内蒙古集宁一中2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份内蒙古集宁一中2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知，，则是的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
2．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中依次抽取2张（取后不放回），则在已知第一次取到奇数数字卡片的条件下，第二次取出的卡片数字是偶数的概率为
A．B．C．D．
4．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：
参考公式：，其中.
附表：
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
B．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”
D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”
5．若命题“，”是假命题，则不能等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．回归分析模型中，决定系数越大，说明模型模拟效果越好
B．已知一组数据的方差是3，则数 的标准差是12
C．从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记为取得红球的个数
D．已知随机变量服从正态分布，且，则
10．定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．2为的一个周期D．
11．已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则 ，且展开式中的常数项为 .
13．一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种．
14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数，其导函数为．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调区间．
16．（15分）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
17．（15分）水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：
(1)根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程.（注：数据保留整数）；
(3)为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考公式与数据：，，，，，
样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
18．（17分）设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
19．（17分）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
使用手机情况
成绩
合计
及格
不及格
很少
20
5
25
经常
10
15
25
合计
30
20
50
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
时间代码x
1
2
3
4
5
6
销售额y
（单位：万元）
2.0
4.0
5.2
6.1
6.8
7.4
高二年级期末考试数学答案
1．A
【详解】由，即，等价于，解得，
所以，
又，所以由推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
2．C
【详解】由，得，所以的定义域为.
又，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B错误；
因为，所以当时，，所以，
且在定义内为增函数，故A，D错误.
对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确.
故选:C
3．B
【详解】所求概率为 ，故选B.
4．D
【详解】由题中数据可得，，
所以有99.5%的把握认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，
即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”.
所以C错误，D正确；
因为，
所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”，A错误；
因为，
所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”，B错误.
故选：D
5．D
【详解】根据题意，知原命题的否定“，”为真命题.
令，故，解得.
故选：D.
6．B
【详解】由题意得构造函数，则对任意的恒成立，
所以在上是减函数，
对A：因为，所以，即，得，故A错误；
对B、C、D：因为，所以，即，故C错误；
因为，所以，所以，即，故D错误，故B正确.
故选：B.
7．B
【详解】因为函数在上单调递增，
当，即时，需满足，解得，
所以；
当，即时，需满足，
即，解得，又，所以,
综上，实数的取值范围为.
故选：B
8．D
【详解】由，得：，，
因为，所以，则；
设（），则，
当时，，所以在上单调递增，
所以时，，即时，，
所以，
又，，
所以，则，
又，所以，
综上：，
故选：D.
9．A
【详解】对于A，决定系数的值越大，残差平方和越小，拟合的效果越好，故A正确.
对于B，数据的平均值记为，
数据的平均值为：
，
所以方差为
，
显然标准差不为12，故B错误；
对于C：从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记X为取得红球的个数，
则，故C正确；
对于D：因为随机变量服从正态分布，所以，
又因为，所以，
由正态分布的性质可得，故D正确.
故选：ACD.
10．BD
【详解】因为，
所以函数的图象关于直线对称，
又为奇函数，
所以，
即，则函数的图象关于点对称，
则，故B正确；
所以，
，
即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误；
，故A错误；
又，所以函数
的图象关于点对称，
因此函数与的交点也关于点对称，
则，
故D正确，
故选：BD.
11．ACD
【详解】，
又函数的零点为，则，其中.
，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点.
又，得.
注意到，，
则，且.
对于A，因，，
则，故A正确.
对于B，因，则.
令.在上单调递减，
则，得在上单调递增.
则，即，故B错误.
对于C选项，因，，则，故.
则由基本不等式结合有：，故C正确.
对于D选项，因，则，由C选项分析可知.
则令，.
得在上单调递增，故，即.故D正确.
故选：ACD
12． 6 240
【详解】由题意得，所以.
又的展开式通项公式：
，
令，得
所以常数项为,
故答案为：①6;②240.
13．72
【详解】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同.
那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色.
由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和.
如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种；
如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种；
如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种.
综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种.
而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种.
故答案为：.
14．
【详解】由在上满足的正整数至多有两个，
即在上满足的正整数至多有两个，
设，，
则，
设，，
则，，
设，，
则恒成立，
则在上单调递增，
即，即，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
所以当时，取最小值，
又在上满足的正整数至多有两个，
则，
即，
故答案为：.
15．(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
【详解】（1）因为的导数为，
所以在处的切线斜率为，而
故所求的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为
所以
解得，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴
17．(1)
(2)
(3)列联表见解析，数学期望为2
【详解】（1）根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型，所以
更适合作为销售额关于时间的回归方程类型；
（2），，
，
，
所以，销售额关于时间的回归方程为；
（3）的所有可能取值为1，2，3，则，
，.所以，的分布列为
，即的数学期望为2.
18．(1)无最小值，最大值为
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，则.
令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
无最小值，最大值为.
（2），则，
又有两个不同的极值点，
欲证，即证，
原式等价于证明①.
由，得，则②.
由①②可知原问题等价于求证，
即证.
令，则，上式等价于求证.
令，则，
恒成立，在上单调递增，
当时，，即，
原不等式成立，即.
19．(1)
(2)（i）2；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意，，，
恒成立，所以在上单调递增，
可得的值域为，因此只需，即可得，即，则的取值集合为．
（2）（i）记函数，
则，
由得或；由得；
所以函数在和上单调递增，在上单调递减．
其中，因此当时，，不存在零点；
由在单调递减，易知，而，
由零点存在定理可知存在唯一的使得；
当时，，不存在零点．
综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．
（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，
则对，，
当时，由（i）得在单调递增，
，即，不满足要求；
当时，由（i）得在单调递增，
，
即，也不满足要求；
当时，闭区间，而显然在单调递增，
，
由（i）可得，，，满足要求．
综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
1
2
3