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专题39 两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）
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这是一份专题39 两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共15页。试卷主要包含了两条直线的位置关系，五种常用对称关系等内容，欢迎下载使用。
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
一、单选题
1．（2024高二上·浙江·期中）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2B．3C．5D．10
3．（2024高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
4．（2024高二·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·浙江温州·三模）已知直线，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件
7．（2024高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
13．（2024·北京东城·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）
A．个B．2个C．个D．无数个
14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024高一下·海南·期末）设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，下列说法正确的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，与都相交D．，使得原点到的距离为3
18．（2024·全国）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A．B．C．D．
19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔABC的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A．B．C．D．
20．（2024高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3B．2C．3D．4
21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（ ）
A．B．C．1D．2
22．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ）
A．B．3C．D．
24．（2024高二下·陕西西安·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．C．5D．10
25．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·贵州·模拟预测）已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
27．（2024·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2024高三·北京·强基计划）的最小值所属区间为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A．B．
C．D．
二、多选题
30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则D．若，则直线，一定相交
32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的一个法向量为
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线和直线，则（ ）
A．曲线上与直线l平行的切线的切点为
B．曲线上与直线l平行的切线的切点为
C．曲线上的点到直线l的最短距离为
D．曲线上的点到直线l的最短距离为
34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是1
B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D．直线，若，则或2
三、填空题
35．（2024高二·全国·课后作业）已知，，点是线段的中点，则 .
36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点与点间的距离为，则 ．
37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 .
38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ．
39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于
40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点到直线的距离的最大值是 ．
41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 .
42．（2024高二·全国·课堂例题）已知点，，，则的面积为 ．
43．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零)的垂线，垂足为M，则的取值范围是 ．
44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点、、，且，则 .
45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 .
46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 .
47．（2024·四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．
48．（2024高三·陕西·阶段练习）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)．
49．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
50．（2024高三·全国·专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .
51．（2024高一·全国·课后作业）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
52．（2024高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 .
53．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数，满足，，，则的最小值是 ．
四、解答题
54．（2024高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
55．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过点，且平行于向量.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程.
56．（2024高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，.
(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
57．（2024高二·全国·课后作业）已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标．
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
（一）
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
题型1：两条直线的平行与垂直
1-1．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）直线：与直线：平行， 则（ ）
A．或B．C．D．
1-2．（2024高二下·广东深圳·阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．
1-3．（2024高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
1-4．（2024高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
1-5．（2024高二上·浙江温州·开学考试）设直线，，则是的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
1-6．（2024高一·全国·课后作业）已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（ ）
A．B．
C．0D．8
（二）
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
题型2：两直线的交点问题
2-1．（2024高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ）
A．或B．或
C．或D．且
2-2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20B．C．0D．24
2-3．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
2-4．（2024高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型3：点到直线的距离问题
3-1．（2024高二上·江苏淮安·期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则 .
3-2．（2024高二上·江西新余·开学考试）若点到直线的距离为3，则 .
3-3．（2024高二上·全国·课后作业）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ．
3-4．（2024高二上·吉林长春·期中）已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3-5．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
题型4：平行线间距离问题
4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ．
4-2．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）平行直线与之间的距离为 ．
4-3．（2024高二上·浙江温州·开学考试）若两条直线与平行，则与间的距离是 .
题型5：有关距离的最值问题
5-1．（2024高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
5-2．（2024高二·全国·课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．
5-3．（2024高一·全国·课后作业）在直线上求一点P，使得：
(1)P到和的距离之差最大；
(2)P到和的距离之和最小.
5-4．（2024高三下·江西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．6
5-5．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
5-6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A．B．
C．D．
5-7．（2024高三下·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
（三）
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．
题型6：点线对称
6-1．（2024高二上·全国·课后作业）若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ）
A．B． C．D．
6-2．（2024高二下·江西·开学考试）如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（ ）
A．B．6C．D．
6-3．（2024高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
题型7：线点对称
7-1．（2024高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ．
7-2．（2024高三上·辽宁营口·期末）若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 .
7-3．（2024高二上·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
7-4．（2024高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ．
题型8：线线对称
8-1．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
8-2．（2024高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8-3．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
（四）
题型9：直线系方程
9-1．（2024高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 .
9-2．（2024高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
9-3．（2024高三·全国·专题练习）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
一、单选题
1．（2024高二上·浙江·期中）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2B．3C．5D．10
3．（2024高二·全国·课后作业）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
4．（2024高二·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·浙江温州·三模）已知直线，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件
7．（2024高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
13．（2024·北京东城·二模）已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）
A．个B．2个C．个D．无数个
14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024高一下·海南·期末）设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直
16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，下列说法正确的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，与都相交D．，使得原点到的距离为3
18．（2024·全国）如果直线与直线关于直线对称，那么（ ）
A．B．C．D．
19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔABC的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A．B．C．D．
20．（2024高三·全国·课后作业）若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3B．2C．3D．4
21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到点，如图，若光线经过的重心，则（ ）
A．B．C．1D．2
22．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ）
A．B．3C．D．
24．（2024高二下·陕西西安·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．C．5D．10
25．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·贵州·模拟预测）已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
27．（2024·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2024高三·北京·强基计划）的最小值所属区间为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A．B．
C．D．
二、多选题
30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则D．若，则直线，一定相交
32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的一个法向量为
B．若直线m：，则
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线和直线，则（ ）
A．曲线上与直线l平行的切线的切点为
B．曲线上与直线l平行的切线的切点为
C．曲线上的点到直线l的最短距离为
D．曲线上的点到直线l的最短距离为
34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是1
B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D．直线，若，则或2
三、填空题
35．（2024高二·全国·课后作业）已知，，点是线段的中点，则 .
36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点与点间的距离为，则 ．
37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 .
38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为 ．
39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于
40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点到直线的距离的最大值是 ．
41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为 .
42．（2024高二·全国·课堂例题）已知点，，，则的面积为 ．
43．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零)的垂线，垂足为M，则的取值范围是 ．
44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点、、，且，则 .
45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 .
46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为 .
47．（2024·四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．
48．（2024高三·陕西·阶段练习）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)．
49．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
50．（2024高三·全国·专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .
51．（2024高一·全国·课后作业）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 .
52．（2024高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 .
53．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数，满足，，，则的最小值是 ．
四、解答题
54．（2024高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
55．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过点，且平行于向量.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程.
56．（2024高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，.
(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
57．（2024高二·全国·课后作业）已知点，点P在x轴上使最大，求点P的坐标．
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
（一）
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
题型1：两条直线的平行与垂直
1-1．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）直线：与直线：平行， 则（ ）
A．或B．C．D．
1-2．（2024高二下·广东深圳·阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．
1-3．（2024高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
1-4．（2024高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
1-5．（2024高二上·浙江温州·开学考试）设直线，，则是的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
1-6．（2024高一·全国·课后作业）已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（ ）
A．B．
C．0D．8
（二）
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
题型2：两直线的交点问题
2-1．（2024高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ）
A．或B．或
C．或D．且
2-2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20B．C．0D．24
2-3．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
2-4．（2024高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型3：点到直线的距离问题
3-1．（2024高二上·江苏淮安·期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则 .
3-2．（2024高二上·江西新余·开学考试）若点到直线的距离为3，则 .
3-3．（2024高二上·全国·课后作业）过直线与直线的交点，且到点的距离为1的直线l的方程为 ．
3-4．（2024高二上·吉林长春·期中）已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3-5．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
题型4：平行线间距离问题
4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不过原点的直线与直线平行，且直线与的距离为，则直线的一般式方程为 ．
4-2．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）平行直线与之间的距离为 ．
4-3．（2024高二上·浙江温州·开学考试）若两条直线与平行，则与间的距离是 .
题型5：有关距离的最值问题
5-1．（2024高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
5-2．（2024高二·全国·课堂例题）已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．
5-3．（2024高一·全国·课后作业）在直线上求一点P，使得：
(1)P到和的距离之差最大；
(2)P到和的距离之和最小.
5-4．（2024高三下·江西·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．6
5-5．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
5-6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A．B．
C．D．
5-7．（2024高三下·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为 ．
（三）
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
求直线l关于直线对称的直线
若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．
此时分别为，由，求得，从而得．
若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．
题型6：点线对称
6-1．（2024高二上·全国·课后作业）若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ）
A．B． C．D．
6-2．（2024高二下·江西·开学考试）如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（ ）
A．B．6C．D．
6-3．（2024高二上·四川遂宁·期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
题型7：线点对称
7-1．（2024高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ．
7-2．（2024高三上·辽宁营口·期末）若直线：与直线关于点对称，则当经过点时，点到直线的距离为 .
7-3．（2024高二上·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ．
7-4．（2024高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ．
题型8：线线对称
8-1．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
8-2．（2024高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8-3．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
（四）
题型9：直线系方程
9-1．（2024高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 .
9-2．（2024高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
9-3．（2024高三·全国·专题练习）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
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