内蒙古集宁一中2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份内蒙古集宁一中2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．数列的第6项为（ ）
A．B．C．D．19
2．在直三棱柱中，，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
4．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（ ）
A．B．C．2D．
5．x是1和2的等差中项，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知空间向量，则（ ）
A．15B．C．17D．
7．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足，，则数列的前12项和为（ ）
A．108B．28C．62D．80
二、多选题
9．记数列的前项和为，若，则（ ）
A．若为等差数列，则B．若为等比数列，则
C．若，则为周期为3的数列D．若，则
10．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则（ ）

A．曲线C与直线有3个公共点B．曲线C上任意两点距离最大值为4
C．的最大值为D．曲线C所围成图形面积为
11．已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的周长为12
C．面积的最大值为4D．的取值范围是
三、填空题
12．已知二次函数的图象是抛物线，则其焦点坐标是 ．
13．已知实数满足的方程为，则的最大值为 ．
14．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数等于
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
16．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点，，且圆心在直线上．
(2)圆心在轴上，半径为，且经过点．
17．已知数列和满足，，，.
(1)证明：是等差数列，是等比数列；
(2)求数列的前项和.
18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，是等边三角形．已知，，为线段上一点．
(1)若为靠近点的三等分点，求到平面的距离；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式；②平方关系；③求导公式，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论；
(3)若，，证明：
1．B
令项数，即可求解.
【详解】当时，，
所以数列的第6项为.
故选：B
2．C
证明三线两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由向量的数量积求得线线角的余弦值.
【详解】在直三棱柱中，平面，
∵平面，平面，
∴，，且
∴如图建立空间直角坐标系，
∴，，，则，
则，，
设直线与所成角为，
则.
故选：C.
3．D
利用椭圆的性质分析选项即可.
【详解】易知的长轴长、短轴长分别为，离心率，
焦距长，
而的长轴长、短轴长分别为，
离心率，焦距长，
由，显然只有焦距相同.
故选：D
4．A
根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量，再利用计算即可.
【详解】由题可知，，且，
故，，
则，
所以，即的长为.
故选：A.
5．A
根据等差中项的定义，即可求解.
【详解】因为1、x、2成等差数列，则．
故选：A.
6．D
根据空间向量的坐标运算和几何意义即可求解.
【详解】由题意知，.
故选：D
7．C
利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】设直线与平面所成的角为，
所以，
又，所以，
故选：C.
8．D
利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可.
【详解】设数列的前项和为，
则，
因为当时，，当时，，
所以.
故选：D.
9．ABD
根据等差数列通项公式求解；利用等比数列的通项公式求解；根据周期的定义求解；利用数列的周期为6求解.
【详解】若为等差数列，则公差，所以，故A正确；
若为等比数列，则公比，所以，故B正确；
若，则为周期为6的数列，故C错误；
因为，则 ，
，故D正确；
故选：ABD
10．BC
联立曲线C与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线C与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线C在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项.
【详解】曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
在曲线C上任取一点，则该点关于轴的对称点为，
因为，即点也在曲线C上，
所以，曲线C关于轴对称，同理可知，曲线C关于轴、原点对称，
对于A选项，由，得，
所以，即，可得或（舍去），
故，所以曲线C与直线只有个公共点，A错；
对于B选项，在曲线C的方程中，令，可得，解得或，
所以，曲线C交轴于点、、，
结合图形可知，曲线C上任意两点距离最大值为，B对；
对于C选项，当取最大值，结合图形及对称性不妨，，
此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上，
设，，其中，
由可得，所以，
所以
，其中，
因为，所以，
因为，则，故，
故当时， 取到最大值为，C对；
对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为，
因为，故是边长为2的等边三角形，
所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为，
所以曲线C所围成图形面积为，D错.

故选：BC.
11．ABD
由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判定A正确；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B正确；根据，结合椭圆的性质，可判定C错误；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确.
【详解】对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆，
可得，则，
则可得，解得，，所以A正确；
对于B，由A得椭圆的方程为，可得，
又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B正确；
对于 C，由面积为，因为，
所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值，
可得面积的最大值为，所以C错误；
对于D，设点的坐标为，其中，则，所以，
因为，可得，
则，
因为，可得，即取值范围为，所以D正确.
故选：ABD.
12．
根据该二次函数与的关系，将焦点进行平移即可.
【详解】是由，即右移一个单位，再向上移动一个单位得到，
则原焦点平移后变为.
故答案为：.
13．/
根据的几何意义并结合图象求解出最大值.
【详解】，其表示圆上的点与点连线的斜率，
如图所示，显然当直线与圆相切时，切点与原点的连线斜率有最值，即有最值，

当与圆相切时，则，解得，
所以的最大值为，即的最大值为，
故答案为：.
14．13
由题意可得存在实数使得则成立，列出方程组求解即可.
【详解】向量，，，，，三个向量共面，
则，
故，解得.
故答案为：13.
15．(1)
(2)答案见解析
（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可；
（2）求导得，分和求解即可.
【详解】（1）当时，，．
，．
曲线在点处的切线方程为．
（2）．
当时，，是增函数．
当时，令，解得．
当时，；当，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
16．(1)
(2)或
（1）设出圆心坐标，根据圆心到的距离相等求解出圆心坐标，则圆的方程可求；
（2）设出圆心坐标，根据圆过点和半径求解出圆心坐标，则圆的方程可求.
【详解】（1）因为圆心在上，所以设圆心为，
因为圆过点，
所以，解得，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
（2）设圆心为，因为圆的半径为且过，
所以，解得或，
所以圆的方程为或.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证；
（2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得.
【详解】（1）由，，
则，
故，又，故，
有，
故数列是等差数列；
，
则，又，
故数列是以为公比，为首项的等比数列；
（2）由数列是以为公比，为首项的等比数列，则，
又，则，
则.
18．(1)
(2)
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求到平面的距离；
（2）求出和平面的法向量后可求线面角的正弦值.
【详解】（1）取的中点，连接，则，
由，且，可知四边形是平行四边形，
故，又，，由等边三角形的性质可知，
由，平面，平面，可知平面，
所以，，
又平面平面，平面，平面平面，
故平面，由平面可知，
故以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，
的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
故，
由为靠近点的三等分点，可得，
所以，
设平面的法向量为，则，
即，令，可得，
故到平面的距离．
（2）由题意得，所以，而，，
设平面MAC的法向量为，则，
即，可取，
设直线PB与平面MAC所成的角为θ，
则，
故直线PB与平面MAC所成角的正弦值为．
19．(1)答案见详解，证明见详解
(2)，证明见详解
(3)证明见详解
（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；
（2）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.
（3）结合新定义将所证变为，设函数，即证，先利用导数求得在上单调递增，再设，利用导数得其单调性及，从而得到，即可得证.
【详解】（1）①倍角公式：，
；
②平方关系：，
；
③求导公式：，
；
（2），.
依题意，， ，
当时，，，即，
于是，而，因此，
当时时，，则，，
即，而，因此，
于是，，
所以.
（3）因为，
所以原式变为，
即证，
设函数，即证，，
设，，
时，，在上单调递增，即在上单调递增，
设，则，
由于在上单调递增，，
所以，即，故在上单调递增，
又，所以时，，
所以，即，
因此恒成立，