辽宁省盘锦市大洼区第一初级中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份辽宁省盘锦市大洼区第一初级中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，四象限，等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示的是由几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主视图有3列，每列小正方数形数目分别为，，，从而可以确定答案．
【详解】解：根据题意得：主视图有列，每列小正方数形数目分别为，，，
主视图为
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，理解主视图是从物体的正面看得到的视图是解题关键．
2. 甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与平均行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实际问题的函数图象，根据路程、速度、时间之间的关系得到函数解析式，根据解析式判断其图象，即可解题．
【详解】解：由题意得（），所以函数图象大致是B，
故选：B．
3. 在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义．
4. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，
，，
函数图象在第二象限内为增函数，，
．
，点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
5. 如图，是半圆的直径，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余，圆内接四边形对角互补；如图所示，连接，先根据直径所对的圆周角是直角求出，则，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
6. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
【详解】∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．
7. 如图，已知，，则下列比例式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：，
，故A正确；
，
，即，故B正确；
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
8. 下列说法正确是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B. 圆的切线垂直于圆的半径；
C. 三角形的外心到三角形三边的距离相等；D. 同弧或等弧所对的圆周角相等；
【答案】D
【解析】
【分析】利用垂径定理、切线的性质、外心的性质及圆周角定理，分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，且平分弦所对的两条弧，错误，是假命题；
B、圆的切线垂直于过切点的的半径，故错误，是假命题；
C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误，是假命题；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，是真命题，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的有关知识，解题的关键是了解垂径定理、切线的性质、外心的性质及圆周角定理，难度不大．
9. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形利用正切函数求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴，
故选C．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
10. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，，，那么的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设交于点K，先证明，四边形是矩形，则，再证明，得，于是有，即可求得，得到问题的答案．
【详解】
如图，设交于点，
∵四边形是矩形，且边落在上，
∴，，
∵于点，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明并且根据“相似三角形的对应边上的高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分
11. 在一个不透明的布袋中装有18个红球和若干个白球，除颜色外其他都相同，小华通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有______个．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查根据频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，根据概率公式计算即可．
【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为，
设布袋中白球有个，则，
化为整式方程为，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
故答案为：18．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________．
【答案】（-1，2）或（1，-2）
【解析】
【详解】解：根据位似变换的位似比 ，可直接求A′的坐标为（-1，2）．或（1，-2）
故答案为（-1，2）或（1，-2）
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，解题时根据位似比直接由相似的性质求解即可，此题比较简单，是常考题．
13. 一艘轮船位于灯塔南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，）
【答案】50
【解析】
【分析】根据题意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，∆PAB为直角三角形，利用正弦函数求解即可．
【详解】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=，
故答案为：50．
【点睛】题目主要考查方位角及正弦函数的应用，理解题意，熟练掌握正弦函数的应用是解题关键．
14. 如图，矩形的面积为36，对角线与双曲线相交于点，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求的面积，由反比例函数的性质可求解．
【详解】如图，连接，过点D作于E，
∵矩形的面积为36，
∴，
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线图象过点D，
∴，
又∵双曲线图象在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求出的面积是解题的关键．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过A作AF⊥AE交射线DF于点F，若AD=2AB=4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF=1时，EG=_________．

【答案】或
【解析】
【分析】①如图1，当点F在线段DC上时，证得△GDF∽△GBA，得出＝＝，求出AG＝AF＝．由△ABE∽△ADF可得出＝＝=，求出AE=，则可得出答案；②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，同理可求出EG的长．
【详解】解：①如图1，当点F在线段DC上时，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD−CF＝2−1＝1．
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴＝＝，
∵AF＝GF＋AG，
∴AG＝AF＝．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD＋∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＋∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°−∠ABC＝180°−90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴＝＝=，
∴AE＝AF＝×＝．
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝；
②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，DF＝CD＋CF＝2＋1＝3，

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝=＝5．
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴＝＝，
∵GF＋AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝＝=，
∴AE＝AF＝×5＝，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝．
综上所述，EG的长为或．
【点睛】本题是相似形综合题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（本题共8小题，共75分）
16. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，掌握零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质是解题的关键．
（1）根据零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算即可．
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．
（1）此光源下形成的投影属于______；（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为．求路灯的高度．
【答案】（1）中心投影；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）由中心投影的定义确定答案即可；
（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【小问1详解】
此光源属于点光源，
此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
【小问2详解】
，，
，
，
，
即：，
解得：，
路灯的高度为5米．
18. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【小问1详解】
解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
【小问2详解】
将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即，，
∴
19. 如图，一次函数与函数为图象交于两点．

（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
（3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【小问1详解】
解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
【小问3详解】
解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
20. 如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点B，底座米，底座与支架所成的角，点H在支架上，篮板底部支架．于点E，已知米， 米，米．
（1）求篮板底部支架与支架所成的的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）大约是2.75米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数；
（1）由可得答案；
（2）延长交的延长线于M，过点A作于G，过点H作于N，据此知中，求得；中，求得；根据可得答案．
【小问1详解】
解：在中，，
∴．
答：篮板底部支架与支架AF所成的的度数为；
【小问2详解】
解：延长交的延长线于M，过点A作于G，则四边形和四边形是矩形，
∴，，
在中，∵，
∴（米）
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．
21. 如图，为的直径，弦于点E，于点F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）的长是
【解析】
【分析】（1）先证明平分，得出，证明，说明，得出，从而得出，即可证明结论；
（2）根据为的直径，弦于点E，得出，，，根据直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，最后根据直角三角形性质求出．
【小问1详解】
证明：如图，连接，则，
∴，
∵于点E，于点F，且，
∴点C在的平分线上，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵经过的半径的外端，且，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵为的直径，弦于点E，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，角平分线的判定，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理，数形结合．
22. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切；
（2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
【小问2详解】
解：如图，连接，，

，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，是的直径，
，
．
即的长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键．
23. （1）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．
①求证：；
② ；
（2）【思考探究】如图2，矩形中，，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）3；（3）2．
【解析】
【分析】（1）①求出，，即可证明；
②求出，由得；
（2）连接交于点O，先证明，再通过计算，得出，求出，证明，根据相似三角形的性质列式求解即可；
（3）连接交于O点，先求出，，证明，可得，求出、长，然后根据，得出，求出，然后证明，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，，为对角线，
∴，
∴；
②解：∵四边形为正方形，，为对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接交于点O，
∵，，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接交于O点，
∵在菱形中，，，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵为菱形对角线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键，注意解题方法的延续性．