专题03 不等式4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

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这是一份专题03 不等式4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共54页。试卷主要包含了不等式的性质，两个实数比较大小的方法，基本不等式，几个重要的不等式，三个“二次”的关系，分式不等式与绝对值不等式等内容，欢迎下载使用。

1．不等式的性质
（1）对称性：a>b⇔b（2）传递性：a>b，b>c⇒a>c．
（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac（5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
2．两个实数比较大小的方法
作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a3．基本不等式
（1）基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)．
（2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
（4）其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
4．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
5．三个“二次”的关系
6．分式不等式与绝对值不等式
（1）eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
（2）eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
（3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|0)的解集为(－a,a)．
一、单选题
1．（2024高一上·吉林延边·期末）已知，，则的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】因为，所以，
由，得.
故选：A.
2．（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】x，y都是正数，
由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
4．（2024高二上·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）
已知，求的最小值；解答过程：；
求函数的最小值；解答过程：可化得；
设，求的最小值；解答过程：，
当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案．
【详解】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，
此时，
当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；
对：，
当且仅当，即时取等号，
但，则等号取不到，故的用法有误；
对：，，，
当且仅当，即时取等号，故的用法有误；
故使用正确的个数是0个，
故选：.
5．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【分析】根据变形得，进而转化为，
用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
6．（2024高三下·浙江·期中）设，，若，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；
法二：由题知进而根据三角换元得，再根据三角函数最值求解即可.
【详解】解：法一：（基本不等式）
设，则，
条件，
所以，即.
故选：D.
法二：（三角换元）由条件，
故可设，即，
由于，，故，解得
所以，，
所以,当且仅当时取等号.
故选：D.
7．（2024高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果.
【详解】由得：，，解得：，；
由得：；
“”是“”的充分不必要条件，，
当时，，不满足；当时，，不满足；
当时，，若，则需；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
8．（2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集，根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】不等式即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
9．（2024高一下·浙江湖州·开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
【答案】B
【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
10．（2024高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.
【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
11．（安徽省合肥一六八中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系，得到的关系，代入不等式化简求解.
【详解】的解集是，，得，
则不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故选：D
12．（2024·北京海淀·模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.
【详解】由题意，所以正确;
对于:，当且仅当，即时成立,
所以正确;
对于,由韦达定理，可知，所以错误;
对于,由韦达定理，可知，
则，解得，
所以正确,
故选：.
13．（2024高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）
A．－2B．1C．2D．8
【答案】C
【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值.
【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，，
所以，当且仅当，即时取等号，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为2.
故选：C.
14．（2024·山东）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
15．（2024·全国）已知集合，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
16．（2024·四川成都·三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，
化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
17．（2024·北京房山·二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.
【详解】对A，二次函数的对称轴为，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C，，
定义域为，所以函数是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；
对D，，定义域为，
所以函数是偶函数，因为，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以函数有最小值，故D正确.
故选：D
18．（2024·海南海口·模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
19．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知实数满足，则的最小值是（）
A．5B．9C．13D．18
【答案】B
【分析】根据对数的运算法则，求得，且，利用，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，所以，
即，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
20．（2024·湖南长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.
【详解】，即，即.
对于 A，成立.
对于 B，，成立.
对于 C，，即.故C错误；
对于 D，成立.
故选：C.
21．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且，则ab的最小值为（）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.
【详解】∵，
∴，即：
∴，
∵，，
∴，，
∴，当且仅当即时取等号，
即：，当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选：C.
22．（2024·河南安阳·三模）已知，则下列命题错误的是（）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．若，则的最大值为2
D．若，则的最大值为
【答案】D
【分析】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若，则，展开后使用基本不等式即可判断B.
【详解】∵，∴，∴，故A正确；
若，则，
当且仅当时等号成立，故B正确；
若，则，当且仅当时等号成立，故C正确；
若，则，即，当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：D.
23．（2024·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.
【详解】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故选：A.
二、多选题
24．（2024·重庆·模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】得到或，分两种情况，结合基本不等式和不等式的性质对四个选项一一进行判断，得到正确答案.
【详解】因为，所以或，
当时，，A不成立，，，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
当时，，，
不妨设，则，故此时C不成立，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
综上：BD一定成立.
故选：BD
25．（2024·山东·二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
26．（2024高三上·山东泰安·期末）若，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由不等式的性质判断.
【详解】∵，则，，∴，即，A正确；
例如，，，，，显然，B错误；
由得，，∴，即，C正确；
易知，，，
，
∴，D正确；
故选：ACD．
27．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知实数x，y满足则（）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
28．（2024高三下·河北衡水·阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【分析】根据条件及基本不等式可得，进而即得.
【详解】因为，，
所以，，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
29．（2024高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，则（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可得，，进而根据即可求解A,根据基本不等式即可判断BC,根据二次函数的性质即可判断D.
【详解】由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正确，
，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，
，当且仅当时取等号，故，所以C错误，
，当且仅当取等号，又，所以或者等号成立，
故选：ABD
30．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（）
A．B．
C．D．的最小值为1
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质可得.结合对数函数、幂函数的单调性即可判断AB；利用作差法计算即可判断C；结合基本不等式计算即可判断D.
【详解】由可知，，由不等式的性质可知，则．
选项A：因为对数函数为减函数，，所以，故A错误；
选项B：由函数的单调性可知，故B正确；
选项C：因为，所以，故C正确；
选项D：，
当且仅当，即时取得等号，显然等号不成立，故D错误．
故选：BC.
31．（2024·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】依题意得到，再根据不等式的性质一一判断即可；
【详解】对于A，由题意可知，正确；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，即，错误；
对于D，，正确.
故选：ABD
32．（2024·全国）若x，y满足，则（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
33．（2024·重庆·模拟预测）若实数，满足，则（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式，分，，讨论，可得的范围，再利用的范围求出的范围.
【详解】,
当时，，当且仅当或时等号成立，得，
当时，，当且仅当或时等号成立，得，
当时，由可得或
综合可得，故C正确，D错误；
，
当时，，故A错误，B正确；
故选：BC.
34．（2024高三下·湖北·阶段练习）已知，且，则（）
A．的最小值为4B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】结合已知等式，运用基本不等式、配方法逐一判断即可.
【详解】，当且仅当，即时取等号，则正确；
，即，当且仅当，即时取等号，则B错误；
，当，即时，，则C正确；
，当且仅当时取等号，则D正确.
故选：ACD
35．（2024·云南红河·一模）已知，，且，则下列说法正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的或转化，即可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为或，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围.
【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确；
对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确；
对于C：，
令，，即，故C正确；
对于D，，令，，即，故D不正确，
故选：BC．
36．（2024·山西·一模）设，，，则下列结论正确的是（）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为9D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.
【详解】对于A，因为，，，
则，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，因为，
故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为9，故C正确；
对于D，，
故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误．
故选：ABC.
37．（2024·山东）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
38．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列说法正确的有（）
A．B．
C．若，则D．
【答案】BC
【分析】利用特殊值法、基本不等式和对数函数的单调性即可判断正误.
【详解】A选项：，由于函数在R上单调递增，则，即，
已知，即，若取，，则，故A错误.
B选项：因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确.
C选项：若，则，且，
，由于函数在上单调递增，
所以，即，故C正确.
D选项：令，，则，故D错误.
故选：BC.
39．（2024高一上·浙江温州·期中）已知，且则下列结论一定正确的有（）
A．B．
C．ab有最大值4D．有最小值9
【答案】AC
【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1”的代换计算，漏除了4.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，找反例，当时，，，，B不正确；
C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；
D选项，，D不正确.
故选：AC.
40．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
【答案】AC
【分析】根据逆否命题的真假性即可判断A，根据幂的运算性质即可判断B，根据不等式的性质即可判断C,根据对勾函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A,若，均不大于2，则，则，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ，，故 B错误，
对于C,由得，由得，所以，故C正确，
对于D，由于，函数在单调递增，故，D错误，
故选:AC
41．（2024·云南曲靖·模拟预测）若实数满足，则（）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
42．（2024高一·全国·单元测试）若,则将从小到大排列为 .
【答案】
【分析】不妨令，分别求得的值，即可得到的大小顺序.
【详解】，不妨令，
则有，
有，
即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.
43．（2024高二·全国·单元测试）如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是．
【答案】②⑥
【分析】对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
【详解】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.
44．（2024高三上·上海普陀·期中）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是．
【答案】
【分析】当时满足：且，可得，进而得，解得或．于是，令，可得，利用二次函数的单调性即可求解最值.
【详解】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
45．（2024·浙江）已知实数、、满足，，则的最大值为 .
【答案】
【详解】试题分析：因为，所以，
所以，
所以，
由，解得，
故实数的最大值为.
考点：一元二次方程的根的判别式，容易题.
46．（2024·山西·一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如（填“＞”“＜”）．
【答案】>
【分析】设、，类比题设的不等关系，判断两个分数的大小.
【详解】令，则，
令，则，
所以，，
根据题设知：.
故答案为：>
47．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
【答案】
【分析】根据题中糖水不等式，结合对数的运算性质和换底公式进行解题即可.
【详解】空1：因为，所以可得：
；
空2：由空1可得：，即.
故答案为：；
48．（2024高三上·天津南开·阶段练习）若，，且，则的最小值是．
【答案】
【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果.
【详解】因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值为.
故答案为：
49．（2024·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】将原式变形为，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】解：，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：3.
50．（2024高三·全国·专题练习）若，则的最小值为
【答案】/
【分析】由已知可得，变形可得，然后根据基本不等式即可得出答案.
【详解】由，则.
因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
51．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为．
【答案】8
【分析】由题意可得化简得，所以，利用基本不等式即可求解
【详解】因为不等式的解集为，则，
因为，所以，
∴．
当且仅当，即时，取到等号．
故答案为：8
52．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为且，则两边同除以，得，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.
故答案为:
53．（2024高二下·浙江·期中）已知，，满足，则的最小值是．
【答案】.
【分析】由已知得，进而，利用基本不等式计算即可.
【详解】由，得，
所以.
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
54．（2024·天津·一模）若，，，，则的最小值为．
【答案】/
【分析】令，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。
【详解】由题意，，，，得：，
设，则，
故
，
当且仅当，即时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
55．（2024高三上·浙江宁波·期中）已知，，，则取到最小值为．
【答案】．
【详解】试题分析：令，∴，
∴
，当且仅当时，等号成立，
即的最小值是．
考点：基本不等式求最值．
【思路点睛】用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．
56．（2024·安徽蚌埠·二模）若直线过点，则的最小值为．
【答案】/
【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值．
【详解】∵直线过点，
．
，当且仅当，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
57．（2024高三下·河北·阶段练习）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知得，利用基本不等式求和的最小值.
【详解】，
，
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故答案为：
58．（2024高一上·山东烟台·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】构造，展开，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
即，
因为，，所以，
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为1.
故答案为：1
59．（2024高三下·浙江·开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为．
【答案】/
【分析】利用变形为，再将变形为
，利用基本不等式整理为，进而再用基本不等式求得答案.
【详解】由正实数a，b，，可得，
所以

而，当且仅当即时取等号，
故
，
当且仅当时，即时取等号，
故答案为：
60．（2024·天津滨海新·模拟预测）已知，则的最大值是 .
【答案】
【解析】先化简原式为，再换元设得原式，再换元设得原式可化为，再利用函数单调性得到函数的最大值.
【详解】，设，
所以原式=，
令
所以原式=.
(函数在上单调递增)
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查基本不等式，考查函数y=+的图像和性质，考查换元法的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力及数形结合的思想方法；(2)解答本题的关键是两次换元，第一次是设，第二次是设，换元一定要注意新元的范围.
61．（2024·上海金山·二模）若实数满足不等式，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】不等式，即，解得，则的取值范围是.
故答案为：.
62．（2024高三·全国·课后作业）不等式的解集为．
【答案】
【分析】根据不等式，解出即可.
【详解】解:由题知不等式为,
即,
即,
解得,
所以解集为.
故答案为:
63．（2024高一下·湖北省直辖县级单位·期末）函数的定义域为．
【答案】
【分析】由偶次根式、对数的性质求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
64．（2024高三·全国·课后作业）不等式的解集为．
【答案】
【分析】求得不等式对应的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.
【详解】不等式即，
的根为，
故的解集为，
即不等式的解集为，
故答案为：
65．（2024高一上·上海松江·阶段练习）不等式的解集为．
【答案】或
【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.
【详解】根据分式不等式解法可知等价于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集为或.
故答案为：或
66．（2024·江西）不等式的的解集是
【答案】：
【详解】：则或
【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法
67．（2024·上海崇明·二模）若不等式，则x的取值范围是．
【答案】
【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.
【详解】∵，则，解得，
∴x的取值范围是.
故答案为：.
68．（2024·上海浦东新·三模）不等式的解集是．
【答案】
【分析】零点分段法求解绝对值不等式.
【详解】当时，，解得，此时解集为空集，
当时，，即，符合要求，此时解集为，
当时，，解得，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
69．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知集合，则．
【答案】
【分析】计算，，再计算交集得到答案.
【详解】，
.
故.
故答案为：
70．（2024高一上·全国·专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为．
【答案】
【分析】令，即可得到，依题意可得，解得即可；
【详解】解：令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：
71．（2024高一·全国·专题练习）若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是 .
【答案】1
【分析】方程化为，有两个不相等的实根即，解不等式即可求出答案.
【详解】方程化为，
由，解得，
所以最大整数值是.
故答案为：1.
72．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】确定，得到，，根据方程根的关系得到，解得答案.
【详解】，故，
，，
将看成方程的两根，则，
即，故，解得.
故答案为：
73．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是．
【答案】
【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.
【详解】解：原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.
故答案为：
四、解答题
74．（2024高三·江苏·专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
【答案】证明见解析
【分析】对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论.
【详解】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号），
即.
75．（2024高三下·河南·阶段练习）已知x，y，z为正数，证明：
(1)若，则；
(2)若，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式进行证明；
（2）根据柯西不等式可以证明.
【详解】（1）因为，所以，
同理可得，，
所以，故，
当且仅当时等号成立．
（2），
因为，所以，当且仅当时等号成立．
76．（2024·四川绵阳·二模）已知函数，若的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)已知，均为正数，且满足，求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据得到，利用零点分段法解不等式，得到解集，求出；
（2）结合（1）得到，并用基本不等式进行证明.
【详解】（1）由题意得，故，即，
解得，
故的解集为，
当时，，解得，故，
当时，，解得，故，
当时，，解得，解集为空集，
综上，的解集为，故；
（2）由（1）知，
已知，均为正数，故，即，，
当且仅当，时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立.
77．（2024高二下·江苏·期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【答案】(1)400吨；
(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.
【详解】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当，即时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
78．（2024高一上·贵州安顺·期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
【答案】(1)该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元；
(2)该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
【分析】（1）由已知可得，根据二次函数的性质，即可得出答案；
（2），然后用基本不等式即可得出该式的最值.
【详解】（1）该单位每月的月处理成本：
，
因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而得当时，函数取得最小值，即.
所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.
（2）由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
当且仅当，即时，等号成立.
所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
79．（2024高一下·湖北孝感·开学考试）截至年月日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）.的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到，参考数据：，）
(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为米，且不超过，房高为米.房屋正面造价元平方米，侧面造价元平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用已知条件，求解指数不等式得答案．
（2）根据题意表达出总造价，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.
【详解】（1）由题意得，，
设该药在病人体内的血药含量变为时需要是时间为，
由，得，
故，．
该新药对病人有疗效的时长大约为．
（2）由题意，正面长为米，故总造价，即.
由基本不等式有，当且仅当，即时取等号.
故当，即，时总价最低；
当，即时，由对勾函数的性质可得，时总价最低；
综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.
判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
不等式的解集
{x|xx2}
{x|x≠－eq \f(b,2a)}
R
（一）
不等式的性质
1．常用结论
（1）若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)（2）若a>b>0，m>0⇒eq \f(b,a)（3）若b>a>0，m>0⇒eq \f(b,a)>eq \f(b＋m,a＋m)．
2．判断不等式的常用方法．
（1）利用不等式的性质逐个验证．
（2）利用特殊值法排除错误选项．
（3）作差法．
（4）构造函数，利用函数的单调性．
题型1：不等式的性质
1-1．（2024高三上·广东·期末）已知，，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的同向可加性，结合待定系数法可得，即可得的取值范围.
【详解】解：设，所以，
则，又，
所以，，由不等式的性质得：，
则的取值范围为.
故选：D.
1-2．（2024·全国）若a>b，则
A．ln(a−b)>0B．3a<3b
C．a3−b3>0D．│a│>│b│
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
1-3．（2024·山东）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以，所以选B.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
（二）
比较大小
1．不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）．
（3）分析法．
（4）平方法．
（5）分子（或分母）有理化．
（6）利用函数的单调性．
（7）寻找中间量或放缩法．
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
题型2：比较大小
2-1．（2024·全国）已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数，则，
令，解得，由知 .
在上单调递增，所以，即，
又因为，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2-2．（2024高三·全国·课后作业）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析
【分析】（1）由不等式的性质即可证明.
（2）要比较与的大小，将两式做差展开化简，得到即可判断正负并比较出结果.
【详解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
2-3．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；
（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.
【详解】（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
（三）
基本不等式
1．基本不等式
（1）基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)( a>0，b>0)．
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
2．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
3．基本不等式求最值
（1）前提：“一正”“二定”“三相等”．
（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
题型3：基本不等式
3-1．（2024高一下·广西柳州·期末）若，则的最小值为 .
【答案】0
【分析】构造，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】由，得，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：0
3-2．（2024高三·河北·学业考试）若，，且，则的最大值为．
【答案】
【分析】根据基本不等式得即可解决.
【详解】由题知，，，且
因为，
所以，
所以，即，
当且仅当，即时，取等号，
故答案为：
3-3．（2024高三上·湖南娄底·期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为．
【答案】6
【分析】利用已知化简可得，根据基本不等式计算即可.
【详解】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：6.
3-4．（2024·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 .
【答案】
【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.
【详解】∵，，，
∴，当且仅当即时取等号.
故答案为：.
3-5．（2024高三上·江苏常州·开学考试）已知正实数满足，则的最小值为 .
【答案】8
【分析】根据结合基本不等式即可得解.
【详解】解：因为，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
3-6．（2024·上海浦东新·二模）函数在区间上的最小值为．
【答案】．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】，
因为，所以，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
3-7．（2024·上海长宁·二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要米栅栏．
【答案】
【分析】设矩形植物种植园的宽、长为，由题意结合均值不等式求解即可.
【详解】设矩形植物种植园的宽、长为，
所以，
则，当且仅当“”时取等.
故至少需要米栅栏．
故答案为：．
（四）
不等式的求解
1．含参一元二次不等式的解法
（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类．
（2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
2．一元二次不等式恒成立问题
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
题型4：不等式的求解
4-1．（2024·全国）已知集合则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
4-2．（2024高一下·广东阳江·期末）不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】解：原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
4-3．（2024高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】见解析
【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.
【详解】方程：且
解得方程两根：；
当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
综上所述, 当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
4-4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 .
【答案】
【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.
【详解】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：
4-5．（2024高二下·吉林·期末）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是．
【答案】
【分析】根据题意，，使关于的不等式成立，则，即，，再结合对勾函数找到最大值即可求出实数的取值范围．
【详解】解：，使关于的不等式成立，
则，即，，
令，，则对勾函数在上单调递增，
所以，
故
故答案为：
4-6．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是．
【答案】
【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．
【详解】由不等式对恒成立，
可转化为对恒成立，即，
而，
当时，有最大值，所以，
故答案为：．
4-7．（2024高三上·北京·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果.
【详解】因为，所以由得，
因为关于的不等式在区间上有解，
所以只需小于等于的最大值，
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，
所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.