辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版）

这是一份辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
亲爱的同学们：当你打开试卷的同时，你的思维将会接受一番挑战希望你沉着冷静，仔细思考，相信自己，勇敢接受考验，争取考出自己的最佳水平！
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2020B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了倒数的概念，要求掌握倒数的定义，并能熟练运用到实际运算当中：实数a，b互为倒数，则．
【详解】解：的倒数是，
故选D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解：A、，无法合并，故此选项不合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 据报道，截至2021年底，我国综合交通网总里程突破600万公里，我国建成了全球最大的高速铁路网、全球最大的高速公路网和世界级港口群，航空航海通达全球．数据“600万”用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：600万，
故选：B．
4. 如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从左面看：共有1列，有2个小正方形；据此可画出图形．
【详解】解：如图所示几何体的左视图是
．
故选A．
【点睛】考查简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的平移，根据上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：将函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是，即为，
故选：D．
6. 如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A. B. 4C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得．
【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
故选A．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
7. 如图，一束平行于主光轴光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
8. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得．
【详解】设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
故，
又∵，
即，
故，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9. 二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（ ）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式得出顶点为，根据图像可得，即可得出，则所在的象限即可判定．
【详解】解：二次函数，
顶点为，
由函数图像可知，抛物线的顶点在第四象限，
，
，
在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，再进行判断是解题的关键．
10. 如图，在菱形中，与交于点O，，，点N为中点，点P从点A出发沿路径运动，过P作交菱形的边于Q点在点P上方，连接，，当点Q与点N重合时停止运动，设的面积为y，点P的运动距离为x，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质，得出，，，再进行分类讨论：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，利用三角形面积公式分别得出其表达式，即可进行解答．
【详解】解：四边形为菱形，，，
，，，
，
①当点P在上运动时，
过点作于点，
，
，
，
，，
点N为中点，，
，
，
，
，
；
②当点P上运动时，过点作于点，
则，
，
；
②当点P在上运动时，过点作于点，交于点，
则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
综上所述：当时，y是关于x的二次函数，且开口向下；当时，y个关于x的一次函数；当时，y是关于x的二次函数，开口向上．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，一次函数的图象，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论，得出其表达式．
二、填空题（本题共5小题每题3分，共15分）
11. 使式子有意义的x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了利用分式和二次根式有意义的条件求字母的取值范围，由分式中和的，即可求解．理解有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得：且，
即：且，
故答案为：且．
12. 一次函数的图象与双曲线相交于和两点，则不等式的解集是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意画出图象，利用图象法求出不等式的解集即可．
【详解】解：由题意，画出函数图象如图：
由图象可知：等式的解集是或；
故答案为：或．
13. 端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】画树状图可得，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：设蛋黄粽为A，鲜肉粽为B，画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，
∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率、概率公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义及等腰三角形性质即可得答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
，
，
由圆周角定理可得，则，
，即，
，
，
，
，即，
设，则，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中求三角函数值，涉及圆周角定理的应用，比例性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
15. 如图，在矩形中，，E是边上一点，沿折叠，使点B落在AD边上的点处，P是CD边上的动点，沿折叠，是点C的对应点，当垂直于的一边，且垂足为点时，的长为______．
【答案】4或
【解析】
【分析】由矩形的性质得，根据折叠得，，即可判定四边形为正方形，则，，且，(1)当，则四边形是矩形．且，得矩形是正方形，则，那么，；(2)当，在中，求得，由折叠得，则，连接，在中，，结合，在中，，
即，解得即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵沿折叠，使点B落在AD边上的点处，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
(1)如图，当，点为垂足，
∵，
∴四边形是矩形．
∵是由沿PE折叠所得，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
则．
(2)如图，当，点为垂足，
在中，由勾股定理得．
由折叠的性质得，，
∴，
连接，则在中，，即，
∵，
∴在中，，
即，化简，解得，
综上所述，的长为4或，
故答案为：4或．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定和性质、折叠的性质和勾股定理，解题的关键是熟悉折叠的性质和分类讨论思想的应用．
三、解答题
16 （1）
（2）化简求值：，其中
【答案】（1） （2），
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握负整数指数次幂和分式的化简求值是解题的关键．
（1）利用绝对值，负整数指数次幂和零指数次幂运算，然后合并解题即可；
（2）先通分，然后运算除法化简，然后解一元二次方程求出x值，代入计算解题即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
解方程得，，
∵，，
解得且，
∴，
原式．
17. 为使学生通过义务教育阶段的数学学习，体会数学与其他学科之间的联系，会运用数学和其他学科的知识与方法分析和解决问题，培养学生学习数学的兴趣．某校开展“数学与多学科融合”校本课程开发，并对一部分学生进行了问卷调查，问卷设置以下四种选项：A“体育中的数学”，B“化学中的数学”，C“物理中的数学”，D“地理中的数学”，每名学生必须且只能选择其中最感兴趣的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）______，______；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校名学生中有多少学生对B“化学中的数学”最感兴趣．
【答案】（1），
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）用的人数除以其人数占比可得样本容量，再用的人数除以样本容量可得的值，然后用“”减去其它三种选项所占百分比可得的值；
（2）用样本容量乘以可得A的人数，用样本容量乘以B所占百分比可得B的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用乘以样本中B所占百分比即可．
【小问1详解】
解：由题意得，样本容量为：，
，即，
，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：样本中A的人数，
B的人数，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：，
答：该校名学生中约有名学生对B“化学中的数学”最感兴趣．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体等知识点，明确题意，利用数形结合思想解答是解题的关键．
18. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒，求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
【答案】4元
【解析】
【分析】设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，根据“第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，购进数量比第一次少了30盒，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
19. 某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，设点到的距离为，在中，求出的长，设米，在，利用锐角三角函数求出的值，进而求出结果即可．
【详解】解：如图，设点到的距离为，由题意可知，，
在中，米，
∴米，
设米，则米．
在中，，
∴米，
在中，，解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
米．
20. 为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元．
（1）当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【答案】（1）
（2）甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元
【解析】
【分析】（1）根据题意分当时和当时，分别求解即可得到解答；
（2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，根据题意求出a的范围，再结合题意分情况讨论即可．
【小问1详解】
当时，，
当时，设，
把代入得：，
解得，
∴，
∴；
【小问2详解】
设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，
∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴ ，
解得，
当时，
，
∵，
∴当时，w最小，最小为（元），
当时，
，
∵，对称轴为直线，且，
∴时，w取最小值，最小为（元），
∵，
∴当时，w取最小值，最小为5625元，
此时，
答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
21. 如图，为直径，E为上一点，平分过点C作交的延长线于点D，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据角平分线的定义以及，可得，从而得到，进而得到，即可求证；
（2）连接交于点，根据锐角三角函数可得．在中，根据勾股定理可得，，再证明四边形为矩形，可得．然后证明，可得，，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
平分，
，
，
，
，
，
，
．
又为的半径，
为的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接交于点，
为直径，
．
，
，
．
在中，，
即，
解得．
，
，
，
，
四边形矩形，
．
，，
．
，
，
，
，
解得，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等．熟练掌握切线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，连接．当时，求点的坐标；
（3）点为抛物线上的点，当时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为；
（2）
（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，如图，过点作轴交于点，设（，），则（，），证明，得出：，根据已知条件可得出答案；
（3）分当点在轴下方和当点在轴上方两种情况讨论，利用三角函数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于（-2，）、（，）两点（点在点的左侧），
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：抛物线与轴交于点，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，得：
，解得，
直线的解析式为，
如图，过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
，
，
当时，，此时，；
【小问3详解】
解：①如图，当点在轴下方时，在轴上取一点，使，延长CF交抛物线于点，过点作于点，过点作于点．
点，的坐标分别为，，
，
，
，
，
．
在中，，设，
则，，
，解得，
，
，
点的坐标为．
设直线CF的表达式为，
，
，
直线CF的表达式为，
，
解得（舍去），，
点的坐标为．
②如图，当点在轴上方时，过点作，交于点，过点作轴于点，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
解得（舍去），，
点的坐标为．
综上可知，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．
23. 【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）
（2）成立；理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：x=2或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．