山东省菏泽市郓城县第一中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份山东省菏泽市郓城县第一中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1. 将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是（ ）
A. 5B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将所给方程化为的形式，即可得出一次项系数．
【详解】解：移项，得：，
可知一次项系数为，
故选B．
2. 如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，则这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【详解】解：观察三视图，从正面看到的是两个长方形，左视图是个长方形，俯视图是三角形，
所以这个几何体三棱柱，
故不符合题意，符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据三视图还原几何体，掌握三种视图的观察方法及简单几何体的视图形状是解题的关键．
3. 在一个不透明的袋子中装有20个蓝色小球，若干个红色小球和10个黄色小球，这些球除颜色不同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.4左右，若小明在盒子中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设袋中红色小球有x个，根据“摸取到红色小球的频率稳定在0.4左右”列出关于x的方程，解可得袋中红色小球的个数，再根据频率的定义求解即可．
【详解】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得： =0.4，
解得：x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解，
则小明在袋子中随机摸取一个小球，摸到黄色小球的概率为 = .
故选A．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
4. 已知中，为边上一点，连结，，分别为，上的点，且，交于点，连结并延长交于点，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，关键由以上知识点推出．由，得到，由，得到，由，得到，推出，
由，即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B
5. 如图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的倍．设点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定及性质、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．作轴于，轴于，根据相似三角形的性质求出，的长，得到点的坐标．
【详解】解：作轴于，轴于，
∵点的坐标是点的坐标是，
∴，，
∵的位似图形为，的边长是的边长的倍
由题意得：相似比为:，
∴，
∵轴于，轴于，
∴
∵
∴
∴
∴，，
∴点的坐标为，
故选：．
6. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点B（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是（ ）
A. 01D. b<2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得，随着 的增大， 逐渐减小，由此即可求出答案．
【详解】解：由题意可知， ，点 在点 右边，
∴
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像的性质，根据图形的走势即可知道反比例函数解析式中 ，即函数值随自变量的增大而减小，理解函数图像是解题的关键．
7. 已知抛物线．在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论：（1），（2），（3），（4）．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：抛物线开口方向向下，则．
（1）抛物线的对称轴位于轴的右侧，则、异号，则，故该结论错误；
（2）由，得到：，故该结论错误；
（3）由于该抛物线与轴有两个交点，所以，则，故该结论正确；
（4）如图所示，根据抛物线的对称性知：当时，，即，故该结论错误；
故选：
8. 在平面直角坐标系xOy中，如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点P是边CD的中点，如果菱形的周长为16，那么点P的坐标是（ ）

A. （4，4）B. （2，2）C. （，1）D. （，1）
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出AD=DC=4，进而利用等边三角形的性质和坐标解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为16，
∴AD=AB=DC=BC=4，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=4，
∴OD=2，OC=
过P作PE⊥OD，PF⊥OC，垂足分别为E、F，如图，

∴PE//OC，PF//OD
∵点P是边CD的中点，
∴PE，PF是三角形OCD的中位线，
∴PE=OC=，PF=OD=1
∴点P的坐标为（，1），
故选：D．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD=DC=4解答．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 二次函数的图象的对称轴为直线__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
【详解】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，
故答案为：．
10. 直角坐标系内，身高为1.5米的小强面向y轴站在x轴上的点A(－10,0)处，他的前方5米处有一堵墙，已知墙高2米，则站立的小强观察y(y＞0)轴时，盲区(视力达不到的地方)范围是________．
【答案】0＜y≤25
【解析】
【分析】根据题意作图，过D作DF⊥OC于F，交BE于H，利用tan∠BDH＝BH∶DH= CF∶DF，进行求解，即可求出OC的长.
【详解】过D作DF⊥OC于F，交BE于H，OF＝1.5，BH＝0.5，
三角形DBH中，tan∠BDH＝BH∶DH＝0.5∶5，
因此三角形CDF中，CF＝DF·tan∠BDH＝1，
因此，OC＝OF＋CF＝1＋1.5＝2.5.因此盲区的范围在0＜y≤2.5.
【点睛】此题主要考查中心投影的应用，解题的关键是熟知中心投影的特点及三角函数的应用.
11. 如果，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的除法进行计算，求出的值，再代入求出即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，能灵活运用性质进行计算是解此题的关键．
12. 如图，四边形为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，始终保持，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的．利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为2．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
13. 如图，将长方形分为4×6的网格，每个小正方形的边长为1，点、分别是边、上的一点、且．若点位于长方形内部（不含边）的网格点上，且当为直角三角形时，则的长为________．

【答案】或或
【解析】
【分析】根据网格利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，

当为直角三角形时，则的长为：
或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是准确利用网格．
14. 如图，将含 角的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转 度后得到 ，点 经过的路径为弧 ，若 ，，则图中阴影部分的面积是__________________
【答案】
【解析】
【分析】阴影部分的面积=扇形ABB′面积+三角形A B′C′的面积-三角形ABC的面积．
【详解】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，
∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2
∴S△ABC=AC•BC=．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′.
∴S阴影=S扇形ABB′+ S△AB′C′-S△ABC
=+-
=0.5.
故答案为0.5．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15 解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程．此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．
【详解】解：
∴或，
∴，．
16. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根分别求出每一部分的值，再算加减即可；
【详解】解：原式=．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，能灵活运用数的相关性质是解本题的关键．
17. 已知关于的一元二次方程有实数根，若等腰三角形的一边长是5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】12
【解析】
【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．
【详解】解：由，得：，
此方程的两根为，．
若，则，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．
若，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，
所以，这个等腰三角形的周长为12．
18. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若∠B＝60°，求∠CAD的度数；
（3）若AC＝4，BC＝3，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）1.
【解析】
【分析】（1）由相似三角形的判定与性质，线段和差证明得AE=CE；
（2）由圆周角定理，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，角的和差求出∠CAD的度数为30°；
（3）由勾股定理，相似三角形的性质，线段的和差，等量代换求出DE的长为1．
【详解】（1）如图所示：
∵OD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
又∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2AO，
∴，
又∵AC＝AE+EC，
∴AE＝EC；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠B＝∠ACE，∠ACD＝∠AED，
又∴∠B＝60°，
∴∠AOE＝60°，∠AEO＝90°，
又∵∠EAO+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝30°，
又∵AO＝DO，
∴∠OAD＝60°，
又∵∠OAD＝∠OAE+∠CAD，
∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°；
（3）在Rt△ACB中，由勾股定理得：
＝＝5，
∴OA＝，
∴OD＝，
又∵，BC＝3，
∴OE＝，
又∵OD＝OE+DE，
∴DE＝＝1．
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，线段的和差，圆周角定理，角的和差，勾股定理等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质．
19. 如图，中，，，绕点顺时针旋转与重合，点在轴上，连接，若反比例函数与直线仅有一个公共点
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）把沿直线翻折到，与反比例函数交于点，求的面积．
【答案】（1）直线解析式为，反比例函数解析式为
（2）9
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理求出，进而利用旋转的性质得到，则，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式得到的一元二次方程只有一个实数根，据此求解即可；
（2）先由折叠的性质证明四边形是菱形，得到，求出，得到，则．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
又∵点在轴上，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立得，即，
∵反比例函数与直线仅有一个公共点，
∴方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：由折叠的性质可得，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
中，当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质与判定，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20. 2021年3月23日苏伊士运河发生阻塞时使用了一种如图1的浮式起重机，它是捞、救援的重要设备，某数学研究小组为了计算如图2所示浮式起重机悬索的长，他们测量了如下数据，，，，请你帮助他们求出悬索的长（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含甲的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识；求出、的长是解题的关键．过点作于点，由含甲的直角三角形的性质和锐角三角函数定义求出，，再证为等腰直角三角形，得，即可求解．
【详解】解：过点作于点，如图2所示：
在中，，，，
，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
答：悬索的长为．
21. 某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．
（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．
（3）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
【答案】（1）y=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）550件， 8250元；（3）当x=65元，最大利润为12250元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据每售价为x元，由这种衬衣的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式即可；
（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以，代入即可得月销售量和销售利润；
（3）用配方法求出二次函数的最大值即可．
试题解析：（1）由题意可得：y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）] =﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）当x=45时，600﹣10（x﹣40）=550（件），
y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250（元）；
（3）y=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，
故当x=65（元），最大利润为12250元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出y与x的函数关系是解题关键．
22. 为了丰富学生的体育活动，学校利用下午大课间开设了五门体育活动课，分别为：A“跳绳”、B“足球”、C“乒乓球”、D“篮球”、E“羽毛球”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有_______人；统计图中的_________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C“乒乓球”对应的圆心角的度数是_____________；
（4）如果每人只能参加一种活动课，小明和小刚恰好参加同一种活动课的概率是多少？
【答案】（1）120，12；（2）见解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）由A的人数和所占百分比求出本次调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出E的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出共25种等可能的情况，小明和小刚恰好参加同一种活动课的有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次调查的学生共有：18÷15%＝120（人），
则b＝120×10%＝12（人），
故答案为：120，12；
（2）E的人数为：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中，C“乒乓球”对应的圆心角的度数为：360°90°，
故答案为：90°；
（4）列表如下：
共25种等可能的情况，小明和小刚恰好参加同一种活动课的有5种，
∴小明和小刚恰好参加同一种活动课的概率为：．
【点睛】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
23. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示．
（1）求△ABC的面积；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当△ABP的面积为5时，求x的值．
【答案】（1）10；（2）y＝﹣x+；（3）当△ABP的面积为5时，x的值为2或11
【解析】
【分析】（1）根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，根据三角形的面积公式得出△ABC的面积；
（2）根据图2信息，找到对应的点求出梯形ABCD各边的长，根据x的3个范围内在图1中求出y与x的关系；
（3）根据（2）中的关系式求出当y=5时，x的值是多少即可.
【详解】（1）∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，
则BC＝4，
x＝9时，接着变化，
则CD＝9﹣4＝5，
∴AB＝5，BC＝4，
∴△ABC的面积＝×4×5＝10．
（2）当0≤x≤时，y＝AB×BP＝×5×x＝x，
即y＝x；
当4≤x≤9时，点P在CD上，y＝△ABC的面积＝10，
即y＝10；
当9≤x≤13时，点P在AD上，y＝×5×（13﹣x）＝﹣x+，
即y＝﹣x+；
（3）当0≤x≤时，y＝x＝5，则x＝2；
当9≤x≤13时，y＝﹣x+＝5，
解得：x＝11；
综上所述，当△ABP的面积为5时，x的值为2或11．
【点睛】考查了动点问题的函数图象、梯形的有关知识，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系，此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，求的最大值；
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直线与两坐标的交点坐标为，，将A、B代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线解析式确定与x轴的交点坐标，再由对称的性质及两点之间线段最短即可确定点M的位置，然后代入一次函数解析式求解即可；
（3）过点P作交直线于点E，则，所以 ，当取最大值时，有最大值．
【小问1详解】
解： 直线与坐标轴交于A、B两点，
当时，，当时，，
，，
将A、B代入抛物线，得
，解得 ，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
∵抛物线的解析式为：．
∴当时，解得，
∴，
∴抛物线对称轴为，

∵点关于对称，连接交对称轴于点M，
∴，此时取得最小值，
∴当时，，
∴；
【小问3详解】
过点P作交直线于点E，则，

设点 ，
，
，
，
代数式，当时有最大值 ，
的最大值为．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，解题的关键是构造辅助线证．
A
B
C
D
E
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
（E，E）