专题04 函数的概念与性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题04 函数的概念与性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共64页。试卷主要包含了函数的概念，函数的单调性，函数的最值，函数的奇偶性，函数的周期性，已知函数f=，若，则a=等内容，欢迎下载使用。


1．函数的概念
2．函数的单调性
3．函数的最值
4．函数的奇偶性
5．函数的周期性
周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个
【答案】B
【分析】利用函数的定义判断.
【详解】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，
故选：B.
2．（2024高一上·湖南·期中）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.
【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，
故选：.
3．（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
【答案】D
【分析】根据函数的定义域和同一函数的定义逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选：D．
4．（2024·河南·模拟预测）已知函数且，则（ ）
A．-16B．16C．26D．27
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
故选：C
5．（2024·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可.
【详解】解：当时，，
所以，即，解得，
当时，，
所以，即，解得，
所以，的取值范围是
故选：D
6．（2024·江西）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案
【详解】解：由题意得，
所以，解得a=.
故选：A
【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题
7．（2024·山东）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【答案】C
【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
8．（2024高一上·全国·课后作业）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增
【答案】A
【分析】根据条件可得当ab时，f(a)>f(b)，从而可判断.
【详解】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
9．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
【答案】B
【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.
【详解】
如图所示：
函数的单调递增区间是和．
故选：B.
10．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
11．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果
【详解】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
12．（2024高三上·山东·阶段练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分和分析函数内外层的单调性，列不等式求解
【详解】函数在区间 内有意义，
则，
设则 ，
( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使 在区间内内单调递增，
则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立；
因为时，所以与矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当时，是减函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使在区间内内单调递减，
则需使 对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，
所以，
又，所以.
综上，的取值范围是
故选：B
13．（2024高一上·四川广安·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意，，
在中，函数单调递增，
∴，解得：，
故选：C.
14．（2024高三上·江西抚州·期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.
【详解】函数在上是减函数，
当时，恒成立，
而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，
因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
15．（2024高一上·天津红桥·期末）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.
【详解】函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
所以或，即或.
故选：C
16．（2024·北京朝阳·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.
【详解】函数是奇函数，不符合；
函数是偶函数，但是在上单调递减，不符合；
函数不是偶函数，不符合；
函数既是偶函数又在区间上单调递增，符合.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
17．（2024·北京顺义·一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数，
在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意；
对于B，设，函数的定义域为R，
且满足，所以函数为偶函数，
当时，为单调递增函数，故B符合题意；
对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意；
对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
又函数在上单调递减，故D不符合题意.
故选：B.
18．（2024·北京海淀·二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.
【详解】对于A, 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，
对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，
对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故 为偶函数，故C错误，
对于D， 由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，
故选：D
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得，联立可得，即得答案.
【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，，
故，即，
将该式和相减可得，
则，
故选：C
20．（2024高三·全国·专题练习）设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数的奇偶性得到，，再结合题意即可求出的表达式．
【详解】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，
所以，，
因为①，
则②，
所以①+②得，
所以．
故选：A．
21．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【分析】代入计算并运用函数奇偶性求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
22．（2024·河南·模拟预测）已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解.
【详解】由于为奇函数，所以，
由得 ，
由于 所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为，
故选：A
23．（2024高三·重庆渝中·阶段练习）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0B．10C．D．
【答案】C
【分析】令，则，f(x)和g(x)在上单调性相同，g(x)时奇函数，可得g(x)在，据此可求M＋m，从而求出.
【详解】令，则，
∴f(x)和g(x)在上单调性相同，
∴设g(x)在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴g(x)在上为奇函数，∴，
∴，∴，
.
故选：C.
24．（2024高一下·福建福州·期中）已知函数，若，则（ ）
A．等于B．等于C．等于D．无法确定
【答案】C
【分析】首先证明是奇函数，由此可得也是奇函数，进而可得结果.
【详解】设，显然定义域为，
又，
则，所以是上的奇函数；
又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数，
因此，则.
故选：C.
25．（2024高一上·山西长治·阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出时，的解析式，把恒成立转化为，求出，解不等式即可.
【详解】若，则
∵，∴
即
∵时，恒成立，∴只需.
当时，最小值为（当时）；
当时，最小值为（当时），
∴
所以只需，解得：或
∴实数的取值范围是
故选：D
【点睛】方法点睛：分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法，结合最值即可求出结果.
26．（2024·全国·一模）已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.
【详解】当时，则，，
所以，，显然当时，
，故，，若对于任意正整数不等式
恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任
意正整数恒成立，设，，令，解得，
令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，
当时，有单调递减，故数列的最大值为，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.
27．（2024·四川内江·二模）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表达式，在根据函数思维求出f（x）最小值解不等式即可.
【详解】因为，所以，
因为时，，
所以,
因为函数满足，
所以，
所以，，
又因为，恒成立，
故，
解不等式可得或.
【点睛】考查函数的解析求法，解本题关键就是要能合理的运用已知条件将变量的范围变化到已知表达式范围中，然后根据函数的最值思维即可得出结论.
28．（2024高三·全国·专题练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有6个实数解
【答案】C
【分析】根据为奇函数，为偶函数，推出函数的一个周期为、的图象关于点对称、关于直线对称，再根据这些性质可判断A正确，B正确，C错误；作出与的大致图象，结合图像可判断D正确.
【详解】因为为奇函数，所以，则关于对称，即，
又为偶函数，所以，则关于对称，即，
所以，则，故，
所以，即，故，
所以的周期为8，
又当时，，
所以，故A正确；
由周期性知：，
所以，从而为奇函数，故B正确；
由题意，在与上单调性相同，而上递增，
关于对称知：上递增，故上递增，
所以在上是增函数，故C错误；
的根等价于与交点横坐标，
根据、对数函数性质得：，，
所以如图示函数图象：函数共有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确．

故选：C
29．（2024·湖北·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式转化为或，根据奇偶性和单调性可解.
【详解】已知是定义在上的偶函数，则，
又对任意，且，都有，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以，
根据函数的单调性可知：等价为或，
即或，解得或，
即不等式的解集为.
故选：.
30．（2024·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：D.
31．（2024·北京西城·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断的奇偶性与单调性，根据单调性转化不等式．再解不等式即可.
【详解】由得，即函数的定义域为．
因为，
所以为上的偶函数，
当时，，
因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，
又都是在上单调递减，
根据单调性的性质，可知函数在上单调递减，
又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，
又，所以，可得，
所以，且，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
32．（2024·河南商丘·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意不等式等价于，再根据函数的单调性分和两种情况讨论即可得解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，
当时，由，得，
当时，由，得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
33．（2024·安徽黄山·二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，即可转化为自变量的大小关系进行求解.
【详解】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，
由得，故 为偶函数，
当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得,
故选：C
34．（2024·河北唐山·一模）已知函数,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化简，得到，令，令，求得，得到在上单调递增，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又由，
所以函数为偶函数，则在上单调递减，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
35．（2024高二下·江苏镇江·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．∪D．∪
【答案】A
【分析】根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上单调递增，
所以可化为，即，
所以，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
二、多选题
36．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性直接求解.
【详解】函数在区间上是单调函数，又，且，
故此函数在区间上是减函数．
由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数．
对于A，，故，故A错误；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选:BD.
37．（2024高一上·浙江杭州·阶段练习）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】CD
【分析】根据函数奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】因为函数的定义域都为R，
所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
对于A，因为，
所以函数是奇函数，故A错误；
对于B，因为，
所以函数是偶函数，故B错误；
对于C，因为，
所以函数是奇函数，故C正确；
对于D，因为，
所以函数是偶函数，故D正确.
故选：CD.
38．（2024·河北·模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（ ）
A．4为函数的一个周期B．函数的图象关于点对称
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题中条件可得即可判断A,由的关系可判断B，由得进而可得 ，结合周期性即可判断CD.
【详解】由得，
由求导得，
又得，所以，
所以，所以，
所以，
所以4为函数的一个周期，A正确；
，故，
因此，
故函数的图象关于点对称，B正确，
在中，令
由得 为常数，故，
由函数的图象关于点对称，
，
因此，
所以由于的周期为4，所以的周期也为4，
由于，所以， ，
所以，故C正确，
由于
,故D错误，
故选:ABC
39．（2024·山东滨州·二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．的图象关于点对称B．8是的一个周期
C．一定存在零点D．
【答案】ACD
【分析】根据的图象关于点对称得的图象关于点对称，进而构造函数判断为偶函数，且关于对称，进一步得到的单调性，进而结合可求解ABD,由零点存在性定理即可判断C.
【详解】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确，
由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而，
所以的图象关于对称，
对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确
对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确，
对于B，，所以8不是的周期，
故选：ACD
【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，函数的常用性质有：奇偶性、单调性、对称性、周期性等.常见的奇偶性与对称性结合的结论有：
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
40．（2024高二下·江苏南通·期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数B．的周期
C．D．在单调递减
【答案】ABC
【分析】由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.
【详解】由的图象关于直线对称，则，
即，故是偶函数，A正确；
由，令，可得，则，
则的周期，B正确；
，故C正确；
又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【点睛】本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.
三、填空题
41．（2024高三·全国·专题练习）若，则 .
【答案】或
【分析】由解析式有意义可求，再求，由此可求.
【详解】由有意义可得
，
所以或，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或.
42．（2024高一下·湖北省直辖县级单位·期末）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由偶次根式、对数的性质求解即可.
【详解】要使函数有意义，则 ，解得.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
43．（2024高三上·海南·阶段练习）已知正数a，b满足，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据指对数的运算可求得的值，然后列出不等式求解即可得到函数的定义域.
【详解】由可得，即，所以，代入
即，解得或（舍），则
所以
解得
所以函数定义域为
故答案为:
44．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为， 则函数的定义域为
【答案】
【分析】令进行换元，根据已知函数的定义求u的范围即可.
【详解】令，由得：，
所以，即，
所以，函数的定义域为.
故答案为：
45．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答.
【详解】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】由函数的定义域可推得的定义域，再结合对数的真数大于0、要使函数有意义即可得出结论.
【详解】由函数的定义域是，得到，故 即 .
解得: ；所以原函数的定义域是：.
故答案为：.
47．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】直接解不等式可得.
【详解】由解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
48．（2024高一上·安徽合肥·期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由恒成立可得．
【详解】的定义域是R，则恒成立，
时，恒成立，
时，则，解得，
综上，．
故答案为：．
49．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得恒成立，分和两种情况分别考虑，解不等式即可得到所求范围．
【详解】因为函数的定义域为 R，所以的解为R，
即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为，以及二次不等式恒成立问题解法，属于中档题．
50．（2024高一上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若函数的定义域是R，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由函数定义域为R且负数不存在平方根的性质,推导出,转化成一元二次不等式恒成立的问题,利用判别式求解参数的取值范围.
【详解】由函数的定义域为R,得恒成立,化简得恒成立,所以由解得:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了已知复合函数定义域求参数的问题,考查了转化思想,由函数定义域为R,转化为一元二次不等式恒成立的问题,考查了运算能力,属于一般难度的题.
51．（2024高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 .
【答案】
【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.
【详解】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
故答案为：
52．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为 ．
【答案】．
【分析】由题可求，再利用数形结合即求.
【详解】∵定义在上的单调函数，对任意都有，
令，则，
在上式中令，则，解得，
故，
由得，即，
在同一坐标系中作出函数和的图像，

可知这两个图像有2个交点，即和，
则方程的解集为．
故答案为：.
53．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为
【答案】
【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，利用直线与圆的位置关系可求得过的圆的切线的斜率，结合图象可确定结果.
【详解】表示点与点连线的斜率，
的轨迹为圆，
表示圆上的点与点连线的斜率，
由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.
故答案为：.
54．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）函数的最大值为 .
【答案】/
【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
55．（2024·浙江）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
56．（2024·上海静安·二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】函数（）是偶函数，
，
，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为．
故答案为：．
57．（2024高三下·四川成都·期末）已知函数是偶函数，则 ．
【答案】-1
【分析】由，列出方程，求出的值.
【详解】定义域为R，
由得：，
因为，所以，故.
故答案为：-1
58．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知函数，若是偶函数，则 ．
【答案】
【分析】由的奇偶性可得，代入函数解析式列出等式求解，即可求得.
【详解】因为是偶函数，
所以，
，
即，
解得.
故答案为：.
四、解答题
59．（2024高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法即可求解；
（2）设，然后结合待定系数法即可得解；
（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.
【详解】（1）解：令，则，
故，
所以；
（2）解：设，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
（3）解：因为①，
所以②，
②①得，
所以.
60．（2024高三·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用换元法或者配凑法求解析式；
(2)构造方程组即可求解析式；
(3)令即可求得解析式.
【详解】（1）方法一（换元法）：令，则，．
所以，
所以函数的解析式为．
方法二（配凑法）：．
因为，所以函数的解析式为．
（2）将代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
61．（2024高一上·浙江·课后作业）已知，求的解析式.
【答案】
【分析】令，则，代入函数解析式可得解.
【详解】由，令，则，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了已知的解析式求解析式的求解，解题的关键是换元法，但是需要主要定义域的变化，属于基础题
62．（2024高一上·陕西延安·阶段练习）已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减,证明见解析；
(2)
【分析】（1）任取，且，作差判断符号，结合单调性的定义即可证明；
（2）利用单调性解不等式.
【详解】（1）在上递减，理由如下：
任取，且，则
，
因为，且，则有，，
可得，即，
所以在上单调递减；
（2）由（1）可知在上递减，
所以由，得
，解得，
所以实数的取值范围为．
63．（2024高三·全国·专题练习）设，，证明：函数是x的增函数．
【答案】证明见解析
【分析】利用函数单调性定义以及伯努利不等式进行证明即可.
【详解】证明：当，在伯努利不等式定理3中取，，
则有，即，
则有，从，
即.
所以当时，是x的增函数．
64．（2024高三上·上海静安·期中）已知函数，且.
(1)求的值，并指出函数的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
【答案】(1)，为奇函数
(2)证明见解析
【分析】（1）求出的值，根据与的关系判断的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义，任取，判断的符号得到的单调性.
【详解】（1）因为，又，所以，
所以，，
此时，所以为奇函数；
（2）任取，则
，
因为,所以,所以,
所以即，
所以函数在上是增函数.
65．（2024高三·全国·专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)偶函数
(4)非奇非偶函数
(5)偶函数
【分析】根据函数解析式，结合二次函数的图象画出（1）（2）（5）的图形，结合指数函数的图象画出（3）的图形，结合对数函数的图象画出（4）的图形，由奇偶函数图象的对称性依次判断即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；
（2）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故为偶函数；
（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，
再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得的图象，如图实线部分．
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图，
由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图，
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
66．（2024高一上·四川遂宁·期末）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：① ②
（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明：为奇函数；
【答案】（1）存在，；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用待定系数法，设出一次函数，代入①即可得，再代入②可得解析式；（2）首先令，计算出，然后令，即可得，得证.
【详解】解析：假设存在一次函数，设
则，
，所以，.
，故满足条件的一次函数为：
（2）定义在上的函数对任意的，
都有成立，
令，则，得
令，则
所以，即，于是
∴为奇函数.
【点睛】方法点睛：一般常见的求函数解析式常用方法有以下三种，
（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；
（2）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
（3）方程法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出．
67．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析.
【解析】（1）令，代入，可得答案；
（2）由（1）知，且，得出，利用偶函数的定义判断可得函数的奇偶性．
【详解】（1）依题意，.
（2）由（1）知，
∴，即，
∴，
又因为的定义域为，
所以函数为偶函数.
概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围
值域
与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
（一）
函数的概念与表示
1．函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
4．函数的定义域
（1）无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合．
（2）若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
（3）若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
5．函数解析式的求法
（1）配凑法．
（2）待定系数法．
（3）换元法．
（4）解方程组法．
6．分段函数求值问题的解题思路
（1）求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
题型1：函数的概念与表示
1-1．（2024高二下·宁夏吴忠·学业考试）如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念判断
【详解】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求
故选：D
1-2．（2024高三·全国·课后作业）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】对四个选项从定义域和对应关系两个方面一一验证，即可得到正确答案.
【详解】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；
故选：C
1-3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
【答案】A
【分析】
由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.
【详解】
由分段函数知：当时，周期，
所以，
所以．
故选：A
1-4．（2024·北京朝阳·二模）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】解不等式即可得函数的定义域.
【详解】令，可得，解得.
故函数的定义域为.
故答案为:.
1-5．（2024高三·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由题意知，解不等式即可求得答案.
【详解】因为函数的定义域为，
所以在函数中，，解得或，
故函数的定义域为.
故答案为：.
1-6．（2024高一上·湖南邵阳·期末）已知的定义域为，那么a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知，的解集为，由即可求出．
【详解】依题可知，的解集为，所以，解得．
故答案为：．
1-7．（2024高三·全国·专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据的值域是，分步求出的值域.
【详解】因为函数的值域是，
所以函数的值域为，
则的值域为，
所以函数的值域为．
故答案为：．
1-8．（2024高三·全国·课后作业）函数的值域为 .
【答案】
【分析】先求函数的定义域，由于，在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域．
【详解】由有意义可得，所以，
的定义域为，
，
设，则，，则.
故答案为：．
1-9．（2024高一·上海·专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.
【分析】（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；
（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；
（4）变形得，即可得解；
（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（6）令，则，将函数变形为，利用二次函数的性质计算可得；
（7）求出函数定义域，平方后利用二次函数的性质求值域即可；
（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（10）先进行换元，再利用对勾函数单调性求解值域即可.
【详解】解：（1）分式函数，
定义域为，故，所有，
故值域为；
（2）函数中，分母，
则，故值域为；
（3）函数中，令得，
易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，
故值域为；
（4），
故值域为且；
（5），
而，，
，，
即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，
则，
故，，，
由y的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，
故，所有，故值域为；
（10）函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
【点睛】方法点睛：
求函数值域常见方法：
（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函数等）；
（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；
（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.
1-10．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.
【答案】(1)，
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）设，由换元法可得出答案.
（2）由，由配凑法可得答案.
（3）可设f(x)=ax+b(a≠0)，利用待定系数法可得答案.
（4）将x用替换,由方程消元法可得答案.
【详解】（1）设，，则
∵
∴ ，
即，
（2）∵
由勾型函数的性质可得，其值域为
所以
（3）由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
（4）∵2f(x)+f(-x)=3x，①
∴将x用替换，得，②
由①②解得f(x)=3x.
（二）
函数的单调性与最值
1．函数的单调性
（1）∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
（2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
（3）y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
（4）复合函数的单调性：同增异减．
2．确定函数单调性的四种方法
（1）定义法．
（2）导数法．
（3）图象法．
（4）性质法．
3．函数单调性的应用
（1）比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决．
（2）求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
（3）利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
题型2：函数的单调性与最值
2-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围.
【详解】对任意的实数，都有,即成立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
可得：，
解得，
故选：C
2-2．（2024高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，则实数 .
【答案】3
【分析】
先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.
【详解】
∵函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，
故实数.
故答案为：3
2-3．（2024·河南·模拟预测）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为 ．
【答案】
【分析】易知是一个固定的数记为，得到，进而有，即，求得，利用函数的单调性求得其值域.
【详解】因为为定义在R上的单调函数，
所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，
．
易知在上为增函数，且，，
则在上的值域为．
故答案为：.
2-4．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为 .
【答案】
【分析】求导，根据两直线垂直得到切线在的斜率为2，得到方程，求出，由是增函数求出，得到的单调性，得到最大值.
【详解】由题意得，所以，
因为切线与直线垂直，而的斜率为，
所以切线斜率为2，即，解得，
所以，且，
显然是增函数，
当时，，
所以在上单调递增，故.
故答案为：
2-5．（2024·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性和对称性判断函数在上的单调性，再比较大小，结合的单调性即可得出答案．
【详解】解：因为函数是R上的偶函数，
所以函数的对称轴为，
又因为对任意，，且都有成立．
所以函数在上单调递增，
而，，，
所以，
所以，
因为函数的对称轴为，
所以，
而，
因为，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
（三）
函数的奇偶性
1．函数的奇偶性
（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性．
（2）偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数奇偶性的判断
（1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
（2）判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
3．函数奇偶性的应用
（1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
（2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
题型3：函数的奇偶性
3-1．（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，先求当时，，，再进一步求解.
【详解】当时，，，
则．
故答案为：.
3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】由于函数是上的奇函数，则.
当时，，
设，则，则，
所以.
综上所述，.
故答案为：
【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤：
（1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间；
（2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导；
（3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出.
3-3．（2024·新疆阿勒泰·一模）若函数为偶函数，则 .
【答案】2
【分析】由偶函数的概念列方程即可求得.
【详解】∵函数为偶函数
∴
即
又∵,∴
故答案为：
3-4．（2024高三下·江西·阶段练习）若函数是偶函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据偶函数的定义结合对数运算求得的值即可.
【详解】∵为偶函数，定义域为，
∴对任意的实数都有，
即，
∴，
由题意得上式对任意的实数恒成立，
∴，解得,所以
故答案为：1
3-5．（2024高一上·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）在上单调递增，证明见解析.
【解析】（1）取结合得出，再由证明函数的奇偶性；
（2）由奇偶性得出，再由函数单调性的定义结合证明函数在上的单调性.
【详解】解：（1）依题意，.
∴
∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴
即在上单调递增.
【点睛】关键点睛：在证明奇偶性时关键是利用求出，再由定义证明函数为偶函数；在证明单调性时，关键是由，结合，证明在上单调递增.
（四）
函数的周期性
1．函数周期性常用结论
（1）若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
（2）若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
2．函数的周期性
（1）求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
（2）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型4：函数的周期性
4-1．（2024高一下·全国·课后作业）在如图所示的的图象中，若，则 .
【答案】3
【分析】根据图象确定函数周期，利用函数的周期求值即可.
【详解】由图象知：周期为0.02，
所以.
故答案为：3
4-2．（2024高一上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则 .
【答案】/
【分析】先求出函数的周期，再通过周期以及时的解析式可得.
【详解】由得的周期，
，
又当时，，
.
故答案为：.
4-3．（2024高三·全国·对口高考）已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合函数的周期性和奇偶性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，并且满足，
则，
所以，函数是周期为的周期函数，
且当时，，则
.
故选：B.
4-4．（2024高一下·全国·课后作业）函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式.
【答案】
【分析】根据函数的周期性求得正确答案.
【详解】依题意，函数是以4为周期的周期函数，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
综上所述，.
（五）
函数的对称性
1、函数自身的对称性
(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：
，即。
推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。
(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：
，即。
推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。
2、不同函数对称性
(1)函数与的图像关于直线成轴对称。
推论1:函数与图象关于直线对称
推论2:函数与 图象关于直线对称
推论3:函数与图象关于直线对称
题型5：函数的对称性
5-1．（2024高三上·湖北武汉·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对称性先求出的解析式，再由平移得出的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域.
【详解】设为的图像上一点，则点关于直线对称的点为
由题意点在函数的图象上，则
所以，则
当时，，则
所以
故选：C
5-2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且对任意的实数x，恒成立.若存在实数，，…，（），使得成立，则n的最大值为（ ）
A．25B．26C．28D．31
【答案】B
【分析】求解本题的关键：一是根据已知条件得到，，从而求出函数的解析式；二是根据函数的解析式的结构特征换元求得时的值域；三是根据题意得到.
【详解】由题意得，，所以解得所以
.
令，若，则.
令，，故，即当时，.存在，，…，（）使得成立，即存在，，…，（），使得，由时，的最小值为2，最大值为51，得，得，又，所以可得n的最大值为26.
故选：B.
5-3．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设，易知，构造，利用导数研究其在上的单调性，并确定对称轴，进而得到的单调性，由等价于，即可求解集.
【详解】当时，，即有．
令，则当时，，故在上单调递增．
∵，
∴关于直线对称，故在上单调递减，
由等价于，则，得．
∴的解集为．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：首先确定符号，构造函数研究单调性、对称性，由等价于求解集．
5-4．（2024·贵州毕节·三模）已知定义在R上的函数满足：对任意，都有，且当时，（其中为的导函数）．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知确定函数的对称性与单调性，然后把“”后面自变量的值转化为同一单调区间上，可得大小关系．
【详解】由，得的图象关于直线对称，又时，，所以，即在上单调递减，所以在上单调递增，
，，，，
，，所以，
所以．
故选：C．