辽宁省盘锦市大洼区第二初级中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份辽宁省盘锦市大洼区第二初级中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根．根据算术平方根的定义即可解答．
【详解】解：根据算术平方根的定义，，
故选：B．
2. 如图，有4个汽车标志图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称和轴对称知识依次判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D正确．
故选D．
【点睛】本题是对中心对称和轴对称的考查，熟练掌握中心对称和轴对称知识是解决本题的关键．
3. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个抽奖活动的中奖率是，则抽100次奖一定会中奖10次
B. 了解某批灯泡的使用寿命，采取普查方式
C. 一组数据1、2、3、4的中位数是2.5
D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，若则甲组数据比乙组数据稳定
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率、普查、中位数、方差的概念，即可解答．
【详解】解：A、一个抽奖活动的中奖率是10%，则抽100次奖可能中奖10次，故不合题意；
B、了解某批灯泡的使用寿命，采取抽样调查方式，故不合题意；
C、一组数据1、2、3、4的中位数是2.5，故符合题意；
D、若甲组数据的方差是s甲2，乙组数据的方差是s乙2，若s甲2＞s乙2则乙组数据比甲组数据稳定，故不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了概率、普查、中位数、方差，解决本题的关键是熟记概率、普查、中位数、方差的定义．
4. 如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D、长方体的左视图是矩形，不符合题意．
故选B．
试题解析：
考点：简单几何体的三视图．
5. 分解因式：结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解的运算公式，根据题意先提取公因式，在利用平方差即可得出答案．
【详解】解：原式
故选：D．
6. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A 每一条对角线都平分一组对角B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可．
详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意；
B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意；
C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意；
D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质．
7. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由作图痕迹可知AD⊥BC，再由即可求出∠C的值，利用三角形内角和即可求出．
【详解】解：由作图痕迹可知AD⊥BC，
∴，
又∵
∴，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，发现AD⊥BC是解题的关键．
8. 反比例函数的图像与一次函数的图像交与点与两点，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数交点的问题．根据题意利用待定系数法分别解出一次函数和反比例函数的解析式，然后根据图象交点来判断一次函数大于反比例函数的解集即可．
【详解】解：由题意可知反比例函数的图像与一次函数的图像交与点与两点，将与代入中得，解得：，
∴一次函数解析式为：，
将代入反比例函数中得，解得，
∴反比例函数解析式为，
要使，则应在的上方，
∴ 解集为，
故选：B．
9. 如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积．
【详解】解： P在反比例函数图象上，
设，
点A，点B在反比例函数图象上，
过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，
，
，
．
故选C．
10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）个．

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质；证明是等腰直角三角形，从而证明，，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得 ，，可得，即可证明结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故①②③正确，
过点作于点，则，
∵，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
故选：A．
非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若是关于的二元一次方程，则_________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，解二元一次方程组，根据二元一次方程的定义“含有两个未知数，未知数的次数为一次的整式方程”可得，再运用加减消元法可求出，代入计算即可求解，理解二元一次方程的定义，掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的二元一次方程，
∴可得，,
解得，，
∴，
故答案为：2．
12. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______．

【答案】26
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得，，可得直线是线段的垂直平分线，则，根据的周长为，平行四边形的周长为，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形平行四边形，对角线，相交于点O，
∴，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴即，
∵平行四边形的周长为，
∴平行四边形的周长为，
故答案为：26．
13. 一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右．由此可以估计盒子中红色小球的个数是 _____个．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据题意，这是由频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可得到答案，理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，由此估计，摸到红色小球的概率是0.4，
设盒子中红色小球的个数是，则，解得，
故答案为：．
14. 如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，连接，，将绕点E旋转得到线段，连接，当时，的长为_________．

【答案】或
【解析】
【分析】本题分两种情况：①点F在左侧，②点F在右侧，利用勾股定理及全等三角形的判定和性质讨论即可．
【详解】∵正方形的边长为4，点E是边BC的中点，
∴．
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得．
由旋转的性质，可知，
∴．
由题意，可知需分以下两种情况讨论．
①当点F在左侧时，
过点F作交的延长线于点G，如解图1所示，

则．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴在中，由勾股定理，得．
②当点F在右侧时，
过点F作交的延长线于点G，如图2所示．

同①，可知．
∴，．
∴．
∴在中，由勾股定理，得．
综上所述，当时，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
15. 如图，矩形，，，将矩形对折，折痕为，点E在上，将折叠，使得点D落在上的点G处，延长交于点F，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据折叠的性质，得，，利用勾股定理，得，得，结合，得到，再利用勾股定理解答即可．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵长方形，，
∴，，，
∵矩形对折，折痕为，点E在上，将折叠，使得点D落在上的点G处，延长交于点F，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共8个题，75分，解答题写出文字说明，演算步骤或推理说明）
16. （1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算；
（1）先根据单项式乘以单项式计算，再合并同类项即可；
（2）先算括号里的减法，再算除法即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
17. 为创建文明城市，促进生活垃圾分类工作的开展，某小区准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用元购买种垃圾桶的组数量与用元购买种垃圾桶的组数量相等．
（1）求、两种垃圾桶每组的单价；
（2）若该小区物业计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？
【答案】（1）种垃圾桶每组的单价为400元，种垃圾桶每组的单价为550元
（2）13组
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，利用数量总价单价，结合用4000元购买种垃圾桶的组数量与用5500元购买种垃圾桶的组数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出种垃圾桶每组的单价，再将其代入中，即可求出种垃圾桶每组的单价；
（2）设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，利用总价单价数量，结合总价不超过18000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论．
【小问1详解】
设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元．
【小问2详解】
设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购买种垃圾桶组．
18. 2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空授课．为了调查学生对科技知识的了解程度，某实验中学组织各年级学生开展科技知识竞赛活动，学校随机抽取20名学生的答卷成绩（每题5分，满分100分），并将他们的成绩（单位：分）统计如下：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 80 80 90 95 75 80 60 80 95 85，根据数据绘制了如下的表格和统计图（如图）：根据提供的信息，回答下列问题：
（1） ， ，并补全表格；
（2）求这20个数据的中位数和众数：
（3）若已知九年级有2名男生和2名女生共4名学生得到满分，学校打算从这4名学生中任选2人给全年级学生普及相关知识，求恰好选中“1男1女”的概率
【答案】（1）6，2，见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）整理统计数据即可得到的值，再分别计算各组频率，完善表格即可；
（2）先将这20个数据按照从小到大的顺序排列，求解位于第10位和第11位成绩的平均数可得中位数，根据出现的次数最多的数是众数可得众数答案；
（3）画树状图，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是整理数据，频数，频率的含义，众数，中位数的含义，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意，20名学生成绩在的有两人，
∴，
∴，
故答案为：6，2．
∴，补充如下：
【小问2详解】
解：∵将这20个数据按照从小到大的顺序排列为60，65，75，75，80，80，80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，95，95，95，100，
∴中位数为位于第10位和第11位成绩的平均数，
故这20个数据的中位数为．
这组数据中80出现了5次，出现的次数最多，这20个数据的众数为80．
【小问3详解】
解：根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有8种，
故恰好选中1男1女的概率为：．
19. 甲、乙两车都从地前往地，如图分别表示甲、乙两车离地的距离千米与时间分钟的函数关系已知甲车出发分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向地，最终甲、乙两车同时到达地，根据图中提供的信息解答下列问题；
（1）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？
（2）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？
【答案】（1）乙车出发分钟后第一次与甲车相遇
（2）甲车中途因故障停止行驶的时间为分钟
【解析】
【分析】本题考查了从图象中获取信息，一次函数应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答
（1）设乙车离A地的距离S与时间的函数解析式为：，利用待定系数法求出乙函数解析式，再令求出相应的t的值，然后求解即可
（2）求出甲继续行驶的时间，然后用总时间减去停止前后的时间，列式计算即可解答
【小问1详解】
解：设乙车离A地的距离S与时间的函数解析式为：，
将点代入得：，
解得，，
所以，，
当时，解得，
甲车出发分钟后乙车才出发，
分钟，乙车出发分钟后第一次与甲车相遇；
【小问2详解】
分钟，
分钟，
甲车中途因故障停止行驶的时间为分钟
20. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成，如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．求灯管支架的长度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等边三角形的性质与判定，延长交于点，先解求出，再解求出，再证明是等边三角形，则．
【详解】解：延长交于点，
在中，，
，
，
，，
，
中，，
，
中，，，
，
，
是等边三角形，
，
答：灯管支架的长度约为．
21. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．
【答案】（1）见解析；（2）OF＝5．
【解析】
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝即可求出OF．
【详解】（1）连接OC．如图1所示：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝2∠1．
又∵∠4＝2∠1，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．如图2所示：

∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF＝，
∴AB＝BD＝6，
∴OB＝OC＝3，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF＝，
解得：OF＝5．
【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
22. 一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”．

（1）【概念理解】如图1，，则四边形 （填“是”或“不是”）等腰直角四边形；
（2）【分析应用】如图2，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线．判断线段与线段数量关系并加以证明；
（3）【拓展提高】如图3，四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，求的面积．
【答案】（1）是 （2），，证明见解析
（3）9
【解析】
【分析】（1）根据，得到，得到，得到，即得四边形是等腰直角四边形；
（2）设与交于点F，判定不是等腰直角三角形， 与都是等腰直角三角形，得到，推出，得到，即得；
（3）在AD上方作等腰直角，连接，设与交于点M，与交于点G，得到，，到，根据，得到，根据，得到，，推出，，根据，得到，得到，即得．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴四边形是等腰直角四边形；
故答案为：是；
【小问2详解】
，．证明：
设与交于点F，
∵，
∴不是等腰直角三角形，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
过点D作，使，连接，设与交于点M，与交于点G，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了新定义——“等腰直角四边形”．熟练掌握新定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式，是解决问题的关键．
23. 如图，直线与x轴，y轴交于分别交于A，B两点，，抛物线经过点A，B，C，点P在y轴右侧抛物线上，点P的横坐标是，
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点Q在线段上，，P点的横坐标．
（3）如图2，当点P在第一象限，交于点D，交y轴于点E，若．求点P坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式，二次函数与面积，二次函数与角度，相似三角形的性质与判定等知识点；
（1）由求出的A，B两点坐标，再代入计算即可；
（2）作关于原点的对称点，连接，则，得到，即可求出解析式，联立抛物线解析式求出P点的横坐标．
（3）由可得，再过作于，即可证明，得到，结合和得到，求出坐标，进而求出解析式，联立抛物线解析式求出P点的坐标．
【小问1详解】
∵直线与x轴，y轴交于分别交于A，B两点，
∴，，
把，代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
作关于原点的对称点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设解析式为，
把代入得，
∴解析式为，
联立得，
解得，
∵点P在y轴右侧抛物线上，
∴P点的横坐标为．
【小问3详解】
∵，，
∴，
过作于，则
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设解析式为，
把，代入得，
解得
∴解析式为，
联立得，
解得，
∵，
∴P点的横坐标为，
∴P点的坐标为．成绩（x）
频率


成绩（x）
频率