专题13 导数的应用--函数的极值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题13 导数的应用--函数的极值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共76页。试卷主要包含了函数的极值等内容，欢迎下载使用。


1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
一、单选题
1．（2024·全国）若是函数的极值点，则的极小值为．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2．（2024高二下·安徽亳州·期末）设函数一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图象关于y轴对称，所以是其极大值点,错误；对于C中的是将的图象关x轴对称，所以才是其极小值点，错误；而对于D中的是将的图象关原点对称，故是其极小值点，正确.
故选D.
3．（2024高三上·全国·单元测试）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
4．（2024高三·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)
【答案】B
【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
5．（2024·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值D．无极大值，无最大值
【答案】D
【分析】利用导函数研究单调性，结合区间最值求得，进而判断在上的单调性，即可得答案.
【详解】由，则时，时，
所以在上递增，上递减，
而，在上的最大值为k，
所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
6．（2024高二下·河北秦皇岛·期末）已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据函数图象得到的取值情况，即可得到的单调性，即可得到极值点数.
【详解】由图可知，当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减.
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
故极值点的个数为.
故选：B
7．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．是函数的极小值点
B．是函数的极大值点
C．函数在上单调递增
D．函数在处的切线斜率小于零
【答案】C
【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
【详解】由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点，即选项A、B错误，C正确；
对选项D：显然，故D错误.
故选：C．
8．（2024·陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
【答案】A
【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．
9．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用导数求出函数极小值作答.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
，，则由，得或，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，取得极小值，
所以函数的极小值为.
故选：A
10．（2024高三·全国·专题练习）函数的大致图像如图所示，，是函数的两个极值点，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求得，将已知条件，是函数的两个极值点转化为，是的两个根，再根据韦达定理求解即可．
【详解】因为函数的图像过原点，所以．
又，即，解得，
所以，则，
又，是函数的两个极值点，
所以，是的两个根，
所以，，
所以．
故选：C．
11．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）已知实数成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据实数成等比数列，可得．利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出结论．
【详解】因为实数成等比数列，所以，
由，得，
令，解得，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减．
所以时，函数取得极小值，时，函数取得极大值．
因为曲线的极大值点为，极大值为，
所以，，即．
所以，所以，
故选：A．
12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①x=-2是函数的极值点；
②x=1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．①④
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.
【详解】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；
对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；
对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；
对于④，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.
故选：D
【点睛】根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号.
13．（2024高二下·全国·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.
【详解】由图像知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
14．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.
【详解】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，
若有3个单调区间，
不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，
则在上单调递增，在上单调递减，（若定义域为内不连续不影响总体单调性），
故，不合题意，
若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；
若有4个单调区间，
例如的定义域为，则，
令，解得或，
则在上单调递增，在上单调递减，
故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，
综上所述：至少有4个单调区间.
故选：B.
15．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a因为，，且当时，；当c当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断.
【详解】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
二、多选题
17．（2024·全国·模拟预测）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．有两个极值点B．为函数的极大值
C．有两个极小值D．为的极小值
【答案】BC
【分析】利用函数图象判断符号，从而判断的单调性，进而根据极值点、极值的概念判断即可.
【详解】由题图知，当时，，所以，当时，，所以，
当时，，所以，当时，，所以.
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值.
故AD错误，BC正确.
故选：BC
18．（2024·全国）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
19．（2024·全国）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
20．（江西省丰城中学2024届高三上学期入学考试数学试题）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）

A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．是的极小值点
【答案】ABC
【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断；
【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．故A、C正确；
当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；
当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误．
故选：ABC．
21．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）
A．1是的极大值，也是的极大值B．1是的极大值，也是的极小值
C．1是的极小值，也是的极小值D．1是的极小值，也是的极大值
【答案】ABC
【分析】由题意构造函数图象满足题干依次判定选项即可.
【详解】对于A选项，构造如图所示图象，则A选项正确；

对于B选项，构造如图所示图象，则B选项正确；

对于C选项，构造如图所示图象，则C选项正确；

对于D选项，因为1是的极小值，则在1的附近存在，使得，
又1也是的极大值，则在1的附近存在，使得，
所以在1的附近存在与，使得，不合题意，故D错误.
故选：ABC.
22．（2024高二下·福建厦门·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A．在区间上单调递减
B．在处取得极大值
C．在区间上有2个极大值点
D．在处取得最大值
【答案】AB
【分析】根据导函数的图象可分析出的单调性，进而可判断各选项.
【详解】由导函数的图象可知：
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增.
故A，B正确，C，D错误.
故选：AB
23．（2024高三上·广西百色·阶段练习）函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据极值点个数，将问题转化为方程在有两个不等实根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得A正确；利用韦达定理和的范围可确定BC正确；构造函数，通过导数可求得，由此可确定D正确.
【详解】对于A，的定义域为，，
有两个极值点等价于方程在有两个不等实根，
，解得：，A正确；
对于B，，，，
又，，即，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，；
令，则，
令，则，
在上单调递减，，
在上单调递减，，
，，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围、利用导数证明不等式的问题；本题求解参数范围的基本思路是将问题转化为导函数变号零点个数问题的求解，根据方程根的分布来构造不等关系；本题证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而构造关于单一变量的函数来求解.
24．（2024·全国）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
25．（2024高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．在上有两个极值点B．在处取得最小值
C．在处取得极小值D．函数在上有三个不同的零点
【答案】AC
【分析】利用导数可求得的单调性，结合极值可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，
当时，，，恒成立；
可作出图象如下图所示，

对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确；
对于B，不是的最小值，B错误；
对于C，在处取得极小值，C正确；
对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误.
故选：AC.
26．（2024高三上·福建福州·阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最大值
【答案】BC
【分析】由已知，根据题意给出的的图像可判断函数的单调区间以及其极大值和极小值点，故可选出正确选项B，C，而选项A不能判断，选项D极小值一定不是最大值.
【详解】由已知，根据函数的导函数的图像可知，
在时，，所以函数在区间单调递减；
在时，，所以函数在区间单调递增；
在时，，所以函数在区间单调递减；
在时，，所以函数在区间单调递增；
所以和为函数的极小值点，为函数的极大值点，
所以，选项A，并不能确定为函数的零点；
选项B，正确；
选项C，正确；
选项D，是函数的极小值，一定不是最大值，故不正确.
故选：BC.
三、填空题
27．（2024高三·全国·专题练习）函数的极大值点和极大值分别为 ，
【答案】
【分析】运用导数研究函数的单调性进而求得函数的极大值点与极大值.
【详解】函数的定义域为，
，
令，
则，，
所以当x变化时，与的变化情况如下表：
所以，函数的极大值点为，极大值为.
故答案为：；.
28．（2024·全国）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
29．（2024高三·全国·专题练习）函数 的极大值为 ；极小值为 .
【答案】
【分析】对函数求导，通过导数判定的单调性，进而可求出极值.
【详解】由于函数的定义域为R，
，
令得或，列表：
由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为，
故答案为：；.
30．（2024高二下·陕西渭南·期末）已知函数，在时有极大值，则的极大值为
【答案】
【分析】先求导函数根据极大值点求参，再根据极大值舍去不合题意的参数，最后计算极大值即可.
【详解】由得，
∵在处取得极大值，∴，即，解得或，
当时，，令，得或，令得，
∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
∴在处取得极小值，故不满足题意舍去，
当时，，令，得或，令，得，
∴在上是增函数，在上是减函数，∴在处取得取大值，符合题意．综上， ．
则的极大值为
故答案为:.
31．（2024高三上·贵州遵义·阶段练习）函数的极值点的个数为 .
【答案】2
【分析】求出导函数，对引入两个函数与，由它们的图象交点个数得出的解的个数，从而确定的正负，得极值点个数．
【详解】依题意，得，
令，得，作出与的图象，如图所示，
由图可知这两个函数图象有两个交点，设交点的横坐标为.
当时，，递减；
当时，，递增；
当时，，递减．
所以有2个极值点.
故答案为：2.

32．（安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题）已知函数在时有极值为0，则 .
【答案】11
【分析】由题意，代入解出，再检验即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得，或，
当时，，
则与题意在时有极值矛盾，舍去，
故，所以.
故答案为：11
33．（2024高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数有两个极值点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】求得，根据题意转化为函数与的图象有两个不同的交点，结合函数的图象，得到，即可求解.
【详解】由函数，可得
令，即，
因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根，
即函数与的图象有两个不同的交点，
作出的图象，如图所示，
可得当时，，
由图象可知，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
34．（2024·北京）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
35．（2024高二下·福建龙岩·期中）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数
（1）求b、c的值．
（2）求g（x）的单调区间与极值．
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）根据g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x2+2bx+c能够求出b与c的值；
（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．g'（x）=0时的x函数g（x）取到极值．
【详解】（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．
从而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，由奇函数定义得b=3；
（2）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，从而g'（x）=3x2﹣6，
当g'（x）＞0时，x＜﹣或x＞，
当g'（x）＜0时，﹣＜x＜，
由此可知，g（x）的单调递增区间为（﹣），（，+∞）；单调递减区间为（﹣，）；
g（x）在x=﹣时取得极大值，极大值为4，
g（x）在x=时取得极小值，极小值为4．
【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
36．（2007·安徽）设函数，其中．将的最小值记为．
(1)求的表达式；
(2)讨论在区间内的单调性并求极值．
【答案】(1)
(2)增区间是，主，减区间是．极大值为4，极小值为2．
【分析】（1）由二倍角公式降幂后，化函数为关于的二次函数，结合正弦函数，二次函数性质得；
（2）求出导函数，由得增区间，由得减区间，同时可得极值．
【详解】（1）,
因为，所以时，；
（2），
或时，，时，，
所以的增区间是，，减区间是．
极大值为，极小值为．
37．（2024·山东）设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
【答案】证明见解析；
当时，
若，有且仅有一个极小值点，极小值为，
若，有且仅有一个极大值点，极大值为.
【分析】利用导函数的几何意义和极值点的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以的定义域为，.
当时，如果，则恒成立，在上单调递增；
如果，则恒成立，在上单调递减，
所以当时，函数没有极值点.
当时，，
令得（舍去），，
当时，在上小于0，在上大于0，
故有且仅有一个极小值点，极小值为.
当时，在上大于0，在上小于0，
故有且仅有一个极大值点，极大值为.
综上所述当时，函数没有极值点，
当时，
若，有且仅有一个极小值点，极小值为，
若，有且仅有一个极大值点，极大值为.
38．（2024·福建）已知函数的图象过点，且函数的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若，求函数在区间内的极值.
【答案】(1)，；的单调增区间为，的单调减区间为；
(2)详见解析.
【分析】（1）利用条件可得两个关于的方程，然后利用导数与函数单调性的关系即得；
（2）利用（1）的结论，分情况讨论区间和单调区间的位置关系即得．
【详解】（1）由函数的图象过点，
∴，即，
又，则，
而的图象关于轴对称，所以，
解得，∴，
∴，
于是，
由得或，由，可得，
故的单调增区间为，的单调减区间为；
（2）由（1）得，令得或，
当变化时，的变化情况如下表：
由此可得：当时，函数在区间内有极大值，无极小值；
当时，函数在区间内无极值；
当时，函数在区间内有极小值，无极大值；
当时，函数在区间内无极值；
综上得，当时，有极大值，无极小值；
当时，有极小值，无极大值；
当或时，无极值．
39．（2024高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）分、、时，利用导数分析函数的单调性，利用函数极值与单调性的关系可求出函数的极值.
【详解】（1）解：当时，，则，
所以，，，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，空.
（2）解：因为，函数的定义域为，
，
因为，则，分以下几种情况讨论：
①当时，即当时，
由可得，由可得或，
此时，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，
极小值为；
②当时，即当时，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，函数无极值；
③当时，即当时，
由可得，由可得或.
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
综上所述，当时，函数的极大值为，
极小值为；
当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，极小值为.
【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值.
40．（2024高二下·湖南长沙·期中）设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，
（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）由，解得．根据a≥1，分和 ，由求解；
（2）由（1）的结论，利用函数极值点与极值的定义求解．
【详解】解：由已知得，
令，解得．
（1）当时，，在上单调递增；
当时，，随的变化情况如下表：
从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，函数没有极值；
当时，函数在处取得极大值1，在处取得极小值．
41．（2024·全国）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，
且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
42．（2024·北京）设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【详解】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.
详解：
解：（Ⅰ）因为，
所以.
，
由题设知，即，解得.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.
若a>1，则当时，；
当时，.
所以在x=1处取得极小值.
若，则当时，，
所以.
所以1不是的极小值点.
综上可知，a的取值范围是.
方法二：.
（1）当a=0时，令得x=1.
随x的变化情况如下表：
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令得.
①当，即a=1时，，
∴在上单调递增，
∴无极值，不合题意.
②当，即0∴在x=1处取得极大值，不合题意.
③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：
∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令得.
随x的变化情况如下表：
∴在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为.
点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.
解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.
43．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求在上的值域；
(2)若的极大值为4，求实数的值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）求导函数，从而可确定函数在闭区间上的单调性，通过比较端点处函数值与极值，从而可得函数的最值，即可得函数值域；
（2）根据极值的概念对函数求导之后，确定函数单调性及极值情况，即可求得实数的值.
【详解】（1）时，，，令，得或，
∴在单调递增，单调递减，单调递增
又，，，
∴的值域为.
（2），令，解得：或，
当时，，单调递增，无极值，舍；
当时，或，在和单调递增，在单调递减，
在时取得极大值，又，不符合题意，舍去；
当时，或，在和单调递增，在单调递减，
在时取得极大值，故，解得.
综上得，.
44．（2024·北京）设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【答案】(1) 1 (2)（，）
【详解】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．
详解：解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
45．（2024高三上·湖南·开学考试）已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若存在极值点，且，求的值，并分析是极大值点还是极小值点．
【答案】(1)
(2)，是的极小值点
【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
（2）根据和可推导得到，构造函数，利用导数可求得的最小值，知方程有唯一解，进而求得的值；将代入函数解析式，利用导数可求得的单调性，根据极值点定义可得结论.
【详解】（1）当时，，，
，又，
在处的切线方程为：，即.
（2），，即①；
，，
，，又，，即，
，，代入①式得：，
令，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
有唯一解，此时；
当时，，，
令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、利用导数解决函数极值点的问题；本题根据函数极值点求解参数的关键是能够利用极值点处导函数值为零，结合原函数的函数值可构造关于极值点的方程，从而采用构造函数的方式确定方程的根.
46．（2024·广东）设，集合
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数在D内的极值点.
【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析
【分析】（1）根据题意先求不等式的解集，通过讨论，Δ＜0分别进行求解；
（2）对函数求导，由，可得x＝a或x＝1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值
【详解】（1）令，
则
①当时，，
方程的两个根分别为，，
所以的解集为
因为，则，
；
②当时，Δ＜0，恒成立，
综上所述：
当时，，
当时，；
（2），
令，得x＝a或x＝1，
①当时，由（1）知，
因为
所以，
所以随的变化情况如下表
所以的极大值点为，没有极小值点；
②当时，由（1）知，
所以随的变化情况如下表
所以的极大值点为，极小值点为
综上所述：当时，有一个极大值点，没有极小值点；
当时，有一个极大值点，一个极小值点.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过分类讨论确定区间上的单调性，单调性确定才能求出极值点.
47．（2024·湖北）设函数在处取得极值，试用表示和，并求的单调区间．
【答案】答案见解析
【分析】求出函数的导函数，依题意，，即可得到方程从而可用表示和，再解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间.
【详解】解：因为，所以，
依题意有，，而，
故，解得，
从而．
令，解得或．
由于在处取得极值，故，即．
若，即，
则当时，；
当时，；
当时，；
从而的单调增区间为，，单调减区间为；
若，即，
同上可得，的单调增区间为，，单调减区间为；
综上可得：当时单调增区间为，，单调减区间为，
当时单调增区间为，，单调减区间为.
48．（2024·重庆）已知函数在处取得极值．
确定a的值；
若，讨论的单调性．
【答案】（1）
（2）在和内为减函数，在和内为增函数．
【详解】（1）对求导得，
因为在处取得极值，所以，
即，解得；
（2）由（1）得，，
故
，
令，解得或，
当时，，故为减函数，
当时，，故为增函数，
当时， ，故为减函数，
当时，，故为增函数，
综上所知：和是函数单调减区间，
和是函数的单调增区间.
49．（2024高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数，，已知和分别是函数的极大值点和极小值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）三次函数有极值转化为二次方程有两不等实根，利用判别式即可求范围；
（2）整理变形为的形式，利用韦达定理转化为关于的函数值域问题即可.
【详解】（1）由已知和分别是函数的极大值点和极小值点，
则有两个不等实根.
因为，令，方程，
所以，解得或.
即的取值范围是或.
（2）由题意知，是方程的两个不等实根，且，
由韦达定理知，，
所以
其中或.
令，则，因为在单调递增，
所以的取值范围是.
50．（2024高二下·重庆长寿·期中）已知函数.
(1)设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极值.
【答案】(1)
(2)的最大值是；无极小值
【分析】（1）根据题意，由函数的奇偶性可得，然后求导，由导数的几何意义，即可得到结果.
（2）根据题意，求导得，然后分与谈论，即可得到结果.
【详解】（1）时，，是偶函数，
故，
，故，
故切线方程是：，
即；
（2），
，
时，，在递增，函数无极值，
时，令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故的最大值是；无极小值；
51．（2024高二下·甘肃白银·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间和极值；
【答案】(1).
(2)详见解析.
【分析】（1）利用导数的计算公式以及导数的几何意义、直线的点斜式方程计算.
（2）根据已知，利用导数与函数的单调性关系、极值计算求解.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，所以，
当时，，由有：，由有：或，
所以函数在，上单调递减；在单调递增；
所以函数有极小值，有极大值，
综上，当时，函数的单调增区间为：，单调减区间为：，；
函数的极小值为，极大值为0.
52．（2024高三上·江苏南京·开学考试）已知函数，其中．
(1)若，证明：；
(2)设函数，若为的极大值点，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导确定函数的单调性即可得最值，从而证得结论；
（2）求导，分类讨论确定函数的单调性从而验证极值，即可得a的取值范围．
【详解】（1）证明：若，则，且，则，
令，得．
在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
故．
（2），．
当时，易得，所以由（1）可得，
若，则，
所以在上单调递增，
这与为函数的极大值点相矛盾．
若，令，则，
又令，则对恒成立，
所以在上单调递增．
又，，
因为，所以，
因此存在唯一，使得，
所以，在上，，单调递减．
又，所以
在上，，故单调递增；
在上，，故单调递减．
所以为函数的极大值点，满足题意．
综上，a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
（1）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
53．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是的极大值点，求的取值范围．
【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为
(2)．
【分析】（1）根据函数导数与单调性关系求解，即可得单调区间；
（2）根据函数极值点的概念确定单调性验证极值，即可得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，， 则．
令函数，则，可得单调递增．
又，所以当时，，当时，．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）若，则，此时是的极小值点，故．
，令函数，则．
令函数，可知在区间上单调递增．
①当且，即且时，，
此时在区间上单调递增，则，此时不可能是的极大值点．
②当，即或时，由在区间上单调递增，
可知存在，使得当时，，
则在上单调递减，从而，即，在上单调递减．
由，可得为偶函数，
的图象关于轴对称，此时是的极大值点．
综上，的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数几何意义、根据极值点定义求解参数范围的问题；本题求解参数范围的关键是将问题转化为对于函数在左右两侧的单调性的讨论问题，进而再次转化为关于在左右两侧的正负的讨论问题.
54．（2024高三上·贵州·开学考试）定义函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在区间上，有且只有两个不同的极值点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出当的导数的值，根据导数的几何意义求解；
（2）有2个不同的极值点，即意味着在时有2个零点，据此分类讨论求解.
【详解】（1）当时，，则，
所以，
故所求切线方程为．即；
（2）由题意得，
当时，．
函数，，
所以在R上单调递增，并且当 趋于时趋于，当x趋于时y趋于，
所以存在唯一实数，使得，
又当时，，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故是在区间上唯一的一个极值点；
同理可证，存在唯一的，使得，此时，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故是函数在上唯一的一个极值点；
又，不是函数的极值点，
所以在区间上，有且只有两个不同的极值点．
综上，所求的切线方程为.
55．（2024高三上·北京西城·开学考试）已知函数，．
(1) ， ；
(2)的极小值点为 ，极小值为 ；
(3)的极大值点为 ，极大值为 ；
(4)画出函数的图象草图：

(5)若方程恰好有2个解，则实数 ；
(6)若在上单调，则实数的取值范围是 ；
(7)若函数存在极值，则极值点的个数可能为 个．
【答案】(1)，
(2)极小值点为；极小值为
(3)极大值点为，极大值为
(4)图象详见解析
(5)
(6)
(7)或
【分析】（1）根据导数运算求得.
（2）到（5）：利用导数求得的单调区间、极值，画出的大致图象，结合图象，根据的解的个数求得的值.
（6）根据，结合的图象以及的单调性求得的取值范围.
（7）由，结合的图象判断出极值点的个数.
【详解】（1），.
，.
（2），
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增.
所以的极小值点为，极小值为.
（3）由（2）得的极大值点为，极大值为.
（4）当时，，
由（2）、（3），画出的大致图象如下图所示：

（5）若方程恰好有2个解，
由（4）的图象可知，的值为.
（6）由上述分析可知，
结合的图象可知，当时，恒成立，单调递增，符合题意；
当时，的图象向下移动个单位，不恒成立，
也不恒成立，所以不单调.
综上所述，的取值范围是.
（7）若函数存在极值，由（6）可知，
的图象是由的图象向下移动个单位所得，
由图象可知，当时，有个极值点，
当时，有个极值点.
综上所述，极值点的个数可能为或个.
（一）
函数极值、极值点的辨识
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
题型1：函数极值、极值点的辨识
1-1．（2024·辽宁）设函数满足则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【详解】函数满足，
，令，
则，
由，得，令，
则
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为.
又在单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
1-2．（2024高三·全国·专题练习）已知e为自然对数的底数,设函数,则．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【答案】C
【详解】
当k=1时，函数f(x)=(ex−1)(x−1).
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)+(ex−1)=(xex−1)
f′(1)=e−1≠0，f′(2)=2e2−1≠0，
则f(x)在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f(x)=(ex−1)(x−1)2.
求导函数可得f′(x)=ex(x−1)2+2(ex−1)(x−1)=(x−1)(xex+ex−2)
∴当x=1，f′(x)=0，且当x>1时，f′(x)>0，当x0故选C.
1-3．（2024·陕西）设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点D．x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
【详解】，
由得，
又函数定义域为，
当时，，递减，
当时，，递增，
因此是函数的极小值点．故选D．
考点：函数的极值．
题型2：函数(导函数)的图象与极值(点)关系
2-1．（2024·重庆）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
【答案】D
【详解】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
2-2．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内极小值点的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象，即可判断选项.
【详解】，函数单调递增，，函数单调递减，
由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：从左向右看，
第一个点处导数左正右负，是极大值点，
第二个点处导数左负右正，是极小值点，
第三个点处导数左正右正，没有变号，所以不是极值点，
第四个点处导数左正右负，是极大值点，
所以函数在开区间内的极小值点有1个，
故选：A
2-3．（2024高二上·陕西汉中·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极大值
【答案】A
【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．
【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，
故选：A.
2-4．（2024高三上·四川自贡·阶段练习）已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据导函数得到函数单调性，进而得到和为极大值，为极小值，从而得到答案.
【详解】在内的图像如下，

当时，单调递增，时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值，
当时，单调递增，故为函数极小值点，为极小值，
当时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值，
故函数在内的极小值有1个.
故选：A
（二）
求已知函数的极值、极值点
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
注：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
题型3：求已知函数的极值、极值点
3-1．（2024·重庆）设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数极值．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）极小值
【分析】（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即 ，从而 ，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令，解得（因 不在定义域内，舍去）当 时， 故 在上为减函数；当 时， 故 在上为增函数，故在 处取得极小值
本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力
3-2．（2024高二下·重庆巫溪·期中）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)求函数的极值．
【答案】(1)
(2)当时，函数无极值；
当时，，；
当时，，
【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等列方程求的值即可；
（2）对参数进行分类，先研究的单调性，再利用导数求解在上的极值即可．
【详解】（1）．
因为曲线在点处的切线与x轴平行，
所以，即，
所以 ．
（2）．
令，则或．
①当，即时，，
所以函数在上为增函数，函数无极值点；
②当，即时．
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当时，函数有极大值是，
当时，函数有极小值是；
③当，即时．
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当时，函数有极大值是，
当时，函数有极小值是．
综上所述，当时，函数无极值；
当时，，；
当时，，．
3-3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.求的极值；
【答案】，没有极小值.
【分析】
首先对函数求导解得，然后结合的单调性，判断函数的单调性，从而求得函数的极值；
【详解】因为函数，
所以，
设，，
所以在上单调递增.
又，
所以当时，；
当时，.
又因为对恒成立，
所以当时，，即在区间上单调递增，
当时，，即在区间上单调递减，
故，没有极小值.
3-4．（2024·广西南宁·一模）设函数，，为的导函数．
(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；
(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．
【答案】(1)切点坐标为，；
(2).
【分析】（1）把代入，求出并设出切点坐标，利用导数的几何意义列式求解作答.
（2）根据给定条件，求出和的零点，分类探讨求出，再利用导数求出极小值作答.
【详解】（1）当时，，求导得，
设过点作曲线的切线的切点为，则，
于是切线方程为，即，因为切线过点，
即有，解得或，所以切点坐标为，.
（2）当，时，，
求导得，令，得或，
依题意，，都在集合中，且，，
当时，，且，则，，，
当时，，且，则，，不符合题意，
因此，，，，
当或时，，当时，，
于是函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值为.
3-5．（2024·河北·模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
【答案】(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【分析】（1）当，时，求得，得出函数单调区间及有唯一的极值点为，由，令，设，求得，得出取得最大值，即可求解；
（2）当时，求得，当时，由，得到极值点的个数为个；当时，设，分和，两种情况，结合二次函数的性质，求得函数的单调性和极值点的概念，即可求解.
【详解】（1）证明：当，时，，可得的定义域为，
且，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有唯一的极小值，即有唯一的极值点为，
由，
令，设，可得，
由，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当，即时，有唯一的极大值，即取得最大值，
所以当的最大值时，.
（2）解：当时，的定义域为，且，
①当时，时恒成立，此时单调递增，
所以极值点的个数为个；
②当时，设，即
（i）当，即时，可得，即对恒成立，即在上无变号零点，所以此时极值点的个数为个；
（ii）当，即时，
设的两零点为，且，，，可得
即在上有个变号零点，所以此时极值点的个数为个；
综上所述，当时，的极值点的个数为；
当时，的极值点的个数为.
（三）
根据函数的极值、极值点求参数
根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
题型4：根据函数的极值求参数
4-1．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数．
(1)若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；
(2)若在区间上有极小值，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，利用在上有解，分离参数求解作答.
（2）由（1）的信息，分析函数的极值情况，再建立不等式求解作答.
【详解】（1）函数，求导得，
因为函数在上存在单调减区间，则不等式在上有解，
即在上成立，而函数在上递减，显然，于是，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，，即，解得，
当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极小值，
于是，即，当时，不等式成立，当时，解得，则，
所以实数的取值范围是.
4-2．（2024·湖南·模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8B．C．2D．
【答案】B
【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而算出的值.
【详解】因为，所以，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以.
故选：B
4-3．（2024高三下·贵州·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，结合已知条件和导函数的零点即可判断.
【详解】因为函数，
则，
要使函数在处取得极小值，则，
故选：B.
4-4．（2024·陕西商洛·三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.
【详解】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．
故选：A.
4-5．（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
令，，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
又因为当时，则，
，
所以存在唯一，使得，
所以函数在时，时，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以要使函数在区间上存在极值，
所以的最大值为3，
故选:B.
题型5：根据函数的极值点求参数
5-1．（2024高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数为实数．
(1)时，求的极小值点；
(2)若是的极小值点，求的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）将代入求得的解析式，利用导数判断出的单调性即可求得极小值点为0；
（2）根据解析式求导，对参数的取值进行分情况讨论，分别判断出不同情况下的单调性，求出满足题意的情况即可得出的取值范围．.
【详解】（1）时，
令，解得，所以在上单调递增；
时，，所以在上单调递减，
所以的极小值点为0（也可写）
（2）易知，且，
令，则，且，
①时，也即在上单调递增，
所以当，单调递减，
同理当，单调递增
是的极小值点，符合题意
②时，令，解得，
当时，单调递增，且，
时，，即，所以单调递减，
，即，所以单调递增，
是的极小值点，符合题意
③时，，，单调递减，
单调递减，
这与是的极小值点矛盾，舍去
④时，，
令，则；
单调递增，
，此时单调递减，
所以在处取得极小值，也是最小值，
即当，可得在上单调递增，
此时不是的极小值点，舍去
综上可知，的取值范围为
【点睛】关键点点睛：在求解的取值范围时，关键是求得以后进行构造函数再重新求导，对参数的取值根据导函数的特点进行合理分类讨论，解出符合题意的的取值范围即可.
5-2．（2024高三上·河南洛阳·开学考试）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是的极大值点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
（2）将问题转化为存在，使得当时，；当时，；令，可求得，分别讨论、和的情况，结合的正负可得的单调性，结合可确定的正负，从而确定单调性，由此可得到符合题意的范围.
【详解】（1）当时，，则，
，又，
在点处的切线为：，即.
（2）由题意知：，恒成立；
是的极大值点，
存在，使得当时，；当时，；
令，
则，.；
①若，即时，存在，使得当时，，
在上单调递增，则当时，，
在上单调递增，不合题意；
②若，即时，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增；在上单调递减；又，
当时，，在上单调递减，
，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，符合题意；
③若，即时，存在，使得当时，，
在上单调递减，
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数几何意义、根据极值点定义求解参数范围的问题；本题求解参数范围的关键是将问题转化为对于函数在左右两侧的单调性的讨论问题，进而再次转化为关于在左右两侧的正负的讨论问题.
5-3．（2024高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数存在唯一的极值点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系，利用分解因式整理导数，结合导数与零的大小关系，可得答案；
（2）由函数存在为唯一极值点，可得导数等于存在唯一零解，根据分解因式的结果，讨论各个因式与零的大小关系，可得答案.
【详解】（1）的定义域是，，
当时，，令得或者，
令，，，
所以只有一个实根.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上所述，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）函数有唯一的极值点时，导数有唯一的正实根，
且在两边取值正负号相反.所以或者在上恒成立．
显然时，符合要求.
当时，，等价于，令，，
在上单调递减，在单调递增，时取最大值，
因此.
综上所述，实数a的取值范围是.
【点睛】本题的解题关键在于熟练应用导数与函数单调性关系这一知识点，对于导数的整理方法一般分为分解因式以及再次求导研究其单调性两种方法.
5-4．（2024高二下·江苏南通·期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两侧的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．
【详解】解：，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故选：A.
5-5．（2024高三下·江苏南京·开学考试）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得的取值范围.
【详解】的定义域是，，
令，
所以在区间递减；在区间递增.
要使有两个极值点，则，
此时，
构造函数，
所以在上递增，所以，
所以，
所以实数a的取值范围.
故选：D
【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系.
x
（0，e）
e
（e，＋∞）
＋
0
－
单调递增
单调递减

1

0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
0
2
＋
0
－
0
＋
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
x
0
+
0
0
极大值
极小值
x
1
+
0
−
↗
极大值
↘
x
1
+
0
−
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
+
0
−
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
−
0
+
0
−
↘
极小值
↗
极大值
↘
极大值
极大值
极小值