2024年山东省菏泽市郓城县中考五模考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中最小的数是（ ）
A. B. C. D. 2023
【答案】B
【解析】
【详解】解：在，，，2023四个数中，
∵，
∴最小的数是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较，掌握实数大小比较的方法是解答本题的关键．
2. 如图几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：A．该圆锥主视图是等腰三角形，故符合题意；
B．该圆柱主视图是矩形，故不符合题意；
C．该正方体主视图是正方形，故不符合题意；
D．该三棱柱的主视图是矩形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3. 卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，它是卡塔尔规模最大的体育场．约有170000个座位，将170000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，，点是上一点，点是上一点，平分，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质可求得，再由角平分线的定义可得，再次利用平行线的性质即可求得的度数．
【详解】解：，
，，
，
平分，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质．
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选D．
6. 如图，数轴上点A和点B分别表示数和，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用的位置，进而得出：，即可分析得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，故选项A错误；
异号，，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
7. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将异分母分式通分，即可化简．
【详解】解：原式
故选：B
【点睛】本题考查异分母分式的减法运算．找到最简公分母进行通分是解题关键．
8. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，，中的两个，能让小灯泡发光的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，或和，或和时，灯泡能发光，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种，
∴能够让灯泡发光的概率为：，
故选：A．
【点睛】此题考查了树状图法以及概率公式．正确的画出树状图是解题的关键．
9. 如图所示，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以A、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则、两点之间的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出根据作图可得，可得，垂直平分，即可得到，，易得，则，可得，即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，
∴，
∴，
由作图方法可知垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的尺规作图，三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据勾股定理及垂直平分线得到．
10. 已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】二次函数图象平移中，将和时代入直线和抛物线解析式，当点重合时求出的值，从而获得的取值范围．
【详解】抛物线的解析式为，
时，，
将代入得，
，
将代入和中得，，
，
解得，（舍，
当直线与抛物线相切时，
，则，
，
则，
解得，
的取值范围为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式：．
12. 如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是________．

【答案】##0.25
【解析】
【分析】只需要用阴影部分面积除以整个正方形的面积即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
一个阴影小三角形的面积为：，
则阴影部分面积为：，
正方形网格的面积为：，
所以飞镖击中阴影部分的概率为：，
故填：．
【点睛】本题考查了概率公式和用几何方法求概率，考查的核心是推理能力与模型思想．
13. 若关于x的方程的解是，则a的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】将代入原方程，即可求出a的值．
【详解】解：将代入原方程，得：，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，将代入原式求解是解题的关键．
14. 将正六边形和正五边形按如图所示的位置摆放，连接，则______．
【答案】##24度
【解析】
【分析】根据题意可得，，即可得，根据题意得，即可得．
【详解】解：在正六边形中，内角和为：，
则,
在正五边形中，内角和为：，
则,
∴，
∵为正六边形和正五边形的边，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确计算．
15. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发_____小时与轿车相遇．
【答案】3.9
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇．
【详解】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx，
将（5，300）代入，得：5k＝300，
解得k＝60，
即OA段对应的函数解析式为y＝60x，
设CD段对应的函数解析式为y＝ax+b，
将C（2.5，80），D(4.5，300)代入得
，
解得，
即CD段对应的函数解析式为y＝110x﹣195，
令110x﹣195＝60x，得x＝3.9，
即货车出发3.9小时与轿车相遇，
故答案为：3.9．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16. 如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在对角线的点处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在对角线的点处，为折痕，连接，则__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形的翻折变换以及性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，
根据翻折的性质以及勾股定理求出，再根据翻折的性质可得：，，，，进而求出，设，在中，由勾股定理即可求出x，进而可求解．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，，
在中，，，
由勾股定理得：，
由翻折的性质得：，，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1） （2），数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的混合运算，运算中涉及零指数幂与负整数指数幂的运算法则、分母有理化及特殊角三角函数等知识，掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据零指数幂与负整数指数幂的运算法则及特殊角三角函数分别计算，最后计算即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，并在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
18. 为促进学生数学核心素养发展，某校拟开展初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜欢的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）参与本次抽样调查的学生人数是_______人；
（2）图2中扇形A的圆心角度数为_______度；
（3）请补全统计图1；
（4）若参加成果展示活动的学生共有1800人，估计其中最喜爱项目的学生人数是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）人
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图， 掌握条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系是关键.
（1）从两个统计图中可得样本中最喜爱“”的有人，占调查人数的，据此计算即可求解；
（2）求出扇形所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求得最喜爱“”的人数，即可补全条形统计图；
（4）求出样本中最喜爱“”所占的百分比，进而估计总体中“”的百分比，求出相应人数即可.
【小问1详解】
解：调查学生总数为(人)，
故答案:；
【小问2详解】
解：，
故答案为: ；
【小问3详解】
最喜爱“”的有(人),补全统计图如下：
【小问4详解】
解：(人),
答：估计其中最喜爱项目的学生人数是人.
19. 如图，是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，和过E的切线互相垂直，垂足为D，切线交的延长线于点C．

（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，可推出，故；根据、即可求解；
（2）在中可求出，进而可确定； 在中即可求出的长．
【小问1详解】
解：连接，

∵与相切
∴
∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
【小问2详解】
解：∵
∴
在中：
∴
∴
在中：
∴
【点睛】本题考查了切线的性质定理、直角三角形的性质以及勾股定理等知识．熟记相关结论即可．
20. 为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点A观测行驶的汽车是否超速．如图，检测点A到公路的距离是24米，在公路上取两点B、C，使得∠ACB=30°，∠ABC=120°．
(1)求BC的长（结果保留根号）；
(2)已知该路段限速为45千米/小时，若测得某汽车从B到C用时2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）

【答案】（1）16（2）超速
【解析】
【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDA中，利用正切函数，即可求得CD与BD的长，继而求得BC的长；
（2）由从B到C用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与45千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
【详解】(1)过点A作BC的垂线，垂足即为点D.

由题意得，AD=24m
在Rt△ADC中，，
解得．
在Rt△ABD中，
解得
所以BC=CD-BD=（米）．
(2)汽车从B到C用时2秒，所以速度为（米/秒），
因为13.6米/秒=48.96千米/小时>45千米/小时
（或因为45千米/小时=12.5米/秒<13.6米/秒）
所以此汽车超速．
【点睛】此题考查了解直角三角形应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
21. 第22届国际世界杯足球赛于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内8座球场举行．某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用6000元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用15000元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵10元．
（1）该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元?
（2）如果两批T恤衫按相同标价销售，最后断码的50件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于（除去450元的快递费用），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是40元及50元．
（2）每件T恤衫的标价至少是90元．
【解析】
【分析】（1）设第一次购进价格为未知数，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可；
（2）设标价为未知数，通过利润率不低于80%列不等式，求解范围即可．
【小问1详解】
设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元；
由题意得，
解得，
经检验为分式方程的解，
，
答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元；
【小问2详解】
设每件T恤衫的标价是y元，
第一次购进件，第二次购进件，
利润为：，
利润率不低于，
则
解得，
答：每件T恤衫的标价至少是90元．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用问题及不等式的实际应用题，解应用题时需要理清楚等量关系，找到合适的量设未知数，顺题意列出方程，注意分式方程求解需要检验．
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
（3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）8 （3）点P坐标为
【解析】
【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解；
（2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解；
（3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，过点B作轴于点H，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【小问1详解】
解：将代入，得，
把点代入一次函数得：，
，
；
小问2详解】
解：设点M坐标为，则点N坐标为，
过点B作于点H，
，
，
由（1）可知，
，
解得：，（舍），
；
【小问3详解】
解：取中点C，过点C作交x轴于点D
连接，则与反比例函数图象交点即为点P
过点B作轴于点H
，
∵，，且点C为的中点
∴，，
直线的函数表达式为
联立，解得或（舍）
点P坐标为．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23. 已知抛物线与x轴交于和两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点的直线与y轴右侧的抛物线交于F，与y轴左侧的抛物线交于E，若，求直线的解析式；
（3）设点P是抛物线上任一点，点Q在x正半轴上，能否构成以为直角的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）将和两点代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法，得到直线的解析式为，进而设，，如图，过点作轴与点，过点作轴于点，证明，得到，进而得出，将、代入抛物线，解方程组求得，进而得出，即可求出直线的解析式；
（3）先求出，设，过点作直线轴，与轴交于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质，易证，得到，进而得到，解绝对值方程，求出横坐标的值，进而得到纵坐标，再找出符合条件的点P的坐标即可．
【小问1详解】
解：抛物线与x轴交于和两点，
，解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
将点代入直线解析式，得：，
直线的解析式为，
设，，
如图，过点作轴与点，过点作轴于点，

，，
，，
，
，
，
，
，
将、代入抛物线，得：
，
将代入②，得：，
，得：，
点在抛物线左侧，
，
将代入①，得：，
解得：，
直线的解析式为，
【小问3详解】
解：能，
抛物线，
令，则，
，
点P是抛物线上任一点，
设，
如图，过点作直线轴，与轴交于点，过点作于点，
是以点为直角的等腰直角三角形，
，，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
若，解得：，
若，解得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
点Q在x正半轴上，
当点为时，点在x负半轴上，不符合题意，舍去，
能构成以点为直角的等腰直角三角形，符合条件的点P的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解方程组，抛物线与直线的问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解绝对值方程等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键，题目较难，综合性强．
24. （问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ．
【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．

【答案】【尝试解决】直角，；【类比探究】；【联想拓展】
【解析】
【分析】尝试解决：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等边三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数；
类比探究：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数；
联想拓展：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，先证明，得出，进而证明，得到，然后利用特殊角的三角函数值，分别求出，，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，得到，即可求出的度数．
【详解】尝试解决：解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，，
，
为直角三角形，
，
，
的度数为，
故答案为：直角，；
类比探究：解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，
由旋转的性质可知，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
为直角三角形，
，
；

联想拓展：解：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．