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辽宁省 大连市中山区第九中学2023-2024学年下学期九年级开学考试数学试题（解析版）
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这是一份辽宁省 大连市中山区第九中学2023-2024学年下学期九年级开学考试数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键。
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：节约的水记为+30cm3，那么浪费的水记为，
故选：B．
2. 由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查从不同方向观察几何体，从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形．
【详解】解：从上面看得到的平面图形为：
，
故选B．
3. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方和积的乘方运算法则等知识点．分别利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方运算法则逐项排查即可解答．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
4. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”，已知，若苔花的花粉直径约为，则用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：A
5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由△，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A
6. 解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A. xB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，方程两边同时乘上最简公分母，据此即可作答．
【详解】解：∵的最简公分母是
∴解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是，
故选：C
7. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. y随x的增大而增大C. 图象经过原点D. 图象经过第一、二、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象，能直观观察到函数值的变化、经过的象限；根据一次函数图象与系数的关系确定出k的值，即可进行判断，解题的关键由图象在一、三、四象限得出的系数来解答．
【详解】A、从图象经过一、三、四象限，所以，故A选项不符合题意；
B、从函数图象得到y随x的增大而增大，故B选项符合题意；
C、从函数图象得到图象没经过原点，故C选项不符合题意；
D、从函数图象得到图象经过第一、三、四象限，故D选项不符合题意；
故选：B．
8. 我国古代数学名著、《孙子算经》中有这样一道题：“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？”意思为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中有户人家，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考的一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设城中有户人家，根据“今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设城中有户人家，
依题意，得：．
故选：B．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
10. 如图，正方形纸片ABCD的边长为5，E是边BC的中点，连接AE．沿AE折叠该纸片，使点B落在F点．则CF（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点E作EM⊥CF于点M，由折叠的性质得出∠ABE=∠AFE=90°，BE=EF，∠BAE=∠FAE，由四边形内角和得出∠BAF=∠FEC，由等腰三角形的性质得出∠CEM=∠BAE，由勾股定理求出AE的长，则可根据锐角三角函数的定义得出答案．
【详解】解：过点E作EM⊥CF于点M，
∵沿AE折叠该纸片，使点B落在F点，
∴∠ABE=∠AFE=90°，BE=EF，∠BAE=∠FAE，
∵E是边BC的中点，
∴BE=CE，
∴EF=CE，
∵EM⊥CF，
∴CM=FM，∠FEM=∠CEM．
∵∠BAF+∠ABE+∠AFE+∠BEF=360°，
∴∠BAF+∠BEF=180°，
又∵∠BEF+∠FEC=180°，
∴∠BAF=∠FEC，
∴∠CEM=∠BAE，
∴sin∠CEM=sin∠BAE，
∴，
∵AB=5，BE=，
∴，
∴，
∴CM=，
∴CF=2CM=．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质是解题的关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式乘法运算法则进行运算即可得出答案．
【详解】解： ==，
故答案为：．
【点睛】本次考查二次根式乘法运算，熟练二次根式乘法运算法则即可．
12. 如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
13. 星海公园的东、西、北三个方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入星海公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设星海公园的东、西、北三个方向上的入口为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有3种，
他们从同一个入口进入公园的概率为，
故答案为：．
14. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：3．
15. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线运动，于，点与点重合时，点停止运动，点在射线上运动，且始终满足，连接，当与重叠部分的面积为1时，的长是______．
【答案】或
【解析】
【分析】先求出，再分两种情况讨论：①当完全在内部时，则与重叠部分的面积就是的面积，根据的面积为1可求出，证和相似，利用相似三角形的性质可求出的长；②当不完全在内部时，考虑当点合点重合时，则，此时，因此当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；当点在的延长线上时，设与交于，此时与重叠部分的面积就是的面积，证和相似得，则，由得，则，再证和相似，利用相似三角形的性质即可求出的长，综上所述即可得出答案．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：，
分两种情况讨论如下：①当完全在内部时，如图1所示：
则与重叠部分的面积就是的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
；
②当不完全在内部时，
当点合点重合时，如图2所示：
点重合，
，
，
，
，
∴当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；
∴当点在的延长线上时，设与交于，如图3所示：
此时与重叠部分的面积就是的面积，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
综上所述：当与重叠部分的面积为1时，的长是或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了负整数幂，有理数的四则运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算负整数幂，然后计算乘除，最后计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. 某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【答案】每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【解析】
【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解．
【详解】解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥， 由题意得，
，
整理得：
解得：．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
18. 2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动，甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量（单位：）分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
A小区3月份用水量频数分布表
B小区3月份用水量频数分布直方表
信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：B小区3月份用水量在第三组的数据为：，，，，，，，，，
根据以上信息，回答问题：
（1）______；
（2）若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；
（3）因任务安排，需要随机在乙小组和丙小组中随机抽取1名同学加入甲小组，已知乙小组2名男生和一名女生，丙小组有2名女生和一名男生，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）
（2）130 （3）
【解析】
【分析】本题考查了求一组数据的中位数，用样本估计总体，列表法或画树状图求概率等知识．
（1）根据题意将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在15和16个的是9，9.4，根据中位数的定义即可求出；
（2）根据信息一得到小区用水量不低于的居民共有3户，B小区用水量不低于的居民共有2户，用样本的频率即可估计总体的频率，据此即可列式求解；
（3）根据题意画出树状图，得到共有9种可能出现的情况，且每种情况出现的可能性相同，其中抽到两名同学都是男生的情况有2种，根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在15和16个的是9，9.4，
所以．
故答案为：9.2；
【小问2详解】
解：小区用水量不低于的居民共有3户，B小区用水量不低于的居民共有2户，
（户）．
答：估计两个小区3月份居民用水量不低于的总户数为130；
【小问3详解】
解：根据题意，画树状图得；
由树状图可知，共有9种可能出现的情况，且每种情况出现的可能性相同，其中抽到两名同学都是男生的情况有2种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为．
19. 辽宁省丹东市今年“九九草莓”喜获丰收，元旦当天超市进行“九九草莓”优惠促销活动，“九九草莓”销售金额（元）与销售量（千克）之间关系如图所示．
（1）时，求销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系式；
（2）超市“九九草莓”的标价为80元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售．若购买9千克“九九草莓”，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
【答案】（1）；
（2）去超市购买更划算，过程见解析．
【解析】
【分析】（1）设销售金额（元与销售量（千克）之间的关系式为：，用待定系数法可得答案；
（2）求出在超市购买和超市购买的费用，再比较即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出函数关系式．
【小问1详解】
解：设销售金额（元与销售量（千克）之间的关系式为：，
根据题意得：，
解得：，
销售金额（元与销售量（千克）之间的关系式为；
【小问2详解】
解：在超市购买：当 时，（元，
在超市购买：（元，
元元，
去超市购买更划算．
20. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为30°；后飞船到达处，此时测得仰角为．
（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
【答案】（1）
（2）飞船从处到处的平均速度约为
【解析】
【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
【小问2详解】
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
21. 如图1，四边形内接于，是直径，过点的切线与的延长线相交于点，且．
（1）求证：；
（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用切线的性质可得，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得，然后利用等量代换可，从而可得，进而可得，即可解答；
（2）过点作于，连接，根据垂直定义可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用同角的余角相等可得，再根据同弧所对的圆周角定理可得，从而可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得经过点，根据利用等边对等角可得，再利用证明，从而可得，最后设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：过点作于，连接，
，
是的直径，
，
，
∵是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
经过点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，
在中，，
，
，
解得：，
，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 【发现问题】
某城市为庆祝国庆75周年，准备烟花燃放活动，如图1．燃放烟花采用无人机空中投放和地面发射架直接发射联合完成．
无人机空中投放烟花得到如下数据：
地面发射架发射烟花得到的如下数据：
爱思考的小明发现两种烟花燃放方式都是烟花离地面的高度随时间的变化而变化．
【提出问题】
两种烟花离地面的高度，与燃放时间之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小明根据上表所示的数据，然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2和图3，小明根据点的分布情况，猜想其图像是二次函数图像的一部分．结合学习经验，进而求出与的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出两种燃放方式，与的关系式；
（2）若无人机在发射架正上方800米处，（无人机和发射架在同一平面内）同时燃放烟花，求两烟花在空中相遇的时间及离地面的高度．
（3）两个烟花在空中每一次相遇时会绽放出一个汉字．要想保证安全绽放，需满足：①相遇高度至少离地面300米，②地面发射烟花在最高处之前相遇绽放．已知地面发射架每隔3秒发射一枚烟花，无人机在发射架正上方800米处投放烟花，第一次地面烟花和空中烟花同时发射且安全绽放，若想第二次烟花也能安全绽放，第二架无人机至少在第一架无人机投放时间后什么时间范围内在发射架正上方投放？（不包含端点）
【答案】（1）；；
（2）两烟花在空中相遇的时间为第5秒，离地面高度为400米；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，正确理解题意，将实际问题化为函数问题是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）令，即，即可求解；
（3）令，求出值；令，求出值；令，令，同理可得的值，即可求解．
【小问1详解】
解：设，
取点、、代入上式得：
，解得：，
则函数的表达式为：；
设，
取点、、代入上式得：
，解得：，
则函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：令，即，
解得：，
则，
答：两烟花在空中相遇的时间为第5秒，离地面高度为400米；
【小问3详解】
解：令，
解得：（舍）或；
令，
解得（舍去）或，
则，
，
令，
解得：（舍或，
则，
答：第二架无人机至少在第一架无人机投放时间后范围内飞到发射架正上方投放才能保证安全绽放且不失误．
23. 如图1，在中，，点E在边上，D为边上一点，G在的延长线上，连接，，，若，，．
（1）求证：．
（2）请找出图中与相等的线段，并证明．
（3）如图2，当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形外角的性质推导即可得证；
（2）在上截取，连接，利用证明，得出，，然后证明，得出，即可得证；
（3）先证明，再证明，可得出即 ；设，，则，，由勾股定理可得： ， ，，然后代入计算即可．
【小问1详解】
证明：设，则，
∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即 ；
设，，则，
又∵，
由勾股定理可得： ， ，
由勾股定理可得：，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
用水量
频数（户数）
4
10
9
4
3
A小区
B小区
平均数
9.5
9.0
中位数
9.2
投放时间（秒）
0
1
2
3
4
…
离地面高度（米）
800
784
736
656
544
…
发射时间（秒）
0
1
2
3
4
…
离地面高度（米）
0
96
184
264
336
…
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约的水记为，那么浪费的水记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键。
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：节约的水记为+30cm3，那么浪费的水记为，
故选：B．
2. 由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查从不同方向观察几何体，从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形．
【详解】解：从上面看得到的平面图形为：
，
故选B．
3. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方和积的乘方运算法则等知识点．分别利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方运算法则逐项排查即可解答．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
4. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”，已知，若苔花的花粉直径约为，则用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：．
故选：A
5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由△，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A
6. 解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A. xB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，方程两边同时乘上最简公分母，据此即可作答．
【详解】解：∵的最简公分母是
∴解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是，
故选：C
7. 一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. y随x的增大而增大C. 图象经过原点D. 图象经过第一、二、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象，能直观观察到函数值的变化、经过的象限；根据一次函数图象与系数的关系确定出k的值，即可进行判断，解题的关键由图象在一、三、四象限得出的系数来解答．
【详解】A、从图象经过一、三、四象限，所以，故A选项不符合题意；
B、从函数图象得到y随x的增大而增大，故B选项符合题意；
C、从函数图象得到图象没经过原点，故C选项不符合题意；
D、从函数图象得到图象经过第一、三、四象限，故D选项不符合题意；
故选：B．
8. 我国古代数学名著、《孙子算经》中有这样一道题：“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？”意思为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中有户人家，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考的一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设城中有户人家，根据“今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设城中有户人家，
依题意，得：．
故选：B．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
10. 如图，正方形纸片ABCD的边长为5，E是边BC的中点，连接AE．沿AE折叠该纸片，使点B落在F点．则CF（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点E作EM⊥CF于点M，由折叠的性质得出∠ABE=∠AFE=90°，BE=EF，∠BAE=∠FAE，由四边形内角和得出∠BAF=∠FEC，由等腰三角形的性质得出∠CEM=∠BAE，由勾股定理求出AE的长，则可根据锐角三角函数的定义得出答案．
【详解】解：过点E作EM⊥CF于点M，
∵沿AE折叠该纸片，使点B落在F点，
∴∠ABE=∠AFE=90°，BE=EF，∠BAE=∠FAE，
∵E是边BC的中点，
∴BE=CE，
∴EF=CE，
∵EM⊥CF，
∴CM=FM，∠FEM=∠CEM．
∵∠BAF+∠ABE+∠AFE+∠BEF=360°，
∴∠BAF+∠BEF=180°，
又∵∠BEF+∠FEC=180°，
∴∠BAF=∠FEC，
∴∠CEM=∠BAE，
∴sin∠CEM=sin∠BAE，
∴，
∵AB=5，BE=，
∴，
∴，
∴CM=，
∴CF=2CM=．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质是解题的关键．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式乘法运算法则进行运算即可得出答案．
【详解】解： ==，
故答案为：．
【点睛】本次考查二次根式乘法运算，熟练二次根式乘法运算法则即可．
12. 如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
13. 星海公园的东、西、北三个方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入星海公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设星海公园的东、西、北三个方向上的入口为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有3种，
他们从同一个入口进入公园的概率为，
故答案为：．
14. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：3．
15. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线运动，于，点与点重合时，点停止运动，点在射线上运动，且始终满足，连接，当与重叠部分的面积为1时，的长是______．
【答案】或
【解析】
【分析】先求出，再分两种情况讨论：①当完全在内部时，则与重叠部分的面积就是的面积，根据的面积为1可求出，证和相似，利用相似三角形的性质可求出的长；②当不完全在内部时，考虑当点合点重合时，则，此时，因此当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；当点在的延长线上时，设与交于，此时与重叠部分的面积就是的面积，证和相似得，则，由得，则，再证和相似，利用相似三角形的性质即可求出的长，综上所述即可得出答案．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：，
分两种情况讨论如下：①当完全在内部时，如图1所示：
则与重叠部分的面积就是的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
；
②当不完全在内部时，
当点合点重合时，如图2所示：
点重合，
，
，
，
，
∴当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；
∴当点在的延长线上时，设与交于，如图3所示：
此时与重叠部分的面积就是的面积，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
综上所述：当与重叠部分的面积为1时，的长是或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了负整数幂，有理数的四则运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算负整数幂，然后计算乘除，最后计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
17. 某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【答案】每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【解析】
【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解．
【详解】解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥， 由题意得，
，
整理得：
解得：．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
18. 2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某学校组织开展主题为“节约用水，爱护资源”的社会实践活动，甲小组同学在A，B两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份的用水量，分别将两个小区的居民用水量（单位：）分为5组，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
A小区3月份用水量频数分布表
B小区3月份用水量频数分布直方表
信息二：A，B两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：B小区3月份用水量在第三组的数据为：，，，，，，，，，
根据以上信息，回答问题：
（1）______；
（2）若A小区共有800户居民，B小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；
（3）因任务安排，需要随机在乙小组和丙小组中随机抽取1名同学加入甲小组，已知乙小组2名男生和一名女生，丙小组有2名女生和一名男生，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）
（2）130 （3）
【解析】
【分析】本题考查了求一组数据的中位数，用样本估计总体，列表法或画树状图求概率等知识．
（1）根据题意将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在15和16个的是9，9.4，根据中位数的定义即可求出；
（2）根据信息一得到小区用水量不低于的居民共有3户，B小区用水量不低于的居民共有2户，用样本的频率即可估计总体的频率，据此即可列式求解；
（3）根据题意画出树状图，得到共有9种可能出现的情况，且每种情况出现的可能性相同，其中抽到两名同学都是男生的情况有2种，根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：将B小区30户居民3月份用水量数据按照从小到大的顺序排列，排在15和16个的是9，9.4，
所以．
故答案为：9.2；
【小问2详解】
解：小区用水量不低于的居民共有3户，B小区用水量不低于的居民共有2户，
（户）．
答：估计两个小区3月份居民用水量不低于的总户数为130；
【小问3详解】
解：根据题意，画树状图得；
由树状图可知，共有9种可能出现的情况，且每种情况出现的可能性相同，其中抽到两名同学都是男生的情况有2种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为．
19. 辽宁省丹东市今年“九九草莓”喜获丰收，元旦当天超市进行“九九草莓”优惠促销活动，“九九草莓”销售金额（元）与销售量（千克）之间关系如图所示．
（1）时，求销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系式；
（2）超市“九九草莓”的标价为80元/千克，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的9折销售．若购买9千克“九九草莓”，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
【答案】（1）；
（2）去超市购买更划算，过程见解析．
【解析】
【分析】（1）设销售金额（元与销售量（千克）之间的关系式为：，用待定系数法可得答案；
（2）求出在超市购买和超市购买的费用，再比较即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法求出函数关系式．
【小问1详解】
解：设销售金额（元与销售量（千克）之间的关系式为：，
根据题意得：，
解得：，
销售金额（元与销售量（千克）之间的关系式为；
【小问2详解】
解：在超市购买：当 时，（元，
在超市购买：（元，
元元，
去超市购买更划算．
20. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为30°；后飞船到达处，此时测得仰角为．
（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
【答案】（1）
（2）飞船从处到处的平均速度约为
【解析】
【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
【小问2详解】
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
21. 如图1，四边形内接于，是直径，过点的切线与的延长线相交于点，且．
（1）求证：；
（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用切线的性质可得，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得，然后利用等量代换可，从而可得，进而可得，即可解答；
（2）过点作于，连接，根据垂直定义可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用同角的余角相等可得，再根据同弧所对的圆周角定理可得，从而可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得经过点，根据利用等边对等角可得，再利用证明，从而可得，最后设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：过点作于，连接，
，
是的直径，
，
，
∵是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
经过点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，
在中，，
，
，
解得：，
，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 【发现问题】
某城市为庆祝国庆75周年，准备烟花燃放活动，如图1．燃放烟花采用无人机空中投放和地面发射架直接发射联合完成．
无人机空中投放烟花得到如下数据：
地面发射架发射烟花得到的如下数据：
爱思考的小明发现两种烟花燃放方式都是烟花离地面的高度随时间的变化而变化．
【提出问题】
两种烟花离地面的高度，与燃放时间之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小明根据上表所示的数据，然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2和图3，小明根据点的分布情况，猜想其图像是二次函数图像的一部分．结合学习经验，进而求出与的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出两种燃放方式，与的关系式；
（2）若无人机在发射架正上方800米处，（无人机和发射架在同一平面内）同时燃放烟花，求两烟花在空中相遇的时间及离地面的高度．
（3）两个烟花在空中每一次相遇时会绽放出一个汉字．要想保证安全绽放，需满足：①相遇高度至少离地面300米，②地面发射烟花在最高处之前相遇绽放．已知地面发射架每隔3秒发射一枚烟花，无人机在发射架正上方800米处投放烟花，第一次地面烟花和空中烟花同时发射且安全绽放，若想第二次烟花也能安全绽放，第二架无人机至少在第一架无人机投放时间后什么时间范围内在发射架正上方投放？（不包含端点）
【答案】（1）；；
（2）两烟花在空中相遇的时间为第5秒，离地面高度为400米；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，正确理解题意，将实际问题化为函数问题是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）令，即，即可求解；
（3）令，求出值；令，求出值；令，令，同理可得的值，即可求解．
【小问1详解】
解：设，
取点、、代入上式得：
，解得：，
则函数的表达式为：；
设，
取点、、代入上式得：
，解得：，
则函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：令，即，
解得：，
则，
答：两烟花在空中相遇的时间为第5秒，离地面高度为400米；
【小问3详解】
解：令，
解得：（舍）或；
令，
解得（舍去）或，
则，
，
令，
解得：（舍或，
则，
答：第二架无人机至少在第一架无人机投放时间后范围内飞到发射架正上方投放才能保证安全绽放且不失误．
23. 如图1，在中，，点E在边上，D为边上一点，G在的延长线上，连接，，，若，，．
（1）求证：．
（2）请找出图中与相等的线段，并证明．
（3）如图2，当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形外角的性质推导即可得证；
（2）在上截取，连接，利用证明，得出，，然后证明，得出，即可得证；
（3）先证明，再证明，可得出即 ；设，，则，，由勾股定理可得： ， ，，然后代入计算即可．
【小问1详解】
证明：设，则，
∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即 ；
设，，则，
又∵，
由勾股定理可得： ， ，
由勾股定理可得：，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
用水量
频数（户数）
4
10
9
4
3
A小区
B小区
平均数
9.5
9.0
中位数
9.2
投放时间（秒）
0
1
2
3
4
…
离地面高度（米）
800
784
736
656
544
…
发射时间（秒）
0
1
2
3
4
…
离地面高度（米）
0
96
184
264
336
…
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