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广东省揭阳市揭东区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
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这是一份广东省揭阳市揭东区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：请将答案写在签题卷上.考试时间为120分钟满分120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.一元二次方程的一次项系数是（）
A.5B.C.2D.0
2.下列各组的四条线段成比例的是（）
A.、、、B.、、、
C.、、、D.、、、
3.下列各组图形，一定相似的是（）
A.两个等腰梯形B.两个菱形C.两个正方形D.两个矩形
4.已知，则下列比例式成立的是（）
A.B.C.D.
5.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）
A.B.且
C.D.且
6.不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（）
A.B.C.D.
7.如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（）
A.当，平行四边形是矩形
B.当，平行四边形是矩形
C.当，平行四边形是菱形
D.当，平行四边形是正方形
8.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（）
A.B.
C.D.
9.如图，在中，、分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是（）
A.B.C.D.
10.如图，已知在正方形中，，，分别是，上的一点，且，，将绕点沿顺时针方向旋转90°后与重合，连接，则以下结论：①，②，③，④中正确的是（）
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.若关于的一元二次方程有一个根是1，则的值为______.
12.如图，已知五边形与五边形相似且相似比为3:4，，则______.
13.当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______.
14.已知（），若，则______.
15.如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，若四边形是菱形，则四边形的对角线和需要满足的条件是______.
16.如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为______.
三、解答题（一）（共20分）
17.（4分）解方程：.
18.（4分）如图，，且，，求的长.
19.（6分）小红的爸爸积极参加社区志愿服务工作.根据社区安排，志愿者被随机分到组（清除小广告）、组（便民代购）和组（环境消杀）.
（1）小红爸爸被分到组的概率是______；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小红的爸爸被分到同一组的概率.
20.（6分）如图，在中，.
（1）用尺规作图法作出的角平分线；
（2）在（1）的条件下，若，，垂足分别为、，判断四边形的形状，并说明理由.
四、解答题（二）（共28分）
21.（8分）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
22.（10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本.
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为______件.
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
23.（10分）如图，在中，，过点作交的延长线于点，连接交于点.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长.
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24.（12分）综合与实践：
邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形.如图1，中，若，，则为2阶准菱形.
图1图2
（1）判断与推理：
①邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把沿折叠（点在上），使点落在边上的点，得到四边形.请证明四边形是菱形.
（2）操作、探究与计算：
①若一个平行四边形的邻边长分别为1，（），且是3阶准菱形，请画出这个平行四边形及裁剪线的示意图（至少画出两种），并在图形下方写出的值；
②若的周长为24，且是4阶准菱形，请直接写出的短边长（两种即可）.
25.（12分）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒4个单位长度的速度由点向运动.设动点的运动时间为秒.
（1）当四边形是平行四边形时，求的值；
（2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在线段上有一点，且，当四边形的周长最小时，求点运动时间的值.
2023～2024学年度第一学期期中教学质量监测
九年级数学科参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1-5 BCCCB 6-10 DDDBD
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 3 12. 3.2 13. 14. 9 15. 16.
三、解答题（一）（本大题共4小题，第17，18题每小题4分，第19，20题每小题6分，共20分）
17.解：，
，，，…………………………1分
，…………………………2分
，…………………………3分
，．…………………………4分（其他解法请结合具体情况给分）
18.解：，
………………………2分
即………………………3分
解得：．………………………4分
19.解：（1）小红爸爸被分到组的概率为，
故答案为：；……………………2分
小红爸爸和王老师分组可用树状图表示如下：
…………………………4分
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小红爸爸和王老师被分到同一组的结果有三种，…………………5分
．……………………6分
20解：（1）如图，即为所求．
…………………2分
（2）四边形为正方形．…………………3分
理由：平分，，，
，，，………………4分
，
，
四边形为矩形，…………………5分
，
四边形为正方形．…………………………6分
四、解答题（二）（本大题共3小题，第21题8分，第22，23题每小题10分，共28分）
21.解：（1）是等腰三角形；………………1分
理由：把代入方程得，则，………………3分
所以为等腰三角形；………………4分
（2）为直角三角形；………………5分
理由：根据题意得，即，………………7分
所以为直角三角形；………………8分
22.解：（1）由题意可得，
当销售单价为90元时，
销售量为：（件），
故答案为：100；……………………………………3分
（2）设售价为元，由题意可，
，…………………………6分
解得：，，…………………………………………8分
使顾客获得更多的实惠，
，…………………………………………………………9分
答：销售单价应定为70元；……………………………………10分
23.（1）证明：，
，………………………………………1分
，
，………………………………………2分
四边形是平行四边形，点在的延长线上，
，………………………………………3分
四边形是平行四边形，………………………………………4分
，
四边形是矩形．………………………………………………5分
（2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，，………………………………………6分
，
是等边三角形，………………………………………7分
，，………………………………………8分
，，………………………………………9分
，
的长是．……………………………………………………10分
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24.解：（1）①如图所示：
利用邻边长分别为3和5的平行四边形经过3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形；
故答案为：3；………………………………………2分
②由折叠知：，，
四边形是平行四边形，
，………………………………………3分
，
，
，………………………………………4分
，
四边形是平行四边形，………………………………………5分
四边形是菱形；………………………………………6分
（2）①如图所示：
………………………9分
②如图所示：
的短边长为2或．（画出两种即可）……………………………12分
25.解：（1）四边形为矩形，，，
，，
点是的中点，，
由运动知，，，
四边形是平行四边形，
，，
；………………………………………4分
（2）分三种情况：
①当点在的右边时，如图，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，………………………………………5分
②当点在的左边且在线段上时，如图，
同①的方法得出，，………………………………………6分
③当点在的左边且在的延长线上时，如图，
同①的方法得出，，
，………………………………………7分
综上，时，；时，；时，；………8分
（3）如图4，由（1）知，，
，，
，
四边形时平行四边形，………………………………………9分
，
四边形的周长为，
最小时，四边形的周长最小，………………………………………10分
作点关于的对称点，连接DE交于，
，
，
，………………………………………11分
，
．………………………………………12分
温馨提示：请将答案写在签题卷上.考试时间为120分钟满分120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.一元二次方程的一次项系数是（）
A.5B.C.2D.0
2.下列各组的四条线段成比例的是（）
A.、、、B.、、、
C.、、、D.、、、
3.下列各组图形，一定相似的是（）
A.两个等腰梯形B.两个菱形C.两个正方形D.两个矩形
4.已知，则下列比例式成立的是（）
A.B.C.D.
5.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）
A.B.且
C.D.且
6.不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（）
A.B.C.D.
7.如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（）
A.当，平行四边形是矩形
B.当，平行四边形是矩形
C.当，平行四边形是菱形
D.当，平行四边形是正方形
8.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（）
A.B.
C.D.
9.如图，在中，、分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是（）
A.B.C.D.
10.如图，已知在正方形中，，，分别是，上的一点，且，，将绕点沿顺时针方向旋转90°后与重合，连接，则以下结论：①，②，③，④中正确的是（）
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.若关于的一元二次方程有一个根是1，则的值为______.
12.如图，已知五边形与五边形相似且相似比为3:4，，则______.
13.当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______.
14.已知（），若，则______.
15.如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，若四边形是菱形，则四边形的对角线和需要满足的条件是______.
16.如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为______.
三、解答题（一）（共20分）
17.（4分）解方程：.
18.（4分）如图，，且，，求的长.
19.（6分）小红的爸爸积极参加社区志愿服务工作.根据社区安排，志愿者被随机分到组（清除小广告）、组（便民代购）和组（环境消杀）.
（1）小红爸爸被分到组的概率是______；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小红的爸爸被分到同一组的概率.
20.（6分）如图，在中，.
（1）用尺规作图法作出的角平分线；
（2）在（1）的条件下，若，，垂足分别为、，判断四边形的形状，并说明理由.
四、解答题（二）（共28分）
21.（8分）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
22.（10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本.
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为______件.
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
23.（10分）如图，在中，，过点作交的延长线于点，连接交于点.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长.
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24.（12分）综合与实践：
邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形.如图1，中，若，，则为2阶准菱形.
图1图2
（1）判断与推理：
①邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把沿折叠（点在上），使点落在边上的点，得到四边形.请证明四边形是菱形.
（2）操作、探究与计算：
①若一个平行四边形的邻边长分别为1，（），且是3阶准菱形，请画出这个平行四边形及裁剪线的示意图（至少画出两种），并在图形下方写出的值；
②若的周长为24，且是4阶准菱形，请直接写出的短边长（两种即可）.
25.（12分）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒4个单位长度的速度由点向运动.设动点的运动时间为秒.
（1）当四边形是平行四边形时，求的值；
（2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在线段上有一点，且，当四边形的周长最小时，求点运动时间的值.
2023～2024学年度第一学期期中教学质量监测
九年级数学科参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1-5 BCCCB 6-10 DDDBD
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 3 12. 3.2 13. 14. 9 15. 16.
三、解答题（一）（本大题共4小题，第17，18题每小题4分，第19，20题每小题6分，共20分）
17.解：，
，，，…………………………1分
，…………………………2分
，…………………………3分
，．…………………………4分（其他解法请结合具体情况给分）
18.解：，
………………………2分
即………………………3分
解得：．………………………4分
19.解：（1）小红爸爸被分到组的概率为，
故答案为：；……………………2分
小红爸爸和王老师分组可用树状图表示如下：
…………………………4分
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小红爸爸和王老师被分到同一组的结果有三种，…………………5分
．……………………6分
20解：（1）如图，即为所求．
…………………2分
（2）四边形为正方形．…………………3分
理由：平分，，，
，，，………………4分
，
，
四边形为矩形，…………………5分
，
四边形为正方形．…………………………6分
四、解答题（二）（本大题共3小题，第21题8分，第22，23题每小题10分，共28分）
21.解：（1）是等腰三角形；………………1分
理由：把代入方程得，则，………………3分
所以为等腰三角形；………………4分
（2）为直角三角形；………………5分
理由：根据题意得，即，………………7分
所以为直角三角形；………………8分
22.解：（1）由题意可得，
当销售单价为90元时，
销售量为：（件），
故答案为：100；……………………………………3分
（2）设售价为元，由题意可，
，…………………………6分
解得：，，…………………………………………8分
使顾客获得更多的实惠，
，…………………………………………………………9分
答：销售单价应定为70元；……………………………………10分
23.（1）证明：，
，………………………………………1分
，
，………………………………………2分
四边形是平行四边形，点在的延长线上，
，………………………………………3分
四边形是平行四边形，………………………………………4分
，
四边形是矩形．………………………………………………5分
（2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，，………………………………………6分
，
是等边三角形，………………………………………7分
，，………………………………………8分
，，………………………………………9分
，
的长是．……………………………………………………10分
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24.解：（1）①如图所示：
利用邻边长分别为3和5的平行四边形经过3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形；
故答案为：3；………………………………………2分
②由折叠知：，，
四边形是平行四边形，
，………………………………………3分
，
，
，………………………………………4分
，
四边形是平行四边形，………………………………………5分
四边形是菱形；………………………………………6分
（2）①如图所示：
………………………9分
②如图所示：
的短边长为2或．（画出两种即可）……………………………12分
25.解：（1）四边形为矩形，，，
，，
点是的中点，，
由运动知，，，
四边形是平行四边形，
，，
；………………………………………4分
（2）分三种情况：
①当点在的右边时，如图，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，………………………………………5分
②当点在的左边且在线段上时，如图，
同①的方法得出，，………………………………………6分
③当点在的左边且在的延长线上时，如图，
同①的方法得出，，
，………………………………………7分
综上，时，；时，；时，；………8分
（3）如图4，由（1）知，，
，，
，
四边形时平行四边形，………………………………………9分
，
四边形的周长为，
最小时，四边形的周长最小，………………………………………10分
作点关于的对称点，连接DE交于，
，
，
，………………………………………11分
，
．………………………………………12分
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