类推，则 ．
【答案】
【分析】先求得，然后利用错位相减求和法求得正确答案.
【详解】依题意，，
，
，
以此类推可知，数列是首项为，公比是的等比数列，
所以.
令，
则，
，
两式相减得

所以.
所以.
故答案为：
9．（2024高三·全国·对口高考）已知函数，则 ；数列满足，则这个数列的前2015项的和等于 .
【答案】 /1007.5
【分析】根据，化简即可，再利用倒序相加法即可求得答案.
【详解】由，
得，所以，
设数列前项之和为，
则，
，
两式相加得，所以，
即这个数列的前2015项的和等于.
故答案为：；.
10．（2024·江苏·模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为 .
【答案】
【分析】利用倒序相加法结合组合数的性质可求的前n项和.
【详解】设的前n项和为，则，
又，
故
，
故，
故答案为：.
11．（2024高三·全国·专题练习）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 ．
【答案】
【分析】先求出公比q，得到，直接用公式法求和.
【详解】解：设的公比为，
由，的各项和为9，可得，
解得，
所以，
，
可得数列是首项为2，公比为的等比数列，
则数列的各项和为．
故答案为：．
12．（2024·全国）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 .
【答案】 5
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；
故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，
设，
则，
两式作差得：
，
因此，.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
13．（2024·湖北·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 .
【答案】46
【分析】先证，由倒序相加法可得通项，然后可解.
【详解】因为函数的定义域为，
设是函数图象上的两点，其中，且，则有，
从而当时，有：，当时，，
，
相加得
所以，又，
所以对一切正整数，有；
故有.
故答案为：46.
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知数列的前n项和为，且，设函数，则 ．
【答案】/
【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．
【详解】∵①，
∴当时，②，
①－②得，∴；
当时，，∴，此时仍然成立，
∴．
∴当n=1时，；
当时，，
当n=1时，上式也成立，故．
由于，
设
则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和．
15．（2024高三上·河北·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和 ．
【答案】
【分析】根据可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，继而得的表达式，采用错位相减法可求得数列的前n项和.
【详解】由得，
，
由，
得，
故，
故，
所以，
则，
两式相减得：

故，
故答案为：
16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知，则 .
【答案】4042
【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..
【详解】由，令可得，，
且，
则，
所以，函数关于点对称，即
由已知，，
又
两式相加可得，
所以，.
故答案为：4042.
17．（2024高三·全国·对口高考）数列的前n项和 .
【答案】
【分析】根据等比数列的求和公式利用分组求和得解.
【详解】由题意，，
所以
故答案为：
18．（2024高二上·湖北黄冈·期末）已知的前项和为，，，则 .
【答案】
【分析】根据题意令和，代入整理可得，利用并项求和结合等差数列求和运算求解.
【详解】当时，则为偶数，为偶数，
可得，，
两式相加可得：，
故
，
解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题中出现，故应讨论的奇偶性，根据题意把相邻的四项合并为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对的处理.
三、解答题
19．（2024高一下·山西·阶段练习）已知数列，求数列的前项和.
【答案】.
【详解】分析：先求出的通项，再根据通项的形式选择合理的求法方法.
详解：因为，
∴

.
点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
20．（2024高三上·河北·期末）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数列递推式可得当时递推式，和已知等式相减即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消法求和，即得答案.
【详解】（1）由题意得，①
当时，，②
由①-②得，即，
又时，，满足上式，
综上，.
（2）由（1）可得，
故，
设数列的前项和为，
所以
.
21．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用与的关系式，即可得出结论；
（2）错位相减法求解数列的前项和.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，
所以，即，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，
因为①，
所以②，
由①-②得：
，
所以．
22．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知公差为正数的等差数列的前项和为，且成等比数列.
(1)求和.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件设出等差数列的公差，结合等比数列的性质列式求出公差，然后根据等差数列通项公式和求和公式即可得到答案；
（2）根据（1）中所求写出数列通项公式，然后结合裂项相消法进行求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，成等比数列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以.
23．（2024高三上·海南·期末）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的定义先证明再求解，
（2）由分组求和以及等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）由，得，
故，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，
所以，
故．
（2），
所以
24．（2024高一下·广东梅州·期末）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
(1)求通项公式
(2)设，求数列的前项和
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据等差数列求和公式、等差数列通项公式以及等比中项列式求出和可得结果；
（2）根据等比数列求和公式可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，
又成等比数列，所以，即，
整理得，得或，
若，则，，
若，则，得，，.
综上所述：或.
（2）若，则，；
若，则，.
25．（2024高三上·辽宁大连·期末）已知数列满足：.设.
(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）结合题意构造出，可得数列为等比数列，即可得的通项公式；
（2）由的通项公式得到，结合已知得到，即可得数列的前项和.
【详解】（1）由题意可知：，
，
故，
得，
故是以为首项，为公比的等比数列，
且，故；
（2）由（1）知，，即，
由题意知：，故，
故数列的前项和
.
26．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的前10项和.
【答案】(1)；
(2)707
【分析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可；
（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）由题意可知当时，
有，此时数列的奇数项成等差数列，
由题意可知，公差为2，则，
所以，（为奇数），
当时，有，
即此时数列的偶数项成等比数列，
由题意可知，公比为4，则，
所以，（为偶数），
综上.
（2）由上可知
27．（2024·云南红河·一模）已知等比数列的前n项和为，其中公比，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解，
（2）根据分组求和，结合等比求和公式即可求解.
【详解】（1）因为是等比数列，公比，所以，解得，
由，解得．所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
则
．
28．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)（或）
【分析】（1）由前项积定义可得，再由等差数列定义即可得出证明，并求得数列的通项公式为；
（2）利用裂项相消法求和，对的奇偶进行分类讨论即可得.
【详解】（1）由题意得当时，．
因为，所以，解得以．
当时，，即，因此．
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
可得．
所以．
（2）由题意知
．
当为偶数时，
；
当为奇数时，
．
所以（或）
29．（2024高三上·云南·阶段练习）已知数列满足：（），数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解；
（2）利用倒序相加法求和即可.
【详解】（1）当时，；
当时，①，
②，
①－②得：，
∴，当时，，
∴.
（2）∵，
∴
∴①，
②，
又∵∴①＋②得：
∴.
30．（2024高二下·江西萍乡·期末）已知函数关于点对称，其中为实数.
(1)求实数的值；
(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；
（2）根据倒序相加法，可得答案.
【详解】（1）由题知，即，
整理得，解得 ；
（2）由题知，，且，
则，
又，
故，
即.
31．（2024高三上·天津河北·期末）已知是等差数列，其公差不等于，其前项和为是等比数列，且.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记，求的前项和.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则和的通项公式可求；
（2）利用错位相减法求解出；
（3）先将的通项公式裂项为，然后采用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列的公比为，
，
，即，
整理得，
，，
.
（2），
设，
则，
将以上两式相减得：
，
.
（3），
.
32．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用之间的关系，再结合累乘法计算化简即可．
（2）表示出数列的前项和，利用错位相减法计算化简即可．
【详解】（1）结合题意：因为①，
当时，②，
所以①-②得，即，
所以，
当时，上式也成立.
故的通项公式．
（2）记，由（1）问，
所以，
即，
所以，
所以③-④得，
即，整理得：．
33．（2024高三上·全国·期末）数列为等差数列，为等比数列，公比.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式，建立方程组，可得答案.
（2）利用错位相乘法，可得答案.
【详解】（1）设等差数列得公差为d，联立，即，
解得，或，又，所以，
故，
（2）令，
则，
两边乘以得，，
错位相减整理得，，
所以.
34．（2024·吉林白山·一模）已知等比数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和记为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解；
（2）根据错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为.
由已知，且，得，即（*）
易观察，2是（*）方程的一个根，∴，
又恒成立，
∴，又，
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
，
以上两个式子相减得，，
∴.
35．（2024·全国·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列．
(1)求证：；
(2)记的前n项和为，对任意，，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由数列是等差数列，得到；由数列是等比数列得到解出或，再验证两结果即可证明；
（2）表示出，用错位相减法求出，再结合简单放缩可求出范围.
【详解】（1）因为数列是等差数列，所以．
因为数列是等比数列，所以，，且．
消去，得．所以或．
若，则，且数列的公差，
所以，即，矛盾．
所以．
（2）由（1）得数列的公差为，首项为．
所以，，所以．
两边同时乘以，得．
两式相减，得．
所以．
由，，易得，所以，单调递增，．
又，所以，即．
所以且，解得．
故的取值范围是．
36．（2024高二上·湖南张家界·阶段练习）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．
(1)求与通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过求首项、公差、公比来求得与通项公式.
（2）利用裂项求和法来求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，则；
，由于，则，
故解得，则.
（2），
所以.
37．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出公比，继而求出首项，即可求得答案；
（2）结合（1）求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项相消法求和，即可得答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，所以，
因为，所以；
因为，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，，
，
故.
38．（2024·新疆·一模）非零数列满足，且．
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）对已知条件因式分解可得，根据等差数列定义可证；
（2）利用累乘法求得，然后由裂项相消法可得.
【详解】（1）由，
得对于恒成立，
所以，即，
所以，
而，故，
所以数列是以1为公差，为首项的等差数列.
（2）由（1）知，，即，
整理得，
由累乘法得，即，
又，所以，
则，
所以.
39．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，
(1)求
(2)求
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合
等差数列的定义和通项公式求出.
(2)由第一问的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果
【详解】（1）根据题意可得，当时，，解得，
由，代入得，整理后得
，即，根据等差数列的定义可知，数列
是首项为1，公差为1的等差数列，则，
（2）由(1)可知，
，
40．（2024·广东广州·模拟预测）设数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据求得.
（2）根据分组求和法求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，
当时，，
当时，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，也符合.
所以.
（2）由（1）得，所以
.
41．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列的前n项和为，，（）.
(1)求的通项公式；
(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数列递推式求出，判断是以为首项，为公比的等比数列，即可求得答案；
（2）求出的表达式，可得的表达式，利用分组求和法，结合等差等比数列的前n项和公式，即可得答案.
【详解】（1）由题意可得（），两式作差，得（），
则（），
当时，，即，将代入，
解得，则，适合（），
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1得），.
故
.
42．（2024·四川攀枝花·二模）已知数列满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题中递推公式化简得到，从而求解.
（2）由（1）中结论得，然后利用分组并项求和，从而求解.
【详解】（1）数列满足,整理得：，
所以，即
又，
故是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，，
所以
．
．
43．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，得数列以为首项以3为公比的等比数列，由等比数列求通项即可.
（2）利用数列分组法求和即可得.
【详解】（1）当时，，得，
当时，
，
所以，变形得，即，
数列以为首项以3为公比的等比数列，
所以，即
（2）由，所以，
所以
.
44．（2024高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公差为的等差数列，是的前n项和，．
(1)若，且，求数列的通项公式；
(2)若，数列的首项为，满足，记数列的前n项和为，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列通项列式，求出公差即可求出通项公式.
（2）利用等差数列通项列式，求出的关系，利用构造法求出数列的通项，再借助分组求和即得.
【详解】（1）由数列是等差数列，，得，则，
所以数列的通项公式为：．
（2）因为数列是等差数列，且满足，
则，
又，则化简得：，于是，
由，得，而，
因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
则，即，所以.
45．（2024高三上·广东东莞·期末）数列的前n项积为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前2n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系分析求解；
（2）由（1）可得，结合分组求和法运算求解.
【详解】（1）因为，
若，则；
若，则；
且符合，
综上所述：数列的通项公式.
（2）由（1）可知：，
可得
，
所以.
46．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先构造数列是等比数列，求数列的通项公式，再代入条件，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）的结果可知，数列的通项公式，并变形为，再讨论为奇数和偶数，采用累加法求和，最后结合数列的单调性，即可证明.
【详解】（1）由，则．又，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．
所以．
（2）因为，
所以，
所以．
当为奇数时，．
当为偶数时，是递增数列，所以．
综上，
47．（2024高二下·福建厦门·阶段练习）数列的前项和为，数列的前项积为，且．
(1)求和的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由退位相减法即可求得的通项公式；由即可求得的通项公式；
（2）先求出，当时，由分组求和及等差、等比求和公式求得前项和；当为奇数时，由求解即可.
【详解】（1）当时，，当时，，
所以，因为，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
当时，，当时，，时也符合，所以．
（2）由（1）知，，所以，当即为偶数时，
，即；
当为奇数时，，所以．
48．（2024高三上·云南德宏·阶段练习）已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中已知条件，得出时，此两式作差整理即可得到所满足的关系，从而可求出数列的通项公式得到所求；
（2）根据数列的通项可知利用错位相消法进行求和，从而可求出数列的前项和.
【详解】（1）∵，当时，，∴，
当时，，①
，②
①-②得即，
∵，∴，∴，
∴是以首项为2，公比为2的等比数列，
则，∴；
（2）由上可知： ，
所以，
，
∴，
∴.
49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知数列是递增的等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意结合等比数列性质求出的值，即得公比，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案.
【详解】（1）因为数列是递增的等比数列，所以，
所以,解得，所以公比，
所以.
（2）由（1）知，，
所以
.
50．（2024·四川绵阳·二模）已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）设数列的公差为，根据题中条件列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）的结果，利用裂项相消的方法，即可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为,
由题意得:解得:，
所以的通项公式为，
即.
（2）令，则，
即
整理得：.
51．（2024高三·全国·专题练习）仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层盒，第二层盒，第三层盒，第四层20盒，第五层30盒，，请你寻找至少两个堆放的规律．
【答案】，
【分析】通过观察堆垛方式，根据通项公式以及分组求和法求得正确答案.
【详解】设．
按这个规律应有
从正面看，方格个数为，侧面方格个数为，都按自然数方式增长．
层堆放总数：
．
52．（2024·广东广州·三模）已知正项数列和为数列的前项和，且满足，
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
【答案】（1），；（2）11302．
【分析】（1）由，利用得出数列的递推式，得数列是等差数列，求得后可得通项公式，再计算出；
（2）先看数列中前100项内有多少项是中的项，从而可以确定中前100项的最后一项是中的第几项，其中含有中的多少项，从而求得．
【详解】（1）因为，
所以时，，
两式相减得，，
因为，所以，
又，，所以，所以，
，；
（2），又，，因此，
所以．
【点睛】易错点睛：本题考查由求数列的通项公式，考查分组求和法．在应用公式求时要注意，即不包含，需另外计算，同样如果求得的是递推式，也要确认递推式是否是从开始的，否则需要要验证含有的项是否符合表达式．
53．（2024·湖南岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出公比，，直接写出等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）得，分组求和即可，注意分类讨论的思想.
【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时；
综上所述：.
54．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项的和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将代入可求出，从而进出，故可求出；再由等差数列的前项和求出，代入可求出，再由等比数列的前项和求出，，进而求出；
（2）由（1）求出，再由分组求和法求出数列的前项的和.
【详解】（1），解得：
设等差数列的公差为，等比数列的首项为，公比为
，，
，则：
又，得：
（2）
数列的前项的和：.
55．（2024高三下·湖南常德·阶段练习）已知数列，，为数列的前n项和，，若，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，令为的前n项的和，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）对已知条件因式分解后结合等比数列的性质得出的通项公式，先证明为等差数列，进而得出的通项公式；
（2）求出的通项公式，再由错位相减法得出.
【详解】（1）解：，
因为，所以，
又，所以是公比为2，首项为2的等比数列，
，，
，
综上，是公差为1，首项为1的等差数列，
．
（2）解：令，
①②，得，
，
．
56．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的公比，前n项和为，满足：.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：利用等比数列的通项公式和前项和公式得到关于基本量的方程组，解之即可求得；
法二：利用等比数列的性质和前项和公式依次转化得到关于的方程组，解之即可求得；
（2）分类讨论的通项公式，注意当为偶数时，为奇数，从而利用分组求和法可求得.
【详解】（1）法一：
因为是公比的等比数列，
所以由，得，即，
两式相除得，整理得，即，
解得或，又，所以，故，
所以，
法二：因为是公比的等比数列，
所以由得，即，则，，解得或（舍去），
故，则，所以.
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
57．（2024·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先求出，然后将的换成，与原式相减可得，从而可得即可证明，求出通项公式， 再分组可求和.
（2）先求出，可得出，裂项相消法求和，可证明.
【详解】（1）当时，，即
由，则
两式相减可得，即
所以，即
数列为等比数列
则，所以
则
（2）
所以
58．（2024·浙江宁波·模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求的值：
(2)求数列的通项公式：
(3)证明：对一切正整数，有.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）令解方程可得答案；
（2）利用可得答案；
（3）令，利用裂项相消可得答案.
【详解】（1）令，，则舍去，
所以.
（2），
因为数列各项均为正数，舍去，
，当时，
，
（3）令
，
所以
59．（2024高三上·天津和平·阶段练习）已知为等差数列，前n项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，．
(1)和的通项公式；
(2)求数列的前8项和；
(3)证明：．
【答案】(1)的通项公式为，的通项公式为；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由等差数列、等比数列的通项公式和求和公式建立方程组，求解即可；
（2）运用错位相减法可求得答案；
（3）由（1）得，证明当时，当时，不等式成立；当时，，运用不等式放缩法和裂项求和法可得证.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以．
由，可得①．由，得②，联立①②，解得，由此可得．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（2）解：设数列的前n项和为，由，得，所以
，
，
上述两式相减，得
．
得．
所以，数列的前n项和为
当时，．
（3）解：由（1）得，所以：
当时，，不等式成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，
所以，
，
所以，得证．
60．（2024·河北沧州·模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前18项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及等差数列的通项公式，再利用前n项和公式即可求解；
（2）根据（1）知，进而求出，根据已知条件及三角函数的诱导公式，再利用并项求和法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为．则
，解得.
故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，
所以.
因为当时，，
．
所以数列的前18项和为.
61．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的递推公式，变形并换元，利用累加法求通项作答.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）由，得，
令，有，，
当时，，
又满足上式，于是，则，
当时，，
又满足上式，因此，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
62．（2024·安徽合肥·模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以为公比为的等比数列，
又，
所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
63．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项；
(2)设为数列的前项和，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由两边取对数，可得，进而得到数列为等比数列，公比为2，从而求解；
（2）由，再由变形得，可得，求和可得，进而得证.
【详解】（1）由，且，则，
所以，而，
即，所以数列为等比数列，公比为2，
所以，所以.
（2），
由得，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以
，
因为，所以.
64．（2024·江西南昌·三模）已知是数列的前项和，满足，且.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用化简式子得到，利用累加法即可求解；
（2）先由得，再求出，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为，显然，
所以，即，
所以
，
所以，又当时，也满足，所以.
（2）由（1）知，则当时，，
又也满足，所以，
则，
则.
65．（2024·山东烟台·三模）已知数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把题干条件等价变成，然后用累加法进行求解；
（2）结合特殊的三角函数值，利用分组求和进行求解.
【详解】（1）由得，，
所以时，，
故，又，则，当时，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因为，
于是，
所以，．
故数列的前项和为．
66．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系及与的关系化简得出，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法求出，再解不等式即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以，即.
又因为，所以，
所以.
（2）因为，
所以
令，得，
所以集合中元素的个数为.
67．（2024·福建厦门·模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得的通项公式；
（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得.
【详解】（1）证明：因为，所以，即
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以；
（2）
.
68．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系求通项；
（2）先求出，再用裂项相消法求.
【详解】（1）由已知①，
当时，，即，解得，
当时，②，
①②得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）因为，
所以
.
69．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）设公差为，利用等差数列的前n项和的公式求解；
（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：设公差为，
由题意得
解得∴.
（2）由（1）知，
∴，
.
∵，
∴.
70．（2024·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1且满足，数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+1=3bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和Sn；
(3)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求数列{cn}中前50项的和T50.
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；
（2）根据等差等比数列的求和公式求解即可；
（3）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可．
【详解】（1）由
得：
∵
是首项，公差为2的等差数列
∴
又当时，得
当，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
（2）
（3）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；
∴．
71．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两边取倒数，构造函数可得，进而可得是，的等比数列，从而求得通项公式；
（2）根据题意逐个项判断、...之间的3个数，再分析组成项求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，取倒得，
所以，即，即，
因为，所以是，的等比数列，
所以.
（2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3，
合计个3，
所以.
72．（2024高三上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用，求出值即可得到的通项公式；再由题意得，结合可求出值，进一步可得的通项公式；
（2）由，利用等比数列求和公式，结合分组求和即可求出．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
因为，所以，解得，所以，
由题意知：，因为，所以，
解得，所以；
（2）由（1）得，
.
73．（2024·广东广州·模拟预测）设数列的前项和为，已知，且数列是公比为的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求其前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求出，则，两式相减化简变形可得，从而得数列是以为首项，以3为公比的等比数列，进而可求出通项公式；
（2）方法一：设，整理后与比较求出的值，则，然后利用裂项相消法可求得结果；
方法二：利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以由题意可得数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，
两式作差得：，
化简得：即，
所以，
所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
（2）方法一：
设，
则有，比较系数得，
所以
所以，
所以，
所以.
方法二：
因为，
所以，
所以，
所以
，
所以.
74．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列的首项为1，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为前项的和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，利用数列的通项和前n项和的关系求解；
（2）由（1）得，进而得到，再利用错位相减法求解.
【详解】（1）解：因为，
所以.
两式作差得，
整理得.
令，得，故对任意都成立.
所以的首项为1，故，所以是公比为2的等比数列.
所以的通项公式是.
（2）由（1）得，
所以.
所以.
又，
作差得，
，
.
75．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式；
（2）分和利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）由，则，
两式相减得：，
整理得：，
即时，，
所以时，，
又时，，得，也满足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
记，设数列的前项和．
当时，；
当时，
综上：
76．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．
【答案】(1)
(2)682
【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，然后根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式列方程组可求出，从而可求出数列，的通项公式；
（2）设数列的第项与数列的第项相等，则可得，，，得，然后可列举数列的前5项，从而可求得结果.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为
则，解得，
所以，
因为，
所以，则，
所以，
因为，所以，，
所以．
（2）设数列的第项与数列的第项相等，
则，，，
所以，，，
因为，，
所以当时，，当时，，则，当时，，
当时，，则，当时，，
当时，，则，当时，
当时，，则，当时，
当时，，则，
故的前5项之和．
77．（2024高三·全国·专题练习）求和．
【答案】
【分析】先求的通项公式，再由分组求和法求解
【详解】∵
，
∴．
78．（2024·天津津南·模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可；
（2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
当为奇数时，则，
设，
则，
两式相减得
，
所以；
当为偶数时，则，
设，
所以；
综上所述：，
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：.
79．（2024·天津）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
80．（2024·天津·一模）已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求证：.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，可得，，即可求得的通项公式；当时，得到，当时，利用，可判断为首项为3，公比为3的等比数列，即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求解即可；
（3）由（1）结合等比数列的前项和公式可得.
方法一：由可得，利用错位相减法求得，进而证明；
方法二：结合二项式定理可得，根据不等式的性质可知，再利用错位相减法求解，即可证明；
方法三：用分析法证明，再结合等比数列的前项和证明即可.
【详解】（1）数列是等差数列，设公差为d，
，
化简得，
解得，，
∴，.
由已知，
当时，，解得，
当时，，
∴，，
即，
∴数列构成首项为3，公比为3的等比数列，
∴，.
（2）由（1）可得，，
∴，
∴
（3）由（1）可得，，
则，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴，
∴
方法二：
∵时，
，
根据“若，，则”，可得，
∴，
令，
，
两式相减可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法证明“”
要证，即证，
即证，
即证，
当，显然成立，
∴，
∴
【点睛】证明数列不等式，放缩法是其中一种重要的方法，放缩的目的是为了转化为等差数列，等比数列及相关数列，则可利用公式进行求解，需注意放缩的范围不能过大.
（一）
分组求和
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
题型1：分组求和
1-1．（2024·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用项与和的关系即可求解；
（2）先确定数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，再利用分组求和的方法即可求解.
【详解】（1）当时，，解得（舍去），
由得时，，
两式相减得，
因为，所以，
所以是等差数列，首项为4，公差为3，
所以；
（2）由于，
因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，
所求和为.
1-2．（2024高二上·全国·课后作业）在数列中，已知，．
(1)求证：是等比数列．
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过凑配法证得是等比数列.
（2）利用分组求和法求得.
【详解】（1）由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得.
所以
.
1-3．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求数列的前2n项和.
【答案】(1).
(2)
【分析】
（1）根据的关系即可得递推关系，进而可求解，
（2）根据分组求和，结合等差等比的求和公式即可求解.
【详解】（1）当时，由且得
当时，由得，所以.
所以，故，
又当时，，适合上式.
所以.
（2）因为， ，
所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.
故数列的前2n项的和，

所以数列的前2n项和为.
1-4．（2024高三上·贵州贵阳·期末）已知数列和满足：，，，，其中．
(1)求证：；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件可推导出数列为常数列，数列为等比数列，求出这两个数列的通项公式，可求得数列的通项公式，即可证得成立；
（2）由（1）可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.
【详解】（1）证明：因为①，②，
①②可得，且，
所以，数列为常数列，且③，
①②可得，且，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，④，
③④可得，则，
所以，.
（2）解：由（1）可知，，
则
.
题型2：并项求和
2-1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和与项的关系可得，由可得，再利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据的周期性，利用分组求和的方法即可求解.
【详解】（1），
当时，，两式子作差可得
，
又，所以，
可得数列为公差为2 的等差数列，
当时，，
所以，数列的通项公式为.
（2），
，
所以，数列的前项和.
2-2．（2024·河南·三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
【答案】(1)；
(2)40或37．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.
（2）由（1）的结论求出，再分奇偶求和作答.
【详解】（1）设的公比为q，由，得，解得，
由，，成等差数列，得，即，解得，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，，
当k为偶数时，，令，得；
当k为奇数时，，令，得，
所以或37.
2-3．（2024·江西·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前30项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出和，可得通项公式；
（2）先求出，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.
【详解】（1）设公差为，则，解得，，
所以.
（2），
所以，
所以
.
2-4．（2024高三·北京海淀·专题练习）已知数列的前项和为，则 ．
【答案】36
【分析】根据条件分奇偶项讨论得，计算求和即可.
【详解】由题意可得为奇数时，，
两式相减得；
为偶数时，，两式相加得，
故.
故答案为：36
（二）
错位相减法求和
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
题型3：错位相减法求和
3-1．（2024·广东东莞·三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过题中关系，可得，进而可得数列是以为首项，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，，则，可利用分组求和与错位相减求和解题.
【详解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
（2）由（1）知，∴，
∴，
设，则，
两式相减得，
从而
∴.
3-2．（2024·西藏日喀则·一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）将、代入求，根据关系及递推式可得，再次由关系及等比数列定义写出通项公式；
（2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求结果.
【详解】（1）由题意①，
当时；当时；
当时，②，
①－②得，
当时，也适合上式，所以，所以时，
两式相减得，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，
③，
④，
③－④得：，
所以 .
3-3．（2024高三上·山东济南·期末）设数列 ​的前​项和为​，且​; 数列​为等差数列，且​.
(1)求数列的通项公式.
(2)若 ​，求数列的前项和​.
【答案】(1)​
(2)
【分析】（1）利用前项和和通项公式的关系来解.
（2）使用错位相减法解数列前项和.
【详解】（1）当时，，得.
当时，两式相减有
即.
因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
则.
所以数列的通项公式为.
（2）在等差数列中，设首项为公差为，
则解得
所以.
则
①
②
所以①②得
即
解得
3-4．（2024高三下·广东茂名·阶段练习）已知数列满足且
(1)若存在一个实数，使得数列为等差数列，请求出的值；
(2)在（1）的条件下，求出数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据等差数列的定义，得出必为与无关的常数，即可求解；
（2）由，且，结合（1）求得数列的通项公式，再利用“乘公比错位相减法”和等差数列的性质，即可求解.
【详解】（1）假设存在实数符合题意，则必为与无关的常数.
因为.
要使是与无关的常数，
则，可得.
故存在实数，使得数列为等差数列.
（2）由，且，
由（1）知等差数列的公差，
所以，即，
所以
记：，
有，
两式相减，得，
故.
（三）
裂项相消法的原则及规律
(1)裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
题型4：裂项相消法求和
4-1．（2024高二下·云南临沧·期中）设数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)记，数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，利用推出，由等差中项法得为等差数列，根据与求出公差，可得通项公式；
（2）根据进行裂项求和可求出结果.
【详解】（1）由，
当时，，解得，
当时，，
所以，
整理得：，①
所以有，②
①-②可得，
所以为等差数列，
因为，所以公差为，
所以.
（2），
∴
.
4-2．（2024·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据数列递推式可得，采用两式相减的方法可得，从而构造数列，可求得的通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，利用裂项求和法，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
4-3．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，．
(1)求；
(2)若，为的前n项和，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造新数列，构造等比数列可得计算可得.
（2）先根据（1）得出，再根据得出一侧边界，最后放缩后应用裂项相消计算证明即得
【详解】（1）
而，是公比为首项为的等比数列，
,
.
（2）,,,
，
，
.
4-4．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知是数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系求解即可；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）时，，
时，
经验证时满足，
；
（2），
.
4-5．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和与项的关系求得，进而判断数列是等差数列，从而利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）求得，进而，最后利用裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，
因为对也成立.
所以，所以数列是等差数列，
则公差，
故.
（2）因为，
所以，
故.
（四）
倒序相加法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
题型5：倒序相加法
5-1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数，，．则数列的前n项和 ．
【答案】
【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求.
【详解】由题设，，
所以，
即且n ≥ 2，
当时，，
当时，，
所以，
故答案为：.
5-2．（2024高三·全国·课后作业）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 .
【答案】11
【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.
【详解】因，
设，则，故.
故答案为：11
5-3．（2024·广西玉林·三模）已知函数，若函数，数列为等差数列，，则 ．
【答案】44
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】由题意，可得，
设等差数列的前项和为，公差为，
则，解得，
则，根据等差中项的性质，可得，
则
，
同理可得，，，，，
∴．
故答案为：