专题40 圆的方程9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

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这是一份专题40 圆的方程9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共64页。试卷主要包含了圆的定义和圆的方程，圆心在任一弦的垂直平分线上等内容，欢迎下载使用。

1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
一、单选题
1．（2024高三下·广西·阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线过圆心代入求解即可.
【详解】由题意得，圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过圆心，即，解得.
故选：D
2．（2024高二·全国·课后作业）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（）
A．(1，＋∞)B．
C．(1，＋∞)∪D．R
【答案】A
【分析】根据表示圆的条件D2＋E2―4F＞0，解不等式即可.
【详解】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．
故选：A.
3．（2024高二上·海南海口·期中）已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，再解不等式即可.
【详解】因为方程表示圆，
所以，解得.
故选：D
4．（2024·浙江·模拟预测）圆C：关于直线对称的圆的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.
【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，
因为点关于直线的对称点为，
所以圆C：关于直线对称的圆的方程是
，
故选：C
5．（2024高二上·青海西宁·期末）已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案.
【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以该圆的标准方程是．
故选：A
6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（）
A．B．1C．D．4
【答案】B
【分析】由四边形是矩形，应用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.
【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．
，互相垂直，所以四边形为矩形．
由圆C：，可得，又，
，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，
故选：B.

7．（2024·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
8．（2024高二·全国·课后作业）若圆：过坐标原点，则实数的值为（）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
【答案】C
【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.
【详解】∵表示圆，
∴
∴.
又圆过原点，
∴，
∴或（舍去）；
.
故选:C.
9．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由圆的垂径定理得，利用勾股关系求得，结合圆的定义即可求出点P的轨迹方程.
【详解】因为中点为P，所以，又，所以，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.
故选：C.
10．（2024高三下·重庆·阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，再由点和的坐标得出半径和圆心横坐标，设圆心为，由圆上点到圆心的距离为半径列出方程，得出，即可写出圆的方程．
【详解】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点，，
所以圆心在直线上，
又圆与轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为，，
则，解得，
又，
所以
所以的外接圆的方程是，
故选：A．

11．（2024高二·全国·课后作业）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出定点P的坐标，再求出圆C的圆心C及线段CP长即可求解作答.
【详解】直线，即，
由解得，即P(−1,1)，圆C：的圆心，，
所以所求圆的标准方程为.
故选：B
12．（2024高二上·甘肃庆阳·期末）已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用圆与直线相切，求出，然后求出过圆圆心垂直于直线的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.
【详解】由圆的圆心为原点，半径为5，
又圆与直线相切，
则到直线的距离为，
则，解得，
设过且与垂直的直线为，
则：，
联立，
得直线l与的交点为，
设圆心关于点的对称点为，
由中点公式有
所以圆心关于点的对称点为，
因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，
故选：D.
13．（2024高一上·广东广州·期末）已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据中点坐标公式求出直径两端点的坐标，然后求出半径，再求出圆的方程即可.
【详解】设直径的两个端点分别，
圆心C为点由中点坐标公式，得，解得
∴半径，
∴圆的方程是即
故选：A.
14．（2024·全国）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】A
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．（2024·北京）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
16．（2024高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简曲线方程，表示圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，由直线与曲线的交点个数可以确定的取值范围.
【详解】表示的曲线是圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，如图所示：
直线必过定点，
当直线与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
即，结合直线与半圆的相切可得，
当直的斜率不存在时，即时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，
则.
故选：B.
17．（2024高二上·广东清远·期末）若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解
【详解】如图，
曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线即与半圆相切，所以，解得．
因为所以，
又直线l与曲线有且只有一个交点，所以或，
所以实数k的取值范围是
故选：B
18．（2024高一下·四川自贡·期中）点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点，，则的最大值为（）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设，根据，求得点P的坐标，再根据点P在圆上，令，得到，利用判别式求解.
【详解】解：如图所示：

设，因为，
所以，
则，即，
因为点P在圆上，
所以，
令，得，
，即，
解得，
所以的最大值为2，
故选：C
19．（2024高三·全国·专题练习）已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件得到圆的标准方程，再由圆的半径的平方大于0得到；再根据点在圆的外部得到，即可求解得到的取值范围.
【详解】由，得，
则，解得：①，
又∵点在圆的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故选：B．
20．（2024高三下·河南开封·阶段练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案.
【详解】因为点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，
即，则，
其中为辅助角，，
则，整理得，
故的最大值为，
故选：A
21．（2024高三上·福建龙岩·期中）“方程表示的图形是圆”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据圆的一般式表示圆的条件判断即可．
【详解】解：由方程表示的图形是圆，
可得，
即；
由，
得，
显然，
所以“方程表示的图形是圆”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
、
22．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆关于直线对称，与交于，两点，设坐标原点为，则的最大值等于（）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】首先将圆的方程化为标准式，得到圆心坐标，在求出直线过定点，又根据对称性，可知恰好为圆心坐标，即可求出圆的方程，在由圆过原点，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】圆，即，圆心为，
直线，因为，所以直线的斜率不为，
又，令，解得，即直线恒过定点，
又圆关于直线对称，所以圆心在直线上，所以，解得，
所以圆，半径，显然，即圆过坐标原点，
因为与交于，两点，即为直径的两个端点，
所以，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以，
即，当且仅当时取等号，
即的最大值等于.
故选：B
23．（2024高三上·河南焦作·开学考试）已知圆经过点，，，则该圆的半径为（）
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】根据垂直关系得出直径即可求出半径.
【详解】因为，
所以该圆的直径为，所以半径为5．
故选：B.
24．（2024·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（）
A．最大值为B．最小值为C．最小值为D．最大值为
【答案】C
【分析】
将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为，
由题意可得直线经过圆心，
故有，即，
所以半径为，
当时，圆C的半径的最小值为.
故选：C.
25．（2024高二·全国·课后作业）若，使曲线是圆，则（）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】可推断，从而分类讨论和两种情况，计算的值，并判断是否表示圆.
【详解】由题意，，
因为，所以或，
当时，方程为，
化简得，
此时，不表示圆；
当时，方程为，
化简得，
此时，表示圆.
所以.
故选：A
26．（2024高三上·上海奉贤·阶段练习）已知：圆的方程为，点不在圆上，也不在圆的圆心上，方程，则下面判断正确的是（）
A．方程表示的曲线不存在
B．方程表示与同心且半径不同的圆
C．方程表示与相交的圆
D．当点在圆外时，方程表示与相离的圆
【答案】B
【分析】通过特殊值法判断出方程表示的曲线.
【详解】因为为圆，设，点，其圆心为，半径为，
而的方程为，即，
因此上述方程中，圆心亦为，半径为，所以与圆是同心且半径不同的圆.
故选：B.
27．（2024高二·全国·专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（）
A．x2+y2-x+7y-32＝0B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0D．x2+y2-4x+4y-8＝0
【答案】A
【分析】设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，用λ表示出圆心，代入直线x-y-4＝0，求出λ，从而可求出所求圆的方程．
【详解】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4＝0和圆x2+y2+6y-28＝0的交点，
设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心坐标为，，
又由圆心在直线x-y-4＝0上，所以--4＝0，
解得λ＝-7，
所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，
故选：A．
28．（2024高三上·山东东营·阶段练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB的中点为E，
而圆心C是线段的中点，又，即有，，
显然直线AB不垂直于y轴，设直线，由x=ty+1y2=4x消去x得：，
则，，点E的纵坐标为，
于是得圆C的半径，圆心，而圆C过点，
则有，即，解得，
因此圆C的圆心，半径，圆C的方程为.
故选：B
29．（2024·贵州贵阳·模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析可知，圆心在直线上，设圆心为，根据圆与直线相切以及圆过点可得出关于的等式，解出的值，即可得出所求圆的方程.
【详解】因为、，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，
设圆心为，则圆的半径为，
又因为，所以，，
整理可得，解得或，
当时，，此时圆的方程为；
当时，，此时圆的方程为.
综上所述，满足条件的圆的方程为或.
故选：C.
30．（2024·全国）已知实数满足，则的最大值是（）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
31．（2024高三·全国·专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据圆、符号函数的知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A选项，当时，，
即表示圆内部及边界，显然不满足，故A错误；
对于C选项，当时，，
即表示圆外部及边界，满足；
当时，，
即表示圆的内部及边界，满足，故C正确；
对于B选项，当时，，
即表示圆内部及边界，显然不满足，故B错误；
对于D选项，当时，，
即表示圆外部及边界，显然不满足，故D错误.
故选：C
32．（2024·安徽·三模）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数k的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】数形结合思想，方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，根据直线与圆的位置关系求解.
【详解】方程的根转化为
和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，
要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
因为时，，
所以，所以图象为圆的一部分，
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相切，
所以，可得；
当时，只需直线与圆相离，
所以，解得得或（舍）．
故k的取值范围是．
故选：A．
33．（2024高二下·四川南充·阶段练习）曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线的图象，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，
由得：或，
由得：或或或，
由此可得曲线的图象如下图所示，
由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；
实数的取值范围为.
故选：B.
34．（2024·安徽亳州·模拟预测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.
【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以，
故选：A.
35．（2024高二上·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数.
【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，
联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.
联立，解得或，所以直线与有两个交点.
所以直线与曲线的交点个数为2个.
故选：B
36．（2024高二下·山西晋城·开学考试）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，曲线表示圆的下半圆，作出图形，求出当直线与曲线相切以及直线过点时对应的的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】由可得，整理可得，其中，
所以，曲线表示圆的下半圆，如下图所示：

当直线与曲线相切时，由图可知，，
且有，解得，
当直线过点时，则有，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，
故选：B.
37．（2024高二上·辽宁营口·阶段练习）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出曲线（上半圆），直线过定点，求出图中两条的斜率可得所求范围．
【详解】曲线整理得，
则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，
则令，解得，则其过定点，
如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，
由，得或，所以，
，
所以实数的取值范围是.
故选：C．

38．（河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得曲线C是以为圆心，1为半径的右半圆，结合图象分析求解.
【详解】由，可得且，
所以曲线是以为圆心，1为半径为的右半圆，
直线过定点，斜率为，如图，

当直线过时，与曲线有两个不同的交点，可得
当直线与曲线相切时，则，解得
所以实数k的取值范围为.
故选：A.
二、填空题
39．（2024高三·全国·对口高考）经过三点的圆的方程为．
【答案】
【分析】设圆的一般方程，用待定系数法求解即可.
【详解】设圆的方程为，
则，
∴圆的方程为：.
故答案为：
40．（2024·全国）过四点中的三点的一个圆的方程为．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或或或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
41．（2024高三下·江西南昌·阶段练习）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 .
【答案】或
【分析】设圆心为，可知半径，根据垂径定理，利用直线截圆所得弦长可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆的方程.
【详解】设所求圆的圆心为，半径为，
圆与轴相切，，
又圆心到直线的距离，
，解得：或，
所求圆的圆心为或，半径，
圆的方程为或.
故答案为：或.
42．（2024·全国）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
43．（2024高一下·江西九江·期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为
【答案】
【分析】利用圆系方程可求圆的方程.
【详解】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为；，又圆心在直线上，可得；解得.
所以圆的方程为：.
故答案为：.
44．（2024高一·全国·单元测试）过两圆与的交点和点的圆的方程是 .
【答案】
【分析】设过两圆交点的圆系方程，代入即可求得结果.
【详解】设所求圆的方程为：
将代入得：
所求圆的方程为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查过两圆交点的圆系方程的求解问题，属于基础题.
45．（2024高二下·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 .
【答案】、
【分析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.
【详解】由由得，故，解得或.
故填：、.
【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.
46．（2024高三上·北京·阶段练习）若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为．
【答案】4
【分析】根据圆关于直线和直线都对称，由圆心在直线上，也在直线上求解.
【详解】圆的圆心为，
因为圆关于直线和直线都对称，
所以圆心在直线上，也在直线上，
所以，
解得，
所以，
故答案为：4
47．（2024高二下·四川成都·开学考试）圆关于直线对称，则．
【答案】3
【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可.
【详解】由可得圆的标准方程为：，
则由题意得直线过圆心，代入直线方程有，解得，
故答案为：3.
48．（2024高二上·安徽芜湖·期中）已知关于x，y的二元二次方程，当t为时，方程表示的圆的半径最大．
【答案】
【分析】
变换得到，得到，，得到答案.
【详解】
即，
，解得，
设圆的半径为r，则，
所以当时，，所以．
故答案为：．
49．（2024·河南·模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为 .
【答案】
【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解.
【详解】设圆的方程为，令，，
则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解，
所以，，所以圆的方程为，
又因为圆过点，所以，所以，
所以圆的方程为.
故答案为：
50．（2024高二·全国·课后作业）M是抛物线上一点，N是圆C：关于直线x－y＋1＝0的对称圆上的一点，则的最小值是．
【答案】
【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆心坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的最小值.
【详解】假设圆心关于直线对称的点为，
则有，解方程组可得，
所以曲线的方程为，圆心为，
设，则，
又，所以，
，即，所以，
故答案为：.
51．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.
【详解】依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即，
由解得，因此所求圆的圆心为，半径，
所以所求圆的方程为.
故答案为：
52．（2024·广东揭阳·模拟预测）写出一个经过原点，截轴所得弦长是截轴所得弦长2倍的圆的标准方程 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】
设出圆截x轴所得弦的端点坐标，求出圆心坐标，再求出圆的标准方程作答.
【详解】显然圆截x轴、y轴所得弦的一个端点为，
设圆截x轴所得弦的另一端点为，则该圆截y轴所得弦的另一端点为或，
因此该圆的圆心或，半径，
所以该圆的标准方程为或，
取，得圆的一个标准方程为.
故答案为：
53．（2024高二上·浙江绍兴·期中）已知圆过直线和圆的交点，且原点在圆上．则圆的方程为．
【答案】
【分析】
根据题意设出圆的方程，由原点在圆上，可得解.
【详解】
根据题意可设圆的方程为：，
因为原点在圆上，故.
所以所求圆的方程为.
故答案为：
54．（2024·天津·一模）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
【答案】
【分析】设出所求圆的方程为，找出此时圆心坐标，当圆心在直线上时，圆的半径最小，可得此时面积最小，把表示出的圆心坐标代入中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，进而确定出所求圆的方程.
【详解】可设圆的方程为,
即,
此时圆心坐标为,
当圆心在直线上时，圆的半径最小，从而面积最小，
,
解得,
则所求圆的方程为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.
55．（2024·重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．
【答案】（2，0）
【详解】试题分析：先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．
解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），
准线方程为x+2=0，
故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，
所以F在圆上．
故答案为（2，0）．
点评：主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
56．（2024高三上·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为（其坐标与无关）
【答案】和
【分析】设出的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求出系数，得圆的方程（含有），分析此方程可得圆所过定点．
【详解】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则
，
①－②得，，∴，从而，
代入③得，
∴圆方程为，
整理得，
由得或．
∴圆过定点和．
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查韦达定理，圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点．
57．（2024高三·全国·阶段练习）已知直线与曲线交于两点，且这两点关于直线对称， .
【答案】1
【分析】由题意有，曲线为圆，且圆心在直线上，可求，又由两直线垂直可得，所以
【详解】∵直线与曲线交于两点，且这两点关于直线对称，
∴圆心在直线上，
∴，
又∵两直线垂直，
∴,
∴.
故答案为：1
【点睛】本题通过对直线与圆的方程，以及位置关系的考查，考验了学生的作图能力，计算能力，为直线与圆的方程的综合问题，题目难度中等.
58．（2024高二·全国·课后作业）已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为．
【答案】相交
【分析】由两圆方程可确定圆心和半径；利用圆关于直线对称可知的圆心在直线上，由此可求得；由圆心距和两圆半径之间的关系可得两圆位置关系.
【详解】由圆的方程知其圆心，半径；
由圆的方程知其圆心，半径；
圆关于直线对称，
直线过圆心，即，解得：，
圆心，；
两圆圆心距，则，
又，，，即，
圆与圆相交.
故答案为：相交.
59．（2024高二上·广东广州·期中）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是．
【答案】16
【分析】
由题意可得说明直线经过圆心，推出，代入，利用基本不等式，确定最小值
【详解】由圆的对称性可得，直线必过圆心，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值是16
故答案为：16
60．（2024高二上·辽宁大连·竞赛）设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
【答案】②④
【分析】由已知得圆心，由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，即可判断出真命题个数．
【详解】根据题意得：圆心坐标为，
圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系：
圆：圆心，半径为，
圆：圆心，即，半径为，
两圆的圆心距，
两圆的半径之差，
任取或时，（），含于之中，选项①错误；
若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，
将带入圆的方程,则有，即（），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
故答案为②④.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题.
61．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知函数的图像上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数k的取值范围是．
【答案】
【分析】将题设转化为函数的图像和的图象有两个交点，求出直线和相切时的值以及直线过点时的值，结合图象即可求解.
【详解】
由，解得，
又关于直线的对称直线为，
则题设等价于函数的图像和的图象有两个交点.
易得等价于，
画出和的图象，设直线和相切，
由，解得或（舍），
又当直线过点时，，
结合图象可知，当时，
函数的图像和的图象有两个交点.
故答案为：.
三、解答题
62．（2024高一·全国·课后作业）已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据，得到，结合斜率公式，即可求得顶点的轨迹方程；
（2）设，根据是线段的中点，得到，代入的轨迹方程，即可求得动点的轨迹方程.
【详解】（1）解：设，因为三点不共线，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
整理得，即，
所以直角顶点的轨迹方程为.
（2）解：设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
由（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，即
所以动点的轨迹方程为.
63．（2024高三·全国·专题练习）由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【答案】，其中．
【分析】方法一：根据题设条件列出几何等式，再根据勾股定理或者数量积转化成代数等式，化简即可求出曲线方程.
【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法
设弦的中点的坐标为,连接、,则．
在中,由勾股定理有，而在圆内，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为.
［方法2］：定义法
因为是的中点,所以,所以点的轨迹是以为直径的圆,圆心为,半径为，所以该圆的方程为:,化简得
［方法3］：交轨法
易知过点的割线的斜率必然存在，设过点的割线的斜率为,
则过点的割线方程为:.
∵且过原点,∴的方程为
这两条直线的交点就是点的轨迹.两方程相乘消去,化简,得:，
其中.
［方法4］：参数法
设过点的割线方程为:,它与圆的两个交点为、
的中点为，设.
由可得，，所以，，即有，，消去，
可求得点的轨迹方程为：，．
［方法5］：点差法
设,则.
∵.两式相减,整理,得.
所以,即为的斜率，
而的斜率又可表示为,化简并整理,得.
其中.
【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类型题的常规方法，也是最优解；
方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；
方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；
方法四：将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数；
方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，设而不求．
64．（2024高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．求点P的轨迹方程；
【答案】；
【分析】
设点，根据题意得，利用两点之间的距离公式化简整理，即可求解.
【详解】
解：设点，
点P到的距离是点P到的距离的2倍，可得，
即，整理得，
所以点P的轨迹方程为；
65．（2024高三·全国·专题练习）当时，把化简成圆的标准方程的形式
【答案】答案见解析
【分析】利用完全平方公式与配方法化简运算可得，再检验半径即可得解.
【详解】因为，
所以，
故，
则，
故，
因为，则，
所以，
故，
即，
因为，
所以，
所以化简成圆的标准方程的形式为.
66．（2024高一上·河南·期末）已知圆C过点，，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的方程为：，将、，两点坐标代入圆的一般方程，将圆心代入，得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程.
（2）设，，计算出点的轨迹方程，得到其轨迹方程为，分析出OM与圆相切时最大，计算即可得到答案.
【详解】（1）设圆的方程为：，
则有，解得．
∴圆的方程为：．
（2）由（1）知圆，
设，，
则，所以
又P在圆上，

所以，
所以，
即M的轨迹方程为.
数形结合易知，当OM与圆相切时，取最大值，
此时，
.
所以的最大值为.
67．（2024高二上·北京海淀·期中）求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)经过点，圆心为点；
(2)经过点，且圆心在y轴上.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出即圆的半径，再根据圆心坐标，即可得到圆的方程；
（2）利用待定系数法即可求解.
【详解】（1）圆的半径长为，圆心为点，
所以圆的方程为．
（2）设所求圆的方程是，
因为点P，Q在所求圆上，依题意得
解得
所以所求圆的方程是.
68．（2024高二·江苏·专题练习）已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程．
(2)若，求线段中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解，
（2）根据直角三角形的性质，结合勾股定理即可由点点距离求解.
【详解】（1）设中点为，
由中点坐标公式可知，点坐标为
∵点在圆上，∴．
故线段中点的轨迹方程为．

（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，则，所以，
所以．
故线段中点的轨迹方程为．

69．（2024高二上·全国·课后作业）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【答案】
【分析】首先判断点是的重心，代入重心坐标公式，利用代入法，即可求点的轨迹方程.
【详解】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，
由重心坐标公式得，
则代入，
整理得
故所求轨迹方程为.
70．（2024高二·全国·课后作业）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【答案】
【分析】构建平面直角坐标系，设、，确定坐标，写出直线方程，将直线整理消去参数t，即可得P的轨迹方程，注意x、y的范围．
【详解】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点、、、，
设动点，，
由知：，则．
当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，
①×②得：，化简得．
当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．
故点P的轨迹方程为．
71．（2024高三上·福建三明·期中）已知圆C：.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；
(2)从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先由配方法求得圆C的标准方程，得到圆心，半径为，再由题设条件设得直线l为，再利用相切得到关于的方程，从而求得直线l的一般式方程；
（2）利用圆的切线长的性质及，得到，再利用两点距离公式代入化简，即可求得点P的轨迹方程.
【详解】（1）由配方得，所以圆C的圆心，半径为，
因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为，即，
则由直线l与圆C相切得，解得或，
∴直线l的方程为或.
（2）由圆上切点的性质知，
又因为，所以，
所以，整理得，
故点P的轨迹方程为.
72．（2024高三·全国·专题练习）化简之后为，求a，．
【答案】，
【分析】根据题意，利用特殊点法得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为可化简为，
所以满足的点也必满足，
取，则，可得或，
所以与满足，
所以，即，
故，整理得，解得或，
当时，，由于，故该情况舍去；
当时，，
经检验，当，时，满足题意；
所以，.
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
（一）
1.求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2.方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径
3.点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
4.（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型1：求圆的方程
1-1．（2024高一上·江苏连云港·期末）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心C（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．
【详解】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，
即，解得，
可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．
故选：D．
1-2．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由切线性质得O、A、B、P四点共圆，为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求．
【详解】由圆，得到圆心，由题意知O、A、B、P四点共圆，的外接圆即四边形的外接圆，又，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.
故选：A
1-3．（2024·福建福州·模拟预测）已知，则外接圆的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得外接圆的方程即可进行选择.
【详解】设外接圆的方程为
则有，解之得
则外接圆的方程为
故选：D
题型2：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
2-1．（2024高二上·甘肃金昌·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据公式，即可求解.
【详解】若方程表示圆，则，
解得：或.
故选：C
2-2．（2024高三·全国·课后作业）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程可得答案.
【详解】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是
，即，且，.
故选：D
2-3．（2024高三下·河南·阶段练习）“”是“方程表示圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.
【详解】因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
题型3：点与圆的位置关系判断
3-1．（2024·辽宁·二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（）．
A．点在l上B．点在圆O上
C．点在圆O内D．点在圆O外
【答案】D
【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.
【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
则有，故，
把代入，所以点不在直线l上，故A错误；
又，则点在圆O外，故D正确.
故选：D．
3-2．（2024高二上·全国·课后作业）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.
【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，
则，解得，所以故a的取值范围是.
故选：D
3-3．（2024高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（）
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不确定
【答案】C
【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.
【详解】因为，所以点在圆外，
故选：C
3-4．（2024·甘肃定西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.
【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得.
故.
故选：C
题型4：与圆有关的对称问题
4-1．（2024·西藏日喀则·一模）已知圆关于直线对称，圆交于、两点，则
【答案】2
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再由圆关于直线对称，则圆心在直线上，即可求出的值，最后求出圆心到直线的距离，利用勾股定理、垂径定理计算可得.
【详解】圆，即，圆心，半径，
因为圆关于直线对称，所以，解得，
所以，圆心，半径，
则圆心到轴的距离，所以.
故答案为：
4-2．（2024高三上·江西南昌·阶段练习）已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是．
【答案】2
【分析】依题意有直线过圆心，得到，再利用重要不等式求的最小值.
【详解】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即.
，当且仅当，即时等号成立.
∴，即，所以时，的最小值为2.
故答案为：2
4-3．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为．
【答案】
【分析】已知圆D：，化为标准方程可得圆心坐标及半径，圆C与圆D关于直线对称，转化为两圆心关于直线对称，半径相等，求出圆C的圆心，则可得圆C的方程.
【详解】因为，
设圆C的圆心为，
又因为圆C与圆D关于直线对称，
即圆心与关于直线对称，
所以，解得，
所以，圆C的方程为
（二）
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
题型5：与圆有关的轨迹问题
5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，平面上一动点满足：且，．求动点的轨迹方程；
【答案】
【分析】设，依题意得到，整理即可得解.
【详解】解：设，由，
所以，整理得，
即动点的轨迹方程．
5-2．（2024·福建）动点到两定点和的距离的比等于2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
【答案】；动点P的轨迹是以为圆心，半径是4的圆
【分析】题意可知，由两点间得距离公式化简即可求解
【详解】由题意可知：，
又，和，
所以，
化简得即，
所以动点P的轨迹是以为圆心，半径是4的圆
5-3．（2024高三·全国·专题练习）已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据可得以及中可求点M的轨迹，再根据为中点即可求解.
【详解】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.
由垂径定理可知
设
由此可得①
又在中，
有②
由①②得
故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设
则
代入点M的轨迹方程中得，
整理得，即为所求点Q的轨迹方程．
5-4．（2024高二下·广东深圳·期中）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程.
【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点，
可得，点在圆上，
则，即.
故选：A.
（三）
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
题型6：利用几何性质求最值
6-1．（2024·河北·一模）直线与圆相切，则的最大值为（）
A．16B．25C．49D．81
【答案】C
【分析】利用圆与直线的位置关系得出的方程，根据方程分析利用表示的几何意义求解即可.
【详解】由直线与圆相切可得：
圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，
故，即点在圆O上，
的几何意义为圆上的点与点之间距离的平方，
由圆心为，
因为，
所以点在圆外，
所以点到点的距离的最大值为圆心到的距离与圆半径之和，
即，
所以的最大值为.
故选：C.
6-2．（2024·吉林白山·一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
，的最小值为圆心到直线的距离，可求的最小值.
【详解】
圆化为标准方程为，
则圆C的圆心为，半径，则，
直线PQ与圆C相切，有，
因为点Q在直线l上，所以，则．
即的最小值是.
故选：A
6-3．（2024·重庆）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 ( )
A．6B．4C．3D．2
【答案】B
【详解】当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x＝－3时，|PQ|有最小值，且最小值为圆心(3，－1)到直线x＝－3的距离减去半径2，即最小值为4，故选B.
题型7：利用函数求最值
7-1．（2024高三·全国·对口高考）在平面直角坐标系xOy中，以点，曲线上的动点B，第一象限内的点C，构成等腰直角三角形ABC，且，则线段OC长的最大值是．
【答案】/
【分析】设，，，运用两点的距离公式和两直线垂直的条件，可得，的方程，解方程可得的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值.
【详解】曲线是以为圆心，1为半径的上半圆，
可设，，，
由等腰直角三角形，可得，即有
即，①
，即有，
即为，②
由①②解得，，
或，（舍去）．
则
，
当，即，取得最大值．
故答案为：
7-2．（2024·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用可得，再由利用配方法可得答案.
【详解】设，连接，则，可得，
所以，
即，可得，
所以，
当时，.
故选：C.

（四）
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：
简记为：
当时，简记为：（不含）
（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：
简记为：，不含
当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型8：圆系方程
8-1．（2024高二上·安徽铜陵·期中）经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 .
【答案】
【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出的值，即可确定所求圆的方程.
【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
∵所求圆过点
∴
解得
所以圆的方程为，化简得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.
8-2．（2024高三下·江苏盐城·阶段练习）曲线与的四个交点所在圆的方程是．
【答案】
【解析】根据题意得到：，化简得到答案.
【详解】，，故，
化简整理得到：，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了曲线交点求圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8-3．（2024高二·辽宁·学业考试）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是．
【答案】
【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程，从而求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
（五）
圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点．
题型9：圆过定点问题
9-1．（2024高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．
【答案】或
【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．
【详解】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
9-2．（2024高三·浙江温州·阶段练习）已知动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点
【答案】
【分析】由抛物线方程可确定焦点和准线，结合抛物线定义可知动圆必过焦点，由此可得结论.
【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为；
设动圆圆心为，
动圆与直线相切，动圆半径即为其圆心到直线的距离；
动圆圆心在抛物线上，，动圆必过点，即所求定点为.
故答案为：.
9-3．（2024高三下·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为
【答案】
【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标.
【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、，
由题意可知，由韦达定理可得，，
所以，线段的中点为，设圆心为，
由可得，解得，
，则，则，
所以，圆的方程为，
整理可得，
方程组的解为.
因此，的外接圆恒过的定点坐标为.
故答案为：.