四川省乐山市第五中学2023-2024学年八年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 的立方根是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根．根据求一个数的立方根进行计算即可求解．
【详解】解：，
∴的立方根是，
故选：A．
2. 在实数，，，，中，无理数的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了无理数，求一个数的算术平方根，根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：在实数，，，，0中，无理数是，，共2个，
故选：B
3. 如果代数式是完全平方式，则值为（ ）
A. 6B. C. 6或D. 6或2
【答案】C
【解析】
【分析】利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】∵代数式是完全平方式，
∴
比较系数得，解方程得或
故选：C
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的形式是解题的关键．
4. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，
∴∠CGD＋∠CDG＝60°，
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°，
∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，
∴∠DFE＋∠E＝30°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角和三角形的外角性质，利用等边对等角和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键．
5. 某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58~1.60（单位：m）这一小组的频率为0.25，则该组的人数为（ ）
A. 250B. 300C. 600D. 900
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率=频数÷总数，得频数=总数×频率．
【详解】解：根据题意，得
该组的人数为1200×0.25=300（人）．
故选：B．
【点睛】本题考查了频率的计算公式，其中理解公式和对公式的灵活运用是关键．
6. 如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逆用同底数幂乘法、幂的乘方公式，将式子进行变形是关键．
【详解】因为
所以
所以
所以
所以=
故选：C
【点睛】考核知识点：同底数幂乘法、幂的乘方．运用同底数幂乘法、幂的乘方法则将式子适当变形是关键．
7. 若实数m，n满足，且m，n恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ）
A. 3或4B. 5或C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理计算得到答案．
【详解】解：∵，
∴m-3=0且n-4=0，
则m=3，n=4，
当4是直角边时，斜边长，
当4是斜边时，另一条直角边，
综上，第三条边长为5或．
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
8. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置得出，，从而得出，，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可．
【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知，，，
∴，，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a、b、c在数轴上的位置确定，．
9. 我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出的值和的值，再根据完全平方公式即可求得的值．
【详解】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形面积和为，即，
∴， ，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的运用，本题中求得的值是解题的关键．
10. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A. 21B. 7C. 6D. 3.5
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由，点是边的中点可得 ，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
，
当点在上时，最小，最小值为，
∴的最小值为7．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11. 因式分解：a3－a=______．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
12. 已知，则______．
【答案】64
【解析】
【分析】由可得，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则把所求式子变形求解即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：64．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
13. 如图，在中，平分，．若 ，，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】过点作，交于点，可以得出，又因为平分，可以得出，即可证明，可以得出，根据，代入和的长即可求解．
【详解】过点作，交于点，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
故答案为：4
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质正确添加辅助线是解题的关键．
14. 如图，在中，，，，则______度．
【答案】20
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质可得出、，结合、及，即可得出，解之即可解答．
【详解】解：∵，，
，
又，，
，
∵，
∴，
，
．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，利用三角形外角的性质结合找出是解答本题的关键．
15. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是______．

【答案】4
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根，根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故答案为：4．
16. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，利用尺规在AC，AB上分别截取AD，AE，使AD＝AE，分别以D，E为圆心，以大于DE为长的半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G，点P为边AB上的一动点，则GP的最小值为 _______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据基本作图得到AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AB于H，如图，则根据角平分线的性质得到GH＝GC，利用勾股定理计算出AB＝10，再利用面积法求出GH，然后根据垂线段最短解决问题．
【详解】解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AB于H，
∵∠C=90°，即GC⊥AC，
∴GH＝GC，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴，
∵，
∴5GH+4GH＝24，
∴，
∵点P为边AB上的一动点，
∴GP的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图—角平分线，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等等，解题的关键在于能够根据题意得到AG平分∠BAC．
三、解答题
17. （1）计算：
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算；
（2）先算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
18. 因式分解：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
小问1详解】
解：

【小问2详解】
解：
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值．先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
20. 如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
【答案】（1）5；（2）是直角三角形．
【解析】
【分析】（1）根据割补法，结合三角形面积公式即可解题；
（2）根据勾股定理，分别解得的长，再利用勾股定理的逆定理解题即可．
【详解】解：（1）
=16-6-4-1
=5，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形．
【点睛】本题考查网格与勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21. 若，都是实数，且，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．先根据算术平方根的被开方数的非负性求出x的值，再代入可求出y的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：由算术平方根被开方数的非负性得：，
解得，
将代入得：
，
则，
∵49的平方根是，
∴的平方根是．
22. 如图，已知中，．
（1）请用尺规作图法，在边上求作一点，使．(保留作图痕迹，不写作法)
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作线段的垂直平分线，与线段交于点，再连接和，即为所求；
（2）设，则，在中，由勾股定理即可得到的值，进而得到的值，即可求解的面积．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求
【小问2详解】
解：设，则
，
在中，，
由勾股定理得
即
解得
故
【点睛】本题主要考查了作图-线段的垂直平分线的画法，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题关键是会画线段的垂直平分线及掌握其性质，熟练掌握勾股定理等．
23. 如图，于E，于F，若．
（1）求证：平分；
（2）已知 ，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可．
（2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案．
【小问1详解】
证明：，，
，
在与中，
，
，
，
又，，
平分．
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
与中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题的关键．
24. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，为了了解同学们的支付习惯，某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，随机抽取了部分同学进行调查，其中要求每人选且只能选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”的扇形圆心角度数为________°；
（2）计算使用微信支付和银行卡的人数，并将条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有1200名学生，请你估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有多少名？
【答案】（1）,
（2）见解析 （3）名
【解析】
【分析】（1）根据现金的人数和所占的百分比求出总人数，再用乘以“支付宝”人数所占比例即可得;
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以其他支付的人所占的百分比即可；
【小问1详解】
本次活动调查总人数为(人),
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为
故答案为: , ；
【小问2详解】
用微信支付的人数人，
银行卡支付的人数人，
将条形统计图补充完整如下：
【小问3详解】
(名) ,
答：名学生中估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有名.
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
25. 甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，．

（1）用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式）
（2）用“＜”、“＞”或“=”填空：______；
（3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）
（3）是，
【解析】
【分析】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可；
（2）利用求差法可比较两个式子大小；
（3）先求出正方形的边长，得到大正方形面积，再结合（1）列出相应的式子，进行运算即可．
【小问1详解】
解：；
；
【小问2详解】
∵，
∴
故答案为：；
【小问3详解】
解：大正方形的边长为：，
大正方形面积为：，
，
．
答：与的差为定值，值为10．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，长方形和正方形的面积，熟练掌握运算法则是解题的关键．
26. 如图，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．

（1）_______；（用的式子表示）
（2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；
（3）如图，将图中的“，”改为“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2），，理由见解析；
（3）存在，，使得．
【解析】
【分析】（）利用线段的和差关系即可求解；
（）由“”可证明，进而得到，推导出 ，即可得到；
（）由得到，，列出方程组求解即可得到结果；
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，．
理由：当时，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：存在．
若，则，，
故可得，，
解得，
∴存在，，使得．