专题18 三角恒等变换7题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

这是一份专题18 三角恒等变换7题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共16页。试卷主要包含了两角和与差的正余弦与正切，二倍角公式，降次公式，半角公式，辅助角公式，其他常用变式，拆分角问题等内容，欢迎下载使用。


一、两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
注：两角和与差正切公式变形
；
．
二、二倍角公式
①；
②；
③；
三、降次（幂）公式
注：．
四、半角公式
五、辅助角公式
（其中）．
六、其他常用变式
．
七、拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·二模）已知，则（ ）
A．－1B．C．D．
2．（2024高三上·福建三明·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽亳州·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三上·上海静安·期中）已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024高三·北京海淀·阶段练习）已知O为坐标原点，点．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①④C．①③D．③④
7．（2024·安徽安庆·二模）已知第二象限角满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．1D．
9．（2024高三上·山西忻州·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．3
10．（2024·江西·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·山西晋中·三模）已知，为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全国·模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·广东汕头·二模）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024高三·重庆沙坪坝·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
15．（2024高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·全国）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
17．（2024·全国）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
18．（2024·全国）若，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024高三上·江西赣州·期末）已知函数，的最小值为a，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．1
20．（2024高三上·山东·阶段练习）已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·广东广州·一模）若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
23．（2024高一上·浙江宁波·期末）已知，求（ ）
A．B．C．D．
24．（2024·重庆·模拟预测）已知角，满足，，则（ ）．
A．B．C．1D．2
25．（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（ ）
A．－2B．C．D．2
26．（2024·全国）已知，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·全国·模拟预测）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．1
29．（2024高三上·黑龙江牡丹江·期末）（ ）
A．1B．C．D．2
30．（2024高三上·江苏·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
31．（2024高三下·上海金山·期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
32．（2024高一下·湖北荆州·期中）化简：（ ）
A．B．C．D．
33．（2024高二上·江西景德镇·期中）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
34．（2024·江苏无锡·三模）已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
35．（2024·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．5B．C．2D．4
36．（2024高三上·河南周口·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数的零点个数为（ ）

A．7B．9C．11D．13
37．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
38．（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（ ）
A．0B．C．3D．7
二、多选题
39．（2024·全国）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
40．（河北省石家庄市部分重点高中2024届高三上学期期末数学试题）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A．B．
C．D．
41．（2024高三上·广东·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．函数在区间内有6个零点
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为
三、填空题
42．（2024·湖北荆门·模拟预测）若，则 .
43．（2024高三·全国·专题练习）已知，则
44．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知，则 ．
45．（2024高三上·四川·期中）写出一个使等式成立的的值为 .
46．（2024·北京海淀·模拟预测）若实数，满足方程组，则的一个值是 .
47．（2024·全国·模拟预测）已知，，则 ．
48．（2024高一下·上海浦东新·阶段练习）已知，且，求的值为 ．
49．（2024高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则 ．
50．（2024高三上·陕西商洛·期中）已知，满足，则 ．
51．（2024高三上·江苏南通·期中）在中，若，则 .
52．（2024高三上·广东广州·开学考试）若角的终边经过点，且，则实数 .
53．（2024高一·全国·课后作业）若是的内角，且，则等于 .
54．（2024高一上·江苏泰州·期末）若，为锐角，且，则 ；
55．（2024高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则 .
56．（2024高一上·重庆沙坪坝·期末）若，且，，则 .
57．（2024高三下·湖南·阶段练习）若锐角、满足，，则 ．
58．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点为角终边上一点.若，且，则 .
59．（2024·山西临汾·模拟预测）已知为锐角，且，则 ．
60．（2024高三上·广东湛江·阶段练习）已知，则 .
61．（2024·全国·模拟预测）在正三角形中，由可得到三角恒等式，其中，以此类推，在正边形中，可得到三角恒等式 ；
通过上述， ．
四、解答题
62．（2024高一下·浙江绍兴·期末）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.

(1)利用图中边长关系，证明：；
(2)若，求.
63．（2024高一下·辽宁·期中）某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：
①；②
根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明：
(2)求值：.
64．（2024高一上·山西长治·期末）(1)试证明差角的余弦公式：；
(2)利用公式推导：
①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；
②倍角公式，，.
65．（2024高三上·广东揭阳·期中）在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：．具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，．它们的终边与单位圆的交点分别为A，B．
则，，由向量数量积的坐标表示，有．
设，的夹角为，则，
另一方面，由图（1）可知，；
由图（2）可知，于是，．
所以，也有；
所以，对于任意角，有：．
此公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作．有了公式以后，我们只要知道，，，的值，就可以求得的值了．
阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）
解决下列问题：
(1)判断是否正确？（回答“正确”，“不正确”，不需要证明）
(2)证明：．
66．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数
(1)求函数的对称轴和对称中心；
(2)当，求函数的值域．
67．（2024高三下·上海松江·阶段练习）已知.
(1)求在上的单调递减区间；
(2)若，求的值.
68．（2024高三·全国·对口高考）已知函数；
(1)若在中，，，求使的角．
(2)求在区间上的取值范围；
69．（2024高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算求值：
(1)已知、均为锐角，，，求的值
(2)计算的值
（一）
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
2.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
题型1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
1-1．（2024高三下·广东广州·阶段练习），，，则（ ）
A．B．
C．D．
1-2．（2024·安徽淮南·二模）已知，则（ ）
A．B．C．或D．0或
1-3．（2024高一上·广东广州·期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型2：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用与变形
2-1．（2024·山东泰安·二模）已知，则 .
2-2．（2024高三上·山东青岛·期末）已知，，则 .
2-3．（2024高三·全国·对口高考）的值是 .
2-4．（2024高一·全国·课后作业） ．
2-5．（2024高三下·河南平顶山·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
（二）
角的变换问题
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
题型3：角的变换问题
3-1．（2024·四川成都·模拟预测）设，则等于（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
3-2．（2024·四川·三模）若为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
3-3．（2024高一上·福建福州·期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3-4．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知则（ ）
A．B．C．D．
（三）
给角求值
（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
（2）给角求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
题型4：给角求值
4-1．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：（ ）
A．1B．C．D．
4-2．（2024·广东湛江·一模） ．
4-3．（2024·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
4-4．（2024高一下·江苏苏州·期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
（四）
给值求值
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式．
题型5：给值求值
5-1．（2024·全国）已知，tanα=2，则cs(α−π4)= ．
5-2．（2024高三上·河北·期末）已知，则的值为 ．
5-3．（2024·山东济宁·三模）已知，则 .
5-4．（2024·江西·模拟预测）已知，则 ．
5-5．（2024·全国·模拟预测）若，则 ．
（五）
给值求角
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．
题型6：给值求角
6-1．（2024高三上·上海嘉定·期中）若为锐角，，则角 .
6-2．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，其中，．
(1)求的值；
(2)求的值．
6-3．（2024高一上·福建三明·阶段练习）已知，，，.
(1)求；
(2)求角.
6-4．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知，，且，，则的值是 .
（六）
三角恒等变换的综合应用
（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
（2）形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
题型7：三角恒等变换的综合应用
7-1．（2024·湖南·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值．
7-2．（2024高三上·天津·期中）已知函数，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
(1)求的单调递减区间；
(2)若，且，求的值．
7-3．（2024高三·全国·对口高考）已知．若的最小正周期为．
(1)求的表达式和的递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
7-4．（2024·浙江）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
7-5．（2024高三上·天津和平·阶段练习）已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间：
(2)若，求的值.