初中数学2.3 等腰三角形的性质定理导学案

这是一份初中数学2.3 等腰三角形的性质定理导学案，共5页。

A组


1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为__32°__．


,(第1题)) ,(第2题))


2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．


3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(C)


A． 35° B． 45°


C． 55° D． 60°


,(第3题)) ,(第4题))


4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为(B)


A． 18 B． 20


C． 22 D． 24





(第5题)


5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＝DF，请说明理由．


【解】 连结AD．


∵AB＝AC，D为BC的中点，


∴∠BAD＝∠CAD．


∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．





(第6题)


6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．


【解】 ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，


∴BD＝DC，AD⊥BC．


又∵BE＝DC，∴BD＝BE．


又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，


∴△ABD≌△ABE(SAS)，


∴∠BAD＝∠BAE，


即AB平分∠EAD．





(第7题)


7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF＝ED．


【解】 ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．


又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．


B组











(第8题)


8．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(B)


A． 当∠B为定值时，∠CDE为定值


B． 当α为定值时，∠CDE为定值


C． 当β为定值时，∠CDE为定值


D． 当γ为定值时，∠CDE为定值


【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．


∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．


∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，


即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，


∴2∠CDE＝α．


9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．





(第9题)


【解】 由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，


则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…．


∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．


同理可得∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，∠A5A4B＝54°，∠A6A5C＝63°，∠A7A6B＝72°，∠A8A7C＝81°，∠A9A8B＝90°，


∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．


10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°．求证：△AEF≌△BCF．





(第10题)


【解】 过点F作FG⊥AB于点G．


∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，


∴∠ABF＝45°．


∵FG⊥AB，


∴∠AGF＝∠BGF＝90°．


在△AGF和△BGF中，


∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠GAF＝∠GBF＝45°，,∠AGF＝∠BGF，,GF＝GF，))


∴△AGF≌△BGF(AAS)，


∴AF＝BF．


∵AB＝AC，D是BC的中点，


∴AD⊥BC，


∴∠EAF＋∠C＝90°．


∵BF⊥AC，


∴∠AFE＝∠BFC＝90°，∠CBF＋∠C＝90°，


∴∠EAF＝∠CBF．


在△AEF和△BCF中，


∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EAF＝∠CBF，,AF＝BF，,∠AFE＝∠BFC，))


∴△AEF≌△BCF(ASA)．





(第11题)





11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．


(1)求证：DE＝DF．


(2)问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，那么它们还相等吗？





【解】 (1)∵AB＝AC，AD⊥BC，


∴AD平分∠BAC．


∵DE⊥AB，DF⊥AC，


∴DE＝DF．


(2)相等．理由如下：


由(1)知AD⊥BC，∠DAE＝∠DAF，


∴∠ADB＝∠ADC＝90°．


∵DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，


∴∠ADE＝eq \f(1,2)∠ADB，∠ADF＝eq \f(1,2)∠ADC，


∴∠ADE＝∠ADF．


在△ADE和△ADF中，


∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAE＝∠DAF，,AD＝AD，,∠ADE＝∠ADF，))


∴△ADE≌△ADF(ASA)，


∴DE＝DF．


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(第12题)


12．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，求∠CEF的度数．


【解】 连结BO．


∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线相交于点O，


∴∠OBA＝∠OAB＝eq \f(1,2)∠BAC＝25°．


∵AB＝AC，∠BAC＝50°，


∴∠ABC＝∠ACB＝65°．


∴∠OBC＝65°－25°＝40°．


根据等腰三角形的对称性，得∠OCB＝∠OBC＝40°．


∵点C沿EF折叠后与点O重合，


∴EO＝EC，∠CEF＝∠OEF，


∴∠EOC＝∠ECO＝40°，


∴∠CEF＝∠OEF＝eq \f(180°－2×40°,2)＝50°．