专题13 导数的应用--函数的极值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

这是一份专题13 导数的应用--函数的极值问题5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共17页。试卷主要包含了函数的极值等内容，欢迎下载使用。


1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
一、单选题
1．（2024·全国）若是函数的极值点，则的极小值为．
A．B．C．D．
2．（2024高二下·安徽亳州·期末）设函数一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三上·全国·单元测试）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)
5．（2024·吉林通化·模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值D．无极大值，无最大值
6．（2024高二下·河北秦皇岛·期末）已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
7．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．是函数的极小值点
B．是函数的极大值点
C．函数在上单调递增
D．函数在处的切线斜率小于零
8．（2024·陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A．是的零点B．1是的极值点
C．3是的极值D．点在曲线上
9．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024高三·全国·专题练习）函数的大致图像如图所示，，是函数的两个极值点，则等于（ ）

A．B．C．D．
11．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）已知实数成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于（ ）
A．2B．C．D．1
12．（2024高二下·新疆昌吉·期末）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①x=-2是函数的极值点；
②x=1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A．①②B．②④C．②③D．①④
13．（2024高二下·全国·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
14．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3B．4C．5D．6
15．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
17．（2024·全国·模拟预测）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．有两个极值点B．为函数的极大值
C．有两个极小值D．为的极小值
18．（2024·全国）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
19．（2024·全国）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
20．（江西省丰城中学2024届高三上学期入学考试数学试题）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ）

A．的单调递增区间是
B．是的极小值点
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．是的极小值点
21．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）
A．1是的极大值，也是的极大值B．1是的极大值，也是的极小值
C．1是的极小值，也是的极小值D．1是的极小值，也是的极大值
22．（2024高二下·福建厦门·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A．在区间上单调递减
B．在处取得极大值
C．在区间上有2个极大值点
D．在处取得最大值
23．（2024高三上·广西百色·阶段练习）函数的两个极值点分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
24．（2024·全国）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
25．（2024高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．在上有两个极值点B．在处取得最小值
C．在处取得极小值D．函数在上有三个不同的零点
26．（2024高三上·福建福州·阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的零点B．为函数的极小值点
C．函数在上单调递减D．是函数的最大值
三、填空题
27．（2024高三·全国·专题练习）函数的极大值点和极大值分别为 ，
28．（2024·全国）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
29．（2024高三·全国·专题练习）函数 的极大值为 ；极小值为 .
30．（2024高二下·陕西渭南·期末）已知函数，在时有极大值，则的极大值为
31．（2024高三上·贵州遵义·阶段练习）函数的极值点的个数为 .
32．（安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题）已知函数在时有极值为0，则 .
33．（2024高三上·新疆伊犁·阶段练习）已知函数有两个极值点，则的取值范围为 .
四、解答题
34．（2024·北京）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
35．（2024高二下·福建龙岩·期中）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数
（1）求b、c的值．
（2）求g（x）的单调区间与极值．
36．（2007·安徽）设函数，其中．将的最小值记为．
(1)求的表达式；
(2)讨论在区间内的单调性并求极值．
37．（2024·山东）设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
38．（2024·福建）已知函数的图象过点，且函数的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若，求函数在区间内的极值.
39．（2024高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
40．（2024高二下·湖南长沙·期中）设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1，
（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值．
41．（2024·全国）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
42．（2024·北京）设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
43．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求在上的值域；
(2)若的极大值为4，求实数的值.
44．（2024·北京）设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
45．（2024高三上·湖南·开学考试）已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若存在极值点，且，求的值，并分析是极大值点还是极小值点．
46．（2024·广东）设，集合
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数在D内的极值点.
47．（2024·湖北）设函数在处取得极值，试用表示和，并求的单调区间．
48．（2024·重庆）已知函数在处取得极值．
确定a的值；
若，讨论的单调性．
49．（2024高三上·辽宁沈阳·阶段练习）函数，，已知和分别是函数的极大值点和极小值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围.
50．（2024高二下·重庆长寿·期中）已知函数.
(1)设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极值.
51．（2024高二下·甘肃白银·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间和极值；
52．（2024高三上·江苏南京·开学考试）已知函数，其中．
(1)若，证明：；
(2)设函数，若为的极大值点，求a的取值范围．
53．（2024高三上·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是的极大值点，求的取值范围．
54．（2024高三上·贵州·开学考试）定义函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：在区间上，有且只有两个不同的极值点．
55．（2024高三上·北京西城·开学考试）已知函数，．
(1) ， ；
(2)的极小值点为 ，极小值为 ；
(3)的极大值点为 ，极大值为 ；
(4)画出函数的图象草图：

(5)若方程恰好有2个解，则实数 ；
(6)若在上单调，则实数的取值范围是 ；
(7)若函数存在极值，则极值点的个数可能为 个．
（一）
函数极值、极值点的辨识
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
题型1：函数极值、极值点的辨识
1-1．（2024·辽宁）设函数满足则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
1-2．（2024高三·全国·专题练习）已知e为自然对数的底数,设函数,则．
A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
1-3．（2024·陕西）设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）
A．x=为f(x)的极大值点B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点D．x=2为 f(x)的极小值点
题型2：函数(导函数)的图象与极值(点)关系
2-1．（2024·重庆）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
2-2．（2024高二下·黑龙江鹤岗·期中）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内极小值点的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
2-3．（2024高二上·陕西汉中·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极大值
2-4．（2024高三上·四川自贡·阶段练习）已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
（二）
求已知函数的极值、极值点
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
注：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
题型3：求已知函数的极值、极值点
3-1．（2024·重庆）设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数极值．
3-2．（2024高二下·重庆巫溪·期中）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)求函数的极值．
3-3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.求的极值；
3-4．（2024·广西南宁·一模）设函数，，为的导函数．
(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；
(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．
3-5．（2024·河北·模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
（三）
根据函数的极值、极值点求参数
根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
题型4：根据函数的极值求参数
4-1．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数．
(1)若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；
(2)若在区间上有极小值，求实数的取值范围．
4-2．（2024·湖南·模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8B．C．2D．
4-3．（2024高三下·贵州·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4-4．（2024·陕西商洛·三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4-5．（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型5：根据函数的极值点求参数
5-1．（2024高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数为实数．
(1)时，求的极小值点；
(2)若是的极小值点，求的取值范围．
5-2．（2024高三上·河南洛阳·开学考试）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若是的极大值点，求的取值范围.
5-3．（2024高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数存在唯一的极值点，求实数a的取值范围．
5-4．（2024高二下·江苏南通·期末）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5-5．（2024高三下·江苏南京·开学考试）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．