广东省茂名市崇文学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份广东省茂名市崇文学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初三级数学科试卷
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．下列属于一元二次方程的是（ ）
A．x2-3x+y=0B．x2+2x=C．2x2=5xD．x(x2-4x)=3
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对边相等C．对角线互相垂直D．对角线相等
3．如图，在矩形中，对角线，交于点O.若，则的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
4．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，二维码图案占满了整张正方形纸，且面积为，为了估计图中黑色部分的面积，可在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落人黑色部分的频率稳定在左右，那么估计黑色部分的面积约为（ ）

A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．10cm
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定
8．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 mB．67.5 mC．40 mD．30 m
9．如图，点在正方形内，且，，，则阴影部分的面积是（ ）．
A．12B．15C．19D．25
10．如图，已知四边形是平行四边形，下列三个结论：①当时，它是菱形，②当时，它是矩形，③当时，它是正方形．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）
11．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则c的值是 ．
12．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的周长是 ．

13．如图，正方形对角线相交于点，点又是另一个正方形的顶点，两个正方形边长都是，则两者重合部分的面积是 ．
14．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
15．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ．
16．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．

三、解答题（一）（本题共计3小题，每题6分，共计18分）
17．解方程：
(1)
(2)
18．一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
19．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
四、解答题（二）（本题共计3小题，每题7分，共计21分）
20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
21．小强在地面处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端此时米，米．已知眼睛距离地面的高度米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
22．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
五、解答题（三）（本题共计3小题，第23题9分，第24、25题每题12分，共计33分）
23．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动．
(1)当移动几秒时，的面积为．
(2)设四边形APQC的面积为，当移动几秒时，四边形APQC的面积为？
(3)当移动几秒时，与相似？
25．已知四边形是正方形，点点分别是边所在的直线上的点，，连接，与直线相交于点H．过点作，并且使，连接．
(1)如图，当点点分别在边上时，与的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图，当点点分别在延长线上时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图，当点点分别在延长线时，（）中结论是否仍然成立？请直接写出你的结论．
答案与解析
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可 ．
【详解】A.含有两个未知数，故A错误；
B.含有分式，故B错误；
C是一元二次方程，故C正确；
D.最高次数为3次，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知其定义是解题的关键．
2．C
【分析】由菱形的性质好平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】解：由菱形性质可知，其对角相等，四边相等，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；
由平行四边形的性质可知，其对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
3．A
【分析】由矩形的性质可得∠COD＝60°，OC＝OD，再根据等边三角形的判定与性质可得∠OCD＝60°，最后由角的和差计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩，∠AOB＝60°，
∴∠BCD＝90°，∠COD＝60°，OC＝OD＝，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠OCD＝30°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．C
【分析】利用，，而，，则可判断方程，，，为常数）的一个解的范围是．
【详解】解：，，
，，
时，，
即方程，，，为常数）的一个解的范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
5．C
【分析】根据点落人黑色部分的频率稳定在，则黑色部分占整体的，黑色部分面积约占整体面积的，即可．
【详解】点落人黑色部分的频率稳定在，
∴黑色部分占整体的，
∵正方形的面积为，
∴黑色部分的面积约：．
故选：C．
【点睛】本题考查用频率估计概率，解题的关键是理解题意，掌握概率的运用．
6．D
【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解∶∵，AD∶DB=3：2，
∴AD∶DB=AE∶EC=3∶2，
∵AE=6cm，
∴6∶EC=3∶2，
∴EC=4cm，
∴AC=AE+EC=10cm．
故选：D
【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例基本事实是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系．根据判别式的符号，进行判断即可．熟练掌握，方程有两个不相等的实数根，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
8．A
【详解】∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△ABE∽△DCE,
∴.
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴
故选A.
9．C
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积与△APB的面积之差即可求出答案．
【详解】解：∵，，，
由勾股定理得：，
∴S阴影= S正方形ABCD -S△APB=5×5-×3×4=19．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．
10．B
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐个进行判断即可得出结论．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴当时，是菱形．
故①正确；
∵四边形是平行四边形，
∴当时，是菱形．
故②错误；
∵四边形是平行四边形，
∴当时，是矩形．
故③错误；
∴正确的只有①；
故选B．
【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．
11．1
【分析】把代入，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入得：，解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．
【分析】根据菱形性质得到，，在中利用勾股定理得到，从而可以得到答案．
【详解】解：在菱形的两条对角线相交于点，若，，
，，
在中利用勾股定理得到，
菱形的周长是，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，涉及菱形对角线相互垂直平分、勾股定理及菱形四条边相等等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
13．
【分析】设交于点交于点，通过证明，将重合面积转化为的面积．
【详解】设交于点交于点，
∵，四边形内角和为，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即重合面积为的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形与全等三角形，解题关键是熟练掌握正方形的性质与全等三角形的判定与性质．
14．0.93
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．x（x﹣1）＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0）．
【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=2070．
【详解】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0），
故答案为x（x﹣1）＝2070（或x2﹣x﹣2070＝0）．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x-1张相片，有x个人是解决问题的关键．
16．
【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
17．(1)x1=4，x2=0；
(2)x1=5，x2=-1．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解．
【详解】（1）解：（x-2）2-4=0，
∴（x-2）2=4，
∴x-2=±2，
∴x=2±2，
∴x1=4，x2=0；
（2）解：x2-4x-5=0．
∴（x-5）（x+1）=0，
∴x1=5，x2=-1．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和直接开平方法是解题的关键．
18．(1)
(2)2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： ．
故答案为：；
（2）解： 画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
19．(1)作图见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
20．所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，解得：，
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
21．13.44m
【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB=∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出AB即可．
【详解】解：根据题意得
，
，
即
解得：
答：教学楼的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决问题．
22．（1）20%；（2）能
【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可；
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可．
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x．
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
23．(1)见详解
(2)
【分析】（1）可证，从而可证四边形是菱形，即可得证；
（2）可求，再证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
24．(1)2秒或4秒
(2)3秒
(3)当移动3秒或秒时，与相似．
【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）用△ABC的面积减去△BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB＝12−2t，BQ＝4t，
由题意得：S△BPQ＝PB·BQ＝（12−2t）·4t＝＝32，
解得：t1＝2，t2＝4，
答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2；
（2）由题意得：，
解得：t＝3，
答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2；
（3）分两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，
则，即，
解得：，
②当△BPQ∽△BCA时，
则，即，
解得：，
综上，当移动3秒或秒时，与相似．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键．
25．(1)，；
(2)（）中结论仍然成立，理由见解析；
(3)（）中结论仍然成立，理由见解析．
【分析】（）首先证明，得到，，由得到，再根据余角性质可得到，进而得到，推导出四边形是平行四边形，即可求证；
（）首先证明，得到，，由得到，由得到，即，又由，得到，证明到四边形是平行四边形即可，即可求证；
（）结论仍然成立，证明方法与（）类似．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，，
'∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：（）中结论仍然成立．
理由：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，；
（3）解：（）中结论仍然成立．
理由：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
0.03
0.07
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931