内蒙古集宁一中2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

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本试卷满分为 150 分, 考试时间为 150 分钟。
一、单选题 (每题 5 分, 共 40 分)
1. 复数 z=21+i 的虚部是 ( )
A. -i B. i C. 1 D. -1
2. 水平放置的平面四边形 ABCD 的斜二测直观图为一个边长为 4,其中一个夹角为 45∘ 的菱形,则四边形 ABCD 的实际周长为 (
A. 16 B. 20 C. 24 D. 28
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字, 随意拨号 (拨过的号码后面不再重复拨), 则拨号不超过三次而接通电话的概率为 (
A. 910 B. 310 C. 18 D. 110
4. 设 M,N 为两个随机事件,如果 M,N 为互斥事件,那么 ( )
A. M∪N 是必然事件 B. M∪N 是必然事件
C. M 与 N 一定为互斥事件 D. M 与 N 一定不为互斥事件
5. 某校举办了一次 “一带一路” 知识竞赛, 满分 100 分, 以下数据为参加竞赛决赛的 15 名同学的成绩 (单位: 分): 68,60,62,76,78,69,70,71 , 84,74,46,88,73,80,81 . 则这 15 人成绩的第 80 百分位数是 ( )
A. 80 B. 80.5 C. 81 D. 81.5
6. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次, 每次命中的环数如下:
甲: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4; 乙: 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7。则下列结论正确的是 (
A. 甲成绩的平均数较小 B. 乙成绩的中位数较小
C. 乙成绩的极差较大 D. 乙比甲的成绩稳定
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7. 已知数据 x1,x2,x3,⋯xn 的平均数为 10,方差为 5,数据 3x1-1,3x2-1,3x3-1,⋯3xn-1 的平均数为 x ,方差为 s2 ,则 (
A. x=10,s2=14 B. x=9,s2=44
C. x=29,s2=45 D. x=29,s2=44
8. 四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形, PA⊥ 底面 ABCD,AB=4 ,若该四棱锥的所有顶点都在体积为 323π 的同一球面上,则 PA 的长为 ( )
A. 3 B. 4 C. 22 D. 23
二、多选题 (每题 6 分, 共 18 分)
9. 下列抽样方法不是简单随机抽样的是 ( )
A. 从平面直角坐标系中抽取 5 个点作为样本
B. 可口可乐公司从仓库中的 1000 箱可乐中一次性抽取 20 箱进行质量检查
C. 某班级从 50 名同学中, 挑选出 5 名最优秀的同学参加数学竞赛
D. 从 8 台电脑中不放回地随机抽取 2 台进行质量检验
10. 已知 a,b,c 为三条直线, α,β,γ 为三个平面. 下列命题正确的是 ( )
A. 若 a⊥c,b⊥c ,则 a∥b B. 若 a∥α,a⊂β,α∩β=b ,则 a∥b
C. 若 a⊥α,a⊂β ,则 α⊥β D. 若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=a ,则 a⊥γ
11. 已知 i,j,k 是空间中三个向量,则下列说法错误的是 ( )
A. 对于空间中的任意一个向量 m ,总存在实数 x,y,z ,使得 m=xi+yj+zk
B. 若 {i,j,k} 是空间的一个基底,则 {i-3j,j+k,k-2i} 也是空间的一个基底
C. 若 i⊥j,k⊥j ,则 i//k
D. 若 i,j,k 所在直线两两共面,则 i,j,k 共面
三、填空题 (每题 5 分, 共 15 分)
12. 现从 50 瓶水中抽取 6 瓶进行检验, 利用随机数表抽取样本时, 先将 50 瓶水编号,可以编为 01,02,⋯,50 ,下面提供随机数表的第 6 行到第 7 行:
16227794394954435482173793237887
84421753315724550688770474476721
若从表中第 6 行第 3 列开始读取数据, 则得到的第 4 个样本编号是_________.
13. 已知空间向量 a=x,1,-2 与 b=1,-1,2 夹角为钝角,则实数 x 的取值范围为_________.
14. 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况, 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间, 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时, 方差为 7.3 ; 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时, 方差为 8 , 则所有样本数据的方差为_________. (结果精确到小数点后三位)
四、解答题
15. (13 分) 袋中有形状、大小都相同的 4 个小球,
（1）若 4 个小球中有 1 只白球, 1 只红球, 2 只黄球, 从中一次随机摸出 2 只球, 求这 2 只球颜色不同的概率;
（2）若 4 个小球颜色相同,标号分别为 1,2,3,4 ,从中一次取两球,求标号和为奇数的概率;
（3）若 4 个小球中有 1 只白球, 1 只红球, 2 只黄球, 有放回地取球, 取两次, 求两次取得球的颜色相同的概率.
16. (15 分) 如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AB//CD,AB⊥AD ,且 AB=AD=1,CD=2 ,AA1=22,M 是 DD1 的中点.
(1) 证明 BC⊥B1M ;
(2) 求点 B 到平面 MB1C 的距离.
17. (15 分) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AA1=2AD=2,M 是 CD 的中点.
(1) 证明: B1D// 平面 BC1M ;
(2) 求异面直线 B1D 与 MC1 所成角的余弦值.
18. (17 分) 锐角 △ABC 中角 A、 B、C 的对边分别为 a、 b、c ,且asinA-bsinB=a-csinC.
(1) 求角 B 的大小;
(2) 若 b=32 ,求 a+c 的取值范围.
19. (17 分) 4 月 23 日是联合国教科文组织确定的 “世界读书日”. 某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况, 对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间 (单位: 小时), 得到样本数据, 并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1) 求频率分布直方图中 a 的值;
(2) 根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间 t ; (每组数据用该组的区间中点值作代表)
(3) 将 (2) 所得到的日平均阅读时间 t保留为整数, 并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差 σ2 .