专题12 导数的应用--函数的单调性问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版）

这是一份专题12 导数的应用--函数的单调性问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（解析版），共79页。试卷主要包含了单调性基础知识，讨论单调区间问题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单调性基础知识
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
2、已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减.
二、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图象定区间；
一、单选题
1．（2024高三·全国·课后作业）函数（a、b为正数）的严格减区间是（ ）．
A．B．与
C．与D．
【答案】C
【分析】由题得，再利用导数求出函数的单调递减区间得解.
【详解】解：由题得.
由，令解得或．
所以函数的严格减区间是与.
选项D，本题的两个单调区间之间不能用“”连接，所以该选项错误.
故选：C
2．（2024高二上·浙江·开学考试）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
【详解】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
所以在时，，
所以.
故选：B
3．（2024高三·全国·专题练习）三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得在上恒成立，结合恒成立问题分析运算.
【详解】对函数求导，得
因为函数在上是减函数，则在上恒成立，
即恒成立，
当，即时，恒成立；
当，即时，，则，即，
因为，所以，即；
又因为当时，不是三次函数，不满足题意，
所以.
故选：A．
4．（2024高三下·青海西宁·开学考试）已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，转化为，然后构造，得到，从而求得的取值范围.
【详解】根据题意，不妨取，则可转化为，
即.
令，则对任意，，且，
都有，
所以在上单调递增，即在上恒成立，
即在上恒成立.
令，，则，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，
即实数a的取值范围是，
故选:A
5．（2024高三·全国·专题练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即，
，
令，得或（舍去），
因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，
所以，得，
综上，，
故选：D
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围.
【详解】由，得．
因为在，上单调递增，在上单调递减，
所以方程的两个根分别位于区间和上，
所以，即
解得.
故选：A．
7．（2024·全国）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
8．（2024·全国）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
9．（2024高三上·河南·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别判断即可，利用导数即可判断函数在的单调性.
【详解】对于A，的定义域为，定义域不关于原点对称，
函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，，定义域为，
因为，所以为奇函数，不符合题意；
对于C，，所以，所以为偶函数，
又，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
故函数在上单调递增，符合题意；
对于D，，
令，在上单调递增，
而函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，不符合题意．
故选：C．
10．（2024高三上·河南·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用导数求解单调区间即可.
【详解】令，
，，，，
则在上单调递减，在上单调递增.
故选：A
11．（2024高二下·河南许昌·阶段练习）函数在下面哪个区间内是增函数
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求后令可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项.
【详解】令，则，令，可得或，
故选B.
【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则.
12．（2024·全国）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知函数的导函数的图像如下图，那么的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案.
【详解】
因为，的导数大于零，因此，，单调递增，
又，的导数表示曲线与的曲线上任一点切线的斜率，
是单调递减的，故增的慢，
是单调递增的，故增的快，排除A、C，
又，即与在的切线是平行的，排除B．
故选：D.
14．（2024高二下·河北邯郸·期末）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
15．（2024·湖南）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有
也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，
对于B 存在使，对于C 对任意的a＜x1＜x2＜b，都有，对于D 对任意的x∈[a，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A．
考点：单调性与导函数的关系.
16．（2024·全国）函数的图像大致为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
17．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，的正负，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】因为的定义域为，又，所以是偶函数，
因为，排除BC选项，
当时，，所以，
令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以存在，，使得，，
所以当时，，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A符合.
故选：A.
18．（2024·全国）函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
19．（2024高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知实数满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造，，求导，得到函数单调性，得到，从而；构造，，求导后得到函数单调性，得到，设，则，从而得到，取得到，从而求出答案.
【详解】令，，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
故，即，，
所以，，
令，，
则在上恒成立，
故，所以，
设，则，
故，所以，
即，由于，，
故，取得：.
所以.
故选：A
20．（2024高二下·山东菏泽·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求导分析单调性，进而可得的大小关系，令，求导分析单调性，进而可得的大小关系.
【详解】令得
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
则，所以
因为，
所以
令
得，
令得令得
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以即
所以则
所以，
故选：B.
21．（2024高二上·湖南张家界·阶段练习）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【详解】
令，则，因此函数在上是奇函数．
①当时，，在时单调递增，
故函数在上单调递增．
，
，
．
②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3），
，的解集为．
③当时，，不符合要求
不等式的解集是，，．
故选：D
22．（2024高三·全国·专题练习）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定图象，求出和的解集，再求解给定不等式作答.
【详解】由题图可知，且当和时，，
当时，，则原不等式等价于，
等价于或，
等价于或，
解得:或或．
故选：D．
23．（2024高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的结构，构造函数，判断其奇偶性及单调性，解不等式即可.
【详解】令，
因为为偶函数，即，
故，为偶函数，当时，，则在上单调递增，
因为，即，
所以，故，解，
所以不等式的解集为.
故选：D
24．（2024·全国·模拟预测）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
【答案】B
【分析】根据幂函数的解析式得出等式，构造函数应用导数求最值后确定参数值可得答案．
【详解】依题意，则，设
单调递减,
单调递增,
知该方程有唯一解，故，易知该函数为偶函数.
故选：B．
25．（2024·江西鹰潭·模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求导，再由求解.
【详解】解：因为，
所以，
由，即，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：D
26．（2024高二下·重庆·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求导数，利用在上恒成立，分离参数进行求解.
【详解】，因为在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上
所以的最小值为1，所以.
故选：B.
27．（2024·甘肃兰州·一模）已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题干条件得到时，，故在上单调递减，结合为偶函数，得到在上单调递增，从而判断出大小关系.
【详解】时，即，
∴在上单调递减，又为偶函数，
∴在上单调递增．
∴，
∴.
故选：A．
28．（2024·全国·模拟预测）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，，令，利用导函数可得，再令，利用导函数求单调性即可求解.
【详解】由题意可得，，，
令，则，
因为当时，单调递增，
所以，即，
令，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又因为且，
所以，
故选：A
29．（2024·江苏南京·模拟预测）已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得，，构造函数，利用导数讨论其单调性，即可得，再结合即可求解.
【详解】由可得，，即，也即，
由可得，所以，
即，
构造函数，在恒成立，
所以函数在定义域上单调递减，
所以，即，
又因为，所以，所以，解得，
故选:B.
30．（2024高三·贵州贵阳·阶段练习）已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，确定函数单调递增，得到，设，求导得到函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】设， ，
对，且，恒有，即，
在上单调递增，故恒成立，
即，设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，即，即.
故选：A
31．（2024·四川南充·三模）已知函数使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性不妨设，即可得到，令，，则问题转化为函数在上存在单调递增区间，即在上有解，参变分离，在构造函数求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为，在定义域上单调递增，
又使（为常数）成立，
显然，所以不妨设，则，
即，
令，，则，即函数在上存在单调递增区间，
又，则在上有解，
则在上有解，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，所以，即常数的取值范围为.
故选：C
二、多选题
32．（2024高二上·山东济宁·期末）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是

A．函数的增区间是
B．函数的增区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【答案】BD
【解析】先由题中图像，确定的正负，得到函数的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.
【详解】由题意，当时，；当，；当时，；
当时，；
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；
故A错，B正确；C错，D正确.
故选：BD.
【点睛】本题主要考查导函数对原函数的影响，根据导数的正负确定原函数单调性与极值点，属于常考题型.
33．（2024·湖北武汉·二模）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.
【详解】，
当时, ,A选项正确；
，
，
,
时, 有两个根,且时
,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；
当时, 有两个根,且此时
,故B选项正确.
故选：ABC．
34．（2024·山东潍坊·模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据函数的奇偶性的定义可判断奇偶性，由导数即可判断单调性.
【详解】对于A, ,故为奇函数， ，故为定义域内的单调递增函数，故A正确，
对于B，，故为非奇非偶函数，故B错误，
对于C，在定义域内不是单调增函数，故C错误，
对于D，，，所以 定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确，
故选：AD
35．（2024高二下·广东潮州·开学考试）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
36．（2024·河北·模拟预测）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】构造函数后根据函数单调性，结合对数函数，指数函数单调性判断各个选项即可.
【详解】设，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，所以，A正确；
由得，即，又因为单调递增，所以，B正确；
由得，即 ，所以，C错误；
因为，所以，D正确．
故选：ABD.
37．（2024·浙江金华·模拟预测）当且时，不等式恒成立，则自然数可能为（ ）
A．0B．2C．8D．12
【答案】BC
【分析】构造函数利用导数确定单调性进而最值，将问题转化成，进一步由对数运算得恒成立，即可代入选项逐一求解.
【详解】由于且，所以，所以，
构造函数，
当，且时，
故当 当，因此 在单调递减，在 单调递增，故当 时，取最小值 ，
当时， 单调递增，当时， 单调递减，故当时， 取最大值，
当时，不妨取 ，则而，不满足，故A错误，
当时，，，显然，故满足题意，B正确，
要使恒成立，则需要，即恒成立即可
由于，因此
当 时，， C正确，
当 时，，不满足题意，错误，
故选：BC
【点睛】处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.
（3）构造函数，利用导数求解最值.
三、填空题
38．（2024高二下·四川眉山·阶段练习）的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】求导，利用导函数求出函数的递减区间.
【详解】的定义域是，，
令，解得，
故的单调递减区间是.
故答案为：
39．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】由题得定义域，解即得函数的单调递减区间.
【详解】由题得的定义域为，
由可得，
令，，得，所以的单调递减区间为.
故答案为：
40．（2024·四川雅安·模拟预测）给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数 ．（写出一个满足条件的函数即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由条件①可选指数函数，由条件②可选单调减函数，结合①②写出函数式作答.
【详解】由，知，函数可以为指数函数，
因当时，，则函数在上单调递减，
所以函数可以为.
故答案为：
41．（2024高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案.
【详解】令，定义域为R，
且，
所以为奇函数，
变形为，
即，
其，当且仅当，即时，等号成立，
所以在R上单调递增，
所以，解得：，
所以解集为.
故答案为：
42．（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式，利用导数判断出函数单调区间，根据题意可得,即可得实数的取值范围为
【详解】由可知，其定义域为，
则，
易知当时，；当时，；
即函数在单调递减，在上单调递增；
若函数在区间上不单调，则需满足，
解得；
所以实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
43．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.
(1)若，求a的取值范围；
(2)求函数在上的单调性.
【答案】(1)
(2)在上单调递增
【分析】（1）对进行分类讨论，结合分离常数法、构造函数法以及导数求得的取值范围.
（2）先得到、，然后得到，从而求得正确答案.
【详解】（1）由题意知的定义域为.
①当时，由得，设，则，
当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增，
所以，因此.
②当时，若，因为，不合题意.
所以，此时恒成立.
③当时，，此时.
综上可得，a的取值范围是.
（2）设，，则，所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立. 所以.
又由（1）知，
所以当时，，
所以在上单调递增.
44．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，判断的单调性，并说明理由.
【答案】在上单调递增，理由见解析
【分析】先求导得到，再通过求导判断分子恒为正，得到，最后得到单调递增.
【详解】，
令，则，
所以在区间单调递增，
所以，而在区间恒成立，
所以在区间恒成立，
所以在上单调递增.
45．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】先求导得到的解析式，再设函数进行求导，根据参数的取值不同分别判断单调性即可.
【详解】由函数，可得，
设，可得，
①当时，恒成立，所以在单调递增；
②当时，令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性；
【答案】在上单调递减，在上单调递增
【分析】求出函数的导数，讨论其导数的正负，即可判断函数的单调性.
【详解】函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
47．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当，对求导，求出，在由导数的几何意义求解即可；
（2）先对原函数求导，然后利用分类讨论的思想进行分析求解即可.
【详解】（1），，，
当时，，
切点坐标为，
又，切线斜率为，
曲线在处切线方程为：.
（2），，
，， ，，
①当时，成立，
的单调递减区间为，无单调递增区间.
②当时，令，
所以当时，，在上单调递减
时，，在上单调递增
综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
48．（2024高三·北京海淀·专题练习）设函数．
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)1
(2)答案见解析
【分析】由曲线在点处的切线与轴平行知，，可得，验证与轴不重合.
，根据的范围不同，对的符合影响，及两根的比较，将分类进而求单调区间.
【详解】（1）因为，
所以
.
.
由题设知，即，解得.
此时.
所以的值为1.
（2）由（1）得．
1）当时，令，得，
所以的变化情况如下表：
2）当，令，得或2
①当时，，所以的变化情况如下表：
②当时，
（ⅰ）当即时，
（ⅱ）当即时，恒成立，所以在上单调递增；
（ⅲ）当即时，
综上，
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．
【点睛】方法点睛：讨论含参函数的单调性问题，需根据参数的导函数符号的影响，及导函数的零点大小比较进行分类.
49．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
先对求导通分，然后对分子因式分解，最后对参数分类讨论得到不同情况下的函数的单调性.
【详解】因为定义域为，
所以，
①当时恒成立，此时在上单调递增；
②当时令，解得或，
此时在，上单调递增，
令，解得，此时在单调递减；
③当时恒成立，此时单调递增；
④当时令，解得或，此时在，上单调递增，
令，解得，此时在上单调递减，
综上可得，当或时在上单调递增；
当时在上单调递减，在和上单调递增；
当时在上单调递减，在和上单调递增.
50．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
求出函数的导数，通过讨论的范围，判断函数的单调性即可；
【详解】由题意可得的定义域为，且．
令，则，又．
当，即时，，在上单调递增．
当，即或时，有两个根，．
若，，，则当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
若，，则当或时，，单调递增，
当时，，单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
51．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求出函数的导数，再分类讨论求解为正为负时的不等式作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
①当，即时，恒成立，此时在上单调递减；
②当，即时，由解得，，
由解得，，由解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减；
③当，即时，由解得或(舍)，
由解得，由解得，
此时在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
52．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
求函数的导数，讨论参数a，结合导数的符号判断函数单调性即可.
【详解】依题意，
若，则，当时，当时.
若，令，，令，解得或.
若，则；若，则；
若且，令，得，.
若，则，
当时，当时，当时；
若，则，
当时，当时，当时.
综上所述：时在R上单调递增；
时在和上单调递增，在上单调递减；
时在上单调递减，在上单调递增；
时在和上单调递减，在上单调递增；
时在R上单调递减；
53．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
求导，结合二次函数的性质，即可根据导函数的正负确定函数的单调区间.
【详解】
， ()
令，，
①当，即时，即，恒成立，所以，此时，在区间上是增函数；
②当，得到或，又，其对称轴为，且，所以，
当时，，所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，此时在区间上是增函数；
当时，，且，
由，得到或，时，，时，，
即时，，时，
此时，在上是减函数，在上是增函数.
综上所述，当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数，
在上是增函数.
54．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，其中，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】先求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
【详解】，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
55．（2024高三·全国·专题练习）已知.（），讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】先求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
【详解】因为，
所以，
若时，单调递减，
时，，单调递增；
若，由得或，
设，则，
时，单调递减，
时，单调递增，
所以，所以，
所以时，单调递减，
，时，，单调递增.
综上得，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
56．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】求导，分，，，讨论求解.
【详解】由题知，.
当时，当时，；当时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，；当或时，；当时，；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增；
当时，；当或时，；当时，；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上是增函数；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
57．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】先求导得出，然后解，得出两根.然后分，，三种情况，比较的大小关系，根据导函数即可得出答案.
【详解】因为，
所以，
令，则两根分别为，.
①当时，此时有，
在恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，此时有.
令，得或，所以的单调递增区间为，；
令，得，所以的单调递减区间为.
③当时，此时有.
令得或时，所以的单调递增区间为，；
令得，所以的单调递减区间为.
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为.
58．（2024高三·全国·专题练习）已知函数（，且）求函数的单调区间；
【答案】单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】对函数求导且，分别在、上讨论、对应导函数的符号，进而求其单调区间.
【详解】定义域为，（，且），则.
当时，，，
若，则，，得，于是，
若，则，，得，于是，
∴当时， 即在上单调递增；
当时，，，
若，则，，得，于是，
若，则，，得，于是，
∴当时，即在上单调递减；
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.
59．（2024高三·全国·专题练习）设函数，其中，讨论的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】求导，分，，，讨论求解.
【详解】由
①时，由，令，解得，
所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
②时，由，
（i）时，因为，则在单调递增，
（ii）时，，解得或，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
（iii）时，由，
所以时，时，，
则在，上单调递增，在单调递减；
综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
60．（2024高三·全国·专题练习）设，函数，讨论在的单调性.
【答案】在单调递减，在单调递增.
【分析】利用多次求导的方法来求得在区间上的单调性.
【详解】因为，所以在有定义，
，
设，
则，
当时，，
所以 在单调递增，
而，所以当时时 ，
因此在单调递减，在单调递增.
61．（2024·北京）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
62．（陕西省咸阳市高新一中2023-2024学年高二上学期第二次质量检测文科数学试题）设函数的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）．
(1)求a、b的值．
(2)讨论函数f（x）的单调性．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）根据函数导函数与单调性的关系进行求解即可.
【详解】（1）由，
因为函数的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11），
所以有，解得；
（2）由（1）可知，所以，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增.
【点睛】关键点睛：根据函数导函数的正负性判断函数的单调性是解题的关键.
63．（2024·甘肃天水·一模）设函数
(1)若函数在上递增，在上递减，求实数的值.
(2)讨论在上的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求得，由求得.
（2）先求得，对进行分类讨论，由此求得在上的单调性.
【详解】（1）的定义域为，，
由，解得，
此时，
则在区间上单调递增；
在区间上单调递减，符合题意.
所以的值为.
（2）∵，
∴，
①当时，在上单调递增.
②当，即或时，，
∴在上单调递减.
③当且时，
由 得.
令得；令得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上递增；
当或时，在上递减；
当且时，在上递增，在上递减.
【点睛】利用导数研究函数的单调性，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论.分类讨论标准的制定主要是根据导函数的结构来进行，分类讨论要做到不重不漏.部分题目，一次求导无法求得函数的单调区间，则可以考虑利用多次求导来进行研究.
64．（2024·全国）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
65．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数（）．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程：求出导函数，计算并计算出，由点斜式得切线方程并化简；
（2）求出导函数，然后分类讨论确定和的解得单调区间．
【详解】（1）若，则，所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
66．（2024·全国）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【分析】（1）[方法三]不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数 ，再求导得到，根据的正负，判断 的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.
【详解】（1）
[方法一]【最优解】：
等价于．
设，则．
当时，，所以在区间内单调递增；
当时，，所以在区间内单调递减．
故，所以，即，所以c的取值范围是．
[方法二]：切线放缩
若，即，即当时恒成立，
而在点处的切线为，从而有，
当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数的定义域为：
，
设，则有 ，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范围为．
（2）且
因此，设 ，
则有，
当时，，所以， 单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，
所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
67．（2023·重庆）设函数若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求：
（Ⅰ）的值;
（Ⅱ）函数的单调区间.
【答案】（1）;（2）单调增区间是和，减区间是.
【分析】（1）求出，利用，解方程可得结果；(2）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.
【详解】（1）的定义域为R
所以，
由条件得，解得或（舍）
所以
(2）因为，所以，
，解得或
所以当或时，
当时，，
所以的单调增区间是和，减区间是.
【点睛】利用导数的几何意义可求出函数在某一点出的切线斜率，求增区间需解不等,，求减区间需解不等式
68．（2024·北京）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；
（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
【考点】导数的应用；运算求解能力
【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
69．（2024·山东）设函数，其中，求的单调区间．
【答案】答案见解析
【分析】求出函数的定义域，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间.
【详解】函数的定义域为，.
①当时，对任意的，，
此时，函数的减区间为，无增区间；
②当时，由可得，由可得.
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
70．（2024·陕西）设函数，其中为实数．
(1)若的定义域为，求的取值范围；
(2)当的定义域为时，求的单调减区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由已知，，，则，可解得实数的取值范围；
（2）求出，对实数的取值范围进行讨论，利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的单调递减区间.
【详解】（1）解：由题意可知，，，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
（2）解：由题意可知，，.
因为时，.
①当时，即当时，由可得，
此时函数的单调递减区间为；
②当时，即当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数无单调递减区间；
③当时，即当时，由可得，
此时函数的单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为.
71．（2008·北京）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
【答案】导函数为；
当时，函数的增区间为，减区间为和，
当时，函数的增区间为，减区间为和，
当时，函数的减区间为和．
【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．
【详解】解：．
令，得．
当，即时，的变化情况如下表：
当，即时，的变化情况如下表：
所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
综上：
导函数为；
当时，函数的增区间为，减区间为和，
当时，函数的增区间为，减区间为和，
当时，函数的减区间为和．
72．（2024·全国）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．
73．（2024高二下·四川绵阳·期中）已知函数．
(1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值；
(2)若函数在单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的单调递减区间为，得出是两个根，求出实数a的值并验证成立；
（2）由函数在单调递减，得出对恒成立，再求解实数a的取值范围．
【详解】（1），
∵函数的单调递减区间为，
所以是的两个根，
所以，解得.
经检验当时，由，解得，
所以函数的单调递减区间为.
所以.
（2）∵在单调递减
∴对恒成立，
即，恒成立
∴.
74．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若函数为增函数，求的取值范围.
【答案】
【分析】对求导，利用已知单调性分离参数转换成恒成立问题，再构造函数，求出最值即可.
【详解】∵，
则，
若是增函数，则，且，
可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，则，
令，解得；
令，解得；
则在上递增，在递减，
故，
∴的取值范围为.
75．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若单调递增，求a的值.
【答案】1
【分析】先对求导，因为单调递增，所以恒成立，再构造函数，分别讨论时的符号和单调性，最终得到值.
【详解】由可得，，
由于函数单调递增，则恒成立，
当时，，可知时，，不满足题意；
设，则，
当时，，函数单调递增，
又因为，即，不满足题意；
当时，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由可得，，令，则，
可知时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则，由于恒成立，
所以，，当且仅当时取等号，
故函数单调递增时，实数的值为1.
76．（2024·贵州贵阳·模拟预测）实数，，．
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)讨论的单调性并写出过程．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）采用分离参数，转化为函数的最值问题即可求解.
(2)对分类讨论，根据单调性即可求解.
【详解】（1）由题意得，令，的定义域为，
由得：．
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即实数的取值范围为．
（2）令，的定义域为．
①当时，时，，在上是增函数；
时，，在上是减函数；
时，，在上是增函数；
②当时，，
时，在上是减函数；
时，在上是增函数；
③当时，单调递增；
④当时，时，，在上是增函数，
时，，在上是减函数，
时，，是增函数．
【点睛】方法点睛:1.两招破解不等式的恒成立问题
(1)分离参数法
第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题
第二步:利用导数求该函数的最值;
第三步:根据要求得所求范围.
(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题;
第二步:利用导数求该函数的极值;
第三步:构建不等式求解.
2.利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧
根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成立问题,进而用导数求该函数在该区间上的最值问题,最后构建不等式求解.
（一）
利用导函数与原函数的关系确定原函数图象
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）.
题型1：利用导函数与原函数的关系确定原函数图象
1-1．（天津市西青区为明学校2023-2024学年高三上学期开学测数学试题）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.
【详解】因为的图像经过与两点，即，，
由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故AD错误；
由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增，
又在上越来越大，在上越来越小，
所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故C错误，B正确.
故选：B.
1-2．（天津市瑞景中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选：C.
1-3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据的图像，得到不同范围下，的正负，得到的单调性，得到答案.
【详解】
由的图象知，当时，，故，单调递增；
当时，，故，当，，故，
等号仅有可能在x＝0处取得，
所以时，单调递减；
当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.
故选：C.
1-4．（2024·陕西西安·一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分、两种情况求解即可.
【详解】若，则单调递减，图像可知，，
若，则单调递增，由图像可知，
故不等式的解集为．
故选：C
（二）
求单调区间
1.求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出.
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线.
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.
2.导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图象特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等.
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.
题型2：求单调区间
2-1．（2024高三下·江西鹰潭·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导，求出不等式的解集即可.
【详解】函数的定义域为.
，则.
令，解得.
故选：D
2-2．（2024高二下·湖北·期中）函数的单调递增区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，结合函数的定义域，即可得出单调递增区间.
【详解】由，可得或，
所以函数的定义域为.
求导可得，当时，，由函数定义域可知，，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A.
2-3．（2024·上海静安·二模）函数（ ）
A．严格增函数
B．在上是严格增函数，在上是严格减函数
C．严格减函数
D．在上是严格减函数，在上是严格增函数
【答案】D
【分析】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.
【详解】解：已知，，则，
令，即，解得，
当时，，所以在上是严格减函数，
当时，，所以在上是严格增函数，
故选：D.
【点睛】导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
题型3：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
3-1．（2024·陕西西安·三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
则，
所以在上递增，又，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
3-2．（2024·山东济宁·一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，利用导数求出函数的单调区间，再分和两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解.
【详解】令，则，
当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，
当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，
所以，解得，
此时在上递增，则恒成立，
当时，为减函数，且函数在区间内单调递增，
所以，无解，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
3-3．（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．m>1
【答案】B
【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．
【分析】函数的定义域为，
且，
令，得，
因为在区间上不单调，
所以，解得：
故选：B.
3-4．（2024高三上·江苏苏州·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.
【详解】∵，
∴，
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故，
令，则在单调递增，
，
故.
故选：D.
3-5．（2024高三上·山西朔州·期中）已知函数（）在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：函数在区间上存在单调增区间，函数在区间上存在子区间使得不等式成立．，设，则或，即或，得，故选B.
考点：导数的应用.
【思路点睛】该题考查的是函数存在增区间的条件，属于较难题目，在解题的过程中，紧紧抓住导数的应用，相当于在区间上有解，最后将问题转化为不等式在区间上有解，设，结合二次函数的性质，可知只要或即可，将和分别代入，求得结果，取并求得答案.
3-6．（2024高二下·天津和平·期中）已知函数的单调递减区间是，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用导数结合韦达定理得出的值.
【详解】函数，则导数
令，即，
∵，的单调递减区间是，
∴0，4是方程的两根，
∴，，
∴
故选：B.
（三）
函数单调性的讨论
1.确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
2、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.（注意定义域的间断情况）.
3、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.
4、利用草稿图象辅助说明.
题型4：不含参数单调性讨论
4-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.试判断函数在上单调性并证明你的结论；
【答案】函数在上为减函数，证明见解析
【分析】求出函数的导数，根据导数取值范围求解函数单调性.
【详解】函数在上为减函数，证明如下：
因为，所以，
又因为，所以，，所以，
即函数在上为减函数.
4-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，求的单调区间.
【答案】为单调递减区间；为单调递增区间.
【分析】利用导数求得的单调性.
【详解】若，则，
求导得，
令可得，令可得，
故在上单调递减；在上单调递增.
4-3．（2024·贵州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
【答案】(1)
(2)在上是减函数．
【分析】（1）求导，计算斜率，再用点斜式求解即可；
（2）令，求出，根据、可得使，可得、时的单调性，从而得解.
【详解】（1），
∴，又，
∴曲线在点处的切线方程是，
即；
（2）令，
则在上递减，且，，
∴，使，即，
当时，，当时，，
∴在上递增，在上递减，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故，
∴在上是减函数．
【点睛】方法点睛：判断一个函数是单调增还是单调减，我们可以通过求导函数来判断，如果导函数为正值，那么原函数就是单调增的，如果导函数为负值，那么原函数就是单调减的，而如果导函数为0，那么可能是函数的极值点.
题型5：含参数单调性讨论
5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，求导得，然后分，，分别讨论，即可得到结果；
【详解】，，
①当，即时，，在区间单调递增．
②当，即时，
令，得，令，得，
所以在区间单调递增；在区间单调递减．
③当，即时，
若，则，在区间单调递增．
若，令，得，令，得，
所以在区间单调递减；在区间单调递增．
综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；
时，在区间单调递增
时，在区间单调递减、在区间单调递增．
5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】
求导，分和两种情况，利用导数判断原函数的单调性.
【详解】
由题意可知：的定义域为，且，
若，则恒成立，所以在上单调递增；
若，令，解得或（舍去），
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减；
综上所述：若，在上单调递增；
若，在上单调递增，在上单调递减.
5-3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】
将函数求导，对的正负性进行分类讨论，进而得到的单调性.
【详解】因为的定义域为，
所以，其中，
当时，即，在上单调递增，
当时，即，
令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
5-4．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数.讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】求出导函数，再分类讨论确定的正负得单调性.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，在上是增函数，
当时，当时，，递减，当时，，递增，
所以当时，在R上是增函数，当时，在上是减函数，在上是增函数.
5-5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】求出导函数，然后分类讨论确定的正负得单调区间.
【详解】因为，该函数的定义域为，
.
因为，由得：或.
①当，即时，对任意的恒成立，且不恒为零，
此时，函数的增区间为，无减区间；
②当，即时，由得或；由得.
此时，函数的增区间为、，减区间为；
③当，即时，由得或；由得.
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述：当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
5-6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，其中，讨论函数的单调性.
【答案】答案见解析.
【分析】先将函数求导并对导函数分子进行因式分解，再对参数进行分类讨论，最后得到不同情况下的函数的单调性.
【详解】
，
所以的定义域为，
，
①若时，
1
0
0
极小值
极大值
②若时，恒成立，单调递减，
③若时
1
0
0
极小值
极大值
④若时令，解得，此时单调递增，
令解得，此时单调递减，
综上所述，当时，在和单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在和单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
5-7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，讨论的单调区间.
【答案】答案见解析
【分析】
先求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
【详解】
的定义域为，，
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
若，则恒成立，在上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间.
5-8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.判断函数的单调性.
【答案】在上单调递增，在上单调递减
【分析】求函数的定义域，对函数求导数，分析其正负号，得到函数的单调性.
【详解】因为，定义域为，
，
令，因为，则，
可得在上单调递减，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
单调递增
极大值
单调递减
2
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
2
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
2
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0
0