专题26 数列的概念6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题26 数列的概念6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共47页。试卷主要包含了数列的有关概念等内容，欢迎下载使用。


1．数列的有关概念
2.数列的分类
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
5．在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．
一、单选题
1．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由题意有，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，可得是以6为周期的周期数列，然后求解即可．
【详解】由题意有，且，
若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，
则，，，，，，，，，
则数列是以6为周期的周期数列，
则，
则数列的第100项为3，
故选：．
2．（2024高三·全国·对口高考）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】先根据递推公式代入计算出前几项的值，即可判别出数列是以3为最小正周期的周期数列，根据周期数列的性质特点即可计算出的值，得到正确选项．
【详解】数列中，，
可知，，，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
所以.
故选：A
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）在数列中，已知，当时，是的个位数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.
【详解】因为，当时，是的个位数，
所以，，，，，，，，，，
可知数列中，从第3项开始有，
即当时，的值以6为周期呈周期性变化，
又，
故.
故选：C.
4．（2024·浙江宁波·一模）设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不是充分也不是必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.
【详解】数列中，对任意，，
则，
所以数列为递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，
即，所以，，
如数列不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2024·浙江·二模）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一：由单调递增可得恒成立，则，分析和应用排除法确定正确选项；
解法二：借助函数的知识，将数列单调性转化为函数单调性，结合函数图象即可得解.
【详解】解法一：由单调递增，得，
由，得，
∴.
时，得①，
时，得，即②，
若，②式不成立，不合题意；
若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.
综上，排除B，C，D.
解法二：设，函数对称轴为，则，
联立，可得两函数的交点为，
若要，则，，所以，
又只要求存在实数，所以.
故选：A.
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出数列通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答
【详解】由可得，
两式相减可得，则，
当时，可得满足上式，故，
所以，
因数列为单调递增数列，即，
则
整理得，
令，则，
当时，，当时，，
于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得，
所以的取值范围为．
故选：A
7．（2024高一上·北京·期末）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】B
【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，且可以无限接近于0，所以，
所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
8．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断
【详解】若数列为递增数列，
则
，
即
由，所以有，
反之，当时，，则数列为递增数列，
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件，
故选：C.
9．（2024高三上·江苏南通·期末）已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.
【详解】因为，是递增数列，
所以，解得，
所以实数t的取值范围为，
故选：C
10．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数和的图象，结合图象分析求解.
【详解】因为是递增数列，所以，即．
如图所示，作出函数和的图象，
由图可知，当时，，且．
故当时，，且，
依此类推可得，
满足是递增数列，即的取值范围是．
故选:A.
11．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知数列为递减数列，其前n项和，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据通项与前n项和的关系可得当时，，再求解的解即可.
【详解】因为，所以数列为递减数列，
当时，，
故可知当时，单调递减，
故为递减数列，只需满足，即．
故选：A
12．（2024高二上·重庆·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．110B．128C．144D．89
【答案】C
【分析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，，根据初始值，由此递推即可求得结果．
【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈，
所以，，
又因为，，
所以，；
，；
，；
，；
，；
．
故选：C.
13．（2024·云南保山·二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（ ）

A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】由题意可知，去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，求解即可.
【详解】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，...，
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，
可得当，所有项的个数和为55，第56项为12，
故选：B.
14．（2024高三下·河南新乡·开学考试）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为.记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：；正方形数：；五边形数：；六边形数：，可以推测的表达式，由此计算（ ）
A．4020B．4010C．4210D．4120
【答案】B
【分析】根据题意列举前几项，分析可得，即可得结果.
【详解】由题意可得：，，
，.
由此可归纳，
所以，
故选：B.
15．（2024·全国·模拟预测）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（ ）
A．28B．36C．45D．55
【答案】B
【分析】根据数列的前几项求出三角数列以及正方形数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意可得，三角数列的通项为，
则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为，则，
其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，
∴在三角数列中，第二个正方形数是36.
故选：B.
16．（2024高三·重庆沙坪坝·阶段练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为，则（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【答案】B
【分析】根据题设数据可得，从而可求的值．
【详解】由题设中的数据可知数列满足：，，
故，
故选：B．
17．（2024高三·全国·专题练习）观察下列各式：
；
；
；
；
；
则（ ）
A．28B．76C．123D．10
【答案】C
【分析】利用题给条件观察出规律，进而求得的值.
【详解】设则
通过观察不难发现：从而
故，
故选：C.
18．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列．类似地，数1，4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列中，第二个正方形数是（ ）
A．36B．25C．49D．64
【答案】A
【分析】根据数列的前几项求出三角数列以及正方形数列的通项公式即可求解．
【详解】由题意可得，三角数列的通项为，则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为，则，其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，
∴在三角数列中，第二个正方形数是36．
故选：A．
19．（2024高二上·上海·期中）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】由利用二次函数的性质计算可得答案.
【详解】，
∵不等式恒成立，
∴，
解得，
故选：B．
20．（2024高三下·河南·阶段练习）数列满足，，若不等式，对任何正整数恒成立，则实数的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：依题意，由此可知，所以，所以
，对任何正整数恒成立，即．
考点：数列与不等式．
【思路点晴】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键．开始采用特殊项的办法，是合情推理与演绎推理，先根据特殊项，归纳出数列的通项公式，然后代入要求证的不等式，利用裂项求和法求得不等式坐标的和，然后利用恒成立问题来求得最小值．如果是解答题，归纳猜想出的通项公式还要用数学归纳法来证明．
21．（2024·北京）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．
【详解】
若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
22．（2024高三上·上海宝山·阶段练习）已知数列的前n项和为，则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合递增数列的意义判断作答.
【详解】令数列通项，显然为递增数列，而，是递减数列，
令，显然为递增数列，而时，，满足上式，即，为常数数列，
所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件.
故选：D
23．（2024高二·河北保定·阶段练习）若为数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．30
【答案】D
【分析】根据公式直接求出，进一步求出答案.
【详解】∵
∴.
故选：D.
【点睛】本题考查数列前项和与通项公式的关系，属于基础题.
24．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，，则（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】D
【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.
【详解】，，，
，
可得数列是以3为周期的周期数列，
.
故选：D.
25．（2024高三·全国·专题练习）数列…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分子和分母的数字特征，结合正负交替性进行求解判断即可.
【详解】
该数列的一个通项公式为
故选：D
26．（2024高一下·宁夏吴忠·期中）已知数列的所有项均为正数，其前项和为，且.则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，由可求得的值，当时，可得是等差数列，由等差数列的通项公式即可求解.
【详解】当时，，整理可得，
解得：或，
因为，所以，
当时，
，
整理可得： 即，
因为，所以，
所以是以为首项，公差为的等差数列，
所以，
故选：B.
27．（2024高三·全国·专题练习）若数列满足,，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
运用代入法进行求解即可.
【详解】
因为,，
所以有，
因此数列是以为周期的数列，
所以.
故选：D
28．（2024高二下·辽宁·期末）若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
【详解】数列满足，，依次取代入计算得，
，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.
故选：D.
29．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（ ）
A．1，B．0，C．，D．1，
【答案】A
【分析】利用的单调性可得答案.
【详解】因为，所以当时，，且单调递减；
当时，，且单调递减，且，
所以最小项为，最大项为.
故选：A.
30．（2024高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，数列满足，，则数列的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由递推公式，，两边取倒数可得：，，利用等差数列的通项公式可得，数列满足，，再利用等差数列的求和公式可得，利用导数研究函数的单调性即可得出．
【详解】解：，，
，即，，
数列以1为首项，2为公差的等差数列，
，
数列满足，，
所以
，时也成立），
所以，
令，，
，
可得：函数在上单调递减；在上单调递增．
而， ，
数列的最小值为．
故选：．
31．（2024高三上·湖北·期中）已知数列满足，.若，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】变形为可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求出后代入到可得结果.
【详解】由，得，所以，
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列求出是本题解题关键.
32．（2024·云南保山·一模）已知数列满足，，则等于
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用数列的递推关系式，推出数列是以首项为，公比为的等比数列，然后求解数列的通项公式．
【详解】由，得，且，
所以数列，因此是以首项为，公比为的等比数列，
故，因此，故选C．
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．
33．（2024高三·全国·专题练习）已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解法一：给已知等式两边同除以，令则可得，从而得数列是等比数列，求出，进而可求出；解法二：设，化简后与已知等式比较可得，从而可得数列是首项为，公比为2的等比数列，进而可求出.
【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：设，则，
与比较可得，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，
故选：D
34．（2024高二下·辽宁·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
因为数列是递增数列，
所以，解得，即.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数以及递增数列的综合应用，主要考查了分段函数的单调性，若分段函数为增函数，关键是函数在各段上均为增函数，且满足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本题需要额外注意.
35．（2024高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）若数列{}的前n项和为＝，=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用与的关系求得数列的通项公式，利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，即，
∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，
所以.
故选：B.
36．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知得，再由累加法可得答案.
【详解】由题意，得，则当时，
，，，，
以上各式相加得
所以，
所以，
即，
当时，适合此式，
所以.
故选：D.
37．（2024高三·全国·专题练习）设表示不超过x的最大整数，如，.已知数列满足：，，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法求出通项公式，进而化简利用裂项相消法求解数列的和即可.
【详解】由，得，
因为，所以
，
则，
所以
，
，
故选：A.
二、多选题
38．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．
B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．
C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．
D．若数列的前n项和为，则对任意，都有.
【答案】ACD
【分析】根据数列的定义、数列的单调性、数列的图象特征、与之间的关系逐一判断即可.
【详解】由数列的定义可知选项A正确；
一个数列可以是常数列，因此选项B错误；
根据数列的图象特征可知选项C正确；
由的意义可知选项D正确，
故选：ACD
39．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据n的奇偶性分类讨论逐一判断即可.
【详解】对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；
对于B显然正确；
对于C，当时，，显然不符合；
对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.
故选：ABD．
40．（2024高三·全国·专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
根据n的奇偶性分类讨论逐一判断即可.
【详解】
对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；
对于B，当n为奇数时，，当n为偶数时，故B中通项公式不正确；
对于C，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故C中通项公式正确；
对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.
故选：ACD
41．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】计算出数列的前几项可判断AC，再寻找规律可判断BD．
【详解】由题意，，故A正确，
，故C正确；
，，，∴数列是周期数列，周期为3．
，故B错误；
，故D正确．
故选：ACD．
42．（2024高三上·湖北·阶段练习）已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是( )
A．B．是递增数列
C．D．数列为周期数列
【答案】ABC
【分析】利用数列的递推关系式推出，说明数列是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误．
【详解】数列满足：，当时，，
，
∴数列是首项为，公差为1的等差数列，
，
，故C正确；
，故A正确；
∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
43．（2024·河南新乡·二模）已知正项数列满足，，，若是唯一的最大项，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据数列递推关系得到是等比数列，进一步求出的通项公式，利用是最大项建立不等式求解即可.
【详解】因为，所以，又，，
所以是首项为64，公比为k的等比数列，则，
则，
因为是唯一的最大项，所以，即，解得，
即k的取值范围为.
故答案为：.
44．（2024高三上·北京·阶段练习）数列中，，则此数列最大项的值是 .
【答案】
【分析】配方得出，利用二次函数的基本性质可求得最大项的值.
【详解】因为，
故当或时，取得最大值.
故答案为：.
45．（2024高三上·江苏连云港·期中）已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝ ．
【答案】5
【分析】结合， 的函数图象和特殊值的思路，得到数列正负情况，即可得到当时，取得最大值，即.
【详解】
如图，为和的图象，设两个交点为，，
因为，所以，
因为，，所以，
结合图象可得，当时，，即，
当时，，即，所以当时，取得最大值，即.
故答案为：5.
46．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为 ．
【答案】/1.5
【分析】利用差比法判断数列的单调性，结合单调性进行求解即可.
【详解】∵，
∴数列为单调递减数列，．从而，
即k的最小值为．
故答案为：
47．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，且，则数列的前2009项之和为 .
【答案】/
【分析】由递推数列可得数列是以4为周期的数列，再由结合递推数列求出，则，代入求解即可.
【详解】由，得，则
，
，
∴数列是以4为周期的数列，.
由可得，，
.
故答案为：.
48．（2024高二下·全国·课后作业）正项数列中，，，猜想通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用取倒数，可得为等差数列，即可求解.或者利用列举法，罗列前面的项，通过规律猜想.
【详解】方法一:由得，所以为等差数列，且公差为3，首项为1，故，故，
方法二：由得，，
由此可猜想
故答案为：
49．（2024·广东佛山·模拟预测）数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】
将已知等式变形后，找到满足等式的通项公式即可.
【详解】由得：，
则当时，，，故满足递推关系，
又，满足，
满足条件的数列的一个通项公式为：.
故答案为：（答案不唯一）.
50．（2024·全国·模拟预测）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第 项．
【答案】
【分析】利用递推关系，将所求关系式中的“”换为，再利用即可求得答案．
【详解】由可得
.
故答案为：.
51．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，则S3= ．
【答案】10
【解析】直接由通项公式求得前三项进而求和即可.
【详解】因为，所以．
即．
故答案为：10.
【点睛】本题主要考查了数列通项公式的概念，属于基础题.
52．（2024高一下·江苏无锡·期中）已知数列{}的通项公式为，那么是它的第 项．
【答案】
【详解】试题分析：由得因为解得
考点：数列通项
53．（2024高一下·吉林长春·期中）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 ．
【答案】
【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。
【详解】第一图点数是1；第二图点数 ;第三图是 ；第四图是
则第个图点数
故答案为：
【点睛】本题考查由数列的前几项求通项公式.
数列的前几项求通项公式的思路方法：给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，注意代值检验．
54．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和，则 .
【答案】
【分析】分和讨论即可.
【详解】当时，，
当时，，
不满足上式.故.
故答案为：.
55．（2024高三上·广东深圳·期末）在数列中，是其前n项和，且，则数列的通项公式 ．
【答案】，.
【分析】利用，求解数列的通项公式.
【详解】当时，，解得：，
令时，，即，解得：，
当时，，
故，
所以时，为公比为2的等比数列，
所以，
显然时，满足，
综上：，.
故答案为：，.
56．（2024高三·全国·专题练习）若数列满足：，，则数列的通项公式为 ．
【答案】/
【分析】用累加法可得答案.
【详解】由，得，所以
当时，
，而满足上式，
所以.
故答案为：.
57．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前5项为，，，，，则的一个通项公式为 .
【答案】
【分析】观察分子分母的规律可得答案.
【详解】因为2，6，12，20，30分别可分解为，
所以的第n项的分子可表示为；
因为3，5，3，5，3分别减4得，
所以数列的第n项的分母可表示为，
故数列的一个通项公式为.
故答案为：.
58．（2024高二·全国·专题练习）数列－，，－，，…的一个通项公式an＝ .
【答案】
【分析】由于这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，从而可求得其通项公式
【详解】这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为
故答案为：
59．（2024高一·全国·课后作业）数列5，55，555，5555，…的一个通项公式为 .
【答案】
【分析】将前四项前变形，发现其规律，即可得出结论.
【详解】数列前四项可改换形式为,，，，
所以该数列的通项公式为，验证满足.
故答案为:.
60．（2024高一下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，则的通项公式为
【答案】
【分析】根据与的关系即可求解.
【详解】当时，，
当时，，
另时，，此式不满足，
所以的通项公式为.
故答案为：.
61．（2024高二·全国·课后作业）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由题化简可得，当时，求出，当时，由，可求出，再验证是否满足，即可求出数列的通项公式.
【详解】因为，所以，即．
当时，，
当时，，
显然不满足上式.
所以．
故答案为：.
62．（2024·江西南昌·一模）已知数列满足，则 ．
【答案】
【解析】项和转化可得，讨论是否满足，分段表示即得解
【详解】当时，由已知，可得，
∵，①
故，②
由①-②得，
∴．
显然当时不满足上式，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了利用求，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.
63．（2024·上海·一模）已知数列的首项，其前项和为．若，则 ．
【答案】
【详解】已知数列的前项和的关系，要求项，
一般把已知中的用代换得
，两式相减得，
又，，
所以数列从第二项开始成等比数列，
因此其通项公式为．
64．（2024高三上·湖北·开学考试）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为 .
【答案】16
【分析】根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.
【详解】由得,当时，单调递减，且，
当时，，故当时，，当时，，且，
所以当时，最小.
故答案为：16
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
（一）
Sn与an的关系问题的求解思路
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
题型1：由an与Sn的关系求通项公式
1-1．（2024·浙江）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ ，S5＝ ．
【答案】 1 121
【详解】试题分析：，
再由，又，
所以
【考点】等比数列的定义，等比数列的前项和．
【易错点睛】由转化为的过程中，一定要检验当时是否满足，否则很容易出现错误.
1-2．（2024·北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．
【答案】；3
【详解】数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项．
1-3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，，且
，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】根据之间的关系，结合累和法、等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】当时，，
因为，，所以，
因此当时，，
于是当时，
，
显然适合，
故，
故答案为：.
1-4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）数列满足，（，），则 .
【答案】
【解析】利用项和转换，得到，故是以为首项，为公差的等差数列，可得，再借助，即得解.
【详解】由于，
即
故是以为首项，为公差的等差数列
由于
故答案为：
【点睛】本题考查了数列递推关系，考查了学生分析问题的能力，数学运算的能力，属于中档题.
（二）
由数列的递推关系求通项公式
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的数列，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
题型2：累加法
2-1．（2024·安徽安庆·一模）数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用累加法求出，然后可得，然后可得答案.
【详解】
从而可得
即， 因为，所以.
故答案为：
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的最小值为
【答案】9
【分析】由已知可得时，.累加法可推得，进而得出.构造，根据对勾函数的性质，得出函数的单调性，进而根据，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以当时，有.
则有
，
，
，
，
两边分别相加可得，，
所以.
当时，满足条件.
所以，，
所以.
设，
根据对勾函数的性质可知，当时，单调递减；当时，单调递增.
又，，
所以，当或时，有最小值为9.
故答案为：9.
题型3：累乘法
3-1．（2024高三·全国·专题练习）若，则通项公式 .
【答案】
【分析】由已知可得，然后利用累乘法可求得结果.
【详解】由，得，
所以，，，……，，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为满足上式，所以，
故答案为：
3-2．（2024高三·全国·专题练习）在数列{an}中，，则数列{an}的通项公式an＝ .
【答案】
【解析】依题意可得，再利用累乘法求数列的通项公式；
【详解】解：由得，
∴
当时，适合上式．
故.
故答案为：
【点睛】本题考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题.
3-3．（2024高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】由题意可得，然后利用累乘法可求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，，，……，，，
所以，
所以，
因为，所以符号该式，
故答案为：
（三）
数列的性质
(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
题型4：数列的单调性
4-1．（2024·北京·二模）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意确定数列的特征，然后结合数列的特征给出满足题意的数列的通项公式即可.
【详解】因为，则数列是递增的，
又，
所以最小，数列从第7项开始为正，而，
因此不妨设数列为等差数列，公差为1，，
所以，满足条件的数列的一个通项公式.
故答案为：（答案不唯一）.
4-2．（2024高一下·上海闵行·期末）已知数列的前项和为，，若为递减数列，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据求出，再由数列是减数列，得到，进而可求出结果.
【详解】因为数列的前项和为，，
所以，
又，
则，
因为时，数列显然是减数列，
为使时，为递减数列，只需，即，所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查由数列的增减性求参数，考查由数列的前项和求通项公式，属于常考题型.
4-3．（2024高二下·北京顺义·阶段练习）已知数列的通项公式为（）.写出一个能使数列是递增数列的实数b的值 .（写出一个满足条件的即可）
【答案】答案不唯一，只要填的值在均可
【分析】结合分析即可得出能使数列是递增数列的充要条件为
【详解】
设,结合图像可知,数列是递增数列等价于
即,即,解得
故答案为：答案不唯一，只要填的值在均可
4-4．（2024高二上·河北衡水·期中）数列满足：.若是递增数列，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知条件推导出恒成立，由此能求出实数的取值范围．
【详解】解：数列的通项公式为，，数列是递增数列，
恒成立
的最小值是
即实数的取值范围是．
故答案为：．
题型5：数列的周期性
5-1．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，对所有的正整数都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得得到数列的周期，进而解决问题.
【详解】由得，
两式相加得，
，
是以6为周期的数列，
而，
.
故选：B.
5-2．（2024·北京通州·三模）数列中，，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得，即可得到数列的周期，从而得到结果.
【详解】因为，令，则，求得，
令，则，求得，令，则，求得，
令，则，求得，令，则，求得，
令，则，求得，，
所以数列的周期为，则.
故选：C
5-3．（2024高三·全国·对口高考）设函数定义如下，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为（ ）
x
1
2
3
4
5
4
1
3
5
2
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】根据题意得到数列是项为周期的周期数列，结合，即可求解.
【详解】由对任意自然数均有，且，
可得，，，
，，，
所以数列是项为周期的周期数列，且前四项分别为，
所以.
故选：B.
5-4．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，已知，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，结合，得到，求得，从而求得，，结合周期性，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，所以，整理得，
由于，解得，从而，，
可知，
因为，所以．
故选：C．
题型6：数列的最值
6-1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列中的最大项为 ．
【答案】
【分析】设数列{an}中的第n项最大,建立不等式组求解即可得出结果.
【详解】设数列{an}中的第n项最大，
则 即
解得8≤n≤9.
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
故数列{an}中的最大项为第8项和第9项，且a8＝a9＝.
故答案为：
6-2．（2024高二·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】由，得到数列为递增数列求解.
【详解】因为，
易知数列为递增数列，
所以数列的最小项为，即最小值为.
故答案为：
6-3．（2024高二·全国·课后作业）已知，若数列中最小项为第3项，则 ．
【答案】
【分析】结合二次函数的图像和性质即可知，从而可求出的取值范围.
【详解】因为开口向上，对称轴为，
则由题意知，
所以．
故答案为：.
6-4．（2024·河北·高考模拟）数列的通项公式为若是中的最大项，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性结合是中的最大项列出不等式即可求解.
【详解】当时，单调递增，
因此时，取得最大值为，
当时，，
因为是中的最大项，
所以解得，
故答案为: .
6-5．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前n项和，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用等比数列前n项和公式求出，再判断数列单调性作答.
【详解】依题意，数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
于是，令，
则有，
显然当时，，即，因此当时，数列是递增的，
又，所以的最小值为.
故答案为：
6-6．（2024·湖南邵阳·模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于 .
【答案】/1.75
【分析】由条件求数列的通项公式，再研究数列的单调性，由此确定其最大项.
【详解】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为：
，该数列为首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以
因为
所以当时，，即，
又，
所以数列的最大项为第二项，其值为.
故答案为：.